2025年九年級數(shù)學(xué)中考三輪沖刺訓(xùn)練圓中相似三角形綜合訓(xùn)練

1.如圖，在△ABC中，AB^AC,以AB為直徑的分別交BC,AC于點。，E,連結(jié)E8,

交OD于點F.

(1)求證：ODLBE；

(2)若AB^10,求AE的長；

(3)若△(7￡)￡的面積是面積的求區(qū)■的值.

6AC

2.如圖，在RtZkABC中，/C=90°,。在A3上，以。為圓心，以長為半徑的圓分

別與AC,A3交于點。，E,直線2。與O。相切于點D.

(1)求證：NCBD=/A；

(2)若AC=6,AD；BC=L頁.

①求線段20的長；

②求O。的面積.

3.如圖，四邊形ABC。為正方形，取A3中點。，以A3為直徑，。圓心作圓.

(1)如圖1,取C。的中點P,連接2尸交。。于。，連接。。并延長交A8的延長線于

E,求證：QE1=BE'AE-,

(2)如圖2,連接C。并延長交O。于M點，求tanM的值.

4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O。，直徑AC與弦8。的交點為E,0B//CD,BH±AC,

垂足為X,且NBFA=NDBC.

(1)求證：BF是。。的切線；

(2)若BH=3,求的長度；

(3)若sinZZ)AC=A,求△QB”的面積與四邊形OBCD的面積之比.

7

5.如圖1,在△ABC中，/是內(nèi)心，AB=AC,。是AB邊上一點，以點。為圓心，。2為半

徑的O。經(jīng)過點I.

(1)求證：4/是。。的切線；

(2)如圖2,連接C/交A8于點E,交。。于點F,若tan//8C=2，求理.

2AE

圖1圖2

6.如圖，以AB為直徑的O。交NR4。的平分線于點C,交AD于點R過點C作COLA。

于￡>,交AB的延長線于點E.

Cl)求證：C￡>為。。的切線；

(2)若型=工，求C0S/D4B的值.

AD2

7.如圖，已知是。。的直徑，C2L4B,。為圓上一點，KAD//OC,連接CO,AC,

BD,AC與BD交于點、M.

(1)求證：CD為。0的切線；

(2)若求力的值.

8.如圖，A。是△ABC的外接圓。。的直徑，點尸在BC延長線上，且滿足NE4C=NB.

(1)求證：外是O。的切線；

(2)弦CE_LA。交A8于點R若A>AB=12,求AC的長.

9.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AE平分NBAC交于點E,。是A8上一點，經(jīng)過A,

E兩點的O。交AB于點。，連接。E,作NOEA的平分線EP交。。于點R連接AF.

(1)求證：BC是O。的切線.

(2)若sin/EE4=&,AF=5&,求線段AC的長.

5

10.如圖所示，。。的半徑為4,點A是。。上一點，直線/過點A；尸是。。上的一個動

點(不與點A重合)，過點尸作尸8，/于點2,交。。于點E,直徑尸。延長線交直線/

于點R點A是金的中點.

(1)求證：直線/是O。的切線;

(2)若B4=6,求PB的長.

11.如圖，為。。的直徑，C為。。上一點，。為A4延長線上一點，NACD=/B.

(1)求證：DC為00的切線；

(2)線段。/分別交AC,BC于點、E,/且/CEF=45°,。。的半徑為5,sinB=—,

5

求C尸的長.

C

B

12.如圖，P是。。外的一點，PA.是O。的兩條切線，A、B是切點，P0交AB于點F,

延長2。交O。于點C,交出的延長交于點0,連結(jié)AC.

(1)求證：AC//PO；

(2)設(shè)。為尸8的中點，。。交于點E,若。。的半徑為3,CQ=2,求膽的值.

13.如圖，CD是。。的切線，點C在直徑A8的延長線上.

(1)求證：NCAD=NBDC；

(2)若8O=2A。，AC=3,求CD的長.

3

D

14.已知：如圖，在△ABC中，A2=AC,點尸是底邊BC上一點且滿足出=尸3,。。是

△B48的外接圓，過點尸作PO〃48交AC于點O.

(1)求證：尸。是。。的切線；

(2)若BC=8,tan/ABC=Y2,求。。的半徑.

