2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《拱橋問(wèn)題與二次函數(shù)》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷(帶答案)

學(xué)校:班級(jí)：姓名：考號(hào)：

1.某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門(mén)，并要求所設(shè)計(jì)的拱門(mén)的跨度與拱高之積為48m2,還要兼顧

美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要求價(jià)出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案，現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)圖形放入平面直

角坐標(biāo)系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門(mén)的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，點(diǎn)N在x軸上，PELON,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門(mén)的跨度ON'=8m,拱高PE'=6m其中，點(diǎn)N'在x軸上，P'E'±O'N',O'E'=E'N'.

要在拱門(mén)中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細(xì)忽略不計(jì))，方案一中，矩形框架ABCD的面積

記為H，點(diǎn)A、。在拋物線上，邊在QV上；方案二中，矩形框架AB'C'D的面積記為S2,點(diǎn)A',力在拋物線

2

上，邊3'C'在ON'上，現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)A?=3m時(shí)，S2=1272m,請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時(shí)，求矩形框架ABCD的面積跖并比較%S2的大小.

2.一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索乙與纜索人均呈拋物線型，橋塔AO與橋塔均垂直于橋

面，如圖所示，以。為原點(diǎn)，以直線F尸'為無(wú)軸，以橋塔AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

己知：纜索4所在拋物線與纜索4所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，橋塔AO與橋塔3c之間的距離OC=100m,

AO=BC=17m,纜索乙的最低點(diǎn)尸到尸尸的距離PD=2m(橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì))

(1)求纜索4所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

⑵點(diǎn)E在纜索4上，EFLFF',且EF=2.6m,FO<OD,求尸O的長(zhǎng).

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3.如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一建筑物造型，它的截面圖是拋物

線的一部分(如圖②所示)，拋物線的頂點(diǎn)在C處，對(duì)稱(chēng)軸OC與水平線。4垂直，0c=9,點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)

A到對(duì)稱(chēng)軸的距離0A=3,點(diǎn)B在拋物線上，點(diǎn)B到對(duì)稱(chēng)軸的距離是1.

圖①

⑴求拋物線的表達(dá)式;

(2)如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在OC上找一點(diǎn)尸，加裝拉桿尸4尸2,同時(shí)使拉桿的長(zhǎng)度之和最短，請(qǐng)你幫小星找

到點(diǎn)尸的位置并求出坐標(biāo);

(3)為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計(jì)拋物線，其表達(dá)式為＞=-/+2"+6一1(人＞0),當(dāng)44xV6時(shí)，函數(shù)V的值總

大于等于9.求6的取值范圍.

4.現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以0E所在直

線為無(wú)軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=10m,該拋物線的頂點(diǎn)

P到0E的距離為9m.

(1)求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)48處分別安裝照明燈.已知點(diǎn)到0E

的距離均為6m,求點(diǎn)A、B的坐標(biāo).

5.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案?

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圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線

素形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬

材20m,拱頂離水面5m.據(jù)調(diào)查，該河

1段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最b---------與—―n

圖1圖2

高.

為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱

上懸掛40cm長(zhǎng)的燈籠，如圖3.為了安

橋橫

素全，燈籠底部距離水面不小于1m；為

材了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平安全距離，

2間距均為L(zhǎng)6m；為了美觀，要求在符

合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸圖3

對(duì)稱(chēng)分布.

問(wèn)題解決

任

務(wù)確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

1

任

在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的

務(wù)探究懸掛范圍

最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍.

2

任

給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，

務(wù)擬定設(shè)計(jì)方案

求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo).

3

6.某?？萍紖f(xié)會(huì)組織橋梁模型制作比賽，向全校同學(xué)征集作品.圖①是某“實(shí)踐小組”制作的橋梁模型，圖②是該

模型簡(jiǎn)化后在平面直角坐標(biāo)系（以。為原點(diǎn)，橋面AB,CD所在直線為x軸，上、下橋拱最高點(diǎn)E,尸所在直線為

y軸）中的截面示意圖，下面是他們的設(shè)計(jì)方案：

①上橋拱AEB和下橋拱CTD均為拋物線型，其中上橋拱曲所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為必=上無(wú)2+20；

②上、下橋拱最高點(diǎn)E,尸之間的距離為10；

③上橋拱的點(diǎn)A,8到原點(diǎn)。的距離均為40,下橋拱的點(diǎn)C,。到原點(diǎn)。的距離均為15.

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圖①

(1)求下橋拱CED所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)“實(shí)踐小組”欲在上、下橋拱之間設(shè)計(jì)一個(gè)矩形牌匾跖VP。，并在牌匾上將該橋命名為“智慧橋”.已知點(diǎn)N(點(diǎn)

M在點(diǎn)N的左側(cè))均在直線y=10上，點(diǎn)P,。在上橋拱上(點(diǎn)P,。關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且P,。均在直線＞=1。

的上方)，若矩形尸。的周長(zhǎng)為57.5,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo).

7.某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門(mén)，還要兼顧美觀、大方、和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要

求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案，現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)圖形放入平面直角坐標(biāo)系中如圖所示.

