期中易錯(cuò)題壓軸題專項(xiàng)復(fù)習(xí)【24大題型】

（考試范圍：第16~18章）

【人教版】

＞題型梳理

【易錯(cuò)篇】......................................................................................2

【考點(diǎn)1二次根式】............................................................................2

【考點(diǎn)2根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】.............................................................2

【考點(diǎn)3二次根式的乘除】.....................................................................2

【考點(diǎn)4二次根式的加減】.....................................................................3

【考點(diǎn)5勾股定理與網(wǎng)格】.....................................................................3

【考點(diǎn)6利用勾股定理求值】...................................................................5

【考點(diǎn)7趙爽弦圖】............................................................................6

【考點(diǎn)8勾股定理逆定理的應(yīng)用】...............................................................8

【考點(diǎn)9勾股定理的應(yīng)用】.....................................................................9

【考點(diǎn)10與平行四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算】......................................................10

【考點(diǎn)11與矩形有關(guān)的證明與計(jì)算】............................................................11

【考點(diǎn)12與菱形有關(guān)的證明與計(jì)算】...........................................................12

【考點(diǎn)13與正方形有關(guān)的證明與計(jì)算】..........................................................14

【考點(diǎn)14與直角三角形斜邊的中線有關(guān)的證明與計(jì)算】...........................................15

【考點(diǎn)15與三角形中位線有關(guān)的證明與計(jì)算】...................................................16

【壓軸篇】.....................................................................................18

【考點(diǎn)16化簡(jiǎn)含字母的二次根式】.............................................................18

【考點(diǎn)17求立體圖形的最短路徑問(wèn)題】..........................................................18

【考點(diǎn)18幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】......................................................................19

【考點(diǎn)19幾何最值問(wèn)題】......................................................................21

【考點(diǎn)20幾何探究問(wèn)題】......................................................................23

【考點(diǎn)21多結(jié)論類問(wèn)題】......................................................................25

【考點(diǎn)22新定義類問(wèn)題】......................................................................26

【考點(diǎn)23規(guī)律類問(wèn)題】........................................................................28

【考點(diǎn)24閱讀理解類問(wèn)題】....................................................................30

1

?舉一反三

【易錯(cuò)篇】

【考點(diǎn)1二次根式】

【例1】（24-25八年級(jí)?福建莆田?期中）己知”是正整數(shù)，夜而是整數(shù)，則〃的最小值是（）

A.0B.2C.3D.7

【變式1-1]（24-25八年級(jí)?廣東河源?期中）若二次根式區(qū)陋在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，貝卜的取值范圍是（）

X

A.x>2024B.x>2024C.x<2024D.x<2024

【變式1-2]（24-25八年級(jí)?浙江舟山?期中）當(dāng)x=—l時(shí)，二次根式后F的值為.

【變式1-3]（24-25八年級(jí)?河南洛陽(yáng)?階段練習(xí)）已知丫=/三=1+71T^+2,那么xy=.

【考點(diǎn)2根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)】

【例21（24-25八年級(jí)?北京順義?期中）如果-2）（久2一4）=（2-x）S彳2那么尤的取值范圍_________.

【變式2-1]（24-25八年級(jí)?甘肅蘭州?期中）適合2j（a-32=6-2a的正整數(shù)a的所有值的平方和為（）

A.13B.14C.15D.16

【變式2-2]（24-25八年級(jí)?四川成都?期中）實(shí)數(shù)a、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：后+府+

J（a-6）2=.

ab

----1-?-----1-----

-101

【變式2-3]（24-25八年級(jí)?上海?期中）將x口根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)得.

yx

【考點(diǎn)3二次根式的乘除】

【例3】（24-25八年級(jí)?山東煙臺(tái)?期末）幻方是一種中國(guó)傳統(tǒng)游戲，它是將從一到若干個(gè)數(shù)的自然數(shù)排成縱

橫各為若干個(gè)數(shù)的正方形，使在同一行、同一列和同一對(duì)角線上的幾個(gè)數(shù)的和都相等.類比幻方，我們給

出如圖所示的方格，要使方格中橫向、縱向及對(duì)角線方向上的實(shí)數(shù)相乘的結(jié)果都相等，則數(shù)值4+B+C+

2

V210D

【變式3-1】（24-25八年級(jí)?山東煙臺(tái)?期中）計(jì)算（百+或）2°24（次—四『°23的結(jié)果為.

【變式3-2】（24-25八年級(jí)?河北唐山?期中）二次根式V12,V30,7K+2,t40/,尸7j亍中最簡(jiǎn)

二次根式是.

【變式3-3]（24-25八年級(jí)?江西吉安?期末）學(xué)習(xí)了后=⑷后，數(shù)學(xué)老師出了一道化簡(jiǎn)題：a+

J（l-療①>1）.下面是小亮和小芳的解答過(guò)程.

小亮：解：原式=a+l—a=l；

小芳：解：原式=a+|l—a|,

a>1,.?.原式=a+a—l=2a—1,

（1）的解法是不正確的；

（2）化簡(jiǎn)：卜—反其中a<0,b<0.

