專題03方程（組）及不等式（組）

題型概覽

題型01解一次方程（組）

題型02一次方程（組）的實際應(yīng)用

題型03解分式方程

題型04分式方程的實際應(yīng)用

題型05解一元二次方程

題型06一元二次方程的根

題型07一元二次方程的實際應(yīng)用

題型08解不等式（組）

題型09不等式（組）的實際應(yīng)用

題型10求參數(shù)

題理01

1.（2025?河北?一模）關(guān)于龍的方程3x+2a=7的解為x=-l,貝1J。的值為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】此題考查了一元一次方程的解.注意使一元一次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元一次方

程的解.由關(guān)于x的方程3x+2a=7的解是x=-l,即可得3x（-l）+2a=7,繼而求得答案.

【詳解】解：?.,關(guān)于》的方程3x+2a=7的解是x=-l,

」.3x（-1）+2.=7,

解得：4=5.

故選：A.

2.（2025?湖南衡陽?一模）方程2x-1=5的解是（）

A.x=—2B.犬=—3C.x=3D.x=2

【答案】C

【分析】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次方程的步驟.

利用解一元一次方程的步驟進(jìn)行求解即可.

【詳解】解:21=5,

2x=6,

%=3；

故選：C.

3.（2025?河北?一模）若表格中的四個數(shù)滿足每列的兩個數(shù)的和相等，則機(jī)的值為（）

-（-6）^27

|-6|3m

A.-1B.1C.3D.5

【答案】C

【分析】本題考查了解一元一次方程，立方根.根據(jù)題意列式得到-（-6）+|-6|=肪+3帆，再計算即可求

解.

【詳解】解：由題意得一（-6）+|-6|=啰+枷，

整理得6+6=3+31n,

解得m=3,

故選：C.

4.（2025?河北邯鄲?一模）已知無，,都是實數(shù)，觀察表中的運算，則。的值為（）

x,y的運算x+y%一yx2+xy-2y2

運算的結(jié)果-37a

A.21B.-21C.40D.-56

【答案】D

【分析】本題考查解二元一次方程組，已知字母的值求代數(shù)式的值.根據(jù)題意先得出尤=2,y=-5,后將

代入f+孫-2/中即可得到本題答案.

［詳解］解：I3x-y=7,x+y=-3,

團(tuán)X=2,V=-5,

團(tuán)將x=2,y=-5代入/+孫-2y2得。=—56,

故選：D.

5.（2025,安徽蕪湖,一模）已知點6）在第一象限,且滿足4a+2Z?+c=10,a-b+c=l,=a+b—c,

若cNl,貝。（）

A.S有最大值2B.S有最小值-1C.S的值恒為1D.S有最大值1

【答案】A

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)已知條件,求出。、6的值,再根據(jù)"（。力）

在第一象限，得到a>0,b>0,求出。的取值范圍，根據(jù)。的取值范圍和S=a+6-c,求出S的取值范圍，

即可得出答案，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的應(yīng)用.

[4a+26+c=10①

【詳解】解：由題意得,皿,

[a-6+c=l②

由①-②得3a+3b=9,

即a+b=3,

:.b=3—a,

由①+2x②得6。+3c=12,

即2a+c=4,

.\c=4—2a,

二.S=a~\~b—c=a+3—a—4+2f2=2tz—1,

???M（a,b）在第一象限，

:.a>G,b>Q,

\b=3-a>0,

/.0<a<3,

,/c=4一%且cNl,

4—2a21,

3

解得〃用，

3

0<〃V一,

2

\'S=2a-l,

—1vS42,

??.S有最大值2.

故選：A.

6.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）規(guī)定一種新運算：”★6=/-26,若2[3蟲-尤）]=6,則x的值為.

【答案】-3

【分析】本題考查了新定義，解一元一次方程，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.先根據(jù)=〃一26,

得2[3*(-x)]=2x(9+2x)=6,再解出x=—3,即可作答.

【詳解】解：^airb=a2-2b,

盟★(-x)=9-2x(-x)=9+2x,

02[3^(-x)]=2x(9+2x)=6,

解得x=-3,

故答案為：-3.

7.(2025?安徽宣城?一模)已知關(guān)于x的方程3x-2=2x-a的解是負(fù)數(shù)，則。的取值范圍是.

【答案】a>2

【分析】本題考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，以及一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握運算法則進(jìn)行解題.

先求出方程的解，然后結(jié)合解是負(fù)數(shù)，解一元一次不等式即可得到答案.

【詳解】解：B13x-2=2x-a,

團(tuán)3x—2x=2—a,

回％=2-〃,

團(tuán)方程的解是負(fù)數(shù)，

團(tuán)x=2—a<0,

回〃>2.

8.(2025?山東?一模)已知方程組4：一:，則無+V的值為_____.