方案二

其中點(diǎn)N在x軸上，PE±ON,OE=EN

方案二：拋物線型拱門(mén)的跨度ON'=8m,拱高PE'=6m,其中N'點(diǎn)在無(wú)軸上，P'EVON',OE'=E'N'.

要在拱門(mén)中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細(xì)忽略不計(jì))，方案一中，矩形框架ABCD的面積

記為匹，點(diǎn)A、。在拋物線上，邊在ON上；方案二中，矩形框架、AB'C/y的面積記為$2，點(diǎn)A,川在拋物

2

線上，邊3'C在ON'上，現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)AB'=3m時(shí)，S2=1272m,請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相

關(guān)信息，解答下列問(wèn)題:

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時(shí)，求矩形框架ABCD的面積S一并比較耳，邑的大小.

8.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：山西的窯洞是中國(guó)黃土高原傳統(tǒng)民居，它不僅是當(dāng)?shù)鼐用襁m應(yīng)自然環(huán)境的智慧結(jié)晶，也承載著深厚的歷

史記憶和地域文化.圖1是小紅家鄉(xiāng)剛建好的窯洞及內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖，圖2是某裝修公司承攬窯洞裝修任務(wù)后設(shè)計(jì)出的

窯洞內(nèi)部墻面及頂部裝修示意圖.

數(shù)學(xué)建模:

如圖3所示是窯洞的截面圖，可近似看成是由拋物線的一部分和矩形構(gòu)成，已知窯洞的寬A3為4m,窯洞頂部最高

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點(diǎn)。離地面3.75m,點(diǎn)A離地面2.25m.

(1)在圖3中畫(huà)出以點(diǎn)。為原點(diǎn)，平行于的直線為x軸、豎直方向?yàn)椋据S的平面直角坐標(biāo)系，并求拋物線的函

數(shù)表達(dá)式.

問(wèn)題解決：

(2)如圖4,裝修公司計(jì)劃在窯洞兩側(cè)離地面3m的C,。處安裝吊頂，若窯洞的深度為8m,求吊頂所需材料的

面積(結(jié)果精確到1m2,參考數(shù)據(jù)：夜名1.414);

(3)小紅想在裝修完工后為窯洞增添一些裝飾.她計(jì)劃從點(diǎn)A到點(diǎn)D,從點(diǎn)C到點(diǎn)B各拉一條彩帶，并在C,。兩

處懸掛彩燈CD,CM,DNCM,N在彩帶上，CMLCD,DNLCD).試計(jì)算小紅需要購(gòu)買(mǎi)彩燈的總長(zhǎng)度(結(jié)

果精確到。［m)).

9.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如圖，某經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)計(jì)劃在道路A3上方搭建一座拋物線橋拱形彩虹橋，已知道路

的寬為20m(路內(nèi)側(cè)兩邊各有2m寬的綠化帶，其余路面正常通行)，橋面最高

材處與路面的距離為8m.

料M

橋拱1

A

4—20m-八B

任

以AB所在直線為x軸，以的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，求該

務(wù)

拋物線形彩虹橋的解析式.

1

任

按計(jì)劃在該彩虹橋下方需對(duì)稱(chēng)安置兩個(gè)支撐柱進(jìn)行支撐，若要確保道路AB的正常通

務(wù)

行，求支撐柱的最小高度.

2

任若在該彩虹橋下方有一個(gè)限高5m的橫桿，現(xiàn)要在橫桿上方懸掛一個(gè)寬9m、高1m的

務(wù)橫幅，在不超出橋面的情況下，橫幅能否按計(jì)劃懸掛(不考慮橫桿的寬度)？請(qǐng)通

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3過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

10.新中國(guó)成立以來(lái)，幾代人逢山開(kāi)路，遇水架橋，正在加快建設(shè)交通強(qiáng)國(guó).如圖1是某地高速公路上修建的兩個(gè)

隧道，如圖2是其橫截面示意圖.

圖2

素材一：隧道4與4均呈拋物線型，已知陳道右底部C與隧道乙底部A相距2加，以直線AC為x軸，線段AC的

中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)。、8都在x軸上.

素材二：4所在拋物線與人所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，4底部寬A3為12m,4所在拋物線的最高點(diǎn)尸與路面A3的

距離為8m.

(1)求隧道右所在拋物線的表達(dá)式;

(2)現(xiàn)需在隧道4、工內(nèi)壁上分別安裝攝像頭N、M,如圖2所示，即N、M均在各自拋物線對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的拋物線上，

己知點(diǎn)M、N到路面AC的豎直距離均為6m,求N兩點(diǎn)間的距離.

11.某市一處十字路口立交橋的橫斷面如圖所示,橋拱的DGD部分為一段拋物線，頂點(diǎn)G的高度為8米,它兩側(cè)AD

和AD是高為5.5米的支柱，Q4和OA為兩個(gè)方向的機(jī)動(dòng)車(chē)通行區(qū)，寬都為15米，線段和C力’為兩段對(duì)稱(chēng)的

上橋斜坡，其坡度(即垂直高度與水平寬度的比)為14.以CC'所在直線為x軸，橫斷面的對(duì)稱(chēng)軸為y軸建立平

面直角坐標(biāo)系.

