章末綜合評(píng)價(jià)卷（六）圓

（時(shí)間：120分鐘滿分：120分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符

合題目要求）

1.如果一個(gè)圓的直徑是8cm,圓心到一條直線的距離也是8cm,那么這條直線

和這個(gè)圓的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相交C.相切D.不能確定

A圓的直徑為8cm,

圓的半徑為4cm,

*.*圓心到直線的距離為8cm,

??.圓的半徑〈圓心到直線的距離，

.?.直線與圓相離.

故選A.]

2.（2024?岱岳區(qū)期末）如圖，已知在。。中，3c是直徑，AB=DC,則下列結(jié)論

不一定成立的是（）

A.OA=OB=AB

B.ZAOB=ZCOD

C.AB=DC

D.。到A3、CD的距離相等

A['：AB=DC,

：.AB=DC,

，ZAOB=ZCOD,

'：OA=OB=OC=OD,

：.COD(SAS),

...0到A3、CD的距離相等，

所以B,C,D選項(xiàng)正確；

而。4=03,但不一定等于A3,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選A.］

3.［易錯(cuò)題］已知。。的直徑CD=10cm,A3是。。的弦,AB=8cm,且A3LCD,

垂足為M,則AC的長為()

A.2V5cmB.4V5cm

C.2V5cmgJc4V5cmD.2A/3cm或4舊cm

C［如圖，連接AC,AO,

11

/.AM=-AB=-X8=4(cm),0D=0C=5cm.

當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，

"：0A=5cm,AM=4cm,CD±AB,

：.0M=y/OA2-AM2-V52-42=3(cm),

CM=0C+0M=5+3=8(cm),

：.AC=yjAM2+CM2=V42+82=4V5(cm);

當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得0M=3cm,

V0C=5cm,

.,.MC=5-3=2(cm),

在RtAAMC中，AC=y/AM2+MC2=V42+22=2V5(cm).

故選C.］

4.［新考法］(2024?河北)扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國有著深

厚的底蘊(yùn).如圖，某折扇張開的角度為120。時(shí)，扇面面積為S,該折扇張開的角

度為廢時(shí)，扇面面積為S”，若加=羨，則機(jī)與〃關(guān)系的圖象大致是()

mm

C［設(shè)該扇子所在圓的半徑為R,

sc=-12-0--r-t-T?-2=—TCR2,

3603

??.7lR2=3S,

?.?該折扇張開的角度為廢時(shí)，扇面面積為Sn,

?s?=^^=—X3S=—

??n360360120’

二S

.?.m=S九—=12"0^=九——=——1n,

SS120120

'.m是〃的正比例函數(shù),

。心0,

??.它的圖象是過原點(diǎn)的一條射線.

故選C.]

5.（2024?濟(jì)寧）如圖，分別延長圓內(nèi)接四邊形A3CD的兩組對(duì)邊，延長線相交

于點(diǎn)E,F.若/石=54。4匕ZF=43°19,,則NA的度數(shù)為（）

A.42°B.41。20'

C.41°D.40。20,

C?四邊形A3CD是圓內(nèi)接四邊形，

/.ZA+ZBCD=180°,

ZCDF是△ADE的外角，

：.ZCDF=ZA+ZE,

,：ZBCD是ACDF的外角，

ZBCD=ZF+ZCDF,

：.ZBCD=ZF+ZA+ZE,

：.ZA+ZF+NA+ZE=180°,

A2ZA+ZF+ZE=180°,

VZE=54°4r,ZF=43°19,,

.,.2NA+43°19'+54°41'=180°,

ZA=41°.

故選C.］

6.［情境題］（2024?寧陽期末）中國高鐵的飛速發(fā)展，已成為中國現(xiàn)代化建設(shè)的重

要標(biāo)志.如圖是高鐵線路在轉(zhuǎn)向處所設(shè)計(jì)的圓曲線（即圓弧），高鐵列車在轉(zhuǎn)彎時(shí)

的曲線起點(diǎn)為A,曲線終點(diǎn)為3,過點(diǎn)A,3的兩條切線相交于點(diǎn)C,列車在從

A到5行駛的過程中轉(zhuǎn)角a為60。.若圓曲線的半徑OA=3km,則這段圓曲線

部的長為（）

圓心。

A.7ikmB.271km

C.371kmD.6nkm

A[VC4,CB是。。的切線，點(diǎn)A,點(diǎn)3是切點(diǎn),

：.CA±OA,CBLOB,

即NO4C=NO3C=90°,

VZa=60°,

/.ZACB=180°-60°=120°,

ZAOB=360°-120°-90°-90°=60°,

??.這段圓曲線翁的長為察薩=7i(km).