【考點(diǎn)4二次根式的加減】

[例4]（24-25八年級(jí)?江西萍鄉(xiāng)?期末）若a=V1003+V997.b=V1001+V999,c=2V1001,貝！Ja，b,c

的大小關(guān)系用“〈”號(hào)排列為.

【變式4-1]（24-25八年級(jí)?河北唐山?期末）下列二次根式中，可與進(jìn)行合并的二次根式是（）

A.V3B.V6C.V18D.V24

【變式4-2]（24-25八年級(jí)?江蘇南京?期末）己知x=后，則代數(shù)式產(chǎn)―2x+3的值為.

【變式4-3]（24-25八年級(jí)?湖北武漢?期末）已知xy=2,x+y=4,則.

【考點(diǎn)5勾股定理與網(wǎng)格】

【例5】（24-25八年級(jí)?江蘇淮安?期末）某班學(xué)生在勞動(dòng)實(shí)踐基地用一塊正方形試驗(yàn)田種植蘋(píng)果樹(shù)，同學(xué)們

將試驗(yàn)田分成7x7的正方形網(wǎng)格田，每個(gè)小正方形網(wǎng)格田的邊長(zhǎng)為1米，如圖所示，為了布局美觀及蘋(píng)果

樹(shù)的健康成長(zhǎng)，同學(xué)們要把蘋(píng)果樹(shù)種植在格點(diǎn)處（每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)），且每?jī)煽锰O(píng)果樹(shù)之間的

距離都要大于2米，則這塊試驗(yàn)田鬟多可種植____棵蘋(píng)果樹(shù).

3

【變式5-1](24-25八年級(jí)?山西臨汾?期末)如圖，在6x6的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,請(qǐng)?jiān)诮o定

的網(wǎng)格中按下列要求畫(huà)出圖形.

(1)畫(huà)一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為4,V5,g的三角形;

(2)畫(huà)一個(gè)腰長(zhǎng)為VIU的等腰直角三角形.

【變式5-2](24-25八年級(jí)?河南駐馬店?期末)如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，若△力BC和ABCD的

頂點(diǎn)都在小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，貝吐4CB+NDBC=()

A.45°B.75°C.120°D.135°

【變式5-3](24-25八年級(jí)?安徽安慶?期末)如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)力，B,

C均在格點(diǎn)上.若AD1BC于點(diǎn)D,則線段力D的長(zhǎng)為

4

【考點(diǎn)6利用勾股定理求值】

【例6】（24-25八年級(jí)?浙江紹興?期末）如圖，在長(zhǎng)方形A8CD中，AB=3,BC=4,將△力BC沿2C折疊,

點(diǎn)2落在B'處，AD與B工交于E,則CE的長(zhǎng)為（）

【變式6-1]（24-25八年級(jí)?江蘇蘇州?期末）勾股定理是數(shù)學(xué)史上的一顆玻璃珠.被譽(yù)為清代“歷算第一名家”

的名數(shù)學(xué)家梅文鼎先生（圖①）在《梅氏叢書(shū)輯要》（由其孫子梅轂成編纂）的“勾股舉隅”卷中給出了多種

勾股定理的證法.其中一種是在圖②的基礎(chǔ)上，運(yùn)用“出入相補(bǔ)”原理完成的.在△ABC中，入4cB=90。，

四邊形2BDE,ACFG,8CH/均為正方形，陽(yáng)與2E相交于點(diǎn)J,可以證明點(diǎn)。在直線上.若△/!/〃，△DE/的

面積分別為2和6,則直角邊AC的長(zhǎng)為（）

【變式6-2]（24-25八年級(jí)?陜西西安?期中）對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂

美"四邊形力BCD,對(duì)角線力C,BD交于點(diǎn)0.若力D=1,BC=4,貝必爐+CD?=.

D

B

5

【變式6-3］（24-25八年級(jí)?四川達(dá)州?期末）如圖，在四邊形2BCD中，ZB=90°,BC=4,AE1CD,垂足

為E,AE=CE,連接2C,若DE=5,AD=V61.求：

⑴"的長(zhǎng)；

⑵四邊形力BCD的面積.

【考點(diǎn)7趙爽弦圖】

【例7】（24-25八年級(jí)?江蘇宿遷?期末）綜合實(shí)踐

我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“趙爽弦圖”.他用幾何圖形的截、害I、拼、補(bǔ)來(lái)證明代數(shù)恒

等式，嚴(yán)密又直觀，為中國(guó)古代“形數(shù)統(tǒng)一”、代數(shù)和幾何緊密結(jié)合的獨(dú)特風(fēng)格樹(shù)立了一個(gè)典范.在一節(jié)八上

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課上，老師為了弘揚(yáng)中國(guó)的數(shù)學(xué)文化，和同學(xué)們開(kāi)啟對(duì)“趙爽弦圖”的深度研究.

（1）類比“弦圖”，證明定理

小明同學(xué)利用四張全等的直角三角形紙片（如圖1）,證明勾股定理.

