2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形綜合解答題》專項(xiàng)測試卷(附答案)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

1.給出定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形.

⑴在你學(xué)過的四邊形中，寫出一種勾股四邊形的名稱

(2)如圖，將△力8C繞頂點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到ADBE,連接4D,DC,CE,已知NDC8=30。.

①直接寫出NBCE的度數(shù)是.

②判斷四邊形BDCE是否為勾股四邊形，并說明理由.

2.如圖，在邊長為6的正方形力BCD中，點(diǎn)尸在力B上從A向B運(yùn)動，連接DP交AC于點(diǎn)Q.

(1)試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動到AB上何處時，都有△力DQ三AaBQ；

(2)當(dāng)A2BQ的面積是正方形A8CD面積的;時，求。Q的長；

6

⑶若點(diǎn)尸從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)8,再繼續(xù)在BC上運(yùn)動到點(diǎn)C,在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到什么位置時,

△4DQ恰為等腰三角形.

3.如圖，在△ABC中，AB=5,BC=11,A4BC的面積為22,AE_LBC于點(diǎn)E,動點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，沿折

線2B-BC向終點(diǎn)C運(yùn)動，在4B上的速度為每秒5個單位長度，在BC上的速度為每秒2個單位長度，當(dāng)點(diǎn)P

出發(fā)后，且不與點(diǎn)E重合時，將點(diǎn)E繞弘的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。得到點(diǎn)F,連結(jié)2F、PF、PE.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為

t(秒)(t>0).

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(2)用含t的代數(shù)式表示四邊形4FPE的面積S.

⑶當(dāng)四邊形力FPE被直線"分得的兩部分面積之比為1:3時，求t的值.

⑷當(dāng)直線CF垂直于△4BC的一邊所在的直線時，直接寫出t的值.

4.如圖1,在團(tuán)4BCD中，。是對角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線EF分別與AD,BC交于點(diǎn)E,F,將四邊形4BFE

圖1圖2

(1)求證：EM=FC；

⑵求證：OH1EF；

(3)如圖2,若MN1CD,Z.ABC=60°,BF=4+2\/3,FC=2,求0H的長.

5.如圖，在四邊形48中，點(diǎn)M、N分別在邊CD、BC上.連接力M、AN.

圖1圖2

⑴如圖1,四邊形4BCD為正方形時，連結(jié)MN,且NAMN=45。，

①已知CM=6,CN=8,求MN的長；

②己知DM:CM=3:2,求4B:BN的值；

(2)如圖2,四邊形A8CD為矩形，4AMD=2乙BAN,點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，AN=6,AM=8,求4D的長..

6.在團(tuán)力BCD中，M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，連接AN,CM.

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圖①圖②圖③

⑴如圖①，求證：四邊形4VCM是平行四邊形；

(2)如圖②，連接MN,DN,若4AND=9。。,求證：MN=NC；

(3)如圖③，在(2)的條件下，過點(diǎn)C作CE1MN于點(diǎn)E,交DN于點(diǎn)P,EP=1,且Nl=Z2,求AN的長.

7.已知：如圖，在四邊形4BCD中，ADWBC,ZD=90°,AD=9cm,BC=25cm,CD=12cm,連接AC,

點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向勻速運(yùn)動，速度為4cm/s；同時，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿C4方向勻速運(yùn)動，速度為3cm/s；

過點(diǎn)E作EG14B交力B于點(diǎn)G,連接EF,當(dāng)一點(diǎn)停止運(yùn)動時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0<t<4).

(1)當(dāng)點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上時，求t的值；

⑵當(dāng)四邊形力GEF是矩形時，求t的值；

⑶設(shè)四邊形力GEF的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

⑷取CD的中點(diǎn)Q,是否存在某一時刻3使得點(diǎn)E、尸、Q在同一條直線上？若存在，請求出t的值；若不存

在，請說明理由.

8.如圖，在正方形2BCD中，AB=4cm,點(diǎn)。是對角線4C的中點(diǎn)，動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)力、B同時出發(fā)，點(diǎn)

P以lcm/s的速度沿邊4B向終點(diǎn)8勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿邊BC向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)

終點(diǎn)時另一點(diǎn)也停止運(yùn)動，連接P。并延長交邊CD于點(diǎn)M,連接Q。并延長交邊小4于點(diǎn)N,連接PQ、QM、MN、

NP,得到四邊形PQMN,設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動時間為x(s)(x>0),四邊形PQMN的面積為y(cm2).

(1)BP的長為cm,CM的長為cm；(用含尤的代數(shù)式表示)

⑵求y關(guān)于尤的函數(shù)解析式，并寫出自變量尤的取值范圍；

⑶當(dāng)四邊形PQMN是軸對稱圖形時，求出尤的值.

9.已知：如圖1,矩形4BCD中4B=6,AD=12,。為邊4D上的一點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)作NEOF=45。，點(diǎn)E在

折線段A-B—C上，點(diǎn)尸在折線段B—C-D上，點(diǎn)E、F之間的距離稱為NEOF的"截線長”.

