專題03方程（組）及不等式（組）

|題型概覽

題型01解一次方程（組）

題型02一次方程（組）的實際應(yīng)用

題型03解分式方程

題型04分式方程的實際應(yīng)用

題型05解一元二次方程

題型06一元二次方程的根

題型07一元二次方程的實際應(yīng)用

題型08解不等式（組）

題型09不等式（組）的實際應(yīng)用

題型10求參數(shù)

題型01解一次方程（組）

1.（2025?河北?一模）關(guān)于x的方程3x+2a=7的解為x=-1,則。的值為（）

A.5B.6C.7D.8

2.(2025?湖南衡陽?一模)方程2x—1=5的解是()

A.x=—2B.x=—3C.x=3D.x=2

3.（2025?河北?一模）若表格中的四個數(shù)滿足每列的兩個數(shù)的和相等，則機的值為（）

一（Y）病

|-6|3m

A.-1B.1C.3D.5

4.（2025?河北邯鄲?一模）已知工,丁都是實數(shù)，觀察表中的運算，則，的值為（）

x，y的運算%+y%一yx2+xy-2y2

運算的結(jié)果-37a

A.21B.-21C.40D.-56

5.（2025?安徽蕪湖?一模）已知點服①,6）在第一象限，且滿足4a+2b+c=10,a-b+c-1,設(shè)S=a+6-c,

若c?l,貝U（）

A.S有最大值2B.S有最小值-1C.S的值恒為1D.S有最大值1

6.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）規(guī)定一種新運算：airb=a2-2b,若=6,則尤的值為.

7.（2025?安徽宣城?一模）已知關(guān)于無的方程3x-2=2x-a的解是負數(shù)，則a的取值范圍是—.

,fx-4y=5

8.（2025?山東?一模）已知方程組'個小則工+丁的值為_____.

[3x-2y=3

...[3x-^y=9

9.（2025?江蘇徐州?一模）若x,y滿足方程組\,貝U》+y=___________.

[2x-5y=2

10.（2025?江蘇鹽城?一模）已知方程5x-7y=-9,用含x的代數(shù)式表示》則>=.

[2x+y=1k—\

11.（2025?山東濟寧?一模）已知關(guān)于x，y的方程組；“的解滿足x+y>l,則k的取值范圍是.

[x+2y=-4

12.（2025?遼寧沈陽?一模）若小?%3“一”了>+2"=1是關(guān)于小y的二元一次方程，則—=.

n

[a,x+b,y=c,（x=5[5a.x-3b.y=4c,

13.（2025?浙江寧波?一模）若方程組11'的解是<則方程組L1J-「的解是

[a2x+b2y—c2[）=6[ja2x-3b2y=4c2

14.（2025?甘肅張掖?一模）嘉淇在解關(guān)于x的一元一次方程鋁+。=3時，發(fā)現(xiàn)正整數(shù)被污染了.

（1）【任務(wù)1】若這道題的答案是x=T,求“?！贝淼恼麛?shù)；

（2）【任務(wù)2】嘉淇問同學小明，小明也記不清的具體值了，只記得這個方程的解是正整數(shù)，嘉淇經(jīng)過

深入思考，將"O'設(shè)為例通過計算，很快得到了的值，你知道她是怎么計算的嗎？請你求出的值.

元+2)=7

15.（2025?江蘇蘇州?一模）解方程組:

3x-2y=5

3x+2y=m+1

16.（2025?山東淄博?一模）已知關(guān)于九，丁的二元一次方程組

2x+y=m-l

（1）若5升3，=4,求優(yōu)的值；

（2）若x,V均為非負數(shù)，求小的取值范圍；

（3）已知⑷=尤-y+m，在（2）的條件下，求W的最大值和最小值.

一次方程（組）的實際應(yīng)用

1.（2025?福建?一模）某商店銷售單價為。元和6元的A,3兩種商品，其中A商品的利潤率為10%,B商

品的利潤率為30%.當售出的A商品的數(shù)量比B商品的數(shù)量少40%時，該商店獲得的總利潤率為20%.則。

與6的數(shù)量關(guān)系是（）（利潤率=利潤+成本）

A.3a-5bB.4a-5bC.5a=3bD.5a-4b

2.（2025?山東臨沂?一模）在知識問答競賽中，答對一題加1分，答錯一題減1分，每道題必須作答.已知王

明共答題20道，得分10分；李紅共答題15道，那么兩位同學答對與答錯題目的差相加可能是（）

A.10B.15C.20D.35

3.（2025?河北邢臺?一模）如圖，草船借箭是一個流行很廣的故事.按照這個故事所說的，我們假定諸葛亮

一共派出大小草船共20艘，回來清點發(fā)現(xiàn)小船平均每艘上借的“箭”約有4800支，大船平均每艘上借的“箭”

