2025年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正

確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】

1.（4分）3的倒數(shù)是（）

11

A.3B.-3C.-D.—□

33

2.（4分）下列各式計(jì)算結(jié)果等于的是（）

A.a'abB.o'-^abC.ci2i>-2a2bD.2c^b-ab2

3.（4分）某班有男生20人，女生18人.在一次測(cè)驗(yàn)中，男生的平均分為。分，女生的平均分為b分，

那么這個(gè)班級(jí)全體學(xué)生這次測(cè)驗(yàn)的平均分為（）

4.（4分）2025年“體重管理年”正式啟動(dòng)，其中所涉及的體質(zhì)指數(shù)“BMI”是衡量人體胖瘦程度的標(biāo)準(zhǔn)，

其計(jì)算公式為（%表示體重，單位：公斤；力表示身高，單位：米），成年人數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)見

hZ

下表；

現(xiàn)〃范圍BMK1616WBMK18.524W8M/V28BMI，28

18.524

胖瘦程度瘦弱偏瘦正常偏胖肥胖

已知某位成年人身高為1.6米，以下說法正確的是（）

A.數(shù)值隨著體重m的值的增加而減少

B.BMI數(shù)值與體重m的值之間成正比例關(guān)系

C.數(shù)值與體重機(jī)的值之間的函數(shù)圖象為雙曲線位于第一象限的一支

D.如果這位成年人的體重為64公斤，他的胖瘦程度屬于正常

5.（4分）已知。。1和002,。。1的半徑長(zhǎng)為3,0102=5.如果。。2與。。1相交，那么。。2的半徑長(zhǎng)

可以是（）

A.10B.8C.7D.2

6.（4分）有若干個(gè)全等三角形，如果這些全等三角形恰好能拼成一個(gè)正多邊形，且這個(gè)正多邊形不是中

心對(duì)稱圖形，那么下列三角形中，符合條件的是（）

A.頂角是48°的等腰三角形

B.頂角是60°的等腰三角形

C.有一個(gè)銳角是24°的直角三角形

D.有一個(gè)銳角是54°的直角三角形

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

1

7.（4分）計(jì)算：92=.

8.（4分）函數(shù)y=三的定義域是.

9.（4分）方程J3-2/=x的解是.

10.（4分）關(guān)于x的一元二次方程（x-1）2=。有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么。的值等于.

11.（4分）蘇州河是上海的“母親河”，普陀段的岸線約有21000米，正好相當(dāng)于半程馬拉松的長(zhǎng)度，被

譽(yù)為“半馬蘇河”.數(shù)據(jù)21000用科學(xué)記數(shù)法可表示為.

12.（4分）在不透明的布袋中裝有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，這些球只是顏色不同.如果布袋中再放進(jìn)2個(gè)同

樣規(guī)格的紅球，那么此時(shí)從布袋中，任意摸出一個(gè)球恰好為紅球的概率是.

13.（4分）如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊。C上，DE=2EC,聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交8C的延長(zhǎng)線于

71T7__T

點(diǎn)、F,設(shè)B4=a,BC=6.如果向量EF用向量a、6表示，那么EF=.

14.（4分）如圖，在△A8C中，ZACB=90°,。是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作。E_LOC交邊于點(diǎn)E,

如果NABC=30°,AC=3,那么。E=.

15.（4分）在矩形A8CD中，AB=6,BC=10,E、F分別是邊AB、DC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC

上（如圖），如果四邊形EG切是矩形，那么AG的長(zhǎng)等于.

16.（4分）常見的運(yùn)動(dòng)健身方式有三種：有氧運(yùn)動(dòng)、力量訓(xùn)練和拉伸運(yùn)動(dòng).某社區(qū)為了解本社區(qū)居民的健

身情況，對(duì)居民進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到了一個(gè)樣本，制成了樣本統(tǒng)計(jì)圖：圖1是三種運(yùn)動(dòng)健身方式

占比的扇形圖（每人只能選一種健身方式）；圖2是選擇有氧運(yùn)動(dòng)的居民，對(duì)有氧運(yùn)動(dòng)有關(guān)項(xiàng)目選擇的

條形圖（每人只能選一種項(xiàng)目）.如果該社區(qū)居民約有8000人，那么根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該社區(qū)最

喜歡快走的居民大約有人.