[3x-2y=3

【答案】-1

fx—4y=5①

【分析】此題考查解二元一次方程組.根據(jù)題意。c②-①即可得到2x+2y=-2,即可得到x+y

[3x-2y=3②

的值.

x-Ay-5@

【詳解】解:

3x-2y=3②

②-①得到：2x+2y=-2,

0%+y=-1,

故答案為-L

3x—4y=9

9.（2025?江蘇徐州?一模）若x,y滿足方程組2f=2,貝”+股

【答案】7

【分析】本題考查了用加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握用加減消元法解二元一次方程組是解題的

關(guān)鍵.①-②求解即可.

3x-4y=9?①

【詳解】解:

2元一5〉=2?②

①一②，得x+y=7.

故答案為：7.

10.（2025?江蘇鹽城?一模）已知方程5尤-7y=-9,用含x的代數(shù)式表示y,則丫=

5%+9

【答案】

7

【分析】此題考查了用含有一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另外一個未知數(shù)，將無看做已知數(shù)求出y即可.

【詳解】解：05x-7y=-9,

137y=5x+9,

5x+9

回y=一^―,

故答案為：寧5尤+9

二二"的解滿足則％的取值范圍是

11.（2025?山東濟(jì)寧?一模）已知關(guān)于x。的方程組

【答案】k>4

【分析】本題考查根據(jù)二元一次方程組的解得情況，求參數(shù)的取值范圍.將兩個二元一次方程相加，得到x+y

的值，根據(jù)x+y>i,求出％的取值范圍即可.

2x+y-2上一1①

【詳解】解:

x+2y=-4②

7左一5

①+②得：3x+3y=2k-l-4,即：x+y=^-^;

回x+y>l,

2k—

回:一>1,解得：k>4；

故答案為：k>4.

12.（2025?遼寧沈陽?一模）若如3時3〃一九葉+2〃=1是關(guān)于小y的二元一次方程，則'=

n

【答案K

【分析】本題考查了二元一次方程的定義、解二元一次方程組，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

3^/z-3〃=1

二元一次方程的定義可得C,,解方程組求出相，〃的值即可求解.

m+2n=l

【詳解】解：???33根-3“—〃嚴(yán)2〃=1是關(guān)于％、y的二元一次方程,

J3m-3n=1

[m+2n=l，

.5

m=—

9

解得：2，

n=—

[9

m525

"2,

故答案為：—.

[cLx+hy=c.[x=5f5ax-3fey=4c,

13.（2025?浙江寧波?一模）若方程組Pf1的解是乙則方程組「」「的解是

\a2x+b2y—c21）=6[ja2x—3b2y=4c2

fx=4

【答案】Q

〔尸-8

【分析】本題考查了換元法解二元一次方程組，把求解的方程組進(jìn)行合理變形，并把二5X和-3:y看做一個

44

（5〃1％—3Aly=4G

整體換元得到一個關(guān)于兀和y的新方程組是解答本題的關(guān)鍵.把L1」「的兩邊都除以4變形為

53

,然后把產(chǎn)口看做一個整體，用換元法求解

ScijX-S^y=4q

【詳解】解：回

5a2x-3b2y=4C2

—Cl^X+

即《

5

a^x+b^y~qx=5

回的解為

a2x+b2y=c2y=6

二5

4

3=6

I4'

fx=4

x=4

故答案為:

y=-8

14.(2025?甘肅張掖?一模)嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程三產(chǎn)+0=3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)被污染了.

⑴【任務(wù)1】若這道題的答案是x=-l,求"O代表的正整數(shù)；

(2)【任務(wù)2】嘉淇問同學(xué)小明，小明也記不清"O的具體值了，只記得這個方程的解是正整數(shù)，嘉淇經(jīng)過

深入思考，將"O設(shè)為如通過計算，很快得到了"O的值，你知道她是怎么計算的嗎？請你求出的值.

【答案】⑴5

⑵解題過程見詳解；2

【分析】本題主要考查了解一元一次方程以及已知一元一次方程的解求參數(shù)，求二次一次方程的整數(shù)解等

知識.

(1)將x=-l代入原方程，可得出關(guān)于"O"的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論;

(2)將替換成相，可得出關(guān)于無，根的二元一次方程，結(jié)合x,%均為正整數(shù)，即可求出結(jié)論.

3X11

【詳解】(1)解：將x=-l代入原方程得：(-)~+Q=3,

2

即-2+。=3

解得：0=5,

國"?！贝淼恼麛?shù)為5；

3r-1

(2)解：根據(jù)題意得丁+加=3,

7-2m

解得：彳=-----

3

又以，機(jī)均為正整數(shù),

Im=2

[x=l

團(tuán)〃?！ǖ闹禐?.

+2y=7

15.(2025?江蘇蘇州?一模)解方程組:13%-2y=5

【答案】

[y=2

【分析】本題主要考查了解二元一次方程組.直接運用加減消元法解答即可.

