2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的性質(zhì)》專項測試卷及答案

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1.請將下列證明過程補充完整.

已知：如圖尸，8C,垂足分別為。，F(xiàn),NEGA=NE求證：AD平分4AC.

證明：ADLBC,跖，BC（已知）

:.ZEFC=ZADC=90°（垂直的定義）.

〃（）

--=（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

ZEGA=ZE(已知)

.1AT*平分/A4c().

2.四邊形ABCD內(nèi)接于。，對角線AC=3C,尸為OA延長線上一點，連接"ZDAC^ZABF.

圖I圖2圖3

⑴如圖1,求證：BF//CD-

（2）如圖2,連接加并延長至點E,連接CE,若。平分/ACE,求證：BC=CE；

（3）如圖3,在（2）的條件下tanZF=2S^BCD=4,AD=2,延長入。交CE于點T,求CT的

長.

3.如圖，在A3CD中，N3AD的平分線交3C于點E,交。C的延長線于尸，以EC、CF為

(1)如圖①，證明EbG是菱形.

(2)如圖②，若/A3C=120。連接8。CGBG求N3DG的度數(shù)

(3)如圖③若ZABC=90。AB=6AD=8M是跖的中點DM=(直接寫出結(jié)果)

4.如圖在VABC中點。在邊8c上連接AD以AD為直角邊向右作RtADE

ZADE=90°/BAC+2/DEA=180°AE與8C交于點廠.

圖I圖2圖3

(1)如圖1若NABC=ZACB=45。ZADF=ZAFD求/C4D的度數(shù).

(2汝口圖2過點。作DM1AC于點M點N為邊AB上一點過點N作NPJ_AB交AE于點尸

連接OP^AM=AN求證：DM+PN=DP

(3)如圖3點G為邊8C上一點點。為CG的中點連接BEDE若AB=AC求證:

BE=EG.

5.已知矩形MCD和矩形9622是AC上一點4A與邊相交于點ECR與邊CB

相交于點兒

圖1圖2圖3

(1)如圖1若AB=4BC=8則AC=

(2)如圖2在(1)的條件下若明，ACBF=DlF求短

(3)如圖3若A耳=A2=CGQE=GF求證：CF=AE+AA1,

6.如圖在ABCD中過點。作垂足為點E點/在邊上AE=CF連接

AFBF.

(1)求證：四邊形加DE是矩形

⑵若C尸=4BF=4A/3DF=8求證：A尸平分

7.小明將一個含30。的直角三角板尸加(其中/MO尸=90。^OMP=60°ZOPM=30°)按如

圖1所示放置使得直角三角板的一邊落在直線鉆上過頂點尸作直線砂〃AB

在A/P的左側(cè)作直線CZ)〃MP分別交直線ABE尸于點GH.

D

圖1圖2備用圖

(l)NCGB的度數(shù)為

(2)將直角三角板尸斷從如圖1所示初始位置繞頂點M按圖中箭頭方向轉(zhuǎn)動且保證點

O在直線相上方.直線鉆CD保持初始位置直線所隨著點尸的運動位置發(fā)生變化

且保持EF〃AB.

①當(dāng)點尸在直線AB下方時如圖2試猜想N。尸廠和的數(shù)量關(guān)系并說明理由

②在轉(zhuǎn)動過程中當(dāng)直角三角板尸。加的一邊與直線8平行時求/QVffi的度數(shù)

⑶在(2)的條件下作跖V平分作MK平分NO肱V當(dāng)射線M尸平分ZKMV時直

軍寫出MP與直線跖所夾銳角的度數(shù).

8.如圖1。是VA2C的外接圓AC是直徑弦AP與BC交于點E。尸與BC交于點。

ZCPH=ZCAP.

⑴求證：PH是。的切線

⑵若BE=1CE=2求劣弧PC的長

(3汝口圖2BC=2ABSDLAC于點。交AE于點尸跖繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90。得到EG

點G恰好在線段"上求證：CE=2BE.