因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e可以看成4個(gè)直角三角形與1個(gè)邊長(zhǎng)為（6-a）的小正方形組成，即面積表示為：4x

lab+{b-a）2a2+b2,即a2+。2=?2,進(jìn)而勾股定理得到了驗(yàn)證.

善于思考的小亮同學(xué)把一個(gè)直立的火柴盒放倒（如圖2）,聰明的他發(fā)現(xiàn)用不同的方法計(jì)算梯形力BCD的面

積，也可證明勾股定理，請(qǐng)你和他一起證明.

（2）利用“弦圖”，割拼圖形

如圖3,老師給出由5個(gè)小正方形組成的十字形紙板，讓同學(xué)們嘗試剪開(kāi)，使得剪成的若干塊能夠拼成一個(gè)

6

無(wú)縫的大正方形，可以怎么剪？請(qǐng)你畫(huà)出示意圖.

（3）構(gòu)造“弦圖”，應(yīng)用計(jì)算

如圖4,在等腰直角三角形4BC中，N4CB=90。,4。=BC,點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE14D,垂足為點(diǎn)尸,

交2B于點(diǎn)E,若BE=3,求的長(zhǎng).

【變式7-1］（24-25八年級(jí)?江蘇南京?期末）如圖是我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽

弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形28CD.連接AQ、BP、

CN、DM.若正方形4BCD的面積為2a,陰影部分的面積為2b.貝必N的長(zhǎng)度為（）

A.a+bB.a2+b2C.>Ja+bD.Va2+ft2

【變式7-2］（24-25八年級(jí)?四川成都?期末）如圖1,將四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)四邊形A8EC,然

后將前面四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大的正方形如圖2,該正方形的面積為5；再將其四個(gè)全等的直

角三角形拼成了圖3形狀，圖3的外輪廓周長(zhǎng)為4+4V5,則圖1中的點(diǎn)C至的距離為.

【變式7-3］（24-25八年級(jí)?浙江金華?期末）圖1是由5個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形組成，延長(zhǎng)DK交

AB.力C分別于點(diǎn)M、N,延長(zhǎng)交于點(diǎn)P（如圖2）.

圖1圖2

7

（1）若RtA4BF的面積為5,小正方形尸GHK的面積為9,貝必8=；

CC

（2）如圖2,若四邊形宙HN=鼠則四邊WGHK=____________（用含k的代數(shù)式表示）.

S四邊形BMHP$四邊形BCNK

【考點(diǎn)8勾股定理逆定理的應(yīng)用】

【例8】（24-25八年級(jí)?黑龍江雙鴨山?期末）兩艘輪船從同一港口同時(shí)出發(fā)，甲船時(shí)速40海里，乙船時(shí)速30海

里，兩個(gè)小時(shí)后，兩船相距100海里，已知甲船的航向?yàn)楸逼珫|46。，則乙船的航向?yàn)椋ǎ?/p>

A.南偏東44。B.北偏西44。C.南偏東44?；虮逼?4。D.無(wú)法確定

【變式8-1］（24-25八年級(jí)?黑龍江大慶?期末）筆直的河流一側(cè)有一旅游地C,河邊有兩個(gè)漂流點(diǎn)A,B.其

中由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在己經(jīng)不通，為方便游客決定在河邊新建一個(gè)漂流點(diǎn)XG4,

8在同一直線上），并新修一條路CH,測(cè)得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米.則原路線4C=千

米.

【變式8-2］（24-25八年級(jí)?遼寧鞍山?期末）如圖，學(xué)校在校園圍墻邊緣開(kāi)墾一塊四邊形菜地48CD,測(cè)得=

9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m,且NABC=90°,這塊菜地的面積是（）

A.48m2B.114m2C.122m2D.158m2

【變式8-3］（24-25八年級(jí)?吉林四平?期末）如圖①是超市的兒童玩具購(gòu)物車(chē)，圖②為其側(cè)面簡(jiǎn)化示意圖.測(cè)

得支架4C=24cm,CB=18cm,兩輪中心的距離AB=30cm.

（1）連接48,貝UAaBC是__________三角形，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程.

8

⑵點(diǎn)C至!MB的距離是cm.

【考點(diǎn)9勾股定理的應(yīng)用】

【例9】（24-25八年級(jí)?四川成都?期中）四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰擴(kuò)灌工程之一,

也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之稱.現(xiàn)為擴(kuò)建開(kāi)挖某段干渠，如圖，欲從干

渠某處A向C地、。地、8地分流（點(diǎn)C,D,2位于同一條直線上），修三條筆直的支渠AC,AD,AB,

且2C1BC；再?gòu)?。地修了一條筆直的水渠D”與支渠AB在點(diǎn)H處連接，且水渠?！焙椭嗀B互相垂直，已

矢口4C=6km,AB=10km,BD=5km.

（1）求支渠AD的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）若修水渠每千米的費(fèi)用是0.7萬(wàn)元，那么修完水渠需要多少萬(wàn)元？

【變式9-1］（24-25八年級(jí)?福建福州?期中）《九章算術(shù)》中“勾股”一章有記載：今有池方一丈，葭生其中

央，出水一尺.引葭赴岸，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它的頂端恰好到

達(dá)池邊的水面，求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度.（1丈=10尺）

（1）示意圖中，線段的長(zhǎng)為尺，線段EP的長(zhǎng)為尺；

（2）求蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度.