約有6200支，已知一共借箭112800支，設(shè)派出大船無艘，則下列說法正確的是（）

A.依題意得：4800x+6200(20-x)=112800B.依題意得：4800(20-x)+6200%=112800

C.派出大船8艘D.派出小船14艘

4.（2025?廣東惠州?一模）《九章算術(shù)》中“均輸章”有云：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至

南海.今鳧雁俱起，問何日相逢？”受此啟發(fā)，我們構(gòu)建如下生活情境：在兩座城市A和8之間，甲車從城

市A駛向城市8,全程需7天；乙車從城市8駛向城市A,全程需9天.若甲車先出發(fā)2天后，乙車才從城

市8出發(fā)，兩車相向而行.設(shè)從乙車出發(fā)后，經(jīng)過x天兩車相遇.則下列方程正確的是（）

5.（2025?河北滄州?一模）如圖，表中給出的是某月的月歷，任意選取“少’型框中的7個數(shù)（如陰影部分所

示），請你運用所學的數(shù)學知識來研究，發(fā)現(xiàn)這7個數(shù)的和不可能是（）

一二三四五六日

24

567911

12131418

19202122232425

262728293031

A.105B.77C.98D.56

6.（2025?浙江嘉興?一模）我國古代數(shù)學專著《孫子算經(jīng)》中有一個“多人共車”的問題：“今有三人共車，二

車空；二人共車，九人步.問人與車各幾何？”譯文：“現(xiàn)有若干人要坐車，如果每3人坐一輛車，則有2輛

車是空的；如果每2人坐一輛車，那么有9人需要步行.問人和車各有多少？”設(shè)人數(shù)為了人，則可列方程

()

A.3x—2=2(x—9)B->

「x八x-9

C.3x-2=2x-9D.-+2=------

32

7.（2025?黑龍江牡丹江?一模）九年級某班為獎勵學習進步的學生，購買了單價為12元/本的筆記本和單價

為8元/支的簽字筆兩種文具，正好花費120元，則購買方案共有（）

A.4種B.3種C.2種D.1種

8.（2025?湖北孝感?一模）我國明代珠算家程大位的名著《直指算法統(tǒng)宗》里有一道著名算題：一百饅頭一

百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾丁？譯成白話文，其意思是：有100個和尚分100

個饅頭，正好分完.如果大和尚一人分3個，小和尚3人分一個，試問大小和尚各有幾人？設(shè)大和尚x人,

小和尚》人，可列方程組為（）

x+y=100x+y=100

A.《B.{1

3x+1_y=100—x+y=100

[3J

x+y=100

y=100

C.D.〈<1

3x+y=100x+—y=100

I3

9.（2025?陜西咸陽?一模）某購物中心將某種原價是300元的商品按原價的8折出售，可以獲利20%,這種

商品的進價為元.

10.（2025?陜西西安?一模）九宮格中為從1到9不重復的9個自然數(shù)，若區(qū)域1的四個數(shù)之和為27,區(qū)域2的

兩個數(shù)之和為11,如圖，則右上角格子可填的最大數(shù)字。是.

IL（2025?山東泰安?一模）一個兩位數(shù)，十位數(shù)字比個位數(shù)字的2倍大1.若這個兩位數(shù)減去36恰好等于個

位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后所得的兩位數(shù)，設(shè)十位數(shù)字是x,個位數(shù)字是,，則列方程為.

12.（2025?陜西漢中?一模）某生產(chǎn)線共有60名工人，每名工人每天可生產(chǎn)14個電壓表或20個電流表，1

套物理電學實驗器材包中要配有1個電壓表和2個電流表，要使該生產(chǎn)線每天生產(chǎn)的電壓表和電流表恰好

能配套裝入物理電學實驗器材包，應(yīng)分配多少名工人生產(chǎn)電壓表？

13.（2025?陜西咸陽?一模）西安擁有豐富的歷史文化遺產(chǎn)和深厚的文化底蘊，也成為漢服文化的重要傳播

地和展示窗口.某制衣廠現(xiàn)有一批漢服訂單需交付，漢服店要求6天內(nèi)完成.若工廠安排10位工人縫制，

則6天后還有90套漢服未縫制；若安排14位工人縫制，則恰好提前一天完成任務(wù).假設(shè)每位工人的工作

效率相同，問每位工人每天可以縫制多少套漢服.

