中考數(shù)學(xué)自主專題集訓(xùn)

專題七中點(diǎn)問題的模型

一、選擇題

1.如圖所示，A,3兩點(diǎn)被池塘隔開，A,B,C三點(diǎn)不共線,設(shè)AC,3C的中點(diǎn)分別為

點(diǎn)、M,N,測得MN=16米，可求出A,3兩點(diǎn)之間的距離為（）

A.32米B.24米

C.20米D.18米

N第1題圖

2.如圖，在△ABC中，ADL3C于點(diǎn)。，E是AC的中點(diǎn)，且交AD于點(diǎn)E

已知AD=8,EF=3,連結(jié)DE,則DE的長為（）

A.4B.5

C.273D.3小

A

BD,第2題圖

3.如圖，一根竹竿A3斜靠在豎直的墻上，P是A3的中點(diǎn),在竹竿的頂端沿墻面下滑

的過程中，。尸長度的變化情況是（）

A.不斷增大B.不斷減小

C.先減小后增大D.不變

R'BO第3題圖

4.如圖，尸是線段A3邊上的一動(dòng)點(diǎn)，CALAB,DBLAB,AB=4,AC=3,DB=2,M,

N分別是PC,PD的中點(diǎn)，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，線段的長（)

A.隨著點(diǎn)P的位置變化而變化

B.保持不變，長為|

C.保持不變，長為小

D.保持不變，長為卑

5.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8,BC=6,線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)。，

E分別在邊AC,3C上滑動(dòng)，且DE=4,若M,N分別是DE,A3的中點(diǎn)，則MN的最小值

為（）

A.2B.3

C.3.5D.4

6.2024.西安模擬如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC,。為邊的延長線上一點(diǎn)，

連結(jié)AD,E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)CE,若3c=2CD=4,CE=^,則△ABC的面積為（B）

A.2小B.4^3

C.8D.8小

二、填空題

7.如圖，在直角三角形A3C中，ZACB=90°,D,E分別為A3,邊中點(diǎn)，若CD

=5,DE=3,貝l]3C=

8.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線且分別交3C,AC于點(diǎn)。和E,/B=

60°,NC=25°,則NB4D的度數(shù)為.

9.如圖，在RtA^AC和中，ZBAC=ZBDC=9Q°,。是5c的中點(diǎn)，連結(jié)

AO,DO.若AO=3,則。。的長為.

10.如圖，△ABC的周長為。，以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△ALBCI,再以△AB1C1各邊

的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作AA232c2,再以AAB2c2各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△4333c3,……，如此下去，則

△A02024c2024的周長為.

三'解答題

11.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,在邊AC上截取AD=AB,連結(jié)3D,過點(diǎn)A作

AEL3。于點(diǎn)E已知A3=6,BC=8,如果R是邊3c的中點(diǎn)，連結(jié)EE

⑴求CD的長.

(2)求ER的長.

12.如圖，BD,CE分別為△ABC的中線，BD,CE交于點(diǎn)、G,M,N分別是3G,CG

的中點(diǎn).求證:

(1)EM〃DN.

Q)CG=2EG.

13.(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察

如圖1,在四邊形ABCD中，AD=BC,尸是對角線3。的中點(diǎn)，〃是A3的中點(diǎn)，N是

DC的中點(diǎn).求證：ZPMN=ZPNM.

(2)用數(shù)學(xué)的思維思考

如圖2,延長圖1中的線段AD交的延長線于點(diǎn)E,延長線段交的延長線于

點(diǎn)求證：ZAEM=ZF.

(3)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)

如圖3,在△ABC中，ACVA3,點(diǎn)。在AC上，AD=BC,"是A3的中點(diǎn)，N是DC的

中點(diǎn)，連結(jié)并延長，與的延長線交于點(diǎn)G,連結(jié)GD若NANM=60°,試判斷△CGD

的形狀，并進(jìn)行證明.

【參考答案】

一'選擇題

1.如圖所示，A,3兩點(diǎn)被池塘隔開，A,B,C三點(diǎn)不共線,設(shè)AC,的中點(diǎn)分別為

點(diǎn)、M,N,測得MN=16米，可求出A,3兩點(diǎn)之間的距離為（Z1）

A.32米B.24米

C.20米D.18米

N第1題圖

2.如圖，在△ABC中，于點(diǎn)D,E是AC的中點(diǎn)，且ER〃3C交AD于點(diǎn)E

已知AD=8,EF=3,連結(jié)DE,則DE的長為（B）

B.4B.5

C.2^3D.372

A

BD,第2題圖

3.如圖，一根竹竿A3斜靠在豎直的墻上，P是A3的中點(diǎn),在竹竿的頂端沿墻面下滑

的過程中，OP長度的變化情況是（D）

A.不斷增大B.不斷減小

C.先減小后增大D.不變

B。第3題圖

4.如圖，尸是線段A3邊上的一動(dòng)點(diǎn),CA±AB,DB±AB,A5=4,AC=3,DB=2,M,

N分別是尸C,PD的中點(diǎn)，隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，線段MN的長（D）

A.隨著點(diǎn)P的位置變化而變化

保持不變，長為|

B.