(1)求橋拱DG。所在拋物線的解析式及OC的長(zhǎng)；

(2)BE和為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應(yīng)的和AE為兩個(gè)方向的行人及非機(jī)動(dòng)車(chē)通行區(qū)，直接寫(xiě)出

寬A3的長(zhǎng)度；

(3)按規(guī)定，汽車(chē)通過(guò)該橋下時(shí)，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米.今有一大型運(yùn)貨汽車(chē)，裝載某大型

設(shè)備后，其寬為4米，車(chē)載大型設(shè)備的頂部與地面的距離均為7米.它能否從橋下區(qū)域安全通過(guò)？請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.學(xué)科實(shí)踐

驅(qū)動(dòng)任務(wù)：

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“天下九塞，雁門(mén)為首”，雁門(mén)關(guān)隧道是大同至運(yùn)城高速公路的咽喉要道，它的開(kāi)通是我國(guó)高速公路隧道建設(shè)史上的

壯舉.某校數(shù)學(xué)研習(xí)小組就隧道通行情況展開(kāi)探究.

研究步驟：

(1)如圖，隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成，雁門(mén)關(guān)隧道寬的=10m,隧道壁高AB=5m,隧道最高點(diǎn)C位于

AAj的中央且距地面6m.

(2)研習(xí)小組了解到為了防止碰撞，保障行車(chē)安全，隧道內(nèi)路面兩側(cè)各預(yù)留1m的立道牙，該隧道為單向雙車(chē)道.

問(wèn)題解決：

(1)以線段AA所在直線為無(wú)軸，AA的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出坐標(biāo)系，并求拋物

線的表達(dá)式.

(2)交通部門(mén)要求行駛車(chē)輛的頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少要有0.5m,求通過(guò)隧道的

車(chē)輛應(yīng)限制高度為多少米？(結(jié)果精確到0.1m)

C

8f一二一:

13.學(xué)科實(shí)踐

驅(qū)動(dòng)任務(wù)：在日益繁華的城市，“沖上云霄”的商樓隨處可見(jiàn)，往往讓人產(chǎn)生視覺(jué)疲勞.太原市某中學(xué)為了減緩?fù)瑢W(xué)

們的視覺(jué)疲勞和學(xué)習(xí)壓力，特在校園中修建了賞心悅目的花園，并將花園大門(mén)的頂部設(shè)計(jì)成了拋物線型(如圖1所

示).數(shù)學(xué)興趣小組協(xié)助工人師傅進(jìn)行裝飾大門(mén)的工作.

圖1圖2

研究步驟：1.如圖2是花園大門(mén)的截面圖，興趣小組測(cè)得大門(mén)的寬MN=3米，AM,3N為大門(mén)兩旁的立柱，其

高度為2米，拋物線型拱頂最高處點(diǎn)C距地面的距離為3.5米.

2.根據(jù)設(shè)計(jì)要求，要在C點(diǎn)處插一面紅旗，在拋物線拱頂上掛一對(duì)紅燈籠.兩個(gè)懸掛點(diǎn)到地面的距離相等.同時(shí)

做好花園大門(mén)的加固工作.

問(wèn)題解決：請(qǐng)根據(jù)研究步驟與相關(guān)數(shù)據(jù)，完成下列任務(wù)：

(1)為了安全起見(jiàn)，工人師傅要給大門(mén)加固，如圖3,線段AC,可看成是加固時(shí)所用的鋼筋(不考慮接口處所

需鋼筋長(zhǎng)度)，則給大門(mén)加固需要的鋼筋長(zhǎng)度為米，若連接A3,則/。18=°；

(2)如圖3,因?yàn)橐獞覓鞜艋\，考慮到安全因素，工人師傅要用鋼筋對(duì)大門(mén)進(jìn)行二次加固，若保證二次加固的鋼筋與

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第一次加固的鋼筋垂直，即FPJ_AC于點(diǎn)尸，EQL2C于點(diǎn)。（EP,EQ為二次加固的鋼筋）.請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，確

定二次加固時(shí)大門(mén)一側(cè)所需鋼筋的最大長(zhǎng)度（不考慮其他因素，結(jié)果保留根號(hào)）.

14.某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)利用二次函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行探究學(xué)習(xí).

【數(shù)學(xué)建?！克麄儗?duì)一個(gè)截面為拋物線且設(shè)有兩條（雙向）行車(chē)道的隧道進(jìn)行研究（行車(chē)道分界線的寬度忽略不計(jì)，

行駛車(chē)輛不能越過(guò)分界線），建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，并畫(huà)出了隧道截面圖.

【實(shí)踐應(yīng)用】已知隧道的路面寬為10m,隧道頂部最高處點(diǎn)P距地面6.25m,按規(guī)定，過(guò)隧道的車(chē)輛的頂部與隧道

頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m.現(xiàn)有一輛寬3m、高3.5m的廂式貨車(chē)計(jì)劃從隧道駛過(guò).