慢快騎游跳其有氧運(yùn)動(dòng)

跑走車泳繩它項(xiàng)目

圖1圖2

17.（4分）已知拋物線y=-（x+m）?+上的頂點(diǎn)為p,A、B、C、。是拋物線上的四點(diǎn)，且線段A3、CD

都垂直于拋物線的對(duì)稱軸.如果A8=2,CD=3,那么SAPAB：SAPCD的值等于

18.（4分）在△ABC中，AB=AC=8,BC=6（如圖）.點(diǎn)。在邊3c上，DELAB,E為垂足，將

繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到AB'DE',點(diǎn)、B、E分別與點(diǎn)夕、E'對(duì)應(yīng)，/B'DB=ZB,射線

B'E'與邊AC交于點(diǎn)P.如果"E'=3PE',那么8。的長(zhǎng)是

三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）

。一1

19.（10分）先化簡(jiǎn)，再求值:其中a=g.

a2-l

2+3（%—1）<4x

20.（10分）解不等式組：2x—12%?

21.（10分）如圖，在四邊形ABC。中，BDLDC,AB=2,A￡）=4,DC=?cot/CBD=2.

（1）求tan/AZJB的值；

（2）聯(lián)結(jié)AC交2。于點(diǎn)。，求3。的長(zhǎng).

AD

22.(10分)【問題背景】

我們學(xué)過用尺規(guī)作圖平分一條線段，小普同學(xué)想借助所學(xué)過的函數(shù)知識(shí)平分線段.

在如圖1中，已知線段MN,為了平分線段MN,小普同學(xué)進(jìn)行了如下的操作：

①在平面直角坐標(biāo)系xQy中，畫出函數(shù)丫=稱式的圖象；

1

②在x軸的正半軸上截取。4=MN,過點(diǎn)A作AOLx軸交函數(shù)丫=的圖象于點(diǎn)O；

③以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交MN于點(diǎn)、P.

所以點(diǎn)尸平分線段MN.

【解決問題】

(1)根據(jù)小普同學(xué)的做法，如果要將線段三等分，那么可以借助函數(shù)的

圖象在圖1中的線段上，找到點(diǎn)C,使AC=^MN,于是可作出線段MN上的一個(gè)三等分點(diǎn).(填

函數(shù)解析式)

(2)平面內(nèi)的點(diǎn)可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示.在圖2中，點(diǎn)2在x軸的正半軸上，OB=b.運(yùn)用我們學(xué)

過的函數(shù)知識(shí)，在圖2中作出坐標(biāo)為弓，令的點(diǎn)。，寫出畫圖步驟.(保留作圖痕跡)

MN

23.(12分)已知：如圖，平行四邊形ABC。的對(duì)角線AC和8。相交于點(diǎn)O,OE_L8C交的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E,BO?BD=BUBE.

(1)求證：四邊形A8CO為菱形；

CF0C

(2)聯(lián)結(jié)AE1交。。于點(diǎn)尸，如果AE_LCD求證：一=—,

DEB0

AD

O'

B--------CE

24.(12分)在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知拋物線y=a？+6x+3QW0)的開口向下，與x軸交于點(diǎn)A

和B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.直線x=m(0<m<3)交拋物線于點(diǎn)P.

(1)如圖，拋物線yuaf+bx+S(aWO)的對(duì)稱軸是直線尤=1.

①求此時(shí)拋物線的表達(dá)式；

②如果/CP8=90°,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

(2)如果點(diǎn)尸關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)恰好是△AOC的重心G,求。的值.

25.(14分)如圖，分別以等邊三角形ABC的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以等邊三角形的邊長(zhǎng)。為半徑，以另兩個(gè)

頂點(diǎn)為端點(diǎn)畫圓弧，由首尾相連的三段圓弧可組成一個(gè)曲線圖形，這個(gè)曲線圖形叫做萊洛三角形ABC

(1)下面結(jié)論中，正確的是(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

①萊洛三角形ABC是軸對(duì)稱圖形；

②萊洛三角形ABC上的任意一點(diǎn)到等邊三角形ABC的中心的距離相等；

③萊洛三角形ABC的每段圓弧所對(duì)的圓心角都為60°；

④萊洛三角形ABC的面積等于5兀。2.

