大題仿真卷01(A組+B組+C組)

(模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘)

艙----------A組.鞏固提升-----------?>

一、解答題

1.在直四棱柱4BCD-A耳G2中，底面ABCD是菱形，且==

(1)求證：直線82,AC；

(2)求二面角D.-AB-C的大小.

4

2.己知函數(shù)/'(x)=x——+a.

X

⑴證明函數(shù)y=/(元)在(-8,0)上嚴(yán)格增；

(2)若函數(shù)y=/(x)在定義域上為奇函數(shù)，求不等式/?>0的解集.

3.潛伏期是指已經(jīng)感染了某毒株，但未出現(xiàn)臨床癥狀和體征的一段時(shí)期，某毒株潛伏期做核酸檢測(cè)可能為

陰性，建議可以多做幾次核酸檢測(cè)，有助于明確診斷，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)某地1000名患者進(jìn)行了調(diào)查和統(tǒng)計(jì),

得到如下表：

潛伏期(天)[0,2]。，4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,14]

人數(shù)80210310250130155

⑴求這1000名患者的潛伏期的樣本平均值于；(精確到0.01天)

(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過(guò)6天為標(biāo)準(zhǔn)

進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判

斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).

潛伏期W6天潛伏期>6天總計(jì)

50歲以上(含50)150

50歲以下85

總計(jì)300

n(ad-be?

附：z2其中n=a+b+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸(二淮)0.150.100.050.0250.0100.005

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.879

22

4.雙曲線「:=-二=l(a>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳(-。,0)、7%(c,0)(c>0),過(guò)點(diǎn)用的直線/與T

ab

右支在X軸上方交于點(diǎn)A.

⑴若a=6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),求c的值;

(2)若Ag，￡區(qū),且a,b,c是等比數(shù)列，求證：直線/的斜率為定值；

⑶設(shè)直線/與「左支的交點(diǎn)為8,c=3,當(dāng)且僅當(dāng)。滿足什么條件時(shí)，存在直線/,使得I48RA工I成立.

5.設(shè)函數(shù)y=〃尤)的定義域?yàn)殚_區(qū)間/,若存在不",使得y=〃x)在x=%處的切線/與y=〃x)的圖像

只有唯一的公共點(diǎn)，則稱y=〃x)為“L函數(shù)”，切線/為一條“L切線”.

⑴判斷y=x-i是否是函數(shù)y=12的一條“心切線”，并說(shuō)明理由；

⑵設(shè)g(x)=e"-6x,求證：y=g(x)存在無(wú)窮多條“L切線”；

⑶設(shè)/(力=丁+加+1(?！从?lt;)求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)。和正數(shù)。，V=/(x)都是“L函數(shù)”

O----------------B組?能力強(qiáng)化----------?>

一、解答題

1.如圖，已知AB_L平面ACD,AB//DE,ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB,點(diǎn)尸為CD的中點(diǎn).

⑴求證：A尸〃平面BCE；

(2)求直線BF和平面ABC所成角的正弦值.

2.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+0)(0>0,0<°</)的周期為萬(wàn)，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,將函數(shù)/(x)

7T

圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖象向右平移萬(wàn)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

函數(shù)g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)，(x)與gO)的解析式；

⑵求證：存在使得/⑷，g(x0),/'(/"(x。)能按照某種順序成等差數(shù)列.

3.某芯片代工廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的芯片，為了解芯片的某項(xiàng)指標(biāo)，從這兩種芯片中各抽取100件進(jìn)行

檢測(cè)，獲得該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：

假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計(jì)總體，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)求頻率分布直方圖中x的值并估計(jì)乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表)；

(2)已知甲型芯片指標(biāo)在［80,100)為航天級(jí)芯片，乙型芯片指標(biāo)在［60,70)為航天為航天級(jí)芯片.現(xiàn)分別采用

分層抽樣的方式，從甲型芯片指標(biāo)在［70,90)內(nèi)取2件，乙型芯片指標(biāo)在［50,70)內(nèi)取4件，再?gòu)倪@6件中任

取2件，求至少有一件為航天級(jí)芯片的概率.

4.如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，則稱它們?yōu)椤肮草S”曲線.若雙曲線與橢

圓G是“共軸”曲線，且橢圓J1+，=1(0<6<3),%2=手(6、e2分別為曲線C］、g的離心率).己

知點(diǎn)"(1,0),點(diǎn)尸為雙曲線C1上任意一點(diǎn).

⑴求雙曲線的方程；

(2)延長(zhǎng)線段到點(diǎn)Q,S.\PM\=2\MQ\,若點(diǎn)Q在橢圓Q上，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)尸在雙曲線的右支上，點(diǎn)A、8分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線交雙曲線的左支于點(diǎn)R,

直線AP、骸的斜率分別為第八kBR.是否存在實(shí)數(shù)力，使得七戶=力凝員？若存在，求出4的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.函數(shù)y=〃x)的定義域?yàn)椤?，在。上僅有一個(gè)極值點(diǎn)%,方程/(x)=0在。上僅有兩解，分別為4、x2,

且不</<當(dāng).若五產(chǎn)>修，則稱函數(shù)y=在。上的極值點(diǎn)左偏移；若七三<%,則稱函數(shù)y=

在。上的極值點(diǎn)右偏移.