故選A.]

7.(2024?東平二模)如圖，將扇形OAB沿OB方向平移，使點(diǎn)0平移到OB的

中點(diǎn)。處，得到扇形O2E.若NAO3=90。，OA=2?則陰影部分的面積為

()

C.，+2v5D.7I+3A/3

B[如圖，設(shè)04與卷交于點(diǎn)T,連接0T,

,1點(diǎn)。是0B的中點(diǎn)，0B=0A=2W,

：.OO,=|(9B=V3,

0T=0B,

1

：.00'=k)T,

由平移的性質(zhì)，得/4。'3'=/4。3=90。，即/。。7=180。一/4。8'=90°,

nnr1

VcosZT00'=—OT=-2,

：.ZTOO'=60°,

：.0'T=00'?tanNTOO'=V^Xtan60°=3,ZA0T=ZAOB-ZTOO'=3Q°,

由平移的性質(zhì)，得S網(wǎng)彩+Si=S?+Si,

2

3°”(2

：.Smi)=S2=S^OAT+S^OO'T=網(wǎng)+1XV3X3=7l+—.

36022

故選B.]

8.題目：“如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,以點(diǎn)A為圓心，以

小于A3的長度為半徑作。A,P是OA上一點(diǎn)，連接3P.將線段3尸繞點(diǎn)3順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BP,連接PP.當(dāng)NAPB為何度數(shù)時(shí)，PP與。A相切，

切點(diǎn)為P?”對(duì)于其答案，甲答：ZAPB=135°,乙答：ZAPB=60°,丙答：ZAPB

=45°,則下列判斷正確的是（）

A.只有甲答的對(duì)

B.甲、丙答案合在一起才完整

C.乙、丙答案合在一起才完整

D.三人答案合在一起才完整

B［當(dāng)P在的左側(cè)時(shí)，如圖所示,

'：ZPBP'=90°,

：.ZBPP'=45°,

當(dāng)PP是。A的切線時(shí)，AP±PP',

：.ZAPP'=90°,

：.ZAPB=90o+45°=135°.

當(dāng)P在AB的右側(cè)時(shí)，

同理可得NBPP'=45°,

當(dāng)尸尸是。A的切線時(shí)，AP±PP',

：.ZAPP'=9Q°,

ZAPB=90o-45°=45°.

故選B.]

9.（2024?寧陽期中）如圖，在中，ZBCO=90°,ZCBO=30°,BO=

4cm,將△5C0繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△夕CO,點(diǎn)C在50的延長線上，則邊3C

掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積為（）

22

A.兀cm

2

C.4兀cmD.(4兀+遮)cn?

C「.?將△3C。繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△夕CO,ZOBC=30°,

??OC=OCr,/COC'=/BOB',OB=OBf=4-crn,S/\COB=S/\COB',

VZBCO=90°,NO5c=30。，

/.ZCOB=900-ZOBC=60°,OC=-OB=2cm,

...ZCOC=180°-zCOB=120°,

/.ZBOB,=120°,

...陰影部分的面積S=S^KBOB'~\'S^COB'-S扇號(hào)coc'-SACOB=S期矽BOB,-S扁號(hào)coc'=

22

120TTX4120HX216n—^=47r(cm2).

3603603

故選C.]

10.（2024?泰山期末）如圖，OM的半徑為4,圓心M的坐標(biāo)為（6,8）,點(diǎn)P是

0M上的任意一點(diǎn)，PA±PB,且以，尸3與x軸分別交于A,3兩點(diǎn)，若點(diǎn)A,

點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，則AB的最大值為（）

A.13B.14

C.12D.28

D[連接PO,

'JPALPB,

：.ZAPB=9Q°,

?.?點(diǎn)A,點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)0對(duì)稱，

：.AO=BO,

：.AB=2P0,

若栗使A3取得最大值，則P0需取得最大值，

連接0M,并延長交。〃于點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)尸位于P位置時(shí)，0P取得最大值，

過點(diǎn)M作MQLx軸于點(diǎn)Q,

則。。=6,MQ=8,

：.OM=10,

又,.?MP=r=4,

OP'=MO+MP'=10+4=14,

：.AB=2OP'=2X14=28.