1

(2)如果。、E是萊洛三角形A8C上的兩點(diǎn)，聯(lián)結(jié)A。、DE,滿足。E〃BC且DE=求此時(shí)/

ADE的正切值；

(3)已知M、N分別是砂、冠上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)；點(diǎn)用沿通從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8,點(diǎn)N沿有4從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)A,它們同時(shí)出發(fā)且速度相同，聯(lián)結(jié)試表述線段MV的中點(diǎn)廠的軌跡.

AAA

備用圖備用圖

2025年上海市普陀區(qū)中考數(shù)學(xué)二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正

確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】

1.（4分）3的倒數(shù)是（）

1

A.3B.-3C.D.

3

1

【解答】解：3的倒數(shù)是3

故選：C.

2.（4分）下列各式計(jì)算結(jié)果等于42b的是（)

A.a9abB.Q+abC.42b-2a2bD.242b-ab2

92

【解答】解：aab=abf則A符合題意,

后+"=*，則5不符合題意,

c^b-2a2b=-c^b,則C不符合題意,

201b與ab2無法合并，則D不符合題意,

故選：A.

3.（4分）某班有男生20人，女生18人.在一次測(cè)驗(yàn)中，男生的平均分為〃分，女生的平均分為b分,

那么這個(gè)班級(jí)全體學(xué)生這次測(cè)驗(yàn)的平均分為（

a+b、等分

A.~~~分B.

38

20a+l8b、20。+18b

---分

C.D.38刀

【解答】解：根據(jù)題意，該班所有男生的總分是20〃，所有女生的總分是184

則全體學(xué)生的總分是20〃+1勖；

班級(jí)總?cè)藬?shù)為20+18=38（人）,

20a+18b

那么該班全體學(xué)生的平均分是:刀?

38

故選：D.

4.（4分）2025年“體重管理年”正式啟動(dòng)，其中所涉及的體質(zhì)指數(shù)“BMI”是衡量人體胖瘦程度的標(biāo)準(zhǔn),

其計(jì)算公式為（小表示體重，單位：公斤；/I表示身高，單位：米），成年人創(chuàng)〃數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)見

下表;

范圍BMK1618.5WBM/V24WBA〃<28BMI228

18.524

胖瘦程度瘦弱偏瘦正常偏胖肥胖

已知某位成年人身高為1.6米，以下說法正確的是（）

A.數(shù)值隨著體重機(jī)的值的增加而減少

B.數(shù)值與體重機(jī)的值之間成正比例關(guān)系

C.數(shù)值與體重相的值之間的函數(shù)圖象為雙曲線位于第一象限的一支

D.如果這位成年人的體重為64公斤，他的胖瘦程度屬于正常

【解答】解：A、某位成年人身高為1.6米，8M/數(shù)值隨著體重機(jī)的值的增加而增加，原說法錯(cuò)誤，不

符合題意；

B、某位成年人身高為1.6米，數(shù)值與體重機(jī)的值之間成正比例關(guān)系，原說法正確，符合題意；

C、某位成年人身高為1.6米，數(shù)值與體重機(jī)的值之間的函數(shù)圖象為第一象限內(nèi)的直線，原說法錯(cuò)

誤，不符合題意；

D、某位成年人身高為1.6米，這位成年人的體重為64公斤，則8M/數(shù)值是25,屬于偏胖，原說法錯(cuò)

誤，不符合題意；

故選：B.

5.（4分）已知。。1和。02,的半徑長(zhǎng)為3,0102=5.如果002與。。1相交，那么002的半徑長(zhǎng)

可以是（）

A.10B.8C.7D.2

【解答】解：：OO2與。01相交，

...兩圓的半徑之和大于圓心距，即R-r<OiO2<R+r,

AR-3<5<R+3,

：.2<R<8,

???002的半徑長(zhǎng)可以是7,

故選：C.