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(1)如圖2,若點(diǎn)。與點(diǎn)2重合，點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時，求NE。尸的"截線長”；

(2)若點(diǎn)。與點(diǎn)2重合，點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時，求此時NEOF的"截線長”；

(3)若點(diǎn)。為2D的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段4B上，當(dāng)NEOF的"截線長”為5時，求力E的長度.

10.(1)問題發(fā)現(xiàn).

如圖1,在菱形48CD中，^ABC=120°,點(diǎn)E是對角線BD上一動點(diǎn)，連接4E,將E4繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)60。得

至連接ZF,DF.求x2DF的度數(shù).

(2)問題探究.

如圖2,在正方形4BCD中，45=6,點(diǎn)E是對角線BD上一動點(diǎn)，連接4E,將瓦4繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,

連接4F,當(dāng)BE=2ED時，求BF的長度；

(3)問題解決，

某科技公司現(xiàn)有一塊形如矩形力BCD的研發(fā)基地，如圖3,已知28=200米，力。=200百米，為了響應(yīng)國

家"科教興國"戰(zhàn)略，現(xiàn)需要擴(kuò)大基地面積.擴(kuò)建方案如下：點(diǎn)E是對角線BD上一動點(diǎn)，以4E為邊在4E右側(cè)

作直角三角形4EF,滿足N4EF=90°,4FAE=60°,其中將△EDF修建成新能源研發(fā)區(qū)，AdEF為試驗(yàn)區(qū)，

為保證研發(fā)效果，要使研發(fā)區(qū)(即AEDF)的面積最大，求此時試驗(yàn)區(qū)(即ANEF)的面積.

11.【問題探究】

課外興趣小組活動時，同學(xué)們正在解決如下問題：

如圖1,在矩形ZBCD中，點(diǎn)E,F分別是邊DC,BC上的點(diǎn)，連接力E,DF,且4E1DF于點(diǎn)G,若4B=6,

BC=8,求？的值.

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A

（1）請你幫助同學(xué)們解決上述問題，并說明理由.

【初步運(yùn)用】

（2）如圖2,在△ABC中，ABAC=90°,,=點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，連接BD,過點(diǎn)4作4E1BD于點(diǎn)E,交

AC4

BC于點(diǎn)F,求黑的值.

BD

【靈活運(yùn)用】

（3）如圖3,在四邊形4BCD中，4BAD=90°,—=AB=BC,4D=CD,點(diǎn)E,F分另!j在邊4B,AD上，

AD4

且OE1CF,垂足為G,則竺=.

DE-

12.定義圖形

如圖1,在四邊形ABC。中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，連接MN.若MN兩側(cè)的圖形面積相等，則稱MN

為四邊形A8CD的"對中平分線”

有對中平分線的四邊形具有怎樣的性質(zhì)呢？

分析問題

（1）如圖2,MN為四邊形ABC。的“對中平分線”，連接2N,DN,由M為4。的

中點(diǎn)，知AAMN與ADMN的面積相等，貝必。，BC有怎樣的位置關(guān)系呢?請說明理由.

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，小明提出了下列三個命題，其中假命題的是（請把你認(rèn)為假命題的序號都填

上）

①若MNIIAB,則四邊形4BCD是平行四邊形；

②若MN=AB,則四邊形4BCD是菱形；

③若MN1BC,則四邊形4BCD是矩形.

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深入探究

如圖3,四邊形4BCD有兩條對中平分線，分別是MN,EF,且相交于點(diǎn)。，若MN=EF.請?zhí)剿魉倪呅蜛BCD

的形狀并說明理由.

13.綜合與實(shí)踐課上，同學(xué)們以“折紙中的角"為主題開展數(shù)學(xué)活動.

【操作判斷】

（1）如圖1，將邊長為8cm的正方形ABCD對折，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到折痕AC.打開后，再將正方

形4BCD折疊，使得點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)P處，得到折痕GH,折痕G”與折痕AC交于點(diǎn)Q.打開鋪

平，連接PQ、PD、PH.若點(diǎn)P的位置恰好使得PH12C.

①乙PDH=；

②求CQ的長；

【探究提煉】

（2）如圖2,若（1）中的點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，求ADPQ的度數(shù).

【理解應(yīng)用】

（3）如圖3,某廣場上有一塊邊長為40m的菱形草坪48CD,其中乙BCD=60。.現(xiàn)打算在草坪中修建步道

AC和MN—ND-DM,使得點(diǎn)M在BC上，點(diǎn)N在4C上，且MN=ND.請問步道MN-MD-DM所圍成的

△MND（步道寬度忽略不計）的面積是否存在最小值？若存在，請直接寫出最小值；若不存在，說明理由.

14.某“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣小組”成員在復(fù)習(xí)《圖形的變化》時，對下面的圖形背景產(chǎn)生了濃厚的興趣，并嘗試運(yùn)

用由“特殊到一般”的思想進(jìn)行了探究：

如圖1,正方形ZBCD中，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)E作EF1DE交BC邊于點(diǎn)F,將△4DE沿直線

DE折疊后，點(diǎn)力落在點(diǎn)4處，當(dāng)N8EF=25。，則NFE4=

如圖2,連接。尸，當(dāng)點(diǎn)&恰好落在DF上時，求證：AE=2A'F.