14.（2025?陜西西安?一模）某市為了迎接大型馬拉松比賽，某條道路需要重新修建.已知每個工程隊單獨

修需要18天，現(xiàn)計劃先安排若干個工程隊修4天，然后增加3個工程隊再一起修2天，全部完成，則應(yīng)先

安排幾個工程隊先修4天？

15.（2025?貴州遵義?一模）今年春節(jié)期間，電影《哪吒2》特別火爆，小強一家去某電影院觀看此部電影.到

了影院后，看到有以下優(yōu)惠活動方案：

優(yōu)惠方案一會員費200元，票價35元/人.

優(yōu)惠方案二原票價50元/人，成人原價，學生票價是原價的5折.

（1）若小強一家6人（成人4人，學生2人），他選擇哪種優(yōu)惠方案劃算？

（2）若成人人數(shù)是學生人數(shù)的2倍且兩種優(yōu)惠方案所付票價相等，求成人、學生各多少人？

16.（2025?陜西榆林?一模）我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中記載“粟米之法；粟率五十；粉米三十.今有

米在十斗桶中，不知其數(shù).滿中添粟而春之，得米七斗.問故米幾何？”意思為：50斗谷子能出30斗米，

即出米率為今有米在容量為10斗的桶中，但不知道數(shù)量是多少.再向桶中加滿谷子，再舂成米，共得

米7斗.問原來有多少斗米？（不計損耗）

17.（2025?山東煙臺?一模）“低碳生活，綠色出行”的理念已逐漸深入人心，某自行車專賣店有A,8兩種規(guī)

格的自行車，A型車的售價為。元/輛，B型車的售價為b元/輛，該專賣店十月份前兩周銷售情況如下：

A型車銷售（輛）2型車銷售量（輛）總銷售額（元）

第一周101236600

第二周121545000

（1）求a,b的值；

（2）已知一輛A型車比一輛8型車進價少花300元，老板在第三個周進貨時，用48000元購進A型自行車數(shù)

量與用60000元購進8型自行車數(shù)量相等，求A、8兩種的自行車進貨單價分別是多少元？

（3）若計劃第四周售出A、B兩種型號自行車共25輛，其中2型車的銷售量大于A型車的銷售量，且不超過

A型車銷售量的2倍，該專賣店售出A型、8型車各多少輛才能使第四周總銷售額最大，最大總銷售額是多

少元？

18.（2025?浙江杭州?一模）某快遞公司需將一批總重為25噸的物品從倉庫運往配送中心.現(xiàn)有下表所示兩

種類型貨車可供調(diào)配：

類型甲型乙型

滿載（噸）43

價格（元）500400

（1）若公司一次性派出兩種貨車共8輛，恰好運完所有物品，且公司要求每輛貨車必須滿載運輸，求甲、乙

兩種貨車各派出多少輛？

（2）若快遞公司派出甲型、乙型貨車共7輛，其中甲型貨車不少于2輛，要求預(yù)算運輸費用不超過3600元，

請設(shè)計一種運輸方案使總費用最低，并計算最低費用.

19.（2025?河南洛陽?一模）綠動未來-樹木固碳護家園

［素材呈現(xiàn)】

在全球氣候變暖的嚴峻形勢下，二氧化碳排放量不斷攀升已成為亟待解決的關(guān)鍵問題，為了中和二氧化碳

排放量，我們可以采取植樹造林等綠化措施.根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計結(jié)果，10棵成年的闊葉樹種（例如楊樹）和10棵

成年的針葉樹種（例如冷杉）每年大約吸收2820千克二氧化碳，而5棵成年的闊葉樹種（例如楊樹）和6棵

成年的針葉樹種（例如冷杉）每年大約吸收1520千克二氧化碳.

【問題解決】

（1）每棵成年的闊葉樹種（例如楊樹）和每棵成年的針葉樹種（例如冷杉）每年大約吸收的二氧化碳分別是

多少千克？

（2）某環(huán)保企業(yè)計劃購買成年楊樹和冷杉共100棵，設(shè)購買楊樹?？?，這100棵樹木一年內(nèi)吸收的二氧化碳總

量為卬千克.

①求w與。的函數(shù)關(guān)系式；

②楊樹會產(chǎn)生較多的飄絮物，因此規(guī)定采購楊樹的棵數(shù)不超過冷杉的一半，請設(shè)計一個采購方案，使得這

100棵樹木在一年內(nèi)吸收的二氧化碳總量最大.