6.（4分）有若干個(gè)全等三角形，如果這些全等三角形恰好能拼成一個(gè)正多邊形，且這個(gè)正多邊形不是中

心對(duì)稱圖形，那么下列三角形中，符合條件的是（）

A.頂角是48°的等腰三角形

B.頂角是60°的等腰三角形

C.有一個(gè)銳角是24°的直角三角形

D.有一個(gè)銳角是54°的直角三角形

1800-48°

【解答】解：A、頂角是48°底角為--------=66°,拼接可能性：無法通過48°或66°組合出正五

2

邊形（108°）或正七邊形（-128.57°）的內(nèi)角，不符合題意；

8、三角形角度：頂角60。，為等邊三角形，拼接可能性：可拼成正六邊形（中心對(duì)稱），不符合題意；

C、三角形角度:直角90°，銳角24°和66°,拼接可能性:無法通過24°或66°組合出正五邊形（108°）

的內(nèi)角，不符合題意；

D、三角形角度：直角90°,銳角54°和36°拼接可能性：正五邊形內(nèi)角為108°=54°X2,可通過

兩個(gè)54角拼接，正五邊形為奇數(shù)邊，為非中心對(duì)稱性：符合題意.

故選：D.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

1

7.（4分）計(jì)算：92=3.

1

【解答】解：根據(jù)題意：92=V9=3.

故答案為：3.

8.（4分）函數(shù)了二的定義域是.

【解答】解：x-5W0,

解得：%W5.

故答案為：xW5.

9.（4分）方程—2%=、的解是x=1.

【解答】解：兩邊平方得：3-2x=W,

解一元二次方程得Xl=l,X2=-3,

經(jīng)檢驗(yàn)，%1=1是原方程的解，X2=-3是增根，

故答案為：x=l.

10.（4分）關(guān)于工的一元二次方程（X-1）2=〃有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么〃的值等于0.

【解答】解：由（x-1）2=。得/-2X+1-。=0,

??,關(guān)于］的一元二次方程（X-1）2=〃有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=0,即4-4（1-。）=0,

解得。=0,

故答案為：0.

11.（4分）蘇州河是上海的“母親河”，普陀段的岸線約有21000米，正好相當(dāng)于半程馬拉松的長(zhǎng)度，被

譽(yù)為“半馬蘇河”.數(shù)據(jù)21000用科學(xué)記數(shù)法可表示為2.1X104.

【解答】解:21000=2.1X1012*4.

故答案為:2.1X104.

12.（4分）在不透明的布袋中裝有3個(gè)紅球，4個(gè)白球，這些球只是顏色不同.如果布袋中再放進(jìn)2個(gè)同

樣規(guī)格的紅球，那么此時(shí)從布袋中，任意摸出一個(gè)球恰好為紅球的概率是-.

-9-

【解答】解：由題意可得，

53+25

二任意摸出一個(gè)球恰好為紅球的概率丁）

93+4+29

故答案為：!.

13.（4分）如圖，平行四邊形A8C。中，點(diǎn)E在邊。C上，DE=2EC,聯(lián)結(jié)AE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線于

T1__T11->

點(diǎn)R設(shè)=a,=b.如果向量EF用向量。、b表小，那么EF=-b--a.

—23一

【解答】解：???四邊形ABC。為平行四邊形，

—>—>—>—>―>_.

：.AD=BC=b,CD=BA=a,AD//BC,

：.ZD=ZECF,ZDAE=ZF,

：.AADE^AFCE,

ADDE

???—_―—乙o,

CFCE

：.CF=^AD=^b9CE=jCD=1a,

—TT1T1T

：.EF=CF-CE=^b-^a.

1tIT

故答案為：-b--a.

23

14.（4分）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,。是邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作DE_LOC交邊于點(diǎn)E,

如果NA3C=30°,AC=3,那么OE=V3.

【解答】解：VZACB=90°,ZABC=30°,

ZA=60°,

???。是邊A3的中點(diǎn)，

，CD=AD,

???△AC。的等邊三角形，

：.CD=AC=3fZACD=60°,

ZZ）CE=30°,

?；DELDC,

：.ZCDE=90°,

nr

AtanZZ）CE=tan30o=濟(jì)，

.DEVi

??—,

33

：.DE=V3.

故答案為：V3.

15.（4分）在矩形ABC。中，AB=6,8c=10,E、/分別是邊48、0c的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H在對(duì)角線AC

上（如圖），如果四邊形EGPH是矩形，那么AG的長(zhǎng)等于用一5.