9.如圖在ABCD中A8=3,A￡>=5,tan8=2正點E在邊上且A￡=2點/是邊BC上

的一動點將四邊形跖CD沿用翻折得到四邊形EFCD連接AZA

備用圖

(l)cosB=__________

(2)當(dāng)點。夕落在直線AB上時求的面積

⑶若.「ADE恰好為等腰三角形請直接寫出所的長.

10.如圖1在Rt^ABC中ZACB=90°8￡)平分/ABCAD=AB延長8c使得CE=AD

連接OE.

H

(2)如圖2過人作河，即交8D于點尸點G在加上AG平分1C4B過G作AG_LG”交

社的延長線于點H.

①求證：AFG為等腰直角三角形

②試探究：GRGEG”的數(shù)量關(guān)系并證明.

H.如圖1在平面直角坐標系中有長方形0ABe點C(0,4)將長方形OABC沿AC折疊

使得點5落在點。處。邊交工軸于點E4MC=30。.

(1)求點D的坐標

⑵如圖2點N為OC的中點在直線AC上是否分別存在點〃使得的周長最小?

如果存在求出￡MN周長的最小值如果不存在請說明理由

⑶點尸為y軸上一動點作直線鉆交直線8于點。存在點尸使得-CPQ為等腰三角形

請直接寫出NO"的度數(shù).

12.如圖四邊形ABC。是。的內(nèi)接四邊形ACSD于點EAB=AC/為8D延長線上

一點且也》=8連接

(1)求證：ZBAC=2ZCAD

⑵求證：CF為。的切線

(3)若AB=10FC=4亞求tan/D4B的值

13.綜合與實踐

在四邊形A2CZ)中點M是BC邊上一點(可與端點重合)點/關(guān)于直線AS的對稱點

為點N連接AM,MN,AN,BD.

(1)如圖1若四邊形為正方形點與點重合.

AN與血)的數(shù)量關(guān)系是一AN與四的位置關(guān)系是一

(2)如圖2若四邊形四8為菱形ZABC=60。,/為3C邊的中點請寫出AN與血)的數(shù)

量關(guān)系及位置關(guān)系并僅就圖2的情形說明理由

⑶在(2)的條件下連接CN將繞點在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)當(dāng)?shù)腣//9時請直

接寫出黑的值.

14.在正方形AB。中點、EF耳分別是邊AOCD3C上的動點連接團AF

相交于點G且

⑴如圖1若點石與點3重合

①求證：AE=DF

②如圖2當(dāng)點E運動到中點時求證：/DGE=45°.

⑵如圖3若點G為線段防的中點連接8。交團于點尸連接尸尸試探究線段所與

E”的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.

15.如圖所示VA5c為等腰三角形AB=AC點。是BC上一點連接AD.

(1)當(dāng)44C=90。時

①如圖1若BD=2DC=4把AD繞A順時針旋轉(zhuǎn)90。到AE連接BEDE則DE=

②如圖2將線段DC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。到上點￡落在AC上連接班點。為線段

破的中點連接AOAD此時AO與的數(shù)量關(guān)系為

小明同學(xué)提出以下解決問題的思路僅供大家參考：

延長AO到點/使。尸=3連接跖DF通過證明兩組三角形全等再進一步分析

研究4的來解決問題：

（2）當(dāng)NBAC=120。時

①如圖3將線段DC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。到DE連接破點。為線段班的中點連

接AOAD此時A。與AD有怎樣的數(shù)量關(guān)系并說明理由

②如圖4點。為VABC內(nèi)一點若4。=90?！á?150。請直接寫出舞的值.

參考答案

1.EFAD同位角相等兩直線平行"GAZGADZEZDXC兩直線平行同

位角相等/GADZDAC等量代換角平分線的定義

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)解題的關(guān)鍵是：掌握平行線的判定定理.首

先根據(jù)平行線的判定證明兩條直線平行再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明有關(guān)角相等運用

等量代換的方法證明所分的兩個角相等即可證明.