(1)設(shè)/(x)=f-1,D=R,判斷函數(shù)y=/G)在。上的極值點(diǎn)是否左偏移或右偏移？

⑵設(shè)m>0且Miwl,f{x)=^-nv<^-x+m,D=(0,+oo),求證：函數(shù)y=在。上的極值點(diǎn)右偏移；

(3)設(shè)aeR,f(x)=lnx-ax,D=(0,+^),求證：當(dāng)0<”e一時(shí)，函數(shù)y=/(x)在。上的極值點(diǎn)左偏移.

o---------------C組?高分突破-----------O

一、解答題

1.如圖，在圓柱中，底面直徑A3等于母線AD,點(diǎn)E在底面的圓周上，且AF1DE，尸是垂足.

⑴求證：AF±DB；

(2)若圓柱與三棱錐0-4狙的體積的比等于3n,求直線DE與平面ABD所成角的大小.

2.已知函數(shù)y=f(無(wú))，其中〃x)=sinx.

⑴求/卜-：)=/在xe[0,句上的解；

⑵己知g(x)=6/(x)/"?-〃x)〃x+7i),若關(guān)于x的方程g(x)-加=；在口0卷時(shí)有解，求實(shí)數(shù)相

的取值范圍.

3.某保險(xiǎn)公司為了了解該公司某種保險(xiǎn)產(chǎn)品的索賠情況，從合同險(xiǎn)期限屆滿的保單中隨機(jī)抽取1000份，

記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數(shù)據(jù)如下表：

賠償次數(shù)01234

單數(shù)800100603010

假設(shè)：一份保單的保費(fèi)為04萬(wàn)元；前3次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司每次賠償0.8萬(wàn)元；第四次索賠時(shí)，保險(xiǎn)公司

賠償0.6萬(wàn)元.假設(shè)不同保單的索賠次數(shù)相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.

(1)估計(jì)一份保單索賠次數(shù)不少于2的概率；

(2)一份保單的毛利潤(rùn)定義為這份保單的保費(fèi)與賠償總金額之差.

(i)記X為一份保單的毛利潤(rùn)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望同X]；

(ii)如果無(wú)索賠的保單的保費(fèi)減少4%,有索賠的保單的保費(fèi)增加20%,試比較這種情況下一份保單毛利

潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望估計(jì)值與(i)中E[X]估計(jì)值的大小.

4.已知曲線C：(3-2m2)x2-4mj2=4(meR).

⑴若曲線C為雙曲線，且漸近線方程為y=±#x,求曲線C的離心率；

(2)若曲線c為橢圓，且尸“，呼］在曲線C上.過(guò)原點(diǎn)且斜率存在的直線乙和直線(4與4不重合)與橢圓C

分別交于G,H兩點(diǎn)和。，E兩點(diǎn)，且點(diǎn)尸滿足到直線4和乙的距離都等于與，求直線4和4的斜率之積；

(3)若根=-1,過(guò)點(diǎn)4(0,—1)的直線與直線、=-2交于點(diǎn)“，與橢圓交于8,點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,

直線AC交直線丫=-2交于點(diǎn)N,求的最小值.

5.對(duì)于一個(gè)各項(xiàng)非零的等差數(shù)列｛4“｝,若能從中選出第尢次2,…，幺(尢<《<…<%”)項(xiàng)，能構(gòu)成一個(gè)等比

數(shù)列｛￡｝,則稱｛2｝為｛%｝的“等比子列”.若此“等比子歹U”具有無(wú)窮項(xiàng)，則稱其為“完美等比子列”.

⑴若數(shù)列%=2〃，”>0,〃eN,直接寫出3個(gè)符合條件的“等比子列”，其中1個(gè)必須為“完美等比子列”.

(2)對(duì)于數(shù)列見(jiàn)=3"-1,w>0,weN,猜想他是否存在“完美等比子列”，如果存在，請(qǐng)寫出一個(gè)并證明；如

果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)證明：各項(xiàng)非零的等差數(shù)列｛4｝中存在“等比子列”的充要條件是數(shù)列&｝滿足4=配"為公差，

左￡Q,左w0).

大題仿真卷01(A組+B組+C組)

(模式：5道解答題滿分：78分限時(shí)：70分鐘)

?>-------A組.鞏固提升----------O

一、解答題

1.在直四棱柱ABC。-ABG2中，底面是菱形，且48=80=44).

(1)求證：直線22,AC；

⑵求二面角2-AB-C的大小.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)arccos^^

7

【分析】(1)根據(jù)底面ASCD是菱形可得出對(duì)角線垂直，結(jié)合直四棱柱的特點(diǎn)可得到，AC,由線面垂

直的判定定理以及性質(zhì)定理可證明結(jié)果；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量法計(jì)算可求出結(jié)果.