故選D.]

二、填空題（本大題共6小題，滿分18分.只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對(duì)得

3分）

11.一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺

作如圖所示的測(cè)量，測(cè)得A3=12cm,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為

f［連接AC,

VZABC=90°,且NA3C是圓周角，

??.AC是圓形鏡面的直徑，

由勾股定理得

AC=7AB2+BC2-V122+52=13(cm),

所以圓形鏡面的半徑為當(dāng)cm.

故答案為上.］

2

12.［情境題］草鍋蓋，又名蓋頂，是一種以牛筋草、江邊草和斑茅草為原材料進(jìn)

行編織纏繞的云南特有的傳統(tǒng)草編工藝品.某興趣小組根據(jù)草鍋蓋的特征制作了

一個(gè)圓錐模型，并用測(cè)量工具測(cè)量其尺寸，如圖所示，由圖中的數(shù)據(jù)可知圓錐模

型的側(cè)面積為

20兀cn?［根據(jù)題意，圓錐的母線長為，32+42=5(cm),

所以該圓錐的側(cè)面積為|X8兀X5=207i(cm2).

故答案為2071cm2.］

13.［跨學(xué)科］(2024?蘭州)"輪動(dòng)發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋

戰(zhàn)國時(shí)期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型.圖2是模型驅(qū)動(dòng)部分的

示意圖，其中。QN的半徑分別是1cm和10cm,當(dāng)。M順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周

時(shí)，ON上的點(diǎn)P隨之旋轉(zhuǎn)相，則〃=.

S1圖2

108。A/的周長為271cm,

/.（DM順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)3周時(shí)，點(diǎn)尸移動(dòng)的弧長為6兀cm,

兀niixlO

??6180

解得幾=108.

故答案為108.]

14.（2024?泰山一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知。。經(jīng)過原點(diǎn)。與光

軸，y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2V3）,OC與。D交于點(diǎn)C,

Z0CA=3Q°,則圖中陰影部分的面積為.

271-2V3［連接A3,

ZAOB=90°,

...AB是直徑，

根據(jù)同弧對(duì)的圓周角相等得NOA4=NC=30。，

'JOB=2^,

：.OA=OB?tanZABO=OB?tan30°=2V3x—=2,AB=-^—=4,

3sm30°

即圓的半徑為2,

.??5四影=5半四一5448。=等—[*2*2百=2?！?百.

故答案為2R一2瓜]

15.（2024?泰安模擬）如圖，直線/與。。相切于點(diǎn)D,過圓心。作ER〃/交。。

于E,R兩點(diǎn)，點(diǎn)A是。。上一點(diǎn)，連接AE,AF,并分別延長交直線/于3,C

兩點(diǎn).若。。的半徑R=5,BD=12,則NAC3的正切值為.

|[連接OD,作EHLBC,垂足為H,如圖.

：ER為直徑,

NA=90°,

,?ZB+ZC=90°,ZB+ZBEH=90°,

ZBEH=ZC,

?直線/與。。相切于點(diǎn)D,

：.OD±BC,

而EHLBC,EF//BC,

...四邊形EHDO為正方形，

EH=OD=OE=HD=5,

：.BH=BD~HD=1,

在RtABEH中，tanZBEH=—=~,

EH5

7

/.tanNACB=-.

5

故答案為3]

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正六邊形ABCDER的中心與原點(diǎn)

O重合，AB//x軸，交y軸于點(diǎn)P.將△Q4P繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°,

則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

(-1,-V3)?正六邊形A3CDER的邊長為2,中心與原點(diǎn)。重合,軸,

：.AP=1,AO=2,NO必=90°,

：.OP=7A02-AP2=?

...第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（百，-1）,

第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,-V3）,

第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一百，1）,

第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,V3）,

A4次一個(gè)循環(huán)，

,.?2022+4=505...2,

.?.第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1,-V3）.