【變式9-2］（24-25八年級(jí)?安徽阜陽(yáng)?期中）超速行駛是引發(fā)交通事故的原因之一.上周末，小聰?shù)热煌?/p>

學(xué)在某路段嘗試用自己所學(xué)的知識(shí)檢測(cè)車(chē)速，觀測(cè)點(diǎn)設(shè)在到公路/的距離為100m的點(diǎn)P處.這時(shí)，一輛轎

車(chē)由西向東勻速駛來(lái)，測(cè)得此車(chē)從A處行駛到B處所用的時(shí)間為3秒，并測(cè)得乙4PO=60。，ZBPO=45°.

9

ABO

⑴求AB的距離，（追取1.73）

（2）試判斷此車(chē)是否超過(guò)了80km/h的限制速度？

【變式9-3]（24-25八年級(jí)?安徽安慶?單元測(cè)試）由于大風(fēng)，山坡上的一棵樹(shù)甲被從點(diǎn)A處攔腰折斷，如圖

所示，其樹(shù)恰好落在另一棵樹(shù)乙的根部C處，己知48=4米，BC=13米，兩棵樹(shù)的株距（兩棵樹(shù)的水平

距離）為12米，請(qǐng)你運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)求這棵樹(shù)原來(lái)的高度.

【考點(diǎn)10與平行四邊形有關(guān)的證明與計(jì)算】

【例10】（24-25八年級(jí)?黑龍江哈爾濱?期中）如圖，四邊形力BCD的對(duì)角線47和相交于點(diǎn)。，下列不能

判定四邊形A8CD為平行四邊形的條件是（）

A.AO=OC,OB=ODB./.ABC=^ADC,AD\\BC

C.AB=DC,AD\\BCD.AB=DC,AD=BC

【變式10-1]（24-25八年級(jí)?河南商丘?期中）如圖1,ABWCD,P為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為射線4B上的任意一

點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），連接EP,并使EP的延長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)?

10

BEBE

圖1

(1)求證：4APE?CPF；

(2)如圖2,連接EC、AF,是否有ECII4F,如不是，請(qǐng)說(shuō)明理由，如果是，請(qǐng)證明.

【變式10-2](24-25八年級(jí)?西藏拉薩?期中)如圖，在平行四邊形ABC。中，NC=40。，過(guò)點(diǎn)。作CB的垂線,

交AB于點(diǎn)E,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E貝UNBEF的度數(shù)為

【變式10-3](24-25八年級(jí)?河南漠河?期中)如圖，△ABC中，。是48邊上任意一點(diǎn)，尸是4C中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C

作CEII4B交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接力E,CD.

(1)求證：四邊形4DCE是平行四邊形；

(2)若NB=30。，ACAB=45°,AC=V6,求4B的長(zhǎng).

【考點(diǎn)11與矩形有關(guān)的證明與計(jì)算】

【例11】(24-25八年級(jí)?天津西青?期中)如圖，在△4BC中，4B=AC,4D是中線，4V是△ABC的外角“AM

的平分線，CE1AN,垂足為E.

(1)求證：四邊形4DCE是矩形;

11

（2）DF與4B之間的關(guān)系是什么？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【變式H-1］（24-25八年級(jí)?山西運(yùn)城?期中）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,對(duì)角線4c與BD相交于點(diǎn)O,

AE1BD,垂足為E.若貝l|2E的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.3A/3D.6

【變式11-2］（24-25八年級(jí)?遼寧鞍山?期中）已知：如圖，點(diǎn)P為矩形4BCD的邊4D上一點(diǎn)，連接BP,將矩

形4BCD的一部分DPBC沿BP翻折180。得DPBC，，且點(diǎn)C'落在的延長(zhǎng)線上.

（1）求證：C'B=CP；

（2）若BC=10,DC=6,求折痕BP的長(zhǎng).

【變式11-3］（24-25八年級(jí)?海南海口?期中）如圖，折疊矩形的一邊4D,使點(diǎn)。落在BC邊的點(diǎn)E處，己知

AB=6cm,BC=10cm,則CF=cm,—=.

【考點(diǎn)12與菱形有關(guān)的證明與計(jì)算】

【例12】（24-25八年級(jí)?陜西西安?期中）如圖，團(tuán)4BCD的對(duì)角線"、BD相交于點(diǎn)O,4C平分NB4D,過(guò)點(diǎn)

。作。PII4C,過(guò)點(diǎn)C作CPIIBD,DP、CP交于點(diǎn)P,連接。P.

12

AD

(1)求證：四邊形48CD是菱形；

(2)若4c=12,BD=16,求OP的長(zhǎng).