如圖3,若把正方形2BCD改成矩形4BCD,且其他條件不變，他們發(fā)現(xiàn)4E與力？之間也存在著

一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出4E與4F之間的數(shù)量關(guān)系式.

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圖1圖2圖3

15.（1）【問題情景】：如圖1,正方形4BCD中，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合），連接EA.將比4繞點(diǎn)

E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,連接CF,求NFCD的度數(shù).以下是兩名同學(xué)通過不同的方法構(gòu)造全等三角形來解

決問題的思路：

①小聰：過點(diǎn)F作BC的延長線的垂線；

②小明：在48上截取8M,使得=

請你選擇其中一名同學(xué)的解題思路，寫出完整的解答過程.

（2）【類比探究】如圖2,點(diǎn)E是菱形2BCD的邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B,C重合），乙48c=a（a>90°）,連接R4.將

E4繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)a得到EF,連接CF,則NFCD的度數(shù)為（用含a的代數(shù)式表示）；

（3）【學(xué)以致用】：如圖3,在（2）的條件下，連接力F,與CD相交于點(diǎn)G,當(dāng)a=120。時，若鬻=%求詈的

值.

16.綜合與實(shí)踐

【提出問題】

由課本一道復(fù)習(xí)題，小明進(jìn)行改編探究：如圖，正方形28CD中，點(diǎn)E是邊BC上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)3,C

重合），過點(diǎn)E作EF1AE交正方形的外角NDCL的平分線于點(diǎn)F.求證：AE=EF.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)￡在邊BC上時，小明的證明思路如下:

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在BA上截取BP=BE,連接EP.

貝！J易得在△APE^WLECF^P

AP=EC

/-APE=Z.ECF=135°

0AAPE=△ECF

BAE=EF

請補(bǔ)全小明的證明思路，橫線處應(yīng)填.

【深入探究】

（2）如圖2,在（1）的基礎(chǔ)上，過點(diǎn)P作FGII4E交直線CD于點(diǎn)G.以CG為斜邊向右作等腰直角三角形HCG,

點(diǎn)打在射線CF上.

①求證：FG=EF；

②當(dāng)4B=5,CE=2時，請求出線段DG的長.

17.已知，回2BCD中，一動點(diǎn)尸在邊力。上，以每秒1cm的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)。運(yùn)動.

圖①圖②圖③

⑴如圖①，運(yùn)動過程中，若CP平分NBCD,且滿足CD=CP,求NABC的度數(shù)；

⑵如圖②，在（1）間的條件下，連接BP并延長，與CD的延長線交于點(diǎn)尸，連接4F,若ZB=2cm,求△4PF

的面積；

⑶如圖③，另一動點(diǎn)。在BC邊上，以每秒4cm的速度從點(diǎn)C出發(fā)，在BC間往返運(yùn)動，兩個點(diǎn)同時出發(fā)，

當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)。時停止運(yùn)動（同時Q點(diǎn)也停止），若4。=12cm,則時間為何值時，以尸，D,Q,B四點(diǎn)

組成的四邊形是平行四邊形.

18.【提出問題】

如圖，在人教版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第18章平行四邊形的復(fù)習(xí)題中有這樣一道題：

求證：平行四邊形兩條對角線的平方和等于四條邊的一（此空不填）

小紅在探究該問題時從特殊的平行四邊形開始，請你跟隨小紅的思路，幫她完成下列問題：

【探究問題】（1）①在正方形48CD中，設(shè)其邊長為°,則對角線北,BD和。的數(shù)量關(guān)系有："2+皿2=_；

②在菱形4BCD中，設(shè)其邊長為a,則對角線AC,BD和。的數(shù)量關(guān)系有：AC2+BD2=_；

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③在矩形48CD中，設(shè)4B=a,BC=b,則對角線2&8D和a,b的數(shù)量關(guān)系有：AC2+BD2=_；

【解決問題】(2)如圖1,在團(tuán)4BCD中，設(shè)力B=a,BC=6,猜想對角線AC,BD和a,6的數(shù)量關(guān)系有：AC2+

BD2=_并證明你的結(jié)論；

【知識應(yīng)用】(3)如圖2,在四邊形4BCD中，4B=5,BC=9,CD=8,4。=6/力DC=90。，點(diǎn)M為BC的

中點(diǎn)，求力M的長.