故答案為（-1,-V3）.J

三'解答題（本大題共5小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過

程或推演步驟）

17.（12分）如圖，已知A3是。。的直徑，C,。是。。上的點(diǎn)，OC〃BD,交AD

于點(diǎn)E,連接3C.

⑴求證：AE=ED；

(2)若A3=10,ZCBD=36°,求左的長.

［解］(1)證明：'..AB是。。的直徑，

/.NAD"90°,

OC//BD,

：.ZAEO=ZADB=9Q°,

即OSA。，

：.AE=ED.

(2)：OCLAD,

：.AC=CD,

：.ZABC=ZCBD=36°,

：.ZA0C=2ZABC=2X36°=72°,

：.AC=^^=2n.

180

18.(12分)蒙古包可以近似地看作由圓錐和圓柱組成.如果想用毛氈搭建20個(gè)

底面積為121n2,高為3.2m,外圍高為1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米的

毛氈(兀取3.142,結(jié)果取整數(shù))？

［解］如圖是一個(gè)蒙古包的示意圖.

根據(jù)題意，下部圓柱的底面積為12m2,高〃2=1.8m;上部圓錐的高歷=3.2—

1.8=1.4(m).

圓柱的底面圓的半徑廠=J五—1.954(m),

側(cè)面積為2TIX1.954X1,8^22.10(m2).

圓錐的母線長Z^V1.9542+1.42^2.404(m),

側(cè)面展開扇形的弧長為2兀X1.954弋12.28(m),

圓錐的側(cè)面積為［X2.404X12.28Q14.76(m2).

因此，搭建20個(gè)這樣的蒙古包至少需要毛氈20X(22.10+14,76)^738(m2).

19.(14分)如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。。，在靠上取一點(diǎn)E,連接AE,DE,

過點(diǎn)A作AGLAE,交。。于點(diǎn)G,交DE于點(diǎn)E連接CG,DG.

(1)求證：AAFD沿ACGD；

(2)若A3=2,NBAE=30。,求陰影部分的面積.

［解］⑴證明：'.?AGUE,

，NE4G=90°,

ZEDG=ZEAG=90°,

?四邊形A3CD是正方形，

：.AD=CD,ZADC=9Q°,

"：ZADF+ZFDC=ZCDG+ZFDC=90°,

/.ZADF=ZCDG,

在△ADR和△CDG中，

f^GAD=乙GCD,

IAD=CD,

{^ADF=乙CDG,

：.△ADR2△CDG(ASA).

(2)過點(diǎn)、D作DHLAG于點(diǎn)、H,連接。4,OD,

?四邊形ABC。是正方形,

11

?..ZBAD=9^,ZAGD=-ZAOD=-X90°=45°,

/.ZDAG+ZBAG=ZBAE+ZBAG=90°,

：.ZDAG=ZBAE=30°,

〈DHLAG,

：.ZDHG=90°,

：.△HDG和△DRG都是等腰直角三角形.

在RtZXADH中，ND4G=30。，

：

.DH=2-AD=2-X2=1,

AH=y/AD2-DH2=V3,

：.AG=AH+HG=V3+1,

DF=DG=42DH=42,

.,.5AADF=SAADG-5ADrc=jx(V3+l)X1-|xV2xV2=^i,

'：OA=OD,ZAOD=90°,

：.AAOD是等腰直角三角形,

：.0A=^AD=y/2,

2

cm

S弓形AD=S扇形A0￡>—S^AOD=9（短）1xV2XV2=——1,

36022

：.Smt,=SMDF+S引取AD=^+1

20.（16分）如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交3C于點(diǎn)D,

DELAC,垂足為E.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若NC=30。，CD=2V3,求助的長.

［解］(1)證明：連接。。，則。。=。3,

：.ZODB=ZB,

'：AB=AC,

：.ZC=ZB,

：.ZODB=ZC,

：.OD//AC,

,.?DELAC于點(diǎn)E,

：.ZODE=ZCED=9Q°,

是。。的半徑，DE±OD,

:.DE是。O的切線.

（2）連接AD,

'.'AB是。。的直徑，

AZADB=90°,：.AD±BC,

'：AB=AC,CD=243,

：.BD=CD=2y/3,

'：ZB=ZC=30°,

：.AD=BD?tan30°=2V3xy=2,

'：OD=OA,ZAOD=2ZB=6Q°,

??.△AOD是等邊