【詳解】解：《_2二②,

①+②可得：4x=12,解得x=3,

將x=3代入①可得：3+2y=7,解得y=2.

[x=3

所以方程組的解為一

[y=2

(3x+2y=m+l

16.(2025?山東淄博?一模)已知關(guān)于劉》的二元一次方程組.?,.

[2尤+y=m—i

(1)若5x+3y=4,求機(jī)的值；

(2)若無>均為非負(fù)數(shù)，求優(yōu)的取值范圍；

(3)已知w=x-y+7〃，在(2)的條件下，求w的最大值和最小值.

【答案】⑴2

(2)3<m<5

⑶w的最大值7,w的最小值1

【分析】本題考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式，整式的加減及一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握運

算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先求出5尤+3了=2加，得到2〃z=4,求解即可；

%—m—3

(2)解方程組得到,得到利-320,<5-m>0,計算即可得到答案；

[y=jc-m

(3)求出卬=%—丁+根二機(jī)一3+機(jī)―5+機(jī)=3機(jī)一8,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求得w的最大值=3x5—8=7,w的

最小值=3x3-8=1.

【詳解】（1）解：關(guān)于X，y的二元一次方程組c,

[2x+y=m-1

將①+②，得5x+3y=2zw,

5x+3y=4,

/.2m=4,

.\m=2；

f3x+2y=m+1

（2）解：解關(guān)于x，y的二元一次方程組.?,得

[2x+y=m—l

???大，y均為非負(fù)數(shù)，

/.m—3>0,且5—

???加的取值范圍為34根45；

fx=m—3

（3）解：，，

[y=j-m

:.w=x—y+m=m—3+m—5+m=3m—8,

03>0,

???w隨著用的增大而增大，

,/3<m<5,

卬的最大值=3x5—8=7，w的最小值=3x3-8=l.

一次方程（組）的實際應(yīng)用

1.（2025?福建?一模）某商店銷售單價為。元和6元的A,3兩種商品，其中A商品的利潤率為10%,3商

品的利潤率為30%.當(dāng)售出的A商品的數(shù)量比8商品的數(shù)量少40%時，該商店獲得的總利潤率為20%.貝!

與匕的數(shù)量關(guān)系是（）（利潤率=利潤+成本）

A.3a-5bB.4a-5bC.5a=3bD.5a-4b

【答案】A

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確找出等量關(guān)系.設(shè)B商品的數(shù)量

為x,則A商品的數(shù)量為0.6無，推出A商品的單件利潤為0.1a,3商品的單件利潤為0.36,根據(jù)題意列方程

即可求解.

【詳解】解：設(shè)8商品的數(shù)量為%則A商品的數(shù)量為0.6x,

A商品的成本：（1-10%）O=0.9<7,單件禾!］潤為（/一0.9。=0.1。，

B商品的成本：（1一30%）6=0.76,單件利J潤為6—0.76=0.36,

總利潤：0.la.0.6x+0.3bx=0.06ax+0.3bx,

總收入：a?0.6x+bx-0.6ax+bx,

根據(jù)題意得：0.06冰+0.3法=20%（。.6年+法）,

整理得：3a=5b,

故選：A.

2.（2025?山東臨沂?一模）在知識問答競賽中，答對一題加1分，答錯一題減1分，每道題必須作答.已知王

明共答題20道，得分10分；李紅共答題15道，那么兩位同學(xué)答對與答錯題目的差相加可能是（）

A.10B.15C.20D.35

【答案】B

【分析】本題考查了首先根據(jù)王明答題的數(shù)量和得分情況求出王明答對與答錯題目的差10,根據(jù)李紅共答

題15道，設(shè)李紅答對了機(jī)道題，答錯了〃道題，可知m一〃為奇數(shù)且最大值為15,從而可知兩位同學(xué)答對與

答錯題目的差相加的數(shù)值一定是奇數(shù)且不超過25,利用排除法得到正確選項.

【詳解】解：設(shè)王明答對了》道題，則答錯了（20-x）道題，

根據(jù)題意可得：x-（20-x）=10,

解得：x=15,

二王明答對了15道題，則答錯了5道題，

???王明答對與答錯題目的差15-5=10,

設(shè)李紅答對了加道題，答錯了〃道題，

則m+n-15,

?.?15為奇數(shù)，

二加一〃一定為奇數(shù)，

一定為奇數(shù)，

:.A、C選項排除，

如果這15道題李紅全部答對了，則李紅答對與答錯的題目的差為15,

.,.10+（m-n）<10+15=25,

??D選項排除，

???兩位同學(xué)答對與答錯題目的差相加可能是15.

故選:B.