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）請(qǐng)問(wèn)：廂式貨車(chē)能否順利通過(guò)隧道？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【問(wèn)題探究】該社團(tuán)為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識(shí)，借助上述拋物線模型，設(shè)計(jì)了以下問(wèn)題：

（3）如圖2,在拋物線內(nèi)作矩形ABCD,使頂點(diǎn)C,。落在拋物線上，頂點(diǎn)A,8落在x軸上.設(shè)矩形ABCZ）的周

長(zhǎng)為/,求/的最大值.

（4）在（3）的條件下，如圖3,在矩形周長(zhǎng)最大時(shí)，將矩形ABCD繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°<tz<360°）,

當(dāng)以點(diǎn)P,D,C為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角。的度數(shù).

15.白鹿原隧道被稱(chēng)為“中國(guó)最大斷面黃土隧道”，它的截面近似看作拋物線，某數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究隧道

的截面，建立如圖坐標(biāo)系，已知隧道的凈寬加約為18米，凈高（即拋物線最高點(diǎn)到地面的距離）約為12米.在

隧道施工過(guò)程中，需要一個(gè)“凸”字形的支架支撐隧道的頂部，支架的下部分和上部分都分別由矩形ABC。和矩形

EFG”組成，已知下部分矩形的長(zhǎng)8C=12米，上部分矩形的長(zhǎng)寬比（即EH:GH=3:2）,點(diǎn)A,D,E,H都在拋

物線上.根據(jù)以上信息解決問(wèn)題.

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(1)求隧道截面拋物線的解析式；

(2)請(qǐng)確定支撐點(diǎn)打的位置(即點(diǎn)”的坐標(biāo)).

16.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境

如圖1,窯洞是黃土高原獨(dú)特的居住形式，具有十分濃厚的中國(guó)民俗風(fēng)情和鄉(xiāng)土氣息.為響應(yīng)國(guó)家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，

協(xié)助當(dāng)?shù)卮迕窀纳凭幼…h(huán)境，留住文化底蘊(yùn).當(dāng)?shù)卣?jì)劃將窯洞現(xiàn)有的紗布糊窗統(tǒng)一改為玻璃窗戶，并將門(mén)上方

的窗戶換為斷橋窗戶，進(jìn)一步提升窯洞的采光和通風(fēng).

方案設(shè)計(jì)

小明對(duì)窯洞進(jìn)行了測(cè)量并繪制了如圖2所示的窯洞口的示意圖，窯洞口的輪廓可以看成是由矩形ABC3和拋物線組

成的封閉圖形.已知AB=4米，BC=2米,窯洞口的最高點(diǎn)尸到地面的距離為4米，其中點(diǎn)H,G在上,

點(diǎn)E,尸在拋物線上.

圖1

方案實(shí)施

在圖2中，以A3所在的直線為x軸，以A3的垂直平分線為＞軸建立平面直角坐標(biāo)系.請(qǐng)按照以上方法解決問(wèn)題:

⑴請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出坐標(biāo)系，并求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)當(dāng)/G=2EF時(shí)，求斯和FG的長(zhǎng).

⑶如圖3,在矩形EFG”兩側(cè)分別作兩個(gè)正方形印和正方形L肱VG,其中，點(diǎn)J,M在拋物線上，點(diǎn)K,L在AB

上，點(diǎn)/，N分別在即和FG上.若將拋物線和A3構(gòu)成的封閉區(qū)域內(nèi)的線段定制為木質(zhì)框架(不含拋物線和A3,

不考慮木質(zhì)框架寬度)，當(dāng)矩形瓦所需的木質(zhì)框架總長(zhǎng)度最長(zhǎng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出封閉區(qū)域內(nèi)木質(zhì)框架的總長(zhǎng)度.

參考答案

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1.某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門(mén)，并要求所設(shè)計(jì)的拱門(mén)的跨度與拱高之積為48m2,還要兼顧

美觀、大方，和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要求價(jià)出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案，現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)圖形放入平面直

角坐標(biāo)系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門(mén)的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，點(diǎn)N在x軸上，PELON,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門(mén)的跨度ON'=8m,拱高PE'=6m其中，點(diǎn)N'在x軸上，P'E'±O'N',O'E'=E!N'.

要在拱門(mén)中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細(xì)忽略不計(jì))，方案一中，矩形框架的面積

記為跖，點(diǎn)A、。在拋物線上，邊在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'O的面積記為$2,點(diǎn)A',。'在拋物線

2

上，邊B'C'在ON'上，現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)A?=3m時(shí)，S2=12V2m,請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相關(guān)

(1)求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)在方案一中，當(dāng)AB=3m時(shí)，求矩形框架ABCD的面積跖并比較％S2的大小.

14

【答案】⑴,土+0鏟

2

(2)S1=18m,Sj>S2

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出函數(shù)關(guān)系式.

(1)由題意知拋物線的頂點(diǎn)尸(6,4),設(shè)頂點(diǎn)式用待定系數(shù)法可得方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)令y=3可得％=3或x=9,故BC=6m,S,=AB-BC=18m2；再比較品邑的大小即可.