2

參考答案

1.【解答】解：⑴連接AD,

是OO直徑，

ZAEB=ZADB^90°,

'：AB^AC,

.1.BD=ED.

：.OD±BE；

(2)VZAEB=9Q°,

：.ZBEC=90°,

■:BD=CD,

:?BC=2DE=2V15，

???四邊形A5OE內(nèi)接于O。，

/.ZBAC+ZBDE=180°,

VZCDE+ZBDE=180°,

:?/CDE=NBAC,

,.?NC=NC,

.?.△CDEsACAB,

?CEDE日口CEv'To

??———,區(qū)口—,—--------,

CBAB2d1510

：.CE=2,

：.AE=AC-CE=AB-CE=8；

⑶:SMDE莫,

^AOBF6

:?設(shè)，S^CDE=5k，S/\OBF=6ki

，：BD=CD,

??SACDE=SABDE=5k,

■:BD=CD,AO=BO,

：.OD//AC,

■:△OBFSAABE,

.SAOBFZOBs21

??二r?二■,

SAABE福4

:.SAABE=4SM)BF,

S^ABE=4S^OBF=24kf

SACAB=SACDE+SABDE+S△ABE=34k,

VACDE^ACAB,

.SACDErCD、25

??百FW

.CDV5V170

??——,—----------，

CAV3434

?：BC=2CD,

.BCV170

??—=-----?

AC17

2.【解答】解：(1)證明：連接OD

??,直線BD與。O相切于點D,

：.ZBDO=90°,

ZBDC+ZODA=90°,

VZC=90°，

：.ZCBD+ZBDC^90°,

：00=04,

J.ZODA^ZOAD,

：.ZBDC+ZOAD^90°,

J.ZCBD^ZA-,

(2)①；/C=NC,/CBD=/A,

：.△ACBs^BCD,

.BC=CD

,,ACBC，_

：AC=6,AD；BC=1：

.,.設(shè)A￡)=尤，BC—y[2)c,

?V2x_6~x

6&x

解得：x=3.

:.BC=36,CD^AC-AD^3

根據(jù)勾股定理得，2。=3?；

②由①可知BC=3臟.

又：/C=90°,AC=6,

...在RtzMBC中，由勾股定理得：2+62=3近,

設(shè)0A=。。=.，貝！]08=3近-r,

...在中，由勾股定理得：?+(3^3)2=(3^6-r)2.

解得：「=辿,

4

x(乎)2=等

Q0的面積為:7T

3.【解答】(1)證明：如圖1中，連接0。，0Q,設(shè)AQ交0。于K.

???四邊形A5CD是正方形，

:?CD=AB,CD//AB,

：.DP=^CD,0B=^ABf

22

:?DP=0B,

???四邊形PDOB是平行四邊形,

：.0D//PB,

9：AB是直徑，

ZAQB=90°,

ZAKO=ZAQB=90°,

VOK//BQ,A0=0B,

：.AK=KQf

???0。垂直平分線段AQ,

：.DA=DQ,

,：0D=0D,OA=OQ,

：./\ODA^AODQ(SSS),

：.ZDQO=ZDAO=90°,

：.ZEQO=90°,

：.ZEQB+Z0QB=9Q°,

OQ=OB,

：.ZOQB=ZOBQf

'：ZQAB+ZABQ=9Q°,

：.ZEQB=ZEAQ,

*/NE=ZE,

：.AEQB^/\EAQ,

.EQ=EB

**EA而'

：?EG=EA?EB.

(2)解：如圖2中，作5T_LCM于T.設(shè)AB=BC=2Q.

???四邊形ABC。是正方形，

.,.ZOBC=90°,

?：OB=OA=a,BC=2a,

OC=7oB2+BC2=Va2+(2a)2=^'

'：SOBC=—'OB-BC=—'OC-BT,

A22____________

2222=

：,BT=^^-a,OT=^/QB-BT=<Ja-(-^y^-a),

：.MT=OM+OT=a+^-a,

5

2娓

54=返_]

tanMBT

MT玉2

4.【解答】解：(1)證明：?；NBFA=NBDC,/BDC=/DAC,

：.ZDAC=ZBFA.