3.（2025?河北邢臺?一模）如圖，草船借箭是一個流行很廣的故事.按照這個故事所說的，我們假定諸葛亮

一共派出大小草船共20艘，回來清點發(fā)現(xiàn)小船平均每艘上借的“箭”約有4800支,大船平均每艘上借的“箭”

約有6200支，已知一共借箭112800支，設(shè)派出大船x艘，則下列說法正確的是（）

A.依題意得：4800%+6200（20-^）=112800B.依題意得：4800（20-^）+6200%=112800

C,派出大船8艘D.派出小船14艘

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)派出大船無艘，則派出小船（20-司艘，根據(jù)“一共借箭

"2800”支列出一元一次方程求解即可.

【詳解】解：依題意，得4800（20—x）+6200x=112800,

解得x=12,

20-12=8,

二派出大船12艘，派出小船8艘，

故A、C、D選項錯誤，B選項正確.

故選：B.

4.（2025?廣東惠州?一模）《九章算術(shù)》中"均輸章"有云："今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至

南海.今鳧雁俱起，問何日相逢？"受此啟發(fā)，我們構(gòu)建如下生活情境：在兩座城市A和B之間，甲車從城

市A駛向城市B,全程需7天；乙車從城市B駛向城市4全程需9天.若甲車先出發(fā)2天后，乙車才從城

市B出發(fā)，兩車相向而行.設(shè)從乙車出發(fā)后，經(jīng)過x天兩車相遇.則下列方程正確的是（）

A.—xx+—xx=l

79

【答案】B

【分析】此題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，設(shè)從乙車出發(fā)后，經(jīng)過無天兩車相遇，將A和B

之間的總路程看作"1",則甲車一天走;，乙車一天走g,列方程即可.

【詳解】解：設(shè)從乙車出發(fā)后，經(jīng)過x天兩車相遇，

根據(jù)題意得］（；+3卜=1,

故選：B.

5.（2025?河北滄州?一模）如圖，表中給出的是某月的月歷，任意選取型框中的7個數(shù)（如陰影部分所

【答案】D

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)這7個

數(shù)中最小的數(shù)為x,則這7個數(shù)的和為7x+63,分別代入各選項中的數(shù)，解之可得出x的值，結(jié)合尤為整數(shù)，

即可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)這7個數(shù)中最小的數(shù)為x,則另外6個數(shù)分別為x+2,x+7,x+9,x+14,x+15,x+16,

，這7個數(shù)的和為x+x+2+x+7+x+9+x+14+x+15+x+16=7x+63.

A.根據(jù)題意得：7x+63=105,

解得：x=6,

：6在第一列，符合題意，

，這7個數(shù)的和可以是105,選項D不符合題意；

B.根據(jù)題意得：7x+63=77,

解得：x=2,

???2在第五列,

???這7個數(shù)的和可以是77,選項B不符合題意;

C.根據(jù)題意得：7x+63=98,

解得：x=5,

：5在第1列，

??.這7個數(shù)的和可以是98,選項C不符合題意；；

D.根據(jù)題意得：7x+63=56,

解得：x=-l,不符合題意，

,這7個數(shù)的和不可以是56,選項符合題意；

故選：D.

6.（2025?浙江嘉興?一模）我國古代數(shù)學(xué)專著《孫子算經(jīng)》中有一個"多人共車"的問題："今有三人共車，二

車空；二人共車，九人步.問人與車各幾何？"譯文："現(xiàn)有若干人要坐車，如果每3人坐一輛車，則有2輛

車是空的；如果每2人坐一輛車，那么有9人需要步行.問人和車各有多少？"設(shè)人數(shù)為了人，則可列方程

（）

A.3x-2=2（x-9）B.|-2=1-9

C.3x—2=2x—9D.—+2=—―-

32

【答案】D

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)人數(shù)為x人，根據(jù)題意列出方程即可求解，根據(jù)題意找到等量

關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)人數(shù)為x人，

由題意得，fx+2=X"—9，

故選：D.

7.（2025?黑龍江牡丹江?一模）九年級某班為獎勵學(xué)習(xí)進(jìn)步的學(xué)生，購買了單價為12元/本的筆記本和單價

為8元/支的簽字筆兩種文具，正好花費120元，則購買方案共有（）

A.4種B.3種C.2種D.1種

【答案】A

【分析】本題考查的是二元一次方程的正整數(shù)解的應(yīng)用，設(shè)購買了x本筆記本，y支的簽字筆，可得

12x+8y=120,再利用二元一次方程的正整數(shù)解解題即可.

【詳解】解：購買了x本筆記本，y支的簽字筆，

貝iJ12x+8y=120,

2

^x=10--y.

.]x=8(x=6Jx=4卜=2

?1丁=3'fy=6'fy=9'[y=12

.,?購買方案有4種;

故選：A

8.（2025?湖北孝感?一模）我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》里有一道著名算題：一百饅頭一

百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾??？譯成白話文，其意思是：有100個和尚分100

個饅頭，正好分完.如果大和尚一人分3個，小和尚3人分一個，試問大小和尚各有幾人？設(shè)大和尚X人，

小和尚y人，可列方程組為()

尤+y=100x+y=100

A51B.\1

?3x+-y=10Q—x+y=100

13'

x+y=100

(x+y=100

D.\1

C，[3x+^=100

x+—y=100

I3

【答案】A

【分析】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，正確得出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.分別利用有

100個和尚分100個饅頭，正好分完.如果大和尚一人分3個，小和尚3人分一個，分別得出方程即可.