C.保持不變，長為十

保持不變，長為手

D.

【解析】如圖，連結(jié)CD,

\'CA±AB,DBLAB,

???四邊形A3DH是矩形,

：.DH=AB=4,AH=BD=2.

VAC=3,

：.CH=AC-AH=1,

ACD=^DH2+CH2=V17.

'：M,N分別是PC,尸。的中點(diǎn),

:.MN是叢PCD的中位線,

：.MN=^8=乎

5.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AB=1Q,AC=8,BC=6,線段DE的兩個(gè)端點(diǎn)D,

E分別在邊AC,3c上滑動(dòng)，且DE=4,若M,N分別是DE,A3的中點(diǎn)，則MN的最小值

為（B）

A.2B.3

C.3.5D.4

A

【解析】如圖，連結(jié)CM,CN,

在△ABC中，ZACB=9Q°,AB=10,AC=8,BC=6.

?；DE=4,M,N分別是DE,A3的中點(diǎn)，

：?CN=3AB=5,CM=^DE=2.

當(dāng)C,M,N在同一直線上時(shí)，MN取最小值，

.?.MN的最小值為5—2=3.

6.2024.西安模擬如圖，在等腰三角形A3C中，AB=AC,。為邊的延長線上一點(diǎn),

連結(jié)AD,E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)CE,若3c=2CD=4,CE=y)3,則△ABC的面積為(B：

A.2^3B.4^3

C.8D.85

【解析】過點(diǎn)A作AfU3c于點(diǎn)R

"：AB=AC,/.BF=CF=4x|=2.

V2CD=4,：.CD=2,.?.C為DR的中點(diǎn).

?；E為AD的中點(diǎn)，

:.EC為AAFD的中位線.

：.EC//AF,EC=|AF,

：.AF=2CE=2y[3,

/.5AABC=|BCXAF=1X4X25=473.

二、填空題

7.如圖，在直角三角形ABC中，ZACB=90°,D,E分別為A3,3C邊中點(diǎn)，若CD

=5,DE=3,則BC=8.

8.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線且分別交BC,AC于點(diǎn)。和E,ZB=

60°,ZC=25°,則NA4D的度數(shù)為-70°..

9.如圖，在Rt^B4c和RtZXBDC中，ZBAC=ZBDC=90°,。是3c的中點(diǎn)，連結(jié)

AO,DO.若AO=3,則。。的長為3.

10.如圖，△ABC的周長為a,以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△ALBICI,再以△ABICI各邊

的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作AA252c2,再以AAB2c2各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作AA333c3,……，如此下去，則

△AB2024c2024的周長為(2.

【解析】根據(jù)題意可知，△A151G的周長=Z\A3iCi的周長=3a,

1

△A252c2的周長△AiBiCi的周長ct—~^2a，

所以△AB2024C2024的周長=/△A2023B2023C2023的周長=5而a.

三、解答題

11.如圖，在△ABC中，ZABC=90°,在邊AC上截取AD=A3,連結(jié)3D,過點(diǎn)A作

AEL3。于點(diǎn)E已知A3=6,BC=8,如果R是邊BC的中點(diǎn)，連結(jié)EE

⑴求CD的長.

解：在△ABC中，ZABC=9Q°,AB=6,BC=8,

由勾股定理得AC=y]AB2+BC2=A/62+82=10.

'：AD=AB=6,

：.CD=AC-AD=10-6=4.

(2)求ER的長.

角星："：AB=AD,AE±BD,

：.BE=ED.

,:BF=FC,

.,.ER是△3DC的中位線,

.*.EF=1CD=2.

12.如圖，BD,CE分別為△ABC的中線，BCDE,交于點(diǎn)G,M,N分別是3G,CG

的中點(diǎn).求證:

(1)EM〃DN.

證明：連結(jié)AG,

,:BD,CE分別為△ABC的中線，M,N分別是3G,CG的中點(diǎn)，

：.AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN,

J.EM//AG,DN//AG,

：.EM//DN.

Q)CG=2EG.

解：由(1)知AE=BE,BM=GM,AD=CD,CN=GN,

EM=^AG,DN=；AG,

：.EM=DN.

'：EM//DN,

：.ZMEG=ZDNG,ZEMG=/NDG,

：.AEMGQ△NDG(ASA),

：.EG=GN,：.CG=2EG.

13.(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察

如圖1,在四邊形ABCD中，AD=BC,P是對角線3。的中點(diǎn)，〃是A3的中點(diǎn)，N是

DC的中點(diǎn).求證：/PMN=/PNM.

證明：???「是3。的中點(diǎn)，N是DC的中點(diǎn)，

I.PN是△BCD的中位線，PM是△A3。的中位線，

:.PN*BC,PM=|AD.

'：AD=BC,

：.PM=PN,

：.ZPMN=ZPNM.

(2)用數(shù)學(xué)的思維思考

如圖2,延長圖1中的線段AD交MN的延長線于點(diǎn)E,延長線段交MN的延長線于

點(diǎn)R求證：ZAEM=ZF.

證明：由(1)知，PN是△3DC的中位線，尸般是△A3。的中位線,