【詳解】(1)解：由題意知，PE=4m,OE=1c?N=|xl2=6m

二方案一中拋物線的頂點(diǎn)尸(6,4)

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=。(彳-6)2+4

把0(0,0)代入得，0=?(0-6)2+4

解得：g

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y=-—（X-6Y+4=-—x2+—x

9V793

???方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-1^°+京4；

14

（2）解：在y=—0+耳力中

14

令y=3得：3=--x2+~x<

解得x=3或x=9

3C=9—3=6m

=ABBC=3x6=18m2

Q18>12A/2

S]>邑.

2.一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索。與纜索右均呈拋物線型，橋塔A0與橋塔BC均垂直于橋

面，如圖所示，以。為原點(diǎn)，以直線FP為無(wú)軸，以橋塔AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

▲v/m

已知：纜索人所在拋物線與纜索4所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，橋塔4。與橋塔8C之間的距離0C=100m,

AO=BC=Hm,纜索4的最低點(diǎn)尸到ET的距離尸D=2m（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）

（D求纜索右所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵點(diǎn)E在纜索4上，EF±FF',且EF=2.6m,FO<OD,求尸。的長(zhǎng).

【答案】⑴y=旃（x-50『+2；

（2）尸O的長(zhǎng)為40m.

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)題意求得函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)題意設(shè)纜索。所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=o（x-50）2+2,把（0,17）代入求解即可；

（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到纜索A所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=薪（元+50）一+2,由斯=2.6m,把y=2.6代入

求得無(wú)1=-40,3=-60,據(jù)此求解即可.

【詳解】（1）解：由題意得頂點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（50,2）,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,17）

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設(shè)纜索A所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=?(X-50)2+2

把(0/7)代入得17=a(0—50y+2

3

解得"就

纜索4所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=志(》-50)-+2；

(2)解：???纜索人所在拋物線與纜索4所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

???纜索L2所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=赤(％+50)2+2

9：EF=2.6

.?.把y=2.6代入得，2.6--(%+50)-+2

解得玉=-40,x2=-60

尸0=4001或尸0=60111

,/FO<OD

：.尸。的長(zhǎng)為40m.

3.如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，受到該圖啟示設(shè)計(jì)了一建筑物造型，它的截面圖是拋物

線的一部分(如圖②所示)，拋物線的頂點(diǎn)在C處，對(duì)稱(chēng)軸OC與水平線Q4垂直，OC=9,點(diǎn)A在拋物線上，且點(diǎn)

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在OC上找一點(diǎn)P,加裝拉桿尸4網(wǎng)，同時(shí)使拉桿的長(zhǎng)度之和最短，請(qǐng)你幫小星找

到點(diǎn)尸的位置并求出坐標(biāo);

⑶為了造型更加美觀，小星重新設(shè)計(jì)拋物線，其表達(dá)式為y=-Y+26x+b-1@>0),當(dāng)4WxV6時(shí)，函數(shù)V的值總

大于等于9.求6的取值范圍.

【答案】(l)y=-f+9

⑵點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(0,6)

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（3）*>—

13

【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=#+A,將C（0,9）,A（3,0）代入即可求解；

（2）點(diǎn)8關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？，貝1]24+必=1+必七"'，求出直線A&與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可;

（3）分0<645和6>5兩種情況，根據(jù)最小值大于等于9列不等式，即可求解.

【詳解】（1）解：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與y軸重合

???設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+k

OC=9,OA=3

C（0,9）,A（3,0）

將C（0,9）,4（3,0）代入尸加+左，得：

pt=9

[32.a+^=0

%=9

解得,

[a=-l

二拋物線的解析式為>=-必+9；

（2）解：拋物線的解析式為y=+9,點(diǎn)8到對(duì)稱(chēng)軸的距離是1

當(dāng)x=]時(shí)，y=-1+9=8

8（1,8）

作點(diǎn)B關(guān)于>軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)8,

則？（一1,8）,B'P=BP

PA+PB=PA+PB'>AB'

.,.當(dāng)？，B,A共線時(shí)，拉桿長(zhǎng)度之和最短

設(shè)直線AB'的解析式為y=mx+n

/、/、10=3m+n

將9（-1,8）,A（3,0）代入，得8=_租+〃

[m=-2

解得，

[九=6

直線AB'的解析式為y=-2x+6

當(dāng)x=0時(shí)，y=6

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,6）,位置如下圖所示:

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..?拋物線開(kāi)口向下

當(dāng)0<645時(shí)

在4<xW6范圍內(nèi),當(dāng)x=6時(shí)，y取最小值，最小值為：一6?+2x66+6-1=136-37

則13b—3729

解得心二46

：.—<b<5；

13

當(dāng)b>5時(shí)

在4WxW6范圍內(nèi),當(dāng)x=4時(shí)，y取最小值，最小值為：4+2x46+6-1=96-17

貝I」96-1729

解得此個(gè)

b>5；

46

綜上可知，—<b<5^b>5

??.b的取值-范圍E為,6喑46.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，涉及求二次函數(shù)解析式，求一次函數(shù)解析式，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求線段的最值,

拋物線的增減性等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，第3問(wèn)注意分情況討論.