【詳解】解：設(shè)大和尚尤人，小和尚y人,

x+y=100

則可以列方程組:3x+gy=100

故選：A.

9.（2025?陜西咸陽?一模）某購物中心將某種原價是300元的商品按原價的8折出售，可以獲利20%,這種

商品的進(jìn)價為元.

【答案】200

Q

【分析】設(shè)該商品的進(jìn)價為X元，由題意得300x^-x=20%x,解方程即可.

本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，打折問題和利潤問題，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)該商品的進(jìn)價為x元，

Q

由題意得300x-—x=20%x,

解得x=200，

答：這種商品的進(jìn)價為200元.

故答案為：200.

10.(2025?陜西西安?一模)九宮格中為從1到9不重復(fù)的9個自然數(shù)，若區(qū)域1的四個數(shù)之和為27,區(qū)域2的

兩個數(shù)之和為11,如圖，則右上角格子可填的最大數(shù)字。是.

【答案】4

【分析】本題考查有理數(shù)的加減法的應(yīng)用，熟練掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵.

先求得九宮格數(shù)字總和為45,再求得區(qū)域①和區(qū)域②以外的3個格子中的數(shù)字之和為7,再根據(jù)"九宮格

中為從1到9不重復(fù)的9個自然數(shù)，"即可求解.

【詳解】解：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,

設(shè)區(qū)域①和區(qū)域②之外的三個格子中的數(shù)字之和為x,

由題意，得27+ll+x=45,

解得：x=7,

vl+2+4=7,

???右上角格子可填的最大數(shù)字。是4,

故答案為：4.

11.(2025?山東泰安?一模)一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字的2倍大1.若這個兩位數(shù)減去36恰好等于個

位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后所得的兩位數(shù)，設(shè)十位數(shù)字是一個位數(shù)字是九則列方程為.

(x-2y=l

【答案】j(i0x+y)_36=lOy+x

【分析】本題考查了用二元一次方程組解決實際問題，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中的相等關(guān)系列出方程

即可.

【詳解】解：設(shè)十位數(shù)字是x,個位數(shù)字是幾

十位數(shù)字比個位數(shù)字的2倍大1,

x-2y=1f

???這個兩位數(shù)減去36恰好等于個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后所得的兩位數(shù)，

(10x+y)-36=10y+x,

x-2y=l

???可列方程組

(10尤+y)-36=lOy+x

x-2y=l

故答案為:

(10x+y)-36=10y+x

12.（2025?陜西漢中?一模）某生產(chǎn)線共有60名工人，每名工人每天可生產(chǎn)14個電壓表或20個電流表，1

套物理電學(xué)實驗器材包中要配有1個電壓表和2個電流表，要使該生產(chǎn)線每天生產(chǎn)的電壓表和電流表恰好

能配套裝入物理電學(xué)實驗器材包，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)電壓表？

【答案】應(yīng)分配25名工人生產(chǎn)電壓表

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解題意找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)應(yīng)分配x名

工人生產(chǎn)電壓表.根據(jù)題意列出方程，解出x的值即可解答.

【詳解】解：設(shè)應(yīng)分配x名工人生產(chǎn)電壓表，

根據(jù)題意，得2xl4x=20（60—x）,

解得：x—25.

答：應(yīng)分配25名工人生產(chǎn)電壓表.

13.（2025?陜西咸陽?一模）西安擁有豐富的歷史文化遺產(chǎn)和深厚的文化底蘊，也成為漢服文化的重要傳播

地和展示窗口.某制衣廠現(xiàn)有一批漢服訂單需交付，漢服店要求6天內(nèi)完成.若工廠安排10位工人縫制，

則6天后還有90套漢服未縫制；若安排14位工人縫制，則恰好提前一天完成任務(wù).假設(shè)每位工人的工作

效率相同，問每位工人每天可以縫制多少套漢服.

【答案】每位工人每天可以縫制9套漢服

【分析】此題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)每位工人每天可以縫制了套漢服，根據(jù)生產(chǎn)的漢服數(shù)量關(guān)系列

方程，解方程即可得到答案.

【詳解】解：設(shè)每位工人每天可以縫制無套漢服，則

10x6x+90=14x5x

10.r=90

x-9

答：每位工人每天可以縫制9套漢服.