【解答】解：如圖，連接ER交AC于。,

:四邊形ABC。是矩形，四邊形EG切是矩形,

：.AB=CD^6,AD=BC=10,EF=GH,EO=FO=GO,

■:E、尸分別是邊A3、DC的中點(diǎn),

：.AE=DF=3,

5L'：AB//CD,

/.四邊形AEFD是平行四邊形,

：.AD=FE=10,

.?.EO=5=G。,

,：ZBAD=90°,

二四邊形是矩形,

90°,

：.AO=y/AE2+EO2=V9+25=V34,

：.AG=AO-GO=V34-5,

故答案為：V34-5.

16.（4分）常見的運(yùn)動(dòng)健身方式有三種：有氧運(yùn)動(dòng)、力量訓(xùn)練和拉伸運(yùn)動(dòng).某社區(qū)為了解本社區(qū)居民的健

身情況，對(duì)居民進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到了一個(gè)樣本，制成了樣本統(tǒng)計(jì)圖：圖1是三種運(yùn)動(dòng)健身方式

占比的扇形圖（每人只能選一種健身方式）；圖2是選擇有氧運(yùn)動(dòng)的居民，對(duì)有氧運(yùn)動(dòng)有關(guān)項(xiàng)目選擇的

條形圖（每人只能選一種項(xiàng)目）.如果該社區(qū)居民約有8000人，那么根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，估計(jì)該社區(qū)最

喜歡快走的居民大約有1600人.

人數(shù),

4O

4量

7

y練25

有氧2％20

伸

拉

運(yùn)

動(dòng)15

動(dòng)

運(yùn)10

1

5%

慢快騎游跳其有氧運(yùn)動(dòng)

跑走車泳繩它項(xiàng)目

圖1圖2

【解答】解：根據(jù)扇形圖可知，有氧運(yùn)動(dòng)所占百分比為1-25%-15%=60%,

根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知，參加有氧運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為10+40+25+15+20+10=120（人）,

.?.樣本為：120+60%=200（人），

40

樣本中喜歡快走的居民所占百分比為二xl00%=20%,

200

8000人中喜歡快走的居民為8000X20%=1600（人），

故答案為：1600.

17.（4分）已知拋物線y=-Cx+m）?+上的頂點(diǎn)為p,4B、C、。是拋物線上的四點(diǎn)，且線段A3、CD

8

都垂直于拋物線的對(duì)稱軸.如果A8=2,CD=3,那么S△必B：S"co的值等于—一一

【解答】解：：拋物線y=-（無+冽）2+左的頂點(diǎn)為尸,

.'.P(-m,%),

TA、B、。、O是拋物線上的四點(diǎn)，且線段A3、都垂直于拋物線的對(duì)稱軸，AB=2,CD=3,

x1X

)m+1?

zyl

15D\

-12設(shè)z)

9

1

-1---

1=?24

11927

**?S/^PAB=x2x(/c—k+1)=1,S/\PCD=]X3x(/c—k+彳)=-g-,

._8

??>cS/\PAB:oc/\PCD=2y,

18.（4分）在△ABC中，A3=AC=8,BC=6（如圖）.點(diǎn)。在邊8C上，DELAB,E為垂足，將△50E

繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后得到DE',點(diǎn)、B、E分別與點(diǎn)次、E'對(duì)應(yīng)，ZB'DB=ZB,射線

B'E'與邊AC交于點(diǎn)P.如果"E'=3PE‘，那么瓦）的長(zhǎng)是4或4.8.

【解答】解：過點(diǎn)A作ABC交8C于點(diǎn)R

A

9

：AB=ACf

1

C.AFLBC,BF=渺=3,

._BF_3

??COSZ-D=/豆=g?

分兩種情況：當(dāng)尸在BE的延長(zhǎng)線上時(shí)，如下圖:

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出N5=N8,BE=B，E,

■:/BDB=/B,

：.ZB'DB=ZB\

：.B'P//DC,

9

：AB=ACf

：.ZB=ZCf

；?NBDB=NB=NC,

VZB'￡)B+ZB'r)C=180o,

.\ZC+ZB'DC=180°,

：.B'D//CP,

???四邊形B'DCP為平行四邊形，

：.B'P=DC,

?；B舊=3PE,

???設(shè)尸E=x,則8E=3x,

則8P=DC=4x,BE=B'E=3x,

BD=6-4%,

\9DELAB,

.cBE3x3

■■C0S^B=BD=6^=8'

解得：x=

則BD=6—4久=6—4x2=4；

當(dāng)尸在線段BE上時(shí)，如下圖:

B'E=3x,

則B'P=DC=2xf

BD=6-2x,

9：DELAB,

./nBE3x3

,,cosZB=BD=6=2^=8f

解得：x=

則BD=6-4x=6-2x|=4.8,

綜上：2。的值為4或4.8,

故答案為：4或4.8.