圖1圖2

19.綜合與實(shí)踐

(1)【知識感知】如圖1,我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形，在我們學(xué)過的：①平行四邊形

②矩形③菱形④正方形中，能稱為垂美四邊形是(只填序號)；

(2)【概念理解】如圖2,在四邊形4BCD中，AB^AD,CB=C。，問四邊形4BCD是垂美四邊形嗎？請說

明理由；

⑶【性質(zhì)探究】如圖1,垂美四邊形A8CD的兩對角線交于點(diǎn)O,試探究4B,CD,BC,之間有怎樣的數(shù)

量關(guān)系？寫出你的猜想」

⑷【性質(zhì)應(yīng)用】如圖3,分別以RtA4BC的直角邊AC和斜邊4B為邊向外作正方形力CFG和正方形2BDE,連

接CE,BG,GE已知2C=4,AB=5,貝！］GE長為

20.在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點(diǎn)，平行四邊形力BCD的頂點(diǎn)4(6,0),5(10,0),￡>(0,6),矩形。BEF的頂

點(diǎn)F(0,2?.

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圖1圖2圖3

(1)如圖1,EF與AD,BC交于點(diǎn)G,H.

①直接寫出直線BC的解析式和點(diǎn)H的坐標(biāo)；

②求證：四邊形2B//G為菱形；

(2)如圖2,將矩形OBEF沿水平方向向右平移，得到矩形。'夕點(diǎn)0,B,E,F的對應(yīng)點(diǎn)分別為O',B',

E',F'.設(shè)。O=t(t>0),矩形。'夕與平行四邊形4BCD重合部分圖形的周長為L.

①在平移過程中，當(dāng)矩形。'夕與平行四邊形4BCD重合部分為四邊形時，直接用含有t的式子表示3并

直接寫出t的取值范圍；

②如圖3,若尸'。'的中點(diǎn)為M,矩形。'9對角線的交點(diǎn)為N,連接AM,NB.在平移過程中，當(dāng)MA+NB

最小時，直接寫出此時L的值.

參考答案

1.(1)解：正方形、矩形、直角梯形均可，

故答案為：正方形、矩形、直角梯形均可；

(2)解：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，4ABC三ADBE,

0BC=BE,

BZ.CBE=60°,

0ABCE是等邊三角形，

^\Z-BCE=60°,

故答案為:60°；

②回△BCE是等邊三角形，

^\BC=CE,/-BCE=60°,

^DCB=30°,

^DCE=90°,

在RtaDCE中，DC2+CE2=DE2,

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即四邊形BDCE是勾股四邊形.

2.解：(1)

證明：在正方形ABCD中，AB=AD,ADAC=ABAC,

在AADQ和△ABQ中，

-AB=AD

Z.DAC=Z-BAC,

AQ=AQ

??.△ADQ三△ABQ(SAS)；

(2)

解：如圖，過點(diǎn)Q作QEIHD于E,

???△ADQ的面積與正方形4BCD面積之比為1:6,

11

S—DQ=-X6QE=-x6o,

解得QE=2,

ADAC=-ABAD=45°,

2

??.△HEQ是等腰直角三角形，

AE=EQ=2,

DE=AD-AE=6-2=4,

在Rt△DEQ中，DQ=y/DE2+QE2=V42+22=2通;

(3)當(dāng)AADQ為等腰三角形時.

①如圖,QA=QD時，此時。為正方形4BCD的中心，

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此時點(diǎn)尸與點(diǎn)B重合.

②如圖,4Q=2。時，由等邊對等角得:N2DQ=乙AQD.

：.CQAC-AQ=6V2-6

SAD||BC

0ZCPQ=AADQ

回/CQP=乙AQD

S/.CQP=Z.CPQ

???CP=CQ=6V2-6.

③如圖,=DQ時，

此時C、P、。三點(diǎn)重合.

綜上所述：當(dāng)尸運(yùn)動到P,B重合處，或在BC上，且CP=6近-6處，或C,P重合處時，AADQ為等腰三角

形

-1

3.(1)解：EIBC=11,△48C的面積為22,AE1BC,S^ABC^BC-AE

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^\AE=（22X2）+11=4,

故答案為4；

（2）^AE1BC,AB=5,AE=4,

團(tuán)BE=3,

0CE=BC-BE=11-3=8,

回"=y/AE2+EC2=V42+82=4V5,

ii

回S—BE=-BE?AE=-x3x4=6,

回點(diǎn)P到達(dá)2點(diǎn)時間=|=1（秒），

點(diǎn)P到達(dá)E點(diǎn)時間=1+|=|（秒）

點(diǎn)P到達(dá)C點(diǎn)時間=1+3=￡（秒）

①當(dāng)P在2B上（不含點(diǎn)A、B）運(yùn)動時，此時0<t<l,如圖1一1,

圖1-1

團(tuán)將點(diǎn)E繞P力的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。得到點(diǎn)尸，

回。4=OP,OF=OE,

回四邊形2EP尸是平行四邊形，

0FP=AE=4,FP||AE,

團(tuán)NFPA=乙BAE,

RJ7Q

0sinzFPi4=sin^BAE=-=

AB5

Q

回/G=AP-sinZ.FPA=5tx-=3t,

團(tuán)S|24EPF=FP?AG=12t,

②當(dāng)P在BE上（含點(diǎn)B）運(yùn)動時，此時如圖1一2,

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F

/M、

BPEC

圖1-2

同理可得：四邊形AEPF是平行四邊形，

又EL4E1BE,

回回4EPF是矩形，

SPE=3-2(t—1)=5—23

^BAEPF=PE-AE=4(5—2t)=-8t+20,

③當(dāng)P在EC上(含點(diǎn)C)運(yùn)動時，此時如圖1-3,

圖1-3

同理可得：四邊形2EPF是平行四邊形，

又EL4E1BE,

laiaaEPF1是矩形，

0PF=2(t-l)-3=2t-5,

回S圖幺EPF=PE,AE=4(2t-5)=8t—20,

12t(0<t<1)