20.（2025?河南許昌?一模）在農(nóng)作物不同的生長階段運用科技手段實現(xiàn)精準施肥，可以提高產(chǎn)量和質(zhì)量.某

農(nóng)場為種植小麥需要配制復合肥料.小麥在生長過程中需要大量的氮（N）促進葉片生長，適量的磷（P）

促進根系發(fā)育，以及足夠的鉀（K）提高果實品質(zhì).農(nóng)場有兩種原料可供使用，其氮、磷、鉀含量及成本如

下表：

氮（N）含量磷（P）含量鉀（K）含量成本

原料

（千克/噸）（千克/噸）（千克/噸）（元/噸）

原料A204030600

原料B501040800

（1）在小麥播種前農(nóng)場根據(jù)土壤檢測結(jié)果配制底肥，要求肥料中含有240千克氮、120千克磷，求使用A,B

兩種原料各多少噸？

（2）4月份，小麥進入拔節(jié)期，農(nóng)場根據(jù)小麥長勢和底肥用量計劃配制追肥，要求追肥用量是底肥用量的

且含有不少于100千克鉀，請設(shè)計出成本最低的配制方案.

21.（2025?河南鄭州l模）2024年11月15日,鄭州市熱力公司開啟了全市供暖，但由于供暖后室內(nèi)干燥,

因此大多數(shù)市民們選擇使用室內(nèi)空氣加濕器.某商場根據(jù)民眾需要，代理銷售每臺進價分別為220元、180

元的A,8兩種型號的空氣加濕器，如表是近兩周的銷售情況：

銷售數(shù)量

銷售時段銷售收入

A種型號8種型號

第一周3臺4臺2400元

第二周6臺9臺5100元

（進價、售價均保持不變，利潤=銷售收入一進貨成本）

（1）求A,B兩種型號的空氣加濕器每臺的售價.

（2）若商場準備用不超過5880元的金額再采購這兩種型號的空氣加濕器共30臺，如何購買才可以使商場銷

售完這30臺空氣加濕器后獲得最大利潤？請給出相應(yīng)的采購方案，并求出最大利潤.

?03解分式方程

23

1.（2025?山東濰坊?一模）若代數(shù)式上和二的值相等，則x的值為（）

xx-1

A.x=—2B.x=—lC.x=lD.x=2

vn3

2.（2025?安徽宣城?一模）若關(guān)于尤的分式方程一^+4=1有增根，則機的值為（）

x—22—x

A.1B.-1C.3D.-3

3.（2019?四川綿陽?一模）若關(guān)于x的方程二三-限上=-1.無解，則m的值是

x-33-x

4.（2025?寧夏銀川?一模）下面是某同學解分式方程的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)的學習任務(wù):

x-31

+2=

x-22-x

解：去分母,得x—3+2（x-2）=1……第一步

去括號，得x—3+2x—4=1……第二步

移項、合并同類項，得3x=8……第三步

解得尤=g……第四步

Q

經(jīng)檢驗：X=（是原分式方程的解……第五步

（1）上面的解題過程從第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是

（2）請你幫這個同學正確解答這個分式方程.

X1

5.（2025?陜西咸陽?一模）解方程：---1=-

x+1x-2

2%6

6.（2025?陜西渭南?一模）解方程：-+1=-

x—33—x

您嚶區(qū)

1.（2025?山西大同?一模）新建、改造社區(qū)養(yǎng)老工程是2025年山西省政府確定的民生實事之一，甲、乙兩

個工程隊投標某社區(qū)養(yǎng)老工程改造建設(shè)任務(wù)，甲隊單獨施工比乙隊單獨施工完成此項任務(wù)多用10天，且甲

隊單獨施工45天和乙隊單獨施工30天的工作量相同，設(shè)乙隊單獨完成此項任務(wù)需要x天，則可列方程為（）

xx+10x+10xxx-10x-10x

2.（2025?江蘇徐州?一模）某游客計劃駕車從A地前往8地旅游，有兩條路線可供選擇：

路線1：全程35km,路況復雜，易出現(xiàn)擁堵.

路線2：全程50km,路況較好，紅綠燈少.

若走路線2的平均速度是走路線1的平均速度的g倍，走路線2比走路線1到達8地的時間少10分鐘.求

走路線1到達B地所需的時間.

3.（2025?山西忻州?一模）為了緩解交通壓力，提高道路的通行效率，太原市對某一段路實行交通燈智能化

改造，駕駛員只要控制好車速，便能實現(xiàn)“一路綠燈”.據(jù)了解，該路段總長約5.4公里，改造后車輛通過該

路段的平均速度提高了50%,平均行駛時間減少了3分鐘，求改造前車輛通過該路段的平均速度.