三、解答題：（本大題共7題,滿分78分）

4aa—1

19.（10分）先化簡(jiǎn)，再求值:其中Q=V3.

a2+aa2-l

4Q(z-1

【解答】解:

a2+aa2-l

4aQ—1

—a(a+l)(a+l)(a—1)

41

a+1a+1

_3

-a+1'

當(dāng)a=B時(shí)，

諄式_3_3店-3

原直一V3+1-2-

'2+3(%-1)＜4x

20.(10分)解不等式組：2%—12x

【解答】解：由題知，

'2+3(x-1)V4x①

、鋁+1＞竽②'

解不等式①得，尤＞-1;

解不等式②得，X＞—

所以不等式組的解集為：尤＞-L

21.(10分)如圖，在四邊形A8CD中，BDLDC,AB=2,AO=4,DC=V5,cotZCB￡)=2.

(1)求tan/AZJB的值；

(2)聯(lián)結(jié)AC交8。于點(diǎn)。，求8。的長(zhǎng).

【解答】解：(1)在RtZsBCZ)中,

cot/CBO=鬻=2,

：.BD=2CD=2>/5.

又：AB=2,AD=4,

.?.AB2+A￡)2=B￡>2,

...△42。是直角三角形，且NA=90°.

在中，

AB21

tanZAZ)B=近=4=2'

(2)如圖所示，

在RtZXBCD中,

f/nDC岳1

tWZDBC=前=赤=2

ZDBC=ZADB.

：.AD//BC,

：.△ADOsXCBO,

9DOAD4

BO~CB~5

：.B0=1B￡>=與X

22.（10分）【問題背景】

我們學(xué)過用尺規(guī)作圖平分一條線段，小普同學(xué)想借助所學(xué)過的函數(shù)知識(shí)平分線段.

在如圖1中，已知線段MN,為了平分線段MN,小普同學(xué)進(jìn)行了如下的操作：

①在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，畫出函數(shù)y=的圖象；

②在X軸的正半軸上截取0A=MN,過點(diǎn)A作軸交函數(shù)丫=的圖象于點(diǎn)D；

③以點(diǎn)M為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)P.

所以點(diǎn)尸平分線段MN.

【解決問題】

（1）根據(jù)小普同學(xué)的做法，如果要將線段三等分，那么可以借助函數(shù)」=%的圖象在圖1中

的線段上，找到點(diǎn)C,使AC.MN,于是可作出線段MN上的一個(gè)三等分點(diǎn).（填函數(shù)解析式）

（2）平面內(nèi)的點(diǎn)可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示.在圖2中，點(diǎn)8在無軸的正半軸上，OB=b.運(yùn)用我們學(xué)

過的函數(shù)知識(shí)，在圖2中作出坐標(biāo)為弓，令的點(diǎn)。，寫出畫圖步驟.（保留作圖痕跡）

MN

【解答】解：（1）由問題背景的例題知，將線段MN三等分，同理可借助函數(shù)、=全,

如下圖:

M'PN

故答案為：>=可人；

(2)作出產(chǎn)［和y=］的函數(shù)圖象如下:

42

過點(diǎn)5作y軸的平行線交兩個(gè)函數(shù)于點(diǎn)。、C,則點(diǎn)。、。的縱坐標(biāo)分別為：

以點(diǎn)。為圓心，以8。長(zhǎng)度為半徑畫弧交x軸于點(diǎn)E,則0E=,

過點(diǎn)￡作EFLx軸，以點(diǎn)B為圓心，以8C長(zhǎng)度為半徑交所于點(diǎn)°,則點(diǎn)Q即為所求點(diǎn).

23.(12分)已知：如圖，平行四邊形ABC。的對(duì)角線AC和8。相交于點(diǎn)O,OE1_8C交BC的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)E,BO'BD=BC'BE.