-8t+20(1<t<|)

(8t-20((<t<y)

(3)①當(dāng)P在ZB上(不含點(diǎn)A、8)運(yùn)動時，此時0<t<1,如圖2-1,延長C4交FP于點(diǎn)。，過點(diǎn)A作G41FP,

垂足為G,

F

圖2-1

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由(2)可得：AG=3t,

團(tuán)PFIIAE,AE1BC,G41FP,

比4G||BC,

團(tuán)48=Z.GAP,Z.QAG=乙C,

ApA.AF41

團(tuán)團(tuán)tanZ_GAP=tanZ-B=——=tanZ-QAG=tanzC=—=-=

BE3yEC82

四邊形AEPF是平行四邊形，

413

團(tuán)GP=AGtanZ.PAG=3tx-=43QG=AG?tanZ-QAG=3t--=-1,

團(tuán)FQ=FP-QG-PG=4-4t-|t=4-yt,

回SUFQ=](??4G=/(4—爭>3t=|(4一骨)t

當(dāng)四邊形4FPE被直線4C分得的兩部分面積之比為1:3時，

即SAAFQ=]S?AEPF或SAAFQ=J>

0—(4——t)t=—?12t或5(4——t)t=—,12t

解得：1=春(負(fù)值舍去)，

②當(dāng)P在BE上(含點(diǎn)8)運(yùn)動時，直線AC不分割四邊形4FPE；

③當(dāng)P在EC上(含點(diǎn)C)運(yùn)動時，此時|<tW學(xué)如圖2-2,

圖2-2

回回4EPF是矩形,

EL4F=EP=2t-5,CP=11-2(t-1)=13-2t,

"Q=PCtanzC=(13-2t)-|=告'

13—2t2t—5

^\FQ=FP-PQ=4-,

xx22

國SAAFQ=[FQSF=之?等-(2t—5)=[(2t—5)2

當(dāng)四邊形4FPE被直線4C分得的兩部分面積之比為1:3時,

=4LAFQ=J^^AEPFf

第15頁共52頁

回：(2t—5)2=*81-20)或3(2匕-5)2=|(8t-20),

解得：t]=(t2=](不合題意舍去)，「3=￡(不合題意舍去)

綜上所述：t=g或t=￡四邊形4FPE被直線AC分得的兩部分面積之比為1:3.

(4)①當(dāng)P在4B上運(yùn)動時，當(dāng)時，垂足為K,如圖4—1所示，過點(diǎn)A作G21FP,垂足為G,

團(tuán)AG=33GP=4t,

回KC=BC?sinzB=llx-4=—44,

55

FK=PF?sin乙FPK=4x-=—,PK=PF?3s乙FPK=4x-=—

5555

0FG=4-4t,AK=PK-AP=^-5t,

在RtAAKC中，AK2+KC2=AC2,

回(￡)2+譚-5t)2=(4佝2

解得：s=￡,巧=募(4K小于。，不合題意舍去)，

②當(dāng)P在BE上運(yùn)動時，如圖4一2,直線CF與4B、BC、AC所在直線的夾角不能為直角;

圖4-1

③當(dāng)P在EC上運(yùn)動時,此時如圖4-3,

第16頁共52頁

圖4-3

當(dāng)CF14B時，設(shè)4B與CF交于點(diǎn)M,ZM=90°,

團(tuán)=BCcos乙B=11x-=—,

55

AM=BM-AB=^--5=

回圖/EPF是矩形，

團(tuán)4FIIBC,AF=EP,

^\Z-MAF=Z-B,

LLC4LAM838

^\EP=AF=------=-4--=-,

COSZ.MAF553

o17

團(tuán)BP=BE+EP=3+3=上，

33

配=1+上17+2=2二3，

36

當(dāng)CF1BC時，P點(diǎn)與。點(diǎn)重合，如圖所示：此時t=T，

綜上所述：當(dāng)直線CF垂直于的一邊所在的直線時，"5或t=g或t=f.