4.（2025?黑龍江哈爾濱?一模）列方程或不等式解應(yīng)用題：

為迎接南方小土豆的到來，冰雪大世界做好冰雕藝術(shù)品制作，某公司有A、8兩搬運組搬運冰凍原料，已知

A組每小時比B組每小時多搬運20千克，且A組搬運1200千克所用時間與2組搬運1000千克所用時間相

（1）求這兩個搬運組每小時分別搬運多少千克冰凍原料；

（2）為生產(chǎn)效率和生產(chǎn)安全考慮，42兩組都要參與冰凍原料運輸?shù)珒山M不能同時進行工作，如果要求不超

過5小時需完成對580千克冰凍原料的搬運，則A組至少搬運多少千克冰凍原料？

5.（2025?江蘇揚州?一模）辛棄疾的詞中有“稻花香里說豐年，聽取蛙聲一片”.“周巷大米”清淡略甜，綿軟

且粘，芳香爽口，是主食佳品.某收割隊承接了72公頃“周巷大米”的收割任務(wù)，為了讓“周巷大米”早日上

市，實際工作效率比原來提高了20%,結(jié)果提前2天完成任務(wù)，問原計劃需要多少天完成？

6.（2025?河南南陽?一模）植一株綠色，溢一片春光.2025年植樹節(jié)，某中學計劃采購一批銀杏樹苗和白楊

樹苗，經(jīng)了解，每棵銀杏樹苗比每棵白楊樹苗貴10元，用400元購買銀杏樹苗的棵數(shù)與用300元購買白楊樹

苗的棵數(shù)相同.

（1）分別求每棵銀杏樹苗與白楊樹苗的價格.

3

（2）學校最終決定購買銀杏樹苗、白楊樹苗共100棵，且銀杏樹苗的數(shù)量不少于白楊樹苗的數(shù)量的如何設(shè)

計購買方案，使總費用最少？

7.（2025?吉林松原?一模）某批發(fā)商購進哪吒、敖丙兩種掛件.已知每個哪吒掛件的進價比每個敖丙掛件的

進價貴1元，用400元購進哪吒掛件的個數(shù)恰好與用360元購進敖丙掛件的個數(shù)相同.求該批發(fā)商購進哪

吒、敖丙兩種掛件的單價各是多少元.

8.（2025?山東濟南?一模）某中學為了讓學生體驗農(nóng)耕勞動，開辟了一處耕種園，現(xiàn)需要采購一批勞動工具

開展種植活動.據(jù)了解，市場上A型勞動工具的單價比8型勞動工具的單價低5元，用400元購買A型勞

動工具的數(shù)量和用500元購買3型勞動工具的數(shù)量相同.

（1）求A,B兩種型號勞動工具的單價各是多少元?

（2）學校計劃購買A,8兩種型號的勞動工具共100把，且A型勞動工具的購買數(shù)量不超過B型勞動工具的

購買數(shù)量的兩倍，則如何購買花費最少？最少費用是多少？

毀建05解一元二次方程

1.（2025.江蘇徐州?一模）（1）解方程:x1-6x+8=O；

-3x-2>l

（2）解不等式組：l-x.

----<x-2

I5

2.（2025?黑龍江齊齊哈爾?一模）解一元二次方程：2元2—6元+3=0.

3.（2025?江蘇泰州?一模）（1）化簡：--+-^+2x；

X—11—X

（2）解方程：x2+6x-6=5.

4.（2025?遼寧撫順?一模）解方程

（1）X2-6X-1=0（配方法）

（2）3元之—5尤+1=0（公式法）

5.（2025?浙江寧波?一模）解方程：x2-l=x.

6.（2025?廣東深圳?一模）小海在用公式法解方程2/一4尤=5時出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下所示:

解方程2x?-4x=5

解：-：a=2,b=-4,c=5（第一步）

Z7*2-*454ac=(-4)2-4x2x5=-24<0（第二步）

原方程無實數(shù)根（第三步）

小海的解答過程從第步開始出錯的，其錯誤的原因是:

7.（2025?江蘇淮安?一模）先化簡，再求值："二/1+—其中x滿足方程尤2-2%-3=0.

x-1kx-1）

一元二次方程的根

L（2。25?河南焦作「模）已知關(guān)于x的一元二次方程皿*-2x+；=°無實數(shù)根,則實數(shù)”的取值范圍是（

)

A.m<2B."iwOC.m>2D.機<2且mwO

2.（2025?河北邢臺?一模）小明在解關(guān)于尤的一元二次方程nx+2=0（相wO）時，把一次項的符號抄成

“+”，得到其中一個根是*=-2,則方程2?儲-辦+2=0（相學0）根的情況是（）

A.無實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.有兩個實數(shù)根D.有一個根是x=-2

3.（2025?河南許昌?一模）%,a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程尤?+〃優(yōu)一〃=。的根的

情況是（）

III?