14.（2025?陜西西安?一模）某市為了迎接大型馬拉松比賽，某條道路需要重新修建.已知每個工程隊單獨

修需要18天，現(xiàn)計劃先安排若干個工程隊修4天，然后增加3個工程隊再一起修2天，全部完成，則應(yīng)先

安排幾個工程隊先修4天？

【答案】2

【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)題意直接假設(shè)未知數(shù)，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)應(yīng)先安排x個工程隊先修4天，根據(jù)題意得，

42

—x+—（x+3）=1,

181”>

解得：x=2,

所以，應(yīng)先安排2個工程隊先修4天.

15.（2025?貴州遵義?一模）今年春節(jié)期間，電影《哪吒2》特別火爆，小強一家去某電影院觀看此部電影.到

了影院后，看到有以下優(yōu)惠活動方案：

優(yōu)惠方案一會員費200元，票價35元/人.

優(yōu)惠方案二原票價50元/人，成人原價，學(xué)生票價是原價的5折.

⑴若小強一家6人（成人4人，學(xué)生2人），他選擇哪種優(yōu)惠方案劃算？

（2）若成人人數(shù)是學(xué)生人數(shù)的2倍且兩種優(yōu)惠方案所付票價相等，求成人、學(xué)生各多少人？

【答案】⑴優(yōu)惠方案二更劃算；

（2）學(xué)生人數(shù)為10人，則成人人數(shù)是20人.

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合

適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.

（1）根據(jù)兩種收費方案分別計算，比較即可求解；

（2）設(shè)學(xué)生人數(shù)為x人時，兩種方案車費一樣多，列出方程求解即可.

【詳解】（1）解：方案一：200+35x6=410（元）；

方案二：50x4+50x50%x2=250（:元）；

所以優(yōu)惠方案二更劃算；

（2）解：設(shè)學(xué)生人數(shù)為x人，則成人人數(shù)是2x人，

依題意得，200+35x（x+2x）=50x2x+50x50%x

解得x=10,

則2x=20,

答：學(xué)生人數(shù)為10人，則成人人數(shù)是20人.

16.（2025?陜西榆林?一模）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載“粟米之法；粟率五十；粉米三十.今有

米在十斗桶中，不知其數(shù).滿中添粟而春之，得米七斗.問故米幾何？"意思為：50斗谷子能出30斗米，

即出米率為今有米在容量為10斗的桶中，但不知道數(shù)量是多少.再向桶中加滿谷子，再舂成米，共得

米7斗.問原來有多少斗米？（不計損耗）

【答案】原來有|■斗米

【分析】本題考查了列一元一次方程解應(yīng)用題.設(shè)原來有x斗米，則后加入。0-司斗谷子，由題意列出方

程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)原來有x斗米，則后加入（10-力斗谷子，

3

根據(jù)題意，Wx+-（10-x）=7,

解得X=|,

答：原來有I?斗米.

17.（2025?山東煙臺?一模）"低碳生活，綠色出行”的理念已逐漸深入人心，某自行車專賣店有A,B兩種規(guī)

格的自行車，A型車的售價為a元/輛，B型車的售價為b元/輛，該專賣店十月份前兩周銷售情況如下：

A型車銷售（輛）B型車銷售量（輛）總銷售額（元）

第一周101236600

第二周121545000

（1）求。，b的值;

（2）已知一輛A型車比一輛B型車進(jìn)價少花300元，老板在第三個周進(jìn)貨時，用48000元購進(jìn)A型自行車數(shù)

量與用60000元購進(jìn)B型自行車數(shù)量相等，求A、B兩種的自行車進(jìn)貨單價分別是多少元？

⑶若計劃第四周售出A、B兩種型號自行車共25輛，其中B型車的銷售量大于A型車的銷售量，且不超過

A型車銷售量的2倍，該專賣店售出A型、B型車各多少輛才能使第四周總銷售額最大，最大總銷售額是多

少元？

【備―案”噸fa=15800

（2）A型號一輛進(jìn)價為1200元，B型號一輛進(jìn)價為1500元

⑶該專賣店第三周售出A型車9輛，B型車16輛，銷售總額為最大，為42300元

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實際應(yīng)用，二元一次方程組的實際應(yīng)用，分式方程的實際應(yīng)用，一元

一次不等式的實際應(yīng)用，正確理解題意列出方程，不等式和函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)第一周和第二周的銷售額建立方程組求解即可；

（2）設(shè)8型車進(jìn)價每輛x元,則A型車進(jìn)價每輛（x-300）元,根據(jù)用48000元購進(jìn)A型自行車數(shù)量與用60000

元購進(jìn)B型自行車數(shù)量相等建立方程求解即可；

（3）設(shè)該專賣店第三周售出A型車加輛，B型車（25-%）輛，銷售總額為w元，分別求出售出A型車和B

型車的銷售額，二者求和可得w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再列不等式求出m的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)一次函數(shù)

的性質(zhì)求解即可.