【變式12-1](24-25八年級(jí)?陜西西安?期中)如圖，在菱形A8CD中擺放了一副三角板，等腰直角三角板DEF

的一條直角邊DE在菱形邊4。上，直角頂點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，含30。角的直角三角板的斜邊G8在菱形4BCD的

邊48上.連接AC,若DF=4,則4C的長(zhǎng)為()

A.8B.4V2C.8V2D.4V6

【變式12-2](24-25八年級(jí)?廣東梅州?期中)如圖，矩形A8CD和矩形2ECF有公共頂點(diǎn)A和C,CD=CE,

AE與8c相交于點(diǎn)G,4。與CF相交于點(diǎn)H.

(1)求證：四邊形4GCH是菱形.

(2)連接AC,GH,若AC=10,GH=4,求四邊形2GCH的面積.

【變式12-3](24-25八年級(jí)?湖北武漢?期中)菱形4BCD的邊長(zhǎng)為2,乙4=60。，點(diǎn)G為4B的中點(diǎn)，以BG為

邊作菱形BEFG,其中點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)P為FD的中點(diǎn)，貝=()

13

B.V3

【考點(diǎn)13與正方形有關(guān)的證明與計(jì)算】

【例13】（24-25八年級(jí)?四川瀘州?期中）如圖所示，四邊形28CD是正方形，M是48延長(zhǎng)線上一點(diǎn).直角三

角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)且直角頂點(diǎn)E在邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)42重合），另一直角邊與NC8M的

平分線BF相交于點(diǎn)F.

EB

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在48邊的中點(diǎn)位置時(shí)，若=連接點(diǎn)E與2。邊的中點(diǎn)N,請(qǐng)猜想NE與BF的數(shù)量

關(guān)系，并加以證明.

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在4B邊上的任意位置時(shí)，猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想.

【變式13-1］（24-25八年級(jí)?河北張家口?期中）如圖，已知正方形紙片A8CD,M、N分別是力D、BC的中點(diǎn),

把BC邊向上翻折，使點(diǎn)C恰好落在MN上的P點(diǎn)處，BQ為折痕，則NP8Q的度數(shù)為（）

AMD

B.25°C.30°D.60°

【變式13-2］（24-25八年級(jí)?河南鄭州?期中）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形4BCD中，點(diǎn)民F分別是邊CD,2。的

中點(diǎn)，連接4E,BF,點(diǎn)G,“分別是4E,BF的中點(diǎn)，連接GH,貝的長(zhǎng)為.

14

【變式13-3]（24-25八年級(jí)?寧夏銀川?期中）如圖1,在正方形2BCD中，點(diǎn)E為8c上一點(diǎn)，連接DE,把△DEC

沿DE折疊得到△DEF,延長(zhǎng)EF交4B于點(diǎn)G,連接DG.

（1）求證△ADG三AFDG；

（2）如圖2,若正方形邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接BF,求線段4G的長(zhǎng);

（3）在（2）的條件下求出ABEF的面積.

【考點(diǎn)14與直角三角形斜邊的中線有關(guān)的證明與計(jì)算】

【例14】（24-25八年級(jí)?廣東梅州?期中）在正方形力BCD中，AD=2,E,尸分別為邊DC,CB上的點(diǎn),且始

終保持OE=CF,連接2E和DF交于點(diǎn)P,則線段CP的最小值為（）

A.V5-1B.V5V5D.V2

2

【變式14-1]（24-25八年級(jí)?浙江紹興?期中）如圖，△ABC中，。為中點(diǎn)，E在"上，且BE1AC.若DE=5,

AE=8,EC=47,貝118c的長(zhǎng)度是

15

【變式14-2]（24-25八年級(jí)?山西運(yùn)城?期中）如圖，在四邊形2BCD中，乙ABC="DC=90°,kBAD=130°,

點(diǎn)E為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，連接DE,BE,BD,貝此D8E的度數(shù)為（）

A.50°B.40°C.30°D.25°

【變式14-3]（24-25八年級(jí)?江蘇鹽城?期中）如圖，已知銳角AABC中，CD、BE分另U是4B、4C邊上的高,

M.N分別是線段BC、DE的中點(diǎn).

⑴證：MN1DE；

（2）若44BC=75°,/.ACB=40°,連接DM、ME,求NOME的度數(shù).

【考點(diǎn)15與三角形中位線有關(guān)的證明與計(jì)算】

【例15】（24-25八年級(jí)?陜西咸陽(yáng)?期末）如圖，在四邊形4BCD中，點(diǎn)E,F,G,H分別是邊4B,BC,C0,ZM的

中點(diǎn)，那么添加下列條件一定能判定四邊形EFGH是正方形的是（）

A.AC=BDS.AB=ADB.AC1BD且AC和BD互相平分

C.乙BAD=/.ABCKAC=BDD.AC=BDS.AC1BD

【變式15-11(24-25八年級(jí)?甘肅蘭州?期末)如圖，在菱形4BC0中，LE1BC于點(diǎn)E,BE=EC,AC=2,

則菱形4BCD的周長(zhǎng)是()

16

AD

BEC

C.10D.12

【變式15-2](24-25八年級(jí)?遼寧鞍山?期中)如圖，菱形A8CD對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)E為。。的中點(diǎn),

連接力E并延長(zhǎng)至點(diǎn)F使EF=4E,連接FD、FC,試判斷四邊形OCFD的形狀并說(shuō)明理由.