【解析】(1)解：.?底面ABC。是菱形，.?.ACL8。，

又因?yàn)樗睦庵鵄BCO-AAGA為直四棱柱，所以，底面ABCD,

ACu底面ABC。，ADD}1AC,DDqBD=D,u平面。RB

,所以AC,平面，Bu平面r)RB,.^.BA，AC.得證.

(2)取BC中點(diǎn)E,=且底面ABC。是菱形，則。EJ_3C,

以。為原點(diǎn)，D4為x軸，DE為>軸，。2為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖:

則不妨設(shè)4(1,0,0),B-,^-,0,C--,^-,0,(0,0,1)

7\7

r?A=(l,0,-l),AB=設(shè)平面ABDI的法向量記=(x,y,z),則

22

7

x-z=0

16，令y=l,得加=(后1,6卜

—xH---y=0

I22,

平面ABC的法向量為n=（0,0,1）,

所以二面角D.-AB-C的平面角的余弦值為：cos。=/6=叵，

V3+3+17

所以二面角2-AB-C的大小為arccos叵.

7

4

2.已知函數(shù)/（犬）=x——+a.

x

⑴證明函數(shù)y=/（元）在（-*0）上嚴(yán)格增；

⑵若函數(shù)y=/（x）在定義域上為奇函數(shù)，求不等式/?>o的解集.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）（-2,0）一（2,向

【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明即得；

（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出。值，再求出方程/5）=。的解，分別利用函數(shù)在（-8,0）和（。,+◎上的單調(diào)性

即可求得不等式的解集.

4

【解析】（1）因F（X）=X——+Q,任取%,%2￡（-8，。），且玉<%2，

X

44

由/（須）一/（%）=%----\-a-｛x2------\-d）

xxx2

/、4(%-%)/、/14、

二(王一%2)-)---------={xi—x2)(1H-----),

XxX2玉％2

4

因％<%2<0,則%—工2<0，1+7T>°'故/（石）一/（%2）<。，

即/0）</（%）.

故函數(shù)y=/（%）在（-8,0）上嚴(yán)格增；

（2）因?yàn)楹瘮?shù)〃x）在定義域｛巾*0｝上為奇函數(shù)，貝U/（T）=—〃x）,

44

所1以—XH----F。=—XH------a.

X%

所以2〃=0,即a=0,

4

所以/(%)=%——，

X

由了（尤）＞0得：x--＞0,即（x"）（x+2）＞0,

X尤

f%>o?r%<o?

所以4或4

[(冗-2)(%+2)>0-[(x-2)(x+2)<0

解得x>2或一2vxv0,

所以不等式〃x）＞0的解集為（—2,0）一（2,”）.

3.潛伏期是指己經(jīng)感染了某毒株，但未出現(xiàn)臨床癥狀和體征的一段時(shí)期，某毒株潛伏期做核酸檢測(cè)可能為

陰性，建議可以多做幾次核酸檢測(cè)，有助于明確診斷，某研究機(jī)構(gòu)對(duì)某地1000名患者進(jìn)行了調(diào)查和統(tǒng)計(jì),

得到如下表:

潛伏期（天）[0,2]（2，川(4,6]（6網(wǎng)(8,10](10,12](12,14]

人數(shù)80210310250130155

⑴求這1000名患者的潛伏期的樣本平均值于；（精確到0.01天）

（2）該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關(guān)系，以潛伏期是否超過(guò)6天為標(biāo)準(zhǔn)

進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判

斷是否有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).

潛伏期W6天潛伏期＞6天總計(jì)

50歲以上（含50）150

50歲以下85

總計(jì)300

2n(ad—bc￥,

附：/=(。+力(c+d)(a+c)3+d)’其中1

尸即）0.150.100.050.0250.0100.005

2.0722.7063.8415.0246.6357.879

【答案］⑴5.41天

（2）列聯(lián)表見(jiàn)詳解，沒(méi)有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān)

【分析】(1)根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)的計(jì)算公式運(yùn)算求解；

(2)根據(jù)題意結(jié)合分層抽樣求各層人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全列聯(lián)表，計(jì)算％2,并與臨界值對(duì)比分析.

【解析】(1)由題意可得：

潛伏期(天)[0,2](2,4](4,6](6，可(8,10](10,12](12,14]

人數(shù)80210310250130155

頻率0.080.210.310.250.130.0150.005

所以樣本平均值元=1x0.08+3x0.21+5x0.31+7x0.25+9x0.13+11x0.015+13x0.005=5.41(天)

(2)由(1)可知：潛伏期W6天與潛伏期＞6天的比例為600:400=3:2,

32

則抽取的潛伏期W6天的人數(shù)為gx300=180,潛伏期>6天的人數(shù)為yx300=120,

所以列聯(lián)表為

潛伏期W6天潛伏期>6天總計(jì)

50歲以上(含50)9555150

50歲以下8565150

總計(jì)180120300

可…喘器「

所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為潛伏期與患者年齡有關(guān).