?：OB〃CD,

：.ZBOF=ZACD,

??,AC是。。的直徑，

ZADC=90°,

：.ZDAC+ZACD=9Q°,

：.ZBOF+ZF=9Q°,

：.ZOBF=90°,

：.OB±BF,

???5尸是。。的切線；

(2)VBH±AC,

：.ZOHB=90°,

〈AC是。。的直徑，

ZADC=90°,

NADC=NOHB,

；/BOC=NACD,

：.AACD^ABOH,

.ADAC

??---------7n^

BHBO

,:BH=3,

：.AD=6；

⑶?：△ACDMBOH,

：.ZDAC=ZOBH,

VsinZZ)AC=^=A,

AC7

：.smZOBH=-^,設(shè)0H=4a,OB=7a,

7

：.AC=2OB=14a,

.\DC=Sa,

??BH=J0B2_0H2=，

過。作CM_L03于M,

?：OB=OC,

:.CM=BH=^^a,

，：OB〃CD,CMLOB,

：.CMLCD,

AS四邊形OBCD=SAOCD+SAOCB

=AcZ)?CM+^OB'CM

22

_15V33a2

2

SAOBH=-xa/X8H=，x4aXJ^a=2癡/,

22

.SAQBH4

S四邊形OBCD15

答：△O8H的面積與四邊形OBCD的面積之比為二.

15

5.【解答】(1)證明：延長4交BC于。，連接。/.

:/是△ABC的內(nèi)心，

.,.BI^^-ZABC,AI^ZBAC.

.?.Z1=Z3,

'：AB^AC,

C.ADLBC.

又,：OB=OI,

；.N3=N2.

???N1=N2.

：?OI〃BD,

：.OI±AI.

???A/為。。的切線；

（2）解：連接過8作尸于M

由（1）得AO垂直平分3C,

：.BI=CL

???N1=N4

故Nl=N2=N3=N4=a,

：.ZBOI=ISO°-2a,

尸/8。/=90°-a,

2

.,.ZF+Z4=90°,

：.ZFBC^ZADC^90°,

：.BF//AD,

：.LAEI?ABEF,

?.B?-E--B-F-.

AEAI

,:DI〃BF,BD=CD,

：.CI=FL

：.BF=2ID,

故里上嗎圖2

AEAI

設(shè)ID=a,

?tan/1二，

ABD=CD=2a,BI=IC^/5a,

由面積法：BM=BC.D二%a，

IM=VBI2-BM2=^-a）

又/MIB=2N1=NABD,

tanZMIB=tan/ABD,

?.?-B-M--A-D---4-,

MIBD3

g圖1

?*,ADfa，

o

.5

***AI=ADTD-ya'

o

,BE=2ID=2a=6

"AE=AI

百a

6.【解答】（1）證明：連接。C,如圖，

：AC平分NBA。，

ZDAC=NEAC,

9：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZDAC=ZOCA,

：.AD//OC,

'：AD±DE,

：.OCLDE,

???C。為。。的切線；

(2)解：作。"_LA。于從如圖，則

易得四邊形OCQH為矩形，

：.OH=CD,OC=DH,

??CD=1

*AD2，

???設(shè)CD=x,則AD=2x,

設(shè)。。的半徑為r,

.\AH=2x-r,OA=r,

在RtZXOAH中，/+(2x-r)2=r1,解得

5

：.AH=^-r,

5

3

—r

在中，cosNHAO=&^=至一=3.

OAr5

7?【解答】(1)證明：連接0。，設(shè)0C交BD于K.

,：AB是直徑，

ZADB=90°,

：.AD±BD,

OC//AD,

：.OC.LBD,

:?DK=KB,

：.CD=CB,

°：OD=OB,OC=OC,CD=CB,

:.△ODCQXOBCCSSS),

：.ZODC=ZOBC,

VCBXAB,

：.ZOBC=90°,

：.ZODC=90°,

：.OD±CDf

???CZ)是。。的切線.

(2)解：,:CD=y[^AD,

???可以假設(shè)AZ)=〃，CD=皿a,設(shè)KC=b.

?：DK=KB,AO=OB,

/.OK=^AD=^a,

22

,：ZDCK^ZDCO,/CKD=/CDO=90°,

：./\CDK<^ACOD,

.CD=CK

"OCCD，

..”V2a_方b

整理得：2（工）2+（電）-4=0,

aa

解得a=</-1或-庫-1（舍棄）,

a44

'：CK//AD.