(1)求證：四邊形A8C。為菱形；

(2)聯(lián)結(jié)AE交。C于點(diǎn)R如果AELCD,求證：—=

；?NBED=90°,

?:BO?BD=BC?BE,

BOBC

BEBD

'：ZDBE=ZCBOf

：.ABED^ABOC,

：.ZBED=ZBOC=90°,

：.AC±BDf

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

???四邊形A3CD是菱形；

(2)如圖，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H.

卜吠-------^D

/1/

DHCE

???四邊形A5CD是菱形，

???AC平分NBC。，AD//BC,

：.ZACH=ZACF

U：AH±CB,AE_LCD,

：.ZAHC=ZAFC=90°,

9

：AC=ACf

：.AACH^AACF(A45),

：.CF=CH,

'JAD//BC,AHLCB,

：.AH±AD,

VDEXBE,

：?NAHE=NDEH=NHAD=90°,

???四邊形A"皮)是矩形，

:?AH=DE,

VZAHC=ZBOC=90°,/BCO=/ACH,

：.ABOC^AAHC,

?OCBO

??—,

CHAH

.COCHCF

"BO~AH~DE'

24.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=o?+6x+3QW0)的開口向下,x軸交于點(diǎn)A

和B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.直線x=m(0<m<3)交拋物線于點(diǎn)P.

(1)如圖，拋物線yuaf+bx+S(aWO)的對(duì)稱軸是直線尤=1.

①求此時(shí)拋物線的表達(dá)式；

②如果/CP8=90°,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

(2)如果點(diǎn)尸關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)恰好是△AOC的重心G,求。的值.

X

【解答】解：(1)由題可知一而二1

(9。+3b+3=0

???拋物線的表達(dá)式為y=-W+2x+3；

②令％=0,得y=3,

：.C(0,3),

如圖，過P作跖V〃x軸，交y軸于點(diǎn)過8作軸，交MN于點(diǎn)、N,

9：ZCPB=90°,

ZCPM=ZPBN=90°-/BPN,

:.APMCS^BNP,

.PMCM

?'BN~PN'

VP(m,-m2+2m+3),

.\PM=m,CM—-vr^+lm,PN=3-m,BN=-m2+2m+3,

m-m2+2m

：.—;----------=-------------,

-mz+2m+33-m

整理得m2-m-1=0,

解得m=,

V0<m<3,

._1+-/5

??in—2，

即點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為等；

(2)如圖，構(gòu)造Rt^BPL,過G作GK，x軸于點(diǎn)K,

9〃+3b+3=0,

b=-3〃-1,

?*?y=ax-(3〃+l)x+3—ax-1)(%-3),

1

.e.A(一，0),

a

111

由重心的性質(zhì)可得GK=擔(dān)C=l,OK=^OA=一而

1

G(—,1),

3a

根據(jù)對(duì)稱可知NP3C=NG3C,PB=GB,

*OC=OB=3,

.ZOBC=45°/NBC,

?/GBK=NLBP,

?BG=PG,ZGKB=ZPLB=90°,

?△BGK咨ABPL(A45),

.PL=GK=\,BK=BL,

.xp=OB-PL=2,

.yp=4a-2(3〃+l)+3=1-2a,BPBL=1-2a,

1

.BK=OB+OK=3-%,

1

；3-五=1-2a,

整理得6a2+6。-1=0,

解得。=二3/（正值舍去）.

25.(14分)如圖，分別以等邊三角形ABC的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以等邊三角形的邊長(zhǎng)。為半徑，以另兩個(gè)

頂點(diǎn)為端點(diǎn)畫圓弧，由首尾相連的三段圓弧可組成一個(gè)曲線圖形，這個(gè)曲線圖形叫做萊洛三角形ABC.

(1)下面結(jié)論中，正確的是①③(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).

①萊洛三角形ABC是軸對(duì)稱圖形；

②萊洛三角形ABC上的任意一點(diǎn)到等邊三角形ABC的中心的距離相等；

③萊洛三角形ABC的每段圓弧所對(duì)的圓心角都為60°；

④萊洛三角形ABC的面積等于5Tic?.

(2)如果。、E是萊洛三角形ABC上的兩點(diǎn)，聯(lián)