m0n

A.只有一個實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根

C.有兩個不相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

4.（2025?江蘇蘇州?一模）若關(guān)于x的一元二次方程V-區(qū)+g=0有兩個不相等的實數(shù)根，則上可能的值是

（）

A.0B.6C.-1D.1

5.（2025?山東日照?一模）若關(guān)于元的一元二次方程％2+4x-相=0兩根為4，“2，且毛與馬同號，則機可

能的值為（）

A.-5B.-2C.0D.1

6.（2025?廣東清遠?一模）規(guī)定：對于任意實數(shù)。、b、c,有（a2）*c=M+c,其中等式右邊是通常的乘

法和加法運算，如（2,3）*1=2X3+1=7.若關(guān)于x的方程（x,m）*（x+2）=0有兩個不相等的實數(shù)根，則，"的

取值范圍為（）

11

A.m<—B.m>—

88

C.加〉工且mw0D.m且機wO

88

7.（2025?西藏拉薩?一模）關(guān)于x的方程（〃Ll）f-2x+3=0在實數(shù)范圍內(nèi)有實數(shù)根，則機的取值范圍是（）

4444

A.m<—B.—且C.m>—D.—且加片1

3333

8.（2025?貴州六盤水?一模）關(guān)于x的一元二次方程辰2一2彳-3=0有實數(shù)根，則左的取值范圍是（）

A.k>—B.k>—且左看0C.k<—D.k<—3

333

9.（2025?江蘇宿遷?一模）拋物線y=x?-云+。與直線y=l交于兩點，其中一個交點的橫坐標大于1,另一

個交點的橫坐標小于1，則下列結(jié)論正確的是（）

A.b2-4c>0B.b=2C.c-b<0D.c>0

10.（2025?山東青島?一模）一元二次方程V+x-Jo的兩根分別為3，則*+尤的值為（）

A.1B.V3C.45D.3

11.（2025?河北石家莊?一模）已知關(guān)于x的一元二次方程三+（2-左）x-l=0的兩根互為相反數(shù)，則上的值為

（）

A.-2B.2C.6D.-6

12.（2025?甘肅?一模）若關(guān)于x的一元二次方程/一4尤+加=0有兩個相等的實數(shù)根，則這個方程的解

為.

13.（2025?山東濰坊?一模）若演,馬是關(guān)于x的方程尤?+（2左+3）x+公=。的兩實數(shù)根，且滿足,=

玉x2

則上的值為.

14.（2025?浙江湖州?一模）一次數(shù)學探究活動中，老師給出了兩個二次多項式+px+c,-V+gx+c（其

中p,分c均是不為零的常數(shù)）及這兩個代數(shù)式的一些信息，如下表所示：

二次多項式對二次多項式進行因式分解對二次多項式使用配方法

2x2+px+c(2x+a)(x+b)2(x-m)2+h

2

-x+qx+c(x+a)(-x+b)一(％-"I+左2

（說明：a,b,m,n,,女2均為常數(shù)）

Q

有學生探究得到以下四個結(jié)論：①若0+4=12,則為+6=〃；②若p=q=2,貝壯=-］；③若有且只有一

個x的值，使代數(shù)式2/+內(nèi)+。的值為0,貝（）p-4q=0；④若m-n=2,則c的值不可能是-5.其中所有

正確結(jié)論的序號是.

15.（2025?山東日照?一模）若關(guān)于x的一元二次方程2履2+3x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則上的取值范

圍是.

16.（2025?廣東惠州?一模）已知關(guān)于/+云+。=0的兩個實數(shù)根，滿足兩根之和等于4,兩根之積等于-12,

求6-c的值____.

17.（2025?湖南婁底?一模）已知方程/+工-2025=0的兩個解分另U為a,b,貝.

18.（2025?四川成都?一模）己知“，6是關(guān)于x的一元二次方程/一5尤一2=0的兩個實數(shù)根，貝U

（a-2）-a（l-b）的值為.

19.（2025?黑龍江大慶?一模）已知a和夕是方程尤2+2025工一2=0的兩個解，則儲+2024&-￡的值

為.

20.（2025?四川達州?一模）已知關(guān)于x的方程￡-2MZX+77/-?；_1=（）有兩個實數(shù)根七,尤2.

⑴求機的取值范圍；

（2）若方程有一個根是1,求方程的另一個根及機的值.