22

4.雙曲線r：=-二=i(a>o*>0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳(―c,o)、月(c,。)(c>o),過(guò)點(diǎn)々的直線/與r

ab

右支在X軸上方交于點(diǎn)A.

⑴若a=6,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4),求c的值；

⑵若工，且。，瓦c是等比數(shù)列，求證：直線/的斜率為定值；

⑶設(shè)直線/與「左支的交點(diǎn)為8,c=3,當(dāng)且僅當(dāng)。滿足什么條件時(shí)，存在直線/,使得IA3RA耳I成立.

【答案】(1)5

(2)證明見(jiàn)解析

(3)ae(1,j)

【分析】(1)將。值和點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程求出力值，即可求得。值；

(2)設(shè)直線/：y=Mx+c),與雙曲線方程聯(lián)立消元y,得關(guān)于龍的方程，依題方程有解為。，代入整理方程

后,借助于"四可推得心；，即得證;

（3）利用雙曲線定義化簡(jiǎn)IAB1=1AB|得至U|B不|=2a,居|=4a,設(shè)加冉=。,利用余弦定理求出cos。

的值，結(jié)合圖形和題意，確定其范圍，即得關(guān)于。的不等式，解之即得.

_22

【解析】（1）依題意，將々=有，彳=3,，=4代入「：.一斗=1中，

解得加=20,則c=yja2+b2=5；

FtO\F2x

整理得：（62_°2左2比2-2/"2尤_次；2左2_4262=0（*）,

如圖，因A&_L￡瑪，故點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為C恰是方程（*）的解，

則（匕2-）02-2a2c2左2--”2匕2=0,

整理得：b2c2-4a2c2k2-a2b2=Q,即4a2c2/=〃，

因a,b,c是等比數(shù)列，則代入此式，可得4a2c2左2=即得及2=。，

4

因過(guò)點(diǎn)片的直線/與r右支在x軸上方交于點(diǎn)A,故得K=；,即直線/的斜率為定值;

（3）

如圖，因點(diǎn)A在雙曲線右支上，則|4片|-|48|=2°,即|A工因占么|-2a,

故由|A3|=||可得|A￡|-1AB|=|8月|=2〃，

又因點(diǎn)3直線/與「左支的交點(diǎn)，故IB居IT圻;1=2。，則因紜|=4a,

在48片心中，設(shè)/2片區(qū)=。，由余弦定理，cosO=4c~+4〃T6a2=20、-36=上一區(qū),

2x2cx2a2ac2a2

因?yàn)閠ane<2,l>cos6>0=@,所以1>巨一？>@,

ac32〃23

所以l<a〈拽，

5

故當(dāng)且僅當(dāng)。滿足ae(l,羋)時(shí)，存在直線/，使得IA81=1A8I成立.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于難題.

解題的關(guān)鍵在于對(duì)雙曲線定義的理解掌握，在處理［40=|4乙1相關(guān)的焦半徑問(wèn)題時(shí)，要有轉(zhuǎn)化思想，結(jié)合

圖形和定義，將其化簡(jiǎn)為常量或最值問(wèn)題，即可解決.

5.設(shè)函數(shù)y=〃x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間/,若存在使得y=〃力在x=x。處的切線/與y=〃尤)的圖像

只有唯一的公共點(diǎn)，則稱y=/(x)為“L函數(shù)”，切線/為一條“L切線”.

⑴判斷y=x-i是否是函數(shù)'=1四的一條“L切線”，并說(shuō)明理由；

⑵設(shè)g(x)=e2,6x,求證：y=g(x)存在無(wú)窮多條“L切線”；

⑶設(shè)+加+l(o<x<c),求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a和正數(shù)c,y=/(x)都是“L函數(shù)”

【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)記/(x)Ti?，設(shè)切點(diǎn)為a』nxj,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出XI,再證明直線y=x-l與/⑺=lnr

的圖象只有唯一的公共點(diǎn)，將丫=了-1與函數(shù)、=向聯(lián)立，得lnxr+l=0,記〃(x)=lnx-x+l,利用導(dǎo)數(shù)

說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解.

(2)將點(diǎn)(%化(%2))處的切線/的方程與y=g(x)聯(lián)立得g(x)-g(x2)=g'(切(X-*2)，記

，

//(A：)=g(^)-g(X2)-g(A2)(X-X2),利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)〃(%)存在唯一零點(diǎn)X2，即可得證；

(3)類似第(2)問(wèn)的思路得到(x-%)2(x+2%+a)=0在(0,c)上有且僅有一解%,則%=一2%一ae(0,c)或

J%e(O,c)

再分。20、a<0兩種情況說(shuō)明即可.

[-2x?-ag(0,c),

【解析】(1)記/(“=欣，則尸(x)=1,設(shè)切點(diǎn)為a』nxj,

由切線方程為y=x-i知/(為)=1,則一=1,解得占=1.