[10。+126=36600

【詳解】（1）解：由題意得口”<八"

[12。+156=45000

解得:]f匕a=1580000；

（2）解：設(shè)B型車進(jìn)價每輛x元，則A型車進(jìn)價每輛（X-300）元，

根據(jù)題意得已喘=如吧，

x-300x

解得：x=1500

經(jīng)檢驗尤=1500是原分式方程的解.

x—300=1200（元）

答：A型號一輛進(jìn)價為1200元，B型號一輛進(jìn)價為1500元.

（3）解：設(shè)該專賣店第三周售出A型車加輛，B型車（25-m）輛，銷售總額為w元，

由題意得：w=1500/n+1800（25-m）=-300m+45000,

_2525

由m<25-mV2m，解得彳4〃7<5，

機(jī)取整數(shù)，m=9,10,11,12,

：W隨著Ml的增大而減小，

二.當(dāng)初=9時，卬取得最大值，此時w=42300（元）.

答：該專賣店第三周售出A型車9輛，B型車16輛，銷售總額為最大，為42300元.

18.（2025?浙江杭州?一模）某快遞公司需將一批總重為25噸的物品從倉庫運往配送中心.現(xiàn)有下表所示兩

種類型貨車可供調(diào)配：

類型甲型乙型

滿載（噸）43

價格（元）500400

⑴若公司一次性派出兩種貨車共8輛，恰好運完所有物品，且公司要求每輛貨車必須滿載運輸，求甲、乙兩

種貨車各派出多少輛？

（2）若快遞公司派出甲型、乙型貨車共7輛，其中甲型貨車不少于2輛，要求預(yù)算運輸費用不超過3600元，

請設(shè)計一種運輸方案使總費用最低，并計算最低費用.

【答案】（1）派甲型貨車1輛，乙型貨車7輛，恰好一次性運完25噸物品

⑵當(dāng)派甲型貨車4輛，乙型貨車3輛，總費用最低

【分析】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確找出數(shù)量

關(guān)系.

（1）設(shè)甲型貨車x輛，乙型貨車>輛，根據(jù)題意列出方程組即可求解；

（2）設(shè)甲型貨車機(jī)輛，乙型貨車為（7-,編輛，根據(jù)題意列不等式組求出優(yōu)的范圍，再計算費用即可.

【詳解】（1）解：設(shè)甲型貨車無輛，乙型貨車V輛，

x+y=8

由題意得:

4x+3y=25

X=1

解得:

y=7

答：派甲型貨車1輛，乙型貨車7輛，恰好一次性運完25噸物品;

（2）設(shè)甲型貨車機(jī)輛，乙型貨車為（7-,小輛,

4m+3（7-m）>25

根據(jù)題意得：5。。：+4。。（7一小36。。，

m>2

7-m>0

解得：4<m<7,

當(dāng)帆=4時，止匕時運費500x4+400x3=3200元,

當(dāng)機(jī)=5時，此時運費500x5+400x2=3300元,

當(dāng)根=6時，止匕時運費500x6+400=3400元，

當(dāng)機(jī)=7時，此時運費500x7=3500元，

綜上可知：當(dāng)派甲型貨車4輛，乙型貨車3輛，總費用最低.

19.（2025?河南洛陽?一模）綠動未來-樹木固碳護(hù)家園

［素材呈現(xiàn)］

在全球氣候變暖的嚴(yán)峻形勢下，二氧化碳排放量不斷攀升已成為亟待解決的關(guān)鍵問題，為了中和二氧化碳

排放量，我們可以采取植樹造林等綠化措施.根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計結(jié)果，10棵成年的闊葉樹種（例如楊樹）和10棵

成年的針葉樹種（例如冷杉）每年大約吸收2820千克二氧化碳，而5棵成年的闊葉樹種（例如楊樹）和6棵

成年的針葉樹種（例如冷杉）每年大約吸收1520千克二氧化碳.

【問題解決】

⑴每棵成年的闊葉樹種（例如楊樹）和每棵成年的針葉樹種（例如冷杉）每年大約吸收的二氧化碳分別是

多少千克？

（2）某環(huán)保企業(yè)計劃購買成年楊樹和冷杉共100棵，設(shè)購買楊樹〃棵，這100棵樹木一年內(nèi)吸收的二氧化碳總

量為卬千克.

①求我與。的函數(shù)關(guān)系式；

②楊樹會產(chǎn)生較多的飄絮物，因此規(guī)定采購楊樹的棵數(shù)不超過冷杉的一半，請設(shè)計一個采購方案，使得這

100棵樹木在一年內(nèi)吸收的二氧化碳總量最大.

【答案】⑴每棵成年的闊葉樹種（例如楊樹）和每棵成年的針葉樹種（例如冷杉）每年大約吸收二氧化碳

分別為172千克和110千克；

⑵①w=62a+n000；②購買33棵楊樹、67棵冷杉在一年內(nèi)吸收的二氧化碳總量最大.

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式和一次函數(shù)的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是

利用一次函數(shù)的性質(zhì)確定購買方案.