殷理。7

1.（2025?河南焦作?一模）5G技術(shù)對我國具有重大戰(zhàn)略意義，它不僅僅是一項通信技術(shù)的升級，更是推動

經(jīng)濟、社會、科技全面變革的重要引擎.某市近年來大力發(fā)展5G通信，已知該市2022年投入發(fā)展5G通信

的資金為1000萬元；2024年投入發(fā)展5G通信的資金為5000萬元.設(shè)該市投入發(fā)展5G通信的資金的年平

均增長率為無，則下列方程中正確的是（）

A.1000（1+2x）=5000B.1000（1+2.x）2=5000

C.1000(1+x)2=5000D.1000+1000（l+x）+1000（l+x）2=5000

2.（2025?山東青島?一模）現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，促進快遞行業(yè)高速發(fā)展，據(jù)調(diào)查，我市某家快遞公

司，去年3月份與5月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為6.4萬件和8萬件，設(shè)該快遞公司這兩個月投遞總件

數(shù)的月平均增長率為無，則下列方程正確的是（）

A.64（1+8%）=8B.6.4（1+%）=8

C.6.4（1+才=8D.6.4+6.4（l+x）+6.4（l+尤y=8

3.（2025?安徽合肥?一模）在設(shè)計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等

于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感.如圖，按此比例設(shè)計一座高度為2m的雷鋒雕像，雕像的下部

應(yīng)設(shè)計為多高？設(shè)雕像的下部高為則所列方程為（）

A.d=2（2-x）B.2x=2（2-x）C.（2-x）2=2xD.無？=2-x

4.（2025?江蘇揚州?一模）在計算正數(shù)a的平方時，誤算成a與2的積，求得的答案比正確答案大1,則

a—.

5.（2025?甘肅武威?一模）某市圖書館為推廣全民閱讀活動，決定加大圖書購置經(jīng)費的投入.一月份投入圖

書購置經(jīng)費50萬元，3月份投入72萬元.求該市這兩個月投入圖書購置經(jīng)費的平均增長率.

6.（2025?遼寧大連?一模）小明用一條長為40cm的繩子圍成一個矩形.

（1）當圍成矩形面積是64cm2,求該矩形的長與寬；

（2）能圍成面積是150cm2的矩形嗎？如能，說明圍法；如不能，說明理由.

7.（2025?江蘇徐州?一模）如圖①，一張長方形紙板的長為24cm,寬為12cm,將其剪掉四角并折疊成如

圖②的有蓋長方體盒子，若該長方體盒子的底面積為32cm2,求該長方體盒子的高.

8.（2025?貴州安順?一模）如圖1,用一段長為33米的籬笆圍成一個一邊靠墻并且中間有一道籬笆隔墻的矩

形菜園ABC。，墻長為12米.設(shè)AB的長為x米，矩形菜園ABCD的面積為S平方米.

墻長12米墻長12米

B1—I卜1

門門

圖2

（1）BC=米，5=平方米.（用含x的代數(shù)式表示）

⑵若S=84,求x的值.

⑶如圖2,若在分成的兩個小矩形的正前方和中間的籬笆隔墻各開一個1米寬的門（無需籬笆），當x為何

值時，S取最大值？最大值為多少？

9.（2025?湖北襄陽?一模）某商家銷售一種成本為40元的商品，當售價定為50元/件時，每天可銷售500件,

根據(jù)經(jīng)驗，售價每漲價1元，每天銷量將減少10件，且單件該商品的利潤率不能超過65%.

⑴求每天的銷量y（件）與當天的銷售單價x（元/件）滿足的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出自變量的取值范圍）;

（2）當銷售單價定為多少元時，商家銷售該商品每天獲得的利潤最大，并求出最大利潤；

（3）當銷售單價定為什么范圍時，商家銷售該商品每天獲得的利潤不低于6750元？

10.（2025?江西撫州?一模）2024年巴黎奧運會順利閉幕，吉祥物“弗里熱”深受奧運迷的喜愛，一商場以20

元的進價進一批“弗里熱”紀念品，以40元每個的價格售出，每周可以賣出500個，經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，價

格每漲1元，就少賣10個

（1）設(shè)每件商品售價為x元時，則每件商品的利潤為元，此時每周可以賣出_____個；

（2）若商場計劃一周的利潤達到12000元，并且更大優(yōu)惠讓利消費者，售價應(yīng)定為多少錢？

11.（2025?山東臨沂?一模）在我國，端午節(jié)作為傳統(tǒng)佳節(jié)，歷來有吃粽子的習俗.某食品加工廠擁有A,B

兩條不同的粽子生產(chǎn)線，A生產(chǎn)線每小時加工粽子400個，B生產(chǎn)線每小時加工粽子500個.