玉

所以切點(diǎn)為(1,0),下面證明直線y=x-l與〃x)=lnx的圖象只有唯一的公共點(diǎn),

將丁二%一1與函數(shù)y=hu：聯(lián)立，得lnX—x+l=0.

記〃(x)=lnx-x+l,貝！|w'(x)=工_1,

當(dāng)xe(0,1)時(shí)〃'(尤)>0,當(dāng)無(wú)e(l,+<?)時(shí)n,(x)<0,

故”(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,y)上單調(diào)遞減，“⑺1mx=〃(1)=0,

故函數(shù)〃(x)=lnx-x+1只有一個(gè)零點(diǎn)x=l,故y=xT是一條“L切線”；

(2)因?yàn)間(x)=e"-6x,所以g'(x)=2e2*-6,

則點(diǎn)(々送(々))處的切線/方程為〉一8(々)=8'(々乂彳-32),

將點(diǎn)(和g(%))處的切線/的方程與V=g(x)聯(lián)立得g(x)-g(X2)=g'(X2Xx-X2)，

記/?(尤)=g(尤)-g(%2)-g，(龍2乂了-々)，

則直線/為“L切線”。函數(shù)網(wǎng)力有且僅有一個(gè)零點(diǎn)Z(此時(shí)，一個(gè)Z對(duì)應(yīng)一條“切線”)，顯然馬是耳⑺的

零點(diǎn)，

,

故只要M可沒(méi)其它零點(diǎn),此時(shí)〃(x)=g(x)-g'(x2)=Ze?*-2e?也，

當(dāng)力<跖時(shí)，〃(力<0,當(dāng)x>Z時(shí)，hr(x)>0,

則/?(%)在(-00,無(wú)2)上單調(diào)遞減，在(々,W)上單調(diào)遞增，

故此時(shí)Z為網(wǎng)力唯一的極小值點(diǎn)(也是最小值點(diǎn))，而立(%)=0,

故/?(可無(wú)其他零點(diǎn)，故直線/為“L切線”，因?yàn)閄2的任意性，

故函數(shù)y=g(尤)存在無(wú)窮多條“L切線”，

(3)因?yàn)?'(力=/+62+1(彳€(0,(?)),則r(x)=3x2+2ox,

設(shè)點(diǎn)。(%,%)在函數(shù)〉=/(力的圖象上，

則點(diǎn)。的切線為/：y-f(x0)=f(xQ)(x-xn),與y=/(x)聯(lián)立得:

f(x)-f(x0)=f(x0)(x-x0)

o(x3+ax2―尤；—or；)=(3x；+2-())(尤_*0)

o(x—%)(爐+XOX+J^+辦+辦。)=(3君+2曲)(%一而)

o(x—%)優(yōu)+x0x—2x^+6一空)=0o(x—尤。)?(尤+2/+a)=0(*),

由題意得直線/為“L切線”，故方程(*)在(0,c)上有且僅有一解七,

則與=必。-"(0?或［:吧(0?,

若。20,則x0e(O,c)是方程(*)的唯一解(此時(shí)有無(wú)數(shù)條“L切線”，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為(O,c)上的任意值).

若a<0,貝43(此時(shí)只有一條切線”，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-￡)

卜。一a3

0<c<-—,、

或3(此時(shí)有無(wú)數(shù)條“L切線”，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為(O,c)上的任意值)，

xoe(O,C)

綜上，awR,即證.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于新定義問(wèn)題的關(guān)鍵是理解定義，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有唯一解問(wèn)題.

O----------------B組?能力強(qiáng)化----------?>

一、解答題

1.如圖，已知AB_L平面ACD,AB//DE,ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB,點(diǎn)尸為CD的中點(diǎn).

⑴求證：4斤//平面3CE；

(2)求直線BF和平面ABC所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】⑴設(shè)">=DE=24?=2?,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-邙，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出”=；(BE+BC),

結(jié)合線面平行判定定理即可得結(jié)論；

(2)確定平面ABC的一個(gè)法向量”，利用8歹和”的夾角求解即可.

【解析】(1)因?yàn)槠矫鍭C。，ABUDE,ACE>為等邊三角形，

設(shè)A￡>=Z>E=2AB=2?,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4-孫Z,

則A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,6a,0),E(a,6a,2a)，

方為CD的中點(diǎn)，..30見(jiàn)斗。,金)，

AF=(|a,qa,0),BE=(a,y/3a,a),BC=(2a,0,-a),

AF=1(BE+BC),AFC平面BCE,

，AF〃平面3CE\

(2)又力=(o』,o)是y軸上的單位向量，則其是平面ABC的一個(gè)法向量，

因?yàn)?尸=ga,ga,-a)，設(shè)即和平面BCE1所成的角為。，

BF\-\n\2axi4

直線即和平面ABC所成角的正弦值為也.

4

2.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+e)(。＞0,。＜。＜萬(wàn))的周期為萬(wàn)，圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為將函數(shù)f(x)

7T

圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得到的圖象向右平移萬(wàn)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

函數(shù)9(久)的圖象.