2562

4.(1)證明：???。是對角線AC的中點(diǎn)，

OA=OC,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

???ADWBC,乙BAD=LBCD,

?1.Z.EAO=Z.FCO,

在C。尸中，

第17頁共52頁

ZEAO=乙FCO

OA=OC,

A.AOE=ACOF

??.△ZOE=△COF(ASA),

??.AE=FC,

??,將四邊形ZBFE沿EF折疊得到四邊形MNFE,

??.EM=AE,

??.EM=FC；

(2)證明：延長交尸E的延長線于K,延長”。交EF的延長線于3如圖1,

圖1???四邊形ABC。是平行四邊形,

/.ADWBC,乙BAD=LBCD,

???Z-AEF=Z.CFE,

???將四邊形A8FE沿EF折疊得到四邊形MMFE,

??.EM=AE,/.FEM=乙4EF,4BAD=乙EMN,

???乙FEM=乙CFE,乙EMN=乙BCD,

???180°-Z,FEM=180°-乙CFE,BPzMEK=乙CFL,

同理4EMK=乙FCL,

???EM=FC,

??.△EMKFCL(ASA),

??.EK=FL,乙K=乙L,

??.HK=HL,

由(1)知：LAOECOF,

??.OE=OF,

OE+EK=OF+FL,即。K=03

???OH1EF；

第18頁共52頁

(3)解：如圖2,過點(diǎn)“作"Q1BC,交的延長線于Q,過點(diǎn)。作。T1BC于T,連接

圖2v乙ABC=60°,

???乙N=60°,乙HCQ=60°,

???MN1CD,

??.Z.CPF=乙NPH=30°,

???乙PFC=乙HCQ-Z.CPF=30°,

??,FC=2,

??.FP=2V3,CP=2,

vNF=BF=4+2V3,

??.PN=NF-FP=4,

在Rt^PN”中，

???乙NPH=30°,

NH=-PN=2,

2

???PH=<PN2-NH2=V42-22=2V3,

???CH=CP+PH=2+2V3,

"HQ=90°-60°=30°,“=90°,

CQ=\CH=1+V3,

HQ=y/CH2-CQ2=J(2+2V3)2-(1+V3)2=V3+3,

■：FQ=FC+CQ=2+1+y/3=y/3+3,

:.FQ=HQ,

??.△FHQ是等腰直角三角形，

???乙HFQ=45°,FH=42HQ=V6+3&,

???乙BFN=180°-乙PFC=150°,

???乙EFN=乙EFB="FN=75°,

2

第19頁共52頁

???乙HFO=乙EFC-(HFQ=180°-75°-45°=60°,

???OH1EF,

???乙FOH=90°,乙FHO=30°,

/.OF=-FH=

22

???OH=VFW2-OF2=J(乃+3魚)2—(亞磐)2=3笥3〉,

.-.OH的長為越產(chǎn)I

5.(1)解：(1)①在正方力BCD中，ZC=90°,

在RtACMN中，ZC=90°,CM=6,CN=8,

MN=y/CN2+CM2=V82+62=10,

即MN的長為10.

②如圖，延長CB至點(diǎn)E,使BE=DM,連接4E,

在正方形力BCD中，^ABC==/.BAD=90°,AB=AD,

在△ABE和ATlDM中，

-AB=AD

Z.ABE=乙D,

、BE=DM

/.△ABE三△ADM(SAS),

??.AE=AM,乙BAE=/-DAM,

???乙MAN=45°,

???乙BAN+^DAM=45°,

??.LEAN=乙BAE+乙BAN=45°,即NEAN=乙MAN,

在A/EN和aaMN中，

AE=AM

乙EAN=乙MAN,

AN=AN

/.△AEN三△AMN(SAS),

??.EN=MN,

第20頁共52頁

???DM-.CM=3:2,

設(shè)。M=3a,BN=b,貝|CM=2a,AB=BC=5a,MN=EN=3a+b.

CN=BC-BN=5a-b,

在RtzkCMN中，CN2+CM2=MN2,

???(5a—b}2+(2a)2=(3a+h)2,

???4a(5a—4b)=0,

aH0,

???5a-4b=0,即也=4,

b

???48:BN的值為4.

???Z-E=乙BAN,

在△CEN和△BAN中,

Z.E=ABAN

乙CNE=乙BNA,

CN=BN

CEN三△BZN(AAS),

??.EN=AN,

???/-AMD=2乙BAN=2zE,

Z-AMD=ZE+Z-MAE,

???乙E=Z-MAE,

??.AM=EM,

???AN=6,AM=8,

EN=AN=6,EM=AM=8,

設(shè)DM=x,則心=AM2-DM2=AE2_DE2,

第21頁共52頁

即82-x2=122-0+8)2,

解得：X=1,

AD=y]AM2-DM2=V82-l2=3所.

6.(1)證明：回四邊形ABCD是平行四邊形，

SAD=BC,AD\\BC,

0M,N分別是4D,BC的中點(diǎn)，

0XM=CN,AM\\CN,

.?.四邊形4NCM是平行四邊形；

(2)證明：^AND=90°,M,N分別是AD,8C的中點(diǎn)，

SMN=-AD=MD,CN=-BC=-AD,MD=-AD=-BC

22222

團(tuán)MD=CN,

團(tuán)MN=NC；

(3)解：HMD=|X￡>=|BC=CN,MD\\CN

回四邊形MNCD是平行四邊形，

由(2)知MN=NC

回四邊形MNCD是菱形，

0Z/VMC=乙DMC,DN1MC/DNM=乙DNC,

0Z1+乙DMC=Z1+4NMC=N2+乙ENC=90°,

0ZAZMC=乙MNC,

SMN=CN=MC,

回aMCN是等邊三角形，

回NMND=Z2=Z1=30°,

在RtANEP中，

SEP=1,

???NP=2EP=2,

SNE='NP2-EP2=V3,

???MN=MC=2V3,

回四邊形AMCN是平行四邊形，

EL4N=MC=2V3.