（1）若生產(chǎn)線A,B一共加工11小時，且生產(chǎn)粽子總數(shù)量不少于5000個，則B生產(chǎn)線至少加工多少小時？

（2）原計劃A,8生產(chǎn)線每天均工作8小時.由于改進了生產(chǎn)工藝，在實際生產(chǎn)過程中，A生產(chǎn)線每小時比原

計劃多生產(chǎn)100。個（a>0）,8生產(chǎn)線每小時比原計劃多生產(chǎn)100個.若A生產(chǎn)線每天比原計劃少工作2a小

時，B生產(chǎn)線每天比原計劃少工作。小時，這樣一天恰好生產(chǎn)粽子6000個，求。的值.

解不等式（組）

1.（2025.河南南陽?一模）數(shù)軸上表示不等式組的解集中，含有一個解是而的是（）

B?iII?ii

,0123456

C1111111AD???II??

,0123456'0123456

2.（2025?廣西河池?一模）在數(shù)軸上表示不等式xN2的解集正確的是（）

3.（2025?湖南婁底?一模）若二次根式VT工在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則尤的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是

（）

A-I——I——I——I___I_l->R—I——I——I——I1_I_1-^.

-1012345-1012345

C-1_1_1_1_―1-D-1-1-1-1-i~1-

-1012345-1012345

fx+5>3

4.（2025?山東臨沂?一模）一元一次不等式組：么/々的解集為（）

%+6<4%—3

A.x>—2B.—2<%<3C.x<-2D.x>3

5.（2025?山東臨沂?一模）若點+1）在第四象限，那么"的取值范圍是（）

A.—l<a<lB.-lvavl且C.a>-lD.a<l

xx—2

6.（2025?陜西漢中?一模）解不等式〈一，并在如圖所示的數(shù)軸上表示該不等式的解集.

63

-4-3-2-10~123_4

7.（2025?寧夏銀川?一模）解不等式組：3

5-2（x-2）23-尤

2（l-x）>-x-l@

8.（2025?安徽宿州?一模）解不等式組：x—1丁

------<x+l②

9.（2025?甘肅隴南?一模）解不等式組：，36,并寫出它的所有正整數(shù)解.

1-X

疆型勿不等式（組）的實際應(yīng)用

1.（2025?江西景德鎮(zhèn)?一模）古巴比倫有這樣一個有趣的問題：“有二田，其一比其二廣五畝.若以其一之

十畝予其二，則其二之廣不逾其一之倍，問初時其一田最小幾何？”其大意為：兩塊土地，第一塊面積比第

二塊大5畝，若從第一塊取10畝給第二塊，則第二塊面積不超過第一塊的2倍，問最初第一塊土地的最小

面積為

2.（2025?湖南?一模）閱讀理解：記國表示不超過x的最小整數(shù)，如[0.3]=0,[1.3]=>應(yīng)用：已知

22024

且〃+--+--aH----------+…+a-\---=--2--023,貝什2025句的值為.

202520252025

3.（2025?寧夏銀川?一模）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)

浩然正氣.”某校為提高學生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得茅盾文學獎的甲，乙兩種書共60本，已知購買1本

甲種書和2本乙種書共需110元；購買2本甲種書和3本乙種書共需185元.

（1）求甲，乙兩種書的單價分別為多少元；

⑵若學校決定購買以上兩種書的總費用不超過2200元，那么該校最多可以購買甲種書多少本？

4.（2025?廣西南寧?一模）某公司計劃采購A型和8型儲能鋰電池系統(tǒng).已知每套8型的進價比每套A型的

進價多0.5萬元，用6萬元購進A型的數(shù)量與用9萬元購進B型的數(shù)量相等.

⑴求每套A型儲能鋰電池系統(tǒng)的進價；

（2）該公司計劃采購這兩種系統(tǒng)共15套，總費用不超過20萬元，則購買A型系統(tǒng)最少多少套？

5.（2025?山東濟南?一模）茂業(yè)天地商場從一廠家購買印有巴黎奧運會標志的T恤和奧運會吉祥物，己知購

進10件T恤和5個奧運會吉祥物共需250元；購進15件T恤和10個奧運會吉祥物共需425元.

（1）求購進一件T恤和一個奧運會吉祥物各需多少元？

（2）若商場決定購買T恤和奧運會吉祥物共60個，總費用不低于988元且不高于1000元，則共有幾種購買

方案？哪種購買方案需要的總費用最少？最少費用是多少元？

6.（2025?河南鶴壁?一模）如圖，某小區(qū)物業(yè)對一塊長150m、寬120m的矩形區(qū)域ABC。進行改造，欲在它

的西南角種植一塊矩形草坪。瓦G（DG>DE）,草坪圍欄總長度為360m.點P是區(qū)域內(nèi)一棵大樹所在的位

置，大樹與區(qū)域邊界的距離如圖中數(shù)據(jù)所示，要求大樹周圍2m內(nèi)（不含邊界）不種植草坪.設(shè)草坪。班