(1)求函數(shù)/(?與gO)的解析式；

⑵求證：存在不€院,口，使得/⑷，g(x0),能按照某種順序成等差數(shù)列.

【答案】(1)f(x)=cos2x；g(x)=sinx；(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由周期公式可得。，。＞0,再由對(duì)稱中心可得。值，可得/(x)解析式，由函數(shù)圖象變換和誘

導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得；

(7T7T\(7171\

(2)當(dāng)xw［%?，］J時(shí)sinx＞cos2x＞sinx.cos2x,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sin無(wú)+sinx?cos2尤在［77J內(nèi)

是否有解，由函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得.

【解析】解：(1)■.函數(shù)〃x)=sin(Ox+0)的周期為萬(wàn)，?＞0,

271c

/.co——=2,

T

又曲線y=的一個(gè)對(duì)稱中心為匕，o),好(。㈤，

sin（2x?+eJ=0,可得e=/（^）=cos2x,

將函數(shù)了（無(wú)）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）后可得y=cosx的圖象,

再將產(chǎn)COSX的圖象向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）=cos3的圖象，

由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得g（x）=sinx；

(2)當(dāng)時(shí),—<sinx<,0<cos2_r<，,

164j222

sinx>cos2x>sinx?cos2x,

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sin尤+sin尤?cos2x在內(nèi)是否有解.

717t

X,XG

64

QG￡|=-：＜0,G⑵=［＞O,且函數(shù)G（x）的圖象連續(xù)不斷,

/、7171\

函數(shù)G（x）在內(nèi)存在零點(diǎn)％0,

7171

即存在吃e77,使得/（%）,g"。），/（飛）超（飛）能按照某種順序成等差數(shù)列.

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換,第二個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程2cos2x=sinx+sinx-cos2x在內(nèi)是否

有解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題.

3.某芯片代工廠生產(chǎn)甲、乙兩種型號(hào)的芯片，為了解芯片的某項(xiàng)指標(biāo)，從這兩種芯片中各抽取100件進(jìn)行

檢測(cè)，獲得該項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖，如圖所示：

假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以樣本估計(jì)總體，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

（1）求頻率分布直方圖中x的值并估計(jì)乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表）；

（2）已知甲型芯片指標(biāo)在［80,100）為航天級(jí)芯片，乙型芯片指標(biāo)在［60,70）為航天為航天級(jí)芯片.現(xiàn)分別采用

分層抽樣的方式，從甲型芯片指標(biāo)在［70,90）內(nèi)取2件，乙型芯片指標(biāo)在［50,70）內(nèi)取4件，再?gòu)倪@6件中任

取2件，求至少有一件為航天級(jí)芯片的概率.

【答案】⑴x=0Q20,x=47.

⑵尸⑷=］.

【分析】（1）由頻率和為1求出x得值，根據(jù)平均數(shù)公式求出平均值.

（2）根據(jù)條件列舉樣本容量和樣本點(diǎn)的方法，列式求解.

【解析】（1）由題意得10義（0.002+0.005+0.023+0.025+0.025+尤）=1,解得x=0.020.

由頻率分布直方圖得乙型芯片該項(xiàng)指標(biāo)的平均值：

元=（25x0.002+35x0.026+45x0.032+55x0.030+65x0.010）x10=47.

（2）根據(jù)分層抽樣得，來(lái)自甲型芯片指標(biāo)在［70,80）和［80,90）的各1件，分別記為A和

來(lái)自甲型芯片指標(biāo)在［50,60）和［60,70）分別為3件和1件，分別記為G，G，G和。，

從中任取2件，樣本空間可記為。=｛（A,8）,（A,CJ,（A，G），（A,C3）,（A,。），（3,q）,

（BC）,（B,C3）,（3,。），（q,c2）,（G，G），（G，D）,（G，G）,（C2,D）,（G。）｝共15個(gè)，

記事件E：至少有一件為航天級(jí)芯片，則E=｛（A⑻，（A。），（8，G）,（B,C2）,（B,C3）,

（q,D）,（C2,D）,（C3,。）｝共9個(gè),

Q3

所以尸（身=行=手

4.如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，則稱它們?yōu)椤肮草S”曲線.若雙曲線C1與橢

圓G是“共軸”曲線，且橢圓c?：）+捺=1（0<6<3）,%2=殍（6、e?分別為曲線CI、g的離心率）.已

知點(diǎn)”（1,0）,點(diǎn)尸為雙曲線G上任意一點(diǎn).