.CM=CK=b=遂-1

**AMAD7-4一?

8.【解答】（1）???AZ）是。0的直徑

ZACD=90°；

：.ZCAD+ZD=90°

,：ZPAC=ZPBA,ND=NPBA,

：.ZCAD+ZPAC=90°,

.'.ZB4D=90°,

AB4XAZ）,

???點A在。。上，

???B4是OO的切線

（2）VCF±AD,

：.ZACF+ZCAD=9Q°,

9：ZCAD+ZD=9Q°,

：.ZD=ZACFf

：.ZB=ZACF,

'：ZBAC=ZCAFf

：.AABC^AACF,

???—AF=—AC,

ACAB

：.AC2=AF'AB

VAFMB=12,

：.AC2=12,

:.AC=2M.

9.【解答】證明：（1）連接。E,

：OE=OA,

：./OEA=/OAE,

:AE平分/54C,

J.ZOAE^ZCAE,

J.ZCAE^ZOEA,

J.OE//AC,

；./BEO=NC=90°,

.?.2。是0。的切線；

(2)過A作于0

中，sin/E"=煙底，

AF5

,:AF=5M，

:.AH=4叵,

「AD是。。的直徑，

?.ZAEZ)=90°,

；EF平分/AED,

：.ZA￡F=45°,

???AA￡H是等腰直角三角形，

:.AE=、&H=8,

smZEFA=sinZADE=—=-^-,

5AD

：.AD=10,

VZDAE^ZEAC,ZDEA^ZECA=90°,

：.LAEDsAACE,

?.?-A-B-二AD,

ACAE

?.?-8--二10,

AC8

：.AC=6A.

10.【解答】(1)證明：連接。E,OA.

;尸。是直徑，

：.ZDEP=90°,

9：PB±FB,

，/DEP=/FBP,

：.DE//BF,

AD=AE>

：.OA±DE,

：.OA±BF,

?,?直線/是。。的切線.

(2)解：作0"_1_必于".

??Q=。尸，OHLPA,

：.AH=PH=3,

?：OA〃PB,

：.ZOAH=NAPB,

VZAHO=ZABP=90°,

???△AOHs^PAB,

B

0A=AH

PAPB

1=_3_

?PB'

Q

2

11.【解答】(1)證明：連接oc,

,：AB為O。的直徑，

AZACB=ZBCO+ZOCA=90°,

"：OB=OC,

:"B=NBCO,

ZACD^ZB,

：.ZACD^ZBCO,

：.ZACD+ZOCA^90°,即NOC￡)=90°,

.??OC為O。的切線；

(2)解：RtZXACB中，AB=10,

.3AC

sinDB=—

5AB

；.AC=6,BC=8,

VZACD^ZB,/ADC=/CDB,

：./\CAD^/\BCD,

?.?-A-C=-A-D---6---3-,

BCCD84

設(shè)AO=3尤，CD=4.r,

「△OCD中，od+crP^ob1,

52+(4x)2=(5+3x)2,

x=0(舍)或毀，

7

VZC￡F=45°,ZACB=90°,

：.CE=CF,

設(shè)CF=a,

ZCEF=ZACD+ZCDE,

ZCFE=ZB+ZBDF,

:.NCDE=NBDF,

ZACD^ZB,

:.叢CEDs叢BFD,

.CEBF

??—f

CDBD

a8-a

a^24

4X平10+3X與

：.CF=^.

7

12.【解答】（1）證明：：出、尸8是。。的兩條切線，A、B是切點,

C.PA^PB,且尸。平分

C.POLAB.

,：BC是直徑，

AZCAB=90°,

：.AC±AB,

J.AC//PO-,

(2)解：連結(jié)。1、DF,如圖，

：孫、尸3是O。的兩條切線，A、B是切點，

：.ZOAQ^ZPBQ^9Q°.

在RtZ\OA0中，OA=OC=3,；.OQ=5.

由Q42+OA2=OQ2,得@=4.

在RtZ\PB。中，PA=PB,。3=0。+。2=8,

由QB1+PB1