⑴設(shè)每棵成年的闊葉樹種和每棵成年的針葉樹種每年大約吸收二氧化碳分別為x千克和y千克，列二元一

次方程組求解即可；

（2）①購買了。棵楊樹，則購買的冷杉樹為（100-。）棵，根據(jù)兩種樹吸收二氧化碳的數(shù)量列出w與。的函數(shù)

關(guān)系式即可；

②根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知w隨。的增大而增大，根據(jù)規(guī)定采購楊樹的棵數(shù)不超過冷杉的一半，可知楊樹

最多采購33棵，從而確定采購方案.

【詳解】（1）解：設(shè)每棵成年的闊葉樹種和每棵成年的針葉樹種每年大約吸收二氧化碳分別為x千克和y千

克，

10x+10y=2820

根據(jù)題意得:

5x+6y=1520

%=172

解得

y=110

答：每棵成年的闊葉樹種（例如楊樹）和每棵成年的針葉樹種（例如冷杉）每年大約吸收二氧化碳分別為172

千克和110千克；

（2）解:①???購買了。棵楊樹，則購買的冷杉樹為（10。-a）棵,

根據(jù)題意得：w=172o+110(100-A)=62a+11000,

與。的函數(shù)關(guān)系式為狡=62a+11000；

②?.,楊樹的棵數(shù)不超過冷杉的一半，

a4/(100-a),

,100

/.aW-----,

3

v62>0,

，卬隨。的增大而增大，

當(dāng)整數(shù)。=33時，w的值最大，

此時100-33=67（棵），

答：購買33棵楊樹、67棵冷杉在一年內(nèi)吸收的二氧化碳總量最大.

20.（2025?河南許昌?一模）在農(nóng)作物不同的生長階段運用科技手段實現(xiàn)精準(zhǔn)施肥，可以提高產(chǎn)量和質(zhì)量.某

農(nóng)場為種植小麥需要配制復(fù)合肥料.小麥在生長過程中需要大量的氮（N）促進(jìn)葉片生長，適量的磷（P）

促進(jìn)根系發(fā)育，以及足夠的鉀（K）提高果實品質(zhì).農(nóng)場有兩種原料可供使用，其氮、磷、鉀含量及成本如

下表：

氮（N）含量磷（P）含量鉀（K）含量成本

原料

（千克/噸）（千克/噸）（千克/噸）（元/噸）

原料A204030600

原料B501040800

⑴在小麥播種前農(nóng)場根據(jù)土壤檢測結(jié)果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用4B

兩種原料各多少噸？

（2）4月份，小麥進(jìn)入拔節(jié)期，農(nóng)場根據(jù)小麥長勢和底肥用量計劃配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的3，

且含有不少于100千克鉀，請設(shè)計出成本最低的配制方案.

【答案】⑴使用A種原料2噸，8種原料4噸

⑵使用A種原料2噸，3種原料1噸配制追肥，成本最低

【分析】本題主要考查二元一次方程組，一元一次不等式，一次函數(shù)最值的計算，掌握以上知識，正確列

式求解是關(guān)鍵.

（1）設(shè)使用A種原料x噸，B種原料〉噸，由數(shù)量關(guān)系列二元一次方程組求解即可；

（2）設(shè)使用A種原料。噸，則B種原料（3-。）噸，歹（]不等式得30。+40（3-2100,解得aW2,設(shè)總成本

為w元,貝ijw=600。+800（3-。）=-200。+2400,根據(jù)一次函數(shù)求最值的方法計算即可求解.

【詳解】（1）解：設(shè)使用A種原料x噸，3種原料>噸，

20尤+50y=240

根據(jù)題意得

40x+10y=120

fx=2

解得“，

[y=4

答：使用A種原料2噸，8種原料4噸.

（2）解：,??追肥用量是底肥用量的

:?追肥用量為（2+4）xg=3（噸），

設(shè)使用A種原料。噸，則3種原料（3-。）噸，

?-?要求肥料中含有不少于100千克鉀，

/.30〃+40（3-6/）>100,

解得a<2,

設(shè)總成本為w兀，貝ijw=600〃+800（3—a）-—200〃+2400,

v-200<0,

二?W隨。的增大而減小,

???當(dāng)〃=2時，卬最小,

「.3—々=3—2=1,

答：使用A種原料2噸，B種原料1噸配制追肥，成本最低.

21.（2025?河南鄭州?一模）2024年11月15日，鄭州市熱力公司開啟了全市供暖，但由于供暖后室內(nèi)干燥，

因此大多數(shù)市民們選擇使用室內(nèi)空氣加濕器.某商場根據(jù)民眾需要，代理銷售每臺進(jìn)價分別為220元、180

元的4B兩種型號的空氣加濕器，如表是近兩周的銷售情況：

銷售數(shù)量

銷售時段銷售收入

A種型號B種型號

第一周3臺4臺2400元