第22頁共52頁

7.(1)解：過點(diǎn)F作FH1BC于點(diǎn)H,如圖,

BEHC-,乙D=90°,AD=9cm,CD=12cm,

???AC=15cm,

VAD\\BCf

匕CAD=乙FCH,

???乙D=(CHF=90°,

ACD^△CFH,

AD_ACop.9_15

CHCFCH3t

9

???CH=：3

當(dāng)點(diǎn)F在線段EC的垂直平分線上時，貝IJCE=2C”，

即25-41=2x/,

解得"?；

3o

(2)解：當(dāng)四邊形4GEF是矩形時，則EFII4B,

???△CEF~△CBA,

.CF_CE日口3七_(dá)25-4t

CACB1525

解得t=

(3)解：:AD=9cm,AC—15cm,BC=25cm,

AD_CA_3

??AC―CB-5’

???Z.CAD=乙BCA,

??.△ZCD?△CBA,

??.ZD=^LBAC=90°,

???AB=y/BC2-AC2=V252-152=20(cm),

EG1AB,

??.EG||AC,

第23頁共52頁

BGE~△BAC,

BG_EG_BE日"G_EG_4t

BA~CA~BC'20—15—25

BG=yt(cm),EG=yt(cm),

VFH=yJCF2-CH2=J(3t)2-(|t)2=yt,

S=S-BC-S?BEG-SACEF=|/1B-71C--FG-1CF-FW=IX20X15-IXyt-t-1(25-

4t)--t=--t2-30t+150,

525

即s=一1|t2一30t+150(0<t<4).

(4)解：過Q點(diǎn)作PQII4D,與力C交于點(diǎn)尸，如圖,則PQIIBC,

回生=絲=1,

PAQD

「八AC

??.PC=PA=——15cm,PQ=1-AD=9-cm,

2x22

???PF=CP-CF=--3t,

2

當(dāng)E、F、Q三點(diǎn)共線時，

vPQWBC,

PQF~△CEF,

915_3t

PQPFnn5v

CECF25-4t3t

整理得，8t2-79t+125=0,

解得t=/叵>4舍或t=以空，

1616

故存在某一時刻亡=生警”s時，使得點(diǎn)E、F、Q在同一條直線上.