⑴求雙曲線G的方程；

⑵延長(zhǎng)線段9到點(diǎn)Q,且⑷=2|MQ|,若點(diǎn)。在橢圓G上，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)尸在雙曲線C1的右支上，點(diǎn)4、B分別為雙曲線C1的左、右頂點(diǎn)，直線交雙曲線的左支于點(diǎn)R,

直線AP、BR的斜率分別為第八kBR.是否存在實(shí)數(shù)4,使得七；）=成段？若存在，求出力的值；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】

⑵（6,一⑹或（6,⑹或（3,0）

（3）當(dāng)尸、3重合時(shí)，2eR；當(dāng)尸、3不重合時(shí)，存在實(shí)數(shù)2=；,使得您.理由見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)“共軸”曲線定義，直接列式計(jì)算可得答案;

(2)設(shè)網(wǎng)百,％),。(孫％),由PM=2|MQ|,可得％=曹，%=，代入方程與G方程聯(lián)立，即

可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)討論當(dāng)P、8重合時(shí)，ZeR；P、3不重合時(shí)，設(shè)出直線PR的方程為尤=9+1,與雙曲線方程聯(lián)立，

消元后利用韋達(dá)定理進(jìn)行消參，進(jìn)而證明其比值為定值.

22

【解析】(1)根據(jù)題意雙曲線C2：n=l(O<6<3),

因?yàn)槿?正弓匹及一撞，解得以1,

339

雙曲線G的方程為。-丁=1；

(2)

22

21

由(1)知，G：■——y=1,C2:—+y=1,

設(shè)尸(%,%),。(肛％),

已知M(1,0),又1PMl=2|MQ|,

所以%=一;M>

由點(diǎn)。在橢圓G上，則

又點(diǎn)P為雙曲線Ci上任意一點(diǎn)，則'-才=1,

玉二6

聯(lián)立,解得<

>=±若

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為儀,-⑹或(6,⑹或(3,0)；

(3)當(dāng)尸、5重合時(shí)，2eR；當(dāng)尸、8不重合時(shí)，存在實(shí)數(shù)彳=；,使得理由如下,

當(dāng)P、5重合時(shí)，由題意上以=。，貝1JKP=。，則

當(dāng)尸、5不重合時(shí)，原"。，設(shè)直線尸穴的方程為芯=0+1,P(石,％),尺(七,%)，

x=ty+l

因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±j,

又直線尸”交雙曲線的左支于點(diǎn)凡右支于點(diǎn)P,所以te(-3,3),

由韋達(dá)定理得，%+%=，、，%%=言:，

XX

所以七網(wǎng)+3》+4X)①一2。通2%

kBR%%%+4%+4%

退-3ty2一2

—St-/、

二小-2%-8_2%92_9):1：,七

/￡+4、2￡]_16_4%(/-9)2'

t2-91』-9-'；

所以存在實(shí)數(shù)2=；,使得七P=g%BR.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題的解題思路是理解題目定義，求出雙曲線方程，根據(jù)定點(diǎn)位置合理設(shè)出直線的方

程形式，再利用直線與雙曲線的位置關(guān)系得到韋達(dá)定理，然后利用斜率公式代入消元，即可判斷是否為定

值.

5.函數(shù)y=〃x)的定義域?yàn)?。，在。上僅有一個(gè)極值點(diǎn)%,方程/(x)=0在O上僅有兩解，分別為4、x2,

且不＜/＜%.若"運(yùn)＞修，則稱函數(shù)y=〃x)在。上的極值點(diǎn)左偏移；若七三＜/，則稱函數(shù)y=

在。上的極值點(diǎn)右偏移.

⑴設(shè)“x)=f-1,O=R,判斷函數(shù)y=〃”在D上的極值點(diǎn)是否左偏移或右偏移？

J

⑵設(shè)根＞0且V1,f[x)=x1-m^-xrm,E＞=(0,+oo),求證：函數(shù)y=/(x)在。上的極值點(diǎn)右偏移；

(3)設(shè)acR,f{x)=\nx-ax,D=(0,+oo),求證：當(dāng)0＜“＜6一時(shí)，函數(shù)y=/(x)在。上的極值點(diǎn)左偏移.

【答案】(1)函數(shù)y=/(x)在。上的極值點(diǎn)不偏移

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)先求〃尤)=。的根及〃司=犬-1的極值點(diǎn)，再根據(jù)題設(shè)定義，即可求解；

(2)先求〃x)=0的根，對(duì)f(x)求導(dǎo)，得到尸(x)=3f一2如-1,通過(guò)計(jì)算得到廣[五1迄]＜0,再利用

二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

(3)設(shè)〃x)=0的兩個(gè)零點(diǎn)為七,馬，根據(jù)條件得到。＜玉＜e＜無(wú)再構(gòu)造函數(shù)

2722/、

g(x)=/(x)-/(-—x)=lnx-ax-ln(--x)+a(—一尤)，利用函數(shù)的單調(diào)性，得到/(--%)>/(尤?)，即可求

aaaa

解.

【解析】(1)由/(力=/—1=。，得到V=l,所以占=-1,%=1,

又/'(x)=2x,由/'(x)=2x=0,得到x=0,又當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)=2x<0,當(dāng)x>0時(shí)，/'(x)=2x>0,

所以〃力=幺一1只有一個(gè)極值點(diǎn)，且極值點(diǎn)為%=0,此時(shí)％

所以函數(shù)y=/(x)在。上的極值點(diǎn)不偏移.