BC

【變式15-3](24-25八年級(jí)?山東濰坊?期末)【觀察與發(fā)現(xiàn)】

如圖1,我們?cè)谔骄咳切沃形痪€定理時(shí)，通過(guò)剪切和拼接的方法將三角形拼成了面積相等的平行四邊形.

同樣，我們也可以將任意一個(gè)四邊形剪開(kāi)拼成一個(gè)面積相等的平行四邊形.操作如下：如圖2,沿著過(guò)對(duì)邊

中點(diǎn)的兩條線段EG和HF剪開(kāi)，將四邊形4BCD分成四部分.通過(guò)旋轉(zhuǎn)或移動(dòng)，使點(diǎn)8,C,3與A重合，可

以得到，新四邊形。ZX/是平行四邊形.

【類比與探究】

(1)類比上述做法，嘗試將任意一個(gè)三角形剪開(kāi)拼成一個(gè)與其面積相等的矩形.

①圖3是將△ABC剪開(kāi)拼成矩形BC/%的一種方法的一種方法.

依據(jù)圖中呈現(xiàn)的操作方法，可知：DE與8c的數(shù)量關(guān)系為；與DE的位置關(guān)系為；

②如圖4,請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一種將AABC剪開(kāi)拼成與其面積相等的矩形的方法.仿照?qǐng)D3用虛線在左圖中畫(huà)出剪

切線，簡(jiǎn)單說(shuō)明剪切線滿足的條件，在右圖畫(huà)出拼成的簡(jiǎn)圖.

【實(shí)踐與應(yīng)用】

(2)請(qǐng)思考如何將任意一個(gè)四邊形剪開(kāi)拼成一個(gè)與原四邊形面積相等的矩形？請(qǐng)你設(shè)計(jì)思路不同的兩種方

案，在圖5中用虛線畫(huà)出分割線，用實(shí)線畫(huà)出拼成的矩形.

17

【壓軸篇】

【考點(diǎn)16化簡(jiǎn)含字母的二次根式】

【例16】（24-25八年級(jí)?上海靜安?期中）已知孫＜0,化簡(jiǎn)二次根式嚀星的值是（）.

A.y[xB.-y/~xC.y/~—xD.-V—x

【變式16-1]（24-25八年級(jí)?湖北黃石?期中）已知avo,則二次根式化簡(jiǎn)后的結(jié)果為（）.

A.aVbB.aV—C.—ay/bD.-aV—

【變式16-2]（24-25八年級(jí)?上海?期中）已知a＞0,那么看可化簡(jiǎn)為（）

A.by/—ccbB.—7ccbC.—V—ctbD.-V—ctb

bbb

【變式16-3]（24-25八年級(jí)?北京順義?期末）當(dāng)根＜0時(shí)，化簡(jiǎn)二次根式”z，結(jié)果正確的是（）

n

A.n'mnB.—n7mnC.-y/mnD.—~y/mn

nn

【考點(diǎn)17求立體圖形的最短路徑問(wèn)題】

【例17】（24-25八年級(jí)?四川達(dá)州?期末）如圖，桌上有一個(gè)圓柱形盒子（盒子厚度忽略不計(jì)），高為10cm,

底面周長(zhǎng)為12cm,在盒子外壁離上沿2cm的點(diǎn)/處有一只螞蟻，此時(shí)，盒子內(nèi)壁離底部4cm的點(diǎn)8處有一滴

蜂蜜，螞蟻沿盒子表面爬到點(diǎn)8處吃蜂蜜，求螞蟻爬行的最短距離（）

A.12cmB.2V3cmC.675cmD.10cm

18

【變式17-1］（24-25八年級(jí)?河南周口?期末）如圖①所示的正方體木塊的棱長(zhǎng)為&cm,沿其相鄰三個(gè)面的

對(duì)角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②所示的幾何體表面從頂點(diǎn)力爬行到

頂點(diǎn)B的最短距離為（）

A.(V2+l)cmB.(V2+V3)cmC.V3cmD.(V3+l)cm

【變式17-21（24-25八年級(jí)?河南南陽(yáng)?期末）如圖，教室墻面4DEF與地面2BCD垂直，點(diǎn)P在墻面上，若P4=

米，48=2米，點(diǎn)「到49的距離是3米，一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B,它的最短行程是（）米

C.V13D.3

【變式17-3］（24-25八年級(jí)?陜西西安?期末）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為5cm、寬為3cm、高為10cm的長(zhǎng)方體紙

箱的A點(diǎn)沿紙箱表面爬到B點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長(zhǎng)是cm.

【考點(diǎn)18幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】

【例18］（24-25八年級(jí)?江蘇揚(yáng)州?期中）如圖，在△ABC中，48=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動(dòng)

點(diǎn)PE1AB于E,「尸14（?于F，”為EF中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（）

C.2.4D.2.5

19

【變式18-1](24-25八年級(jí)?貴州遵義?期中)如圖，在四邊形4BCD中，AD||BC,￡B=90°,且AD=12cm,

AB=8cm,DC=10cm,若動(dòng)點(diǎn)？從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1cm的速度沿線段4D向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)。從C點(diǎn)

出發(fā)以每秒2cm的速度沿CB向8點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。點(diǎn)到達(dá)8點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q同時(shí)出

發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了/秒，回答下列問(wèn)題：

(1)BC=_cm；

(2)當(dāng)t=_秒時(shí)，四邊形PQB4成為矩形.