4.現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以0E所在直

線為無(wú)軸，以過(guò)點(diǎn)。垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)設(shè)計(jì)要求：OE=lOm,該拋物線的頂點(diǎn)

P到0E的距離為9m.

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(1)求滿足設(shè)計(jì)要求的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點(diǎn)42處分別安裝照明燈.已知點(diǎn)42到0E

的距離均為6m,求點(diǎn)A、B的坐標(biāo).

O

【答案】(i)y=-石(彳一5)2+9

(2)A(5-,6),8(5+,6)

【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-5)2+9,再代入(0,0),求出a的值即可；

(2)根據(jù)題意知，A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6,代入函數(shù)解析式可求出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可解決問(wèn)題.

【詳解】(1)依題意，頂點(diǎn)尸(5,9)

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a(x-5)2+9

a

將(。,0)代入，得0=a(0-5y+9.解之，得

Q

...拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-—(X-5)2+9.

9

(2)令y=6,if#-—(X-5)2+9=6.

解之,Wx]=~~+5,x2=-~~+5?

???A(5一￥，6),B(5+￥，6).

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，由函數(shù)值求自變量的值的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次

函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

5.根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)拱橋景觀燈的懸掛方案?

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圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線

素形橋拱的示意圖，某時(shí)測(cè)得水面寬

材20m,拱頂離水面5m.據(jù)調(diào)查，該河

1段水位在此基礎(chǔ)上再漲1.8m達(dá)到最

圖1圖2

高.

為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱

上懸掛40cm長(zhǎng)的燈籠，如圖3.為了安

橋橫

素全，燈籠底部距離水面不小于1m；為

材了實(shí)效，相鄰兩盞燈籠懸掛點(diǎn)的水平安全距離，

2間距均為L(zhǎng)6m；為了美觀，要求在符

合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸圖3

對(duì)稱(chēng)分布.

問(wèn)題解決

任

務(wù)確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

1

任

在你所建立的坐標(biāo)系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的

務(wù)探究懸掛范圍

最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍.

2

任

給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數(shù)量，并根據(jù)你所建立的坐標(biāo)系，

務(wù)擬定設(shè)計(jì)方案

求出最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo).

3

【答案】任務(wù)一：見(jiàn)解析，＞=一5尤2；任務(wù)二：懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是T.8;-64x46；任務(wù)三：兩種方案，

見(jiàn)解析

【分析】任務(wù)一：根據(jù)題意，以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求解析式即可求解；

任務(wù)二：根據(jù)題意，求得懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)y2-5+L8+l+0.4=-1.8,進(jìn)而代入函數(shù)解析式即可求得橫坐標(biāo)的范圍；

任務(wù)三：有兩種設(shè)計(jì)方案，分情況討論，方案一：如圖2（坐標(biāo)系的橫軸，圖3同），從頂點(diǎn)處開(kāi)始懸掛燈籠；方案

二：如圖3,從對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)開(kāi)始懸掛燈籠，正中間兩盞與對(duì)稱(chēng)軸的距離均為0.8m,根據(jù)題意求得任意一種方案即可

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求解.

【詳解】任務(wù)一：以拱頂為原點(diǎn)，建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系

圖1

則頂點(diǎn)為(0,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(10,-5).

設(shè)該拋物線函數(shù)表達(dá)式為y=ax\aR0)

則-5=100。

._1

??a=-----

20

該拋物線的函數(shù)表達(dá)式是y=.

任務(wù)二：：水位再上漲1.8m達(dá)到最高，燈籠底部距離水面至少1m,燈籠長(zhǎng)0.4m

.?.懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)丫2-5+1.8+1+0.4=-1.8

懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值是-1.8.

當(dāng)y=-1.8時(shí)，-1.8=-，/，解得工=6或x2=-6

..?懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是-64x46.

任務(wù)三：有兩種設(shè)計(jì)方案

方案一：如圖2(坐標(biāo)系的橫軸，圖3同)，從頂點(diǎn)處開(kāi)始懸掛燈籠.

-6-4.806

圖2

?：-6<x<6,相鄰兩燈籠懸掛點(diǎn)的水平間距均為1.6m

若頂點(diǎn)一側(cè)掛4盞燈籠，則1.6x4>6

若頂點(diǎn)一側(cè)掛3盞燈籠，貝i]L6x3<6

頂點(diǎn)一側(cè)最多可掛3盞燈籠.

\?掛滿燈籠后成軸對(duì)稱(chēng)分布

共可掛7盞燈籠.

???最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-4.8.

第17頁(yè)共39頁(yè)

方案二：如圖3,從對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)開(kāi)始懸掛燈籠，正中間兩盞與對(duì)稱(chēng)軸的距離均為0.8m

▲.▲?--------▲?-------24?▲?▲A

-6016

圖3

???若頂點(diǎn)一側(cè)掛5盞燈籠，則0.8+1.6x(5-l)>6

若頂點(diǎn)一側(cè)掛4盞燈籠，貝10.8+1.6義(4-1)<6

頂點(diǎn)一側(cè)最多可掛4盞燈籠.