(2)因?yàn)?-%+帆=彳2(彳一㈤一。-神戶原一/找)(x—l)(x+l),機(jī)>0且相力1,￡)=(0,+oo),

由/(%)=。，得到%=1,々=加或玉=加，％2=1，則%+%2=m+1>。，

又/'(%)=3%2-2mx—1,A=4m2+12>0,貝!J/'(6=3/一2如一1=。有兩本艮，

_2m1

不妨設(shè)為,1，，2，且4<12，又％+[2=-^~>。，柩2=-]<。，所以。<。</2，

又工?0,力2)時(shí)，/'(%)<。，]￡(,2,收)時(shí)，/'(%)>。，所以函數(shù)y=/(x)在。上只有一個(gè)極值點(diǎn)與，且/=%

又《宥卜”卜"一』次+*》*-代。,

所以與三<才2=/，故函數(shù),在。上的極值點(diǎn)右偏移.

(3)由題知,f\x)=--a,fr(x}=--a=0,得到x=L

xa

當(dāng)時(shí)，f'(x)>0,當(dāng)xe口,+f時(shí)，fr(x)<0,所以工=，是/(x)=lnx-or的極值點(diǎn)，

ClJIClJCL

且f(x)在區(qū)間(o,上單調(diào)遞增，在區(qū)間[，+j上單調(diào)遞減，

又/(x())=/d)=lnL_l>0,x.0時(shí)，“力—_oo,Xf+8時(shí)，/⑺―_oo,/(e)=lne-ae=l-ae>0,

則〃x)=0有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為冷馬，且尤1</，所以0Vxi<e<%=:<%，/(為)=/(%)，

2222

令g(x)=/(x)-/(——x)=\nx-ax-ln(——X)+Q(——x)(0<x<—

a

貝Ug'(x)=工

恒成立,

X

所以g(無(wú))=

i2/、2

所以g(_)>g(xj，即―-々)=/(%)-/(—一元1),

dd

2211

故/(---須)又---X\>=—,X>X=—

aaa2oa9

,,2,i=tk/1%[x+x

故一一石<%2，得到一<-，即nrl玉)V”}工?，

aa22

所以當(dāng)0<a<eT時(shí)，函數(shù)y=/(x)在。上的極值點(diǎn)左偏移.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)考查極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，解決極值點(diǎn)偏移的主要方法有:

1.構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)；

2.比值換元；

3.對(duì)數(shù)平均不等式.

o-----------c組?高分突破-----------?>

一、解答題

1.如圖，在圓柱中，底面直徑A8等于母線AD,點(diǎn)E在底面的圓周上，且AFLDE,F是垂足.

E

(1)求證：AF±DB；

(2)若圓柱與三棱錐O-ABE的體積的比等于3n,求直線DE與平面所成角的大小.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)arctang

【分析】(1)根據(jù)題意，證得EBJL平面D4E,得到EB_LAF,結(jié)合AF1DE，證得AF_L平面DEB,進(jìn)而

證得AF_LDB；

(2)過(guò)點(diǎn)E作EH_LAB,證得平面ABD,得到NEDH是。E與平面所成的角，設(shè)圓柱的底面

半徑為R,求得心力_研=3兀，進(jìn)而求得NEDH的值.

【解析】(1)證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，ZM_L平面W,

因?yàn)镋Bu平面W,所以ZM_L座，

又因?yàn)锳B是圓柱底面的直徑，點(diǎn)E在圓周上，所以

因?yàn)锳EcD4=A且平面DAE,所以E3_L平面DAE,

又因?yàn)锳Fu平面。AE,所以EB_LAF,

因?yàn)锳F1DE,且￡BIDE=E,且EB,OEu平面BEB,所以AF_L平面DEB,

又因?yàn)閆)Bu平面DEB,所以AF_LD3.

(2)解:過(guò)點(diǎn)E作EHLAB,H是垂足，連接

根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面平面ABE,且平面ABDc平面旗上=帥，

且EHu平面ABE,所以E〃J_平面ABD,

因?yàn)镈Hu平面A3D,所以是ED在平面ABD上的射影，

從而ZEDH是Z)E與平面ABD所成的角，

設(shè)圓柱的底面半徑為R,貝!]D4=M=2R,

1OR2

所以圓柱的體積為丫=2版,且VD_ABE=-AD-SABE=--EH,

由V：%-ABE=3無(wú)，可得EH=R,可知H是圓柱底面的圓心，且AH=R，

J1DH=VOA2+AH2=下R,

在直角_￡D”中，可得tan/EZ汨=必=苴，所以NEOH=arctan好.

DH55

2.已知函數(shù)y=f(x),其中〃x)=sinx.

⑴求小-：)=?在xe[0,可上的解；

⑵已知85)=四/5)/，+3-/(力/(升兀)，若關(guān)于x的方程g(x)一加=3在相0段時(shí)有解，求實(shí)數(shù)機(jī)

的取值范圍.

【答案】(*或詈

-1/

⑵一己」

【分析】(1)根據(jù)題意得方程，然