⑶當(dāng)f為多少時(shí)，PQIICD2

(4)是否存在f,使得ADQC是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出f的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【變式18-2](24-25八年級(jí)?福建廈門(mén)?期中)如圖，在菱形4BCD中，ADAB=60°,對(duì)角線相，BD相交于

點(diǎn)0,P為線段OB上一點(diǎn)，連接CP,將線段CP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交力B延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

(1)求證：AP=PQ；

(2)在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，NCPQ的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)判斷線段DP與線段BQ的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【變式18-3](24-25八年級(jí)?山東日照?期中)如圖1,已知在正方形ZBCD中，點(diǎn)E、尸分別在邊BC、DC上

運(yùn)動(dòng).

20

A

圖3

【嘗試探究】

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E、廠分別在邊BC、DC上運(yùn)動(dòng)，4區(qū)4尸=45。時(shí)，探究DF、BE和EF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明

理由;

【模型建立】

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E、F分別在射線CB、DC上運(yùn)動(dòng)，NE4F=45。時(shí)，(1)中的結(jié)論是否成立？若成立請(qǐng)加

以說(shuō)明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們的數(shù)量關(guān)系并加以說(shuō)明;

【模型應(yīng)用】

(3)如圖3,已知AABC是邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，BD=CD,ABDC=120°,以。為頂點(diǎn)作一個(gè)60。角,

使其角的兩邊分別交邊48、4C于點(diǎn)￡、F,連接EF,求的周長(zhǎng).

【考點(diǎn)19幾何最值問(wèn)題】

【例19】(24-25八年級(jí)?吉林長(zhǎng)春?期中)如圖1.在四邊形力BCD中，順次連結(jié)各邊中點(diǎn)E、F、G、H得到

的四邊形EFG”叫做四邊形力BCD的中點(diǎn)四邊形.利用三角形中位線的相關(guān)知識(shí)解決下列問(wèn)題：

圖1圖2

(1)求證：四邊形A8CD是平行四邊形；

(2)當(dāng)AC1BD時(shí)，四邊形EFGH是；

(3)如圖2.四邊形4BCD中，AC和8。互相垂直，2C=6、BD=10.則力D+BC的最小值為.

【變式19-1](24-25八年級(jí)?四川成都?期末)如圖，已知菱形4BCD的邊長(zhǎng)為5,面積為15,點(diǎn)E是對(duì)角線AC

上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)，以4B為對(duì)角線作平行四邊形4EBF,貝UEF的最小值為.

21

【變式19-2］（24-25八年級(jí)?河南洛陽(yáng)?期中）綜合與實(shí)踐：在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小明進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng),

將邊長(zhǎng)為舊的正方形ABC。。與邊長(zhǎng)為遍的正方形2EFG按圖1位置放置，4。與2E在同一直線上，4B與4G

在同一直線上.連接DG,BE,易得DG=BE且DG1BE（不需要說(shuō)明理由）.

（1）如下圖，小明將正方形A8CD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為葭15。＜戊＜165。）.

①連接DG,BE,判斷DG與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，如下圖，連接BG,GE,ED,DB,求四邊形BGED面積的最大值.

（2）如下圖，分別取BG,GE,ED,DB的中點(diǎn)M,N,P,Q,連接MN,NP,PQ,QM,則四邊形MNPQ的

形狀為,四邊形MNPQ面積的最大值是.

22

D

【變式19-3](24-25八年級(jí)?廣東廣州?期中)如圖1,在矩形紙片ABCD中，AB=6,AD=10,折疊紙片使

B點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)E處，折痕為尸。.過(guò)點(diǎn)E作所〃交尸。于凡連接BE

(1)求證：四邊形P8EE為菱形；

(2)當(dāng)點(diǎn)E在邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、。也隨之移動(dòng).

①當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖2),求菱形P2FE的邊長(zhǎng)；

②若限定P、。分別在邊胡、8C上移動(dòng)，菱形網(wǎng)也的面積有最值嗎？若有，請(qǐng)寫(xiě)出，若沒(méi)有，填“無(wú)”.最

大值為;最小值為.

【考點(diǎn)20幾何探究問(wèn)題】

【例20】(24-25八年級(jí)?陜西漢中?期末)在四邊形4BCD中，對(duì)角線2C,BD相交于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。的兩條直線

EF,GH分另U交邊力B,CD,AD,BC于點(diǎn)E,F,G,H.