16

8.(1)解：(1)由題意得，AP=xcm,BQ=2%cm,

^AB—4cm,

團(tuán)BP=AB-AP=(4—x)cm,

第24頁共52頁

團(tuán)四邊形ZBCD是正方形,

固48||CD,

團(tuán)乙MC。=Z-PAO,Z.CMO=Z.APO,

團(tuán)點(diǎn)。是對角線AC的中點(diǎn)，

團(tuán)C。=A0,

在△MC。和△PZ。中，

2MC0=^PAO

乙CMO=乙4P。，

CO=AO

0AMCO三△PZO（AAS）,

團(tuán)CM=AP=%cm,

故答案為：（4—%）,%；

（2）根據(jù)題意，得：0<%<2,

團(tuán)四邊形Z8CD是正方形，

國4。IIBC,

團(tuán)NQC。=乙NAO,Z.CQO=乙ANO,

團(tuán)點(diǎn)。是對角線4C的中點(diǎn)，

團(tuán)C。=Z。，

在aQC。和△M4。中，

2QCO=乙NAO

乙CQO=AANO，

CO=AO

QCO三△NAO(AAS),

團(tuán)CQ=AN,

回四邊形是正方形，

團(tuán)BC=AB=CD=AD=4cm,

第25頁共52頁

團(tuán)BQ=2%cm,

團(tuán)CQ=BC-BQ=(4—2%)cm,

團(tuán)AN=(4—2%)cm,

團(tuán)DM=CD-CM=(4—x)cm,DN=AD-AN=2xcm,

團(tuán)S—PN=gA尸,AN=|x(4—2%)=2x—x2；

22

S^CMQ=3cM-CQ=1x(4-2%)=2x-%；S^BPQ=-BQ=|(4-%)-2%=4%-x；SADMN=,

DN=1(4—x)-2%=4%—x2,

2222

團(tuán)y=s正方物18co一APN-S△CMQ-SABPQ—S>DMN=4-2(2x-%)-2(4%-%)=4x-

12x+16,

綜上，y=4x2-12%+16(0<x<2)；

(3)0AMCO=APA0,

團(tuán)M。=P0,

0AQCO"NAO,

團(tuán)Q。=NO,

團(tuán)四邊形PQMN是平行四邊形，

團(tuán)四邊形PQMN是軸對稱圖形，

①當(dāng)四邊形PQMN是矩形時，如圖，

只需P。=Q。即可,

則此時只需尸8=QB即可,

回4—%=2%,

解得X=%

②當(dāng)四邊形PQMN是菱形時，PQ=MQ,

第26頁共52頁

0(4—%)2+(2%)2=%2+(4—2%)2,

解得久=0(舍去)；

綜上，當(dāng)四邊形PQMN是軸對稱圖形時，久的值是土

9.解：(1)由題意可知，ZFOF=45°,0O￡F=9O°,

甌0E尸為等腰直角三角形，

即NEOF的"截線長”為6；

甌EM。為等腰直角三角形，

HEM=OM,

在R/0O8尸中，AB=6,AD=12,

0OF=y/OB2+BF2=V62+122=6V5,

H3EMF=EIOB尸=90°,0OFB為公共角，

「FMEM

回--=---，

BFOB

設(shè)EM=OM=x,則MF=6有一x,

<6\[S-xX

團(tuán)----=一,

126

解得，x=2V5,

0￡M=OAf=2V5,MF=4后

在Rt^\EMF中，EM=2V5,MF=4西，

0FF=VEM2+MF2=J(2遮/+(44)2=10,

即NEOF的"截線長”為10；

(3)如圖，過點(diǎn)。作0G1BC于點(diǎn)G,

第27頁共52頁

回四邊形A2G。是矩形，

囿4B=6,AD=12,點(diǎn)。為的中點(diǎn),

^\OA=AB=6,

團(tuán)四邊形ABGO是正方形，

^AO=GO=BG,MOG二團(tuán)3G690°

在GC上截取GH=AE,

在團(tuán)O4E和團(tuán)OGH中,

OA=OG

=乙OGH=90°,

AE=GH

團(tuán)回。4石團(tuán)回OGH,

團(tuán)N/OE=乙GOH,OE=OH,

00AOG=9O°,乙EOF=45°,

^AOE+Z.FOG=45°,

團(tuán)NG。"+乙FOG=45°,

回匕FOH=45°；

團(tuán)NF?！?4EOF=45°

在團(tuán)。跖和團(tuán)0Hb中，

0E=OH

乙EQF=乙HOF=45°,

、OF=OF

^\OE]WOHF,

^\EF=FH=5,

國FH=FG+GH=FG+AE=5；

設(shè)貝lj3E=6-x,FG=5-x,BF=BG-FG=6-(5-x)=x+l,

在R位山所中，由勾股定理可得，EF2=BE2+BF2,

團(tuán)52=(6-%)2+(%+I)2,

第28頁共52頁

解得x=2,

朋E=2.

10.解：(1)?.?四邊形ABC。是菱形，^ABC=120°,

乙

AB=ADfZ-BAD=ABD=60°,

由旋轉(zhuǎn)可知：AE=AF,LEAF=60°,

???Z-BAD=EAF,

ABE三△ADF(SAS),

???^ADF=乙ABD=60°；

(2)如圖2,過點(diǎn)E作EG14。于G,

圖2???四邊形4BCD是正方形，AB=6,BD是對角線,

BD=6V2,AADB=45°,AD=6,

又???乙DGE=90°,

.?.△DGE是等腰直角三角形，

???BD=6V2,BE=2ED,

?1.DE=2V2,

DG=EG=2,

AG=6—2=4,

在RtAAGE中，AE=VXG2+EG2=V42+22=2近，

???E4繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到EF,

二△瓦4F是等腰直角三角形，

AF=42AE=2V10,

在RtAABF中，AB=6,AF=2V10,

BF=7AF?—AB?=(2V10)2-62=2；

第29頁共52頁

(3)如圖3,過4作4M1BE于M,過點(diǎn)尸作FNIB。，交8。延長線于N,

圖3AAME=乙FNE=90°,

???四邊形4BCD是矩形，48=200米，40=200百米,

???ABAD=90°,

BD=2002+（200百/=400（米）,

.AM—ABxAD_200X200V3

/11*7=-=100V3（米），BM=100米,

BD400

BM=100（米）,

RtAAEF^p,/LAEF=90°,^FAE=60°,

pp

???tan/FAE=—=tan60°=遮，乙FAN+Z.AEM=90°,

AE

又???AEAM+^AEM=90°,

???/,EAM=乙FEN,

又???LAME=乙FNE=90°,

AMEENF,

ENFNEFB

,,==-V3,

AMEMAE

設(shè)EM=久米，貝!JFN=百x米，

VBD=400米，BM=100米，

ED=400-100-x=（300-久）米，

???S^EDF=XFN=|（300-x）V3x=-y（x-150）2+1125073,

.?.當(dāng)x=150時,AEOF面積最大,

此時EM=150米，AM=100百米，

AE=1502+（100舊尸=50V21（米），

???EF=y[3AE=150A/7（米）,

第30頁共52頁

???SAAEF=\AExEF=IX50VnX150V7=26250百(平方米),

即研發(fā)區(qū)的面積最大時試驗(yàn)區(qū)的面積為26250g平方米.

11.(1)解：EL4E1DF,

回/EDG+乙DEG=90°,

回四邊形4BCD為矩形，

比48=CD=6,BC=AD=8,ZC=/.ADE=90°,

0