???掛滿燈籠后成軸對(duì)稱(chēng)分布

共可掛8盞燈籠.

/.最左邊一盞燈籠懸掛點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-5.6.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.某?？萍紖f(xié)會(huì)組織橋梁模型制作比賽，向全校同學(xué)征集作品.圖①是某“實(shí)踐小組”制作的橋梁模型，圖②是該

模型簡(jiǎn)化后在平面直角坐標(biāo)系(以。為原點(diǎn)，橋面A3,所在直線為x軸，上、下橋拱最高點(diǎn)E,尸所在直線為

y軸)中的截面示意圖，下面是他們的設(shè)計(jì)方案：

①上橋拱和下橋拱CTD均為拋物線型，其中上橋拱所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式為弘=上尤?+20；

80

②上、下橋拱最高點(diǎn)E,尸之間的距離為10；

③上橋拱的點(diǎn)A,B到原點(diǎn)O的距離均為40,下橋拱的點(diǎn)C,D到原點(diǎn)0的距離均為15.

圖①

(1)求下橋拱CED所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)“實(shí)踐小組”欲在上、下橋拱之間設(shè)計(jì)一個(gè)矩形牌匾“NPQ,并在牌匾上將該橋命名為“智慧橋”.己知點(diǎn)M,N(點(diǎn)

〃在點(diǎn)N的左側(cè))均在直線y=10上，點(diǎn)P,。在上橋拱AEB上(點(diǎn)P,。關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且P,。均在直線>=1。

的上方)，若矩形MNP。的周長(zhǎng)為57.5,請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】(()=_/無(wú)2+10

45

⑵點(diǎn)"的坐標(biāo)為(-10,10)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(10,10)

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用.得到二次函數(shù)中幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)并選擇合適的函數(shù)解析式代入計(jì)算是解決本

題的關(guān)鍵.

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（1）由H=-上尤2+20得尸的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)C、點(diǎn)￡＞的坐標(biāo)，設(shè)下橋拱CFD在平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)關(guān)系

表達(dá)式為丫="2+10,再運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可;

（2）先畫(huà)出圖形，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（加,10）,得點(diǎn)"的坐標(biāo)為（-犯10）.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為m,---m2+20可得

80

QP=MN=2m,QM=PN=~m2+10,由矩形MNP。的周長(zhǎng)為57.5可得方程，解方程求出機(jī)的值可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：由題意，得E（0,20）,EF=10.

:.OE=20,OF=OE-EF=20-10=10

.-.F（0,10）.

:下橋拱的點(diǎn)C,。到原點(diǎn)。的距離均為15.

OC=OD=\5

.-.C（-15,0）,D（15,0）.

設(shè)下橋拱CRD在平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y=依?+10

由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)0（15,0）,可得4x152+10=0,解方程，得”-京.

???下橋拱CFD在平面直角坐標(biāo)系中的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式為y=--x2+10；

45

N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)）均在直線y=10上

,設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（旭,10）,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-加,10）.

由矩形MVPQ,得小〃了軸

點(diǎn)P的坐標(biāo)為］m，-+20

Io（J

:.QP=MN=2m,QM=PN=—^m2+10

由矩形MVPQ的周長(zhǎng)為57.5,得21*/+10+2m]=57.5

解得：mt=10,m2=150（不合題意，舍去）

點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-10,10），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（10,10）.

7.某校想將新建圖書(shū)樓的正門(mén)設(shè)計(jì)為一個(gè)拋物線型門(mén)，還要兼顧美觀、大方、和諧、通暢等因素，設(shè)計(jì)部門(mén)按要

第19頁(yè)共39頁(yè)

求給出了兩個(gè)設(shè)計(jì)方案，現(xiàn)把這兩個(gè)方案中的拱門(mén)圖形放入平面直角坐標(biāo)系中如圖所示.

方案一

方案一：拋物線型拱門(mén)的跨度ON=10m,拱高PE=4m,其中點(diǎn)N在x軸上，PELON,OE=EN

方案二：拋物線型拱門(mén)的跨度=8m,拱高PE'=6m,其中N'點(diǎn)在無(wú)軸上，PE'±ON',OE'=E'N'.

要在拱門(mén)中設(shè)置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細(xì)忽略不計(jì)），方案一中，矩形框架ABCD的面積

記為H，點(diǎn)A、。在拋物線上，邊2C在ON上；方案二中，矩形框架、AZ'C'D的面積記為S2,點(diǎn)A,%在拋物

2

線上，邊？C'在ON'上，現(xiàn)知，小華已正確求出方案二中，當(dāng)A2'=3m時(shí)，S2=12>/2m,請(qǐng)你根據(jù)以上提供的相

關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：

（1）求方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵在方案一中，當(dāng)AB=3m時(shí)，求矩形框架ABCZ）的面積跖，并比較跖，S2的大小.

4r

【答案】（l）y=-毛（工-5）-+4

⑵s—z

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出函數(shù)關(guān)系式.