【問(wèn)題發(fā)現(xiàn)】

⑴如圖1,若四邊形4BCD是正方形，且4G=BE=CH=。尸，則S四邊形獨(dú)℃=____S正方形神°；

【問(wèn)題探究】

(2)如圖2,若四邊形4BCD是矩形，且滿足S四邊形AEOG=[S矩形.CD，設(shè)4B=a,AD=b,BE=m,求力G的

長(zhǎng)(用含a,b,機(jī)的代數(shù)式表示)；

【問(wèn)題解決】

(3)如圖3,張大伯有一塊平行四邊形4BCD菜地，且4B=6米，AD=10米，點(diǎn)E處是一口水井，且BE=2

米，EF是原先就有的一條溝渠，且經(jīng)過(guò)平行四邊形A8CD菜地的對(duì)角線的交點(diǎn)0,張大伯準(zhǔn)備再修建一條經(jīng)

過(guò)點(diǎn)。的溝渠GH,將該菜地分成四個(gè)面積相等的部分，并分別種上四種不同的蔬菜，試確定點(diǎn)G的位置.

23

【變式20-1](24-25八年級(jí)?廣東陽(yáng)江?期末)【探究與證明】

【問(wèn)題情境】如圖1,點(diǎn)E為正方形4BCD內(nèi)一點(diǎn)，4E=2,BE=4,UEB=90°,將直角三角形4BE繞點(diǎn)4逆

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a度(0WaW180。)點(diǎn)B、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)夕、E'.

【問(wèn)題解決】

(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)9落在了AC上，求此時(shí)C8,的長(zhǎng)；

(2)若a=90。,如圖3,得到△4D?(此時(shí)"與。重合)，延長(zhǎng)BE交QE'于點(diǎn)F,

①試判斷四邊形4EFE，的形狀，并說(shuō)明理由；

②連接CE,求CE的長(zhǎng).

【變式20-2](24-25八年級(jí)?甘肅慶陽(yáng)?期末)【背景】在菱形2BCD中,1弓=60。，作的Q=34P,2Q分

別交邊BC,CD于點(diǎn)P,Q.

圖1圖2圖3

⑴【感知】如圖1,若P是邊BC的中點(diǎn)，則線段力P與4Q之間的數(shù)量關(guān)系是；

(2)【探究】如圖2,若P為邊BC上任意一點(diǎn)，貝U(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)【應(yīng)用】在如圖3所示的菱形紙片4BCD中，AABC=60°,AB=6,在邊BC上取一點(diǎn)P,連接4P,在菱

形內(nèi)部作NPAQ=60°,AQ交CD于點(diǎn)Q,當(dāng)2P=2近時(shí)，求線段CQ的長(zhǎng).

【變式20-3](24-25八年級(jí)?遼寧大連?期末)【問(wèn)題情景】

24

如圖1,在菱形力BCD中=2V5,點(diǎn)N為菱形4BCD外部一點(diǎn)，連接力N交對(duì)角線BD于點(diǎn)M,且滿足N4MD+

乙ANC=180°.

【初步探究】

(1)求證：AM=MN；

備用圖

【解決問(wèn)題】

(2)如圖2,連接DN,當(dāng)力M=履，CN=6時(shí)，

①求線段BM的長(zhǎng)；

②求NBDN的度數(shù)；

【類比探究】

(3)如圖3,在菱形48CD中，當(dāng)NBCD=90。時(shí)，AN交CD于點(diǎn)、E,連接BE,DN,并延長(zhǎng)BE交。N于點(diǎn)F.若

【考點(diǎn)21多結(jié)論類問(wèn)題】

【例21](24-25八年級(jí)?浙江杭州?階段練習(xí))如圖，四邊形ABCD,對(duì)角線BD148,且平分乙4DC,O為BD

的中點(diǎn).在4D上取一點(diǎn)G,使CG1BD,E為垂足，取4C中點(diǎn)?連接BF.下列五句判斷：①4。=2B。；

②EFII4D；③4G=2BF；④連接DF,則四邊形8CDF是平行四邊形；⑤FB=2GE.其中判斷正確的是()

A.①③④B.③④⑤C.②④⑤D.②③④

【變式21-1X24-25八年級(jí)?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?期末)如圖，點(diǎn)P是正方形2BCD的對(duì)角線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PE1BC

25

于點(diǎn)E,PF1CD于點(diǎn)F,連接EF,有下列5個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②力P1EF；③AAPD一定是等腰三角

形；④乙PFE=4BAP；⑤EF的最小值等于其中正確結(jié)論的序號(hào)是

【變式21-2］（24-25八年級(jí)?安徽?期末）如圖，矩形4BCD中，￡為8C邊的中點(diǎn)，沿。E對(duì)折矩形，使點(diǎn)C落

在。處，折痕為DE,延長(zhǎng)DC，交力B于點(diǎn)E連接8C，并延長(zhǎng)交4D于點(diǎn)G,連接CC，.給出以下結(jié)論：①四邊

形BEDG為平行四邊形；②乙EC'C=乙BC'F；③GC'=GD；④C'為BG的中點(diǎn).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【變式21-3X24-25八年級(jí)?吉林長(zhǎng)春?期末）知圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線4C、BD交于點(diǎn)0,AC=8,BD=6,

點(diǎn)、E、產(chǎn)分別在邊力B、CD上（點(diǎn)E不與A、B重合）.S.DEWBF,