（1）由題意知拋物線的頂點(diǎn)尸（5,4）,設(shè)頂點(diǎn)式用待定系數(shù)法可得方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)令＞=3可得占=7.5,無(wú)2=2.5,故BC=5m,=AB-BC=l5m2■再比較%S2的大小即可.

【詳解】（1）解：解：由題意得，方案一中拋物線的頂點(diǎn)尸（5,4）

設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-5『+4

把。（0,0）代入得0=4（0—5）一+4,解得：a=--

二「如一5）?+4

492

，方案一中拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：J=-^（X-5）+4;

（2）解：在了=_￡（尤_5）2+4中，令y=3得：3=—（（無(wú)一5）2+4

=

解得，石=7.5,x22.5.

第20頁(yè)共39頁(yè)

/.BC=7.5—2.5=5m

S[=AB,BC=3x5=15m2,

15=^/225<-s/288=12忘

,Sj<S2.

8.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：山西的窯洞是中國(guó)黃土高原傳統(tǒng)民居，它不僅是當(dāng)?shù)鼐用襁m應(yīng)自然環(huán)境的智慧結(jié)晶，也承載著深厚的歷

史記憶和地域文化.圖1是小紅家鄉(xiāng)剛建好的窯洞及內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖，圖2是某裝修公司承攬窯洞裝修任務(wù)后設(shè)計(jì)出的

窯洞內(nèi)部墻面及頂部裝修示意圖.

數(shù)學(xué)建模:

如圖3所示是窯洞的截面圖，可近似看成是由拋物線的一部分和矩形構(gòu)成，已知窯洞的寬為4m,窯洞頂部最高

點(diǎn)0離地面3.75m,點(diǎn)A離地面2.25m.

(1)在圖3中畫(huà)出以點(diǎn)。為原點(diǎn)，平行于4B的直線為x軸、豎直方向?yàn)椋据S的平面直角坐標(biāo)系，并求拋物線的函

數(shù)表達(dá)式.

問(wèn)題解決:

(2)如圖4,裝修公司計(jì)劃在窯洞兩側(cè)離地面3m的C,。處安裝吊頂，若窯洞的深度為8m,求吊頂所需材料的

面積(結(jié)果精確到In?,參考數(shù)據(jù)：72?1.414);

(3)小紅想在裝修完工后為窯洞增添一些裝飾.她計(jì)劃從點(diǎn)A到點(diǎn)O,從點(diǎn)C到點(diǎn)8各拉一條彩帶，并在C,。兩

處懸掛彩燈CO,CM,DN(M,N在彩帶上，CMLCD,DN,CD).試計(jì)算小紅需要購(gòu)買(mǎi)彩燈的總長(zhǎng)度(結(jié)

果精確到。」m)).

圖

地面

■03"

圖1圖2

3

【答案】(1)了=-?/(2)吊頂所需材料的面積約為23m2(3)小紅需要購(gòu)買(mǎi)彩燈的總長(zhǎng)度約為41m

O

【分析】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用：用到的知識(shí)點(diǎn)為：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)與一元二次方程

的關(guān)系.理解題意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ钦_解答此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,T.5),點(diǎn)5的坐標(biāo)為(2,-1.5).設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式

為丁=辦2.代入坐標(biāo)即可求解;

第21頁(yè)共39頁(yè)

(2)根據(jù)題意求得點(diǎn)C的坐標(biāo)為卜3,-0.75),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(挺，-0.75).進(jìn)而可求8=2應(yīng).即可求出吊頂所需

材料的面積；

(3)過(guò)點(diǎn)A作A。，。，交QC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.由題意，得AQ=0.75,QD=2+^2.證明△DCMsAOQA.得

DCCM?

了g=求得CNQO.62.進(jìn)而可求答案.

【詳解】解：(1)建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.

；窯洞頂部最高點(diǎn)。離地面3.75m,點(diǎn)A離地面2.25m

3.75-2.25=1.5.

點(diǎn)A,8的縱坐標(biāo)為-1.5.

?/AB=4

/.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,-1.5),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,-1.5).

\?點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)

???設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2.

：A(-2,-1.5)在拋物線〉=加上

??一1.5—4a.

3

解得。=-7

O

???拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-?d.

O

(2)：CD離地面3m

3.75-3=0.75.

，點(diǎn)C,。的縱坐標(biāo)為-0.75.

:點(diǎn)C,。在拋物線丁=-弓尤2上

O

22

?,?將y=。.75代入y=—x9得—x=-0.75.

88

解得玉=—\/2,x2=5/2.

第22頁(yè)共39頁(yè)

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為卜垃,-0.75）,點(diǎn)D的坐標(biāo)為-0.75卜

,CD=2亞.

/.吊頂所需材料的面積為8乂20=16夜。23（!112）.

答：吊頂所需材料的面積約為23m2.

（3）如圖2,過(guò)點(diǎn)A作42,。，交。C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q.

由題意，得AQ=0.75,QD=2+0.

AQLCD,CMLCD

：.CM//AQ.

：.ADCMsADQA.

.DCCMM||2A/2CM

DQ-QA'刻元

：.CM0.62.

CM+￡>N+C￡>=0.62x2+20=1.24