【詳解】證明：AD±BC,EF±BC（已知）

:.ZEFC=ZADC=90°（垂直的定義）.

??EF//AD（同位角相等兩直線平行）

:.NEGA=NGAD（兩直線平行內(nèi)錯角相等）

NE=NDAC（兩直線平行同位角相等）

ZEGA=ZE（已知）

ZGAD=ZDAC（等量代換）

，相）平分N3AC（角平分線的定義）.

故答案為：EFAD同位角相等兩直線平行“GAZGADZEZDAC兩直線

平行同位角相等“ADZDAC等量代換角平分線的定義.

2.⑴見解析

（2）見解析

⑶述

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)及已知得/用C=NAS再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得

NFBC+NBCD=180。從而得結(jié)論成立

（2）AACD^AECD得AC=EC再結(jié)合AC=BC即可求證

（3）過點。作于點"CGLAT于點G證明CHD絲CG。CHB沿CGA則

DH

HD=DG,CH=CGBH=AG證明/尸=/8￡>C貝|tanN8￡）C=——=2^HD=DG=x貝|

CH

CH=2x從而可表示出3”、即由面積可求得％的值從而求得AC、8C的值過點A

作AQ〃CT交C。延長線于點?？勺C明ADQsac得羔=半沒CT=?,DT=2a

則得GT由勾股定理求得。的值即可求解.

【詳解】（1）證明：VAC=BC

ZCBA=ZCAB

*.*ZDAC=ZABF

，ZFBC=ZABF+ZABC=ZDAC+ZCAB=ZBAD

丁四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形

/.ZBAD+ZBCD=1SO°

ZFBC+ZBCD=180°

/.BF//CD

（2）證明：如圖設(shè)4

*/AC=BC

ZABC=Zl=a

，Z2=180°-2Z1=180°-2a

*.*BC=BC

/.N4=Nl=a

H

*.*AB=AB

/.N3=N2=180。一2。

*/ZADC=N3+N4=180?！?c+c=180?！?NEDC=180?！狽4=180?！猘

/.ZADC=ZEDC

丁CD平分/AC￡

/.Z5=Z6

*/CD=CD

：.AACD^AECD

：.AC=CE

*/AC=BC

/.BC=CE

（3）解：過點。作于點"CGLAT于點G如圖

Q

/.NF=ZTDCZF+ZADC=180°

\*ZABC+ZAZ）C=180°

?ZABC=ZGDC=ZF

?//BAC=/BDC

ZBDC=ZTDC=ZF

VZCHD=ZCGD=90°fCD=CD

/.CHD^CGD

:?HD=DG,CH=CG

VZCHB=ZCGA=90°,ZCAG=ZCBH

/.CHB沿CGA

/.BH=AG

tan尸=2

tanZB￡>C=—=2

CH

設(shè)HD=OG=x貝！jCH=2x

BH=AG=AD+DG=2+x

,

SBCD=^-BDCH=4BD=BH+DH=AG+DG=x+2+x=2x+2

—(2x+2)x2%=4

2

解得：％=1,々=-2(舍去)

，CH=2,BH=3

由勾股定理得：AC^BC=^BH-+CH-=A/13

過點A作A。//CT交。延長線于點Q

：.4Q=4DCT

,：CD平分/ACE

/.NDCT=NDCA

：.ZDCA^ZQ

/.AQ=AC=相

?；ZADQ=NGDC,ZQ=ZDCT

/._ADQ^_TDC

?AQ=AD

'?TC-7D

即巫=2

CTDT

.CT_y/l3

"'~DT~~

CT=71347,DT=2a貝|GT=Z)T—DG=2a—l

在RtGTC中由勾股定理得：CG?+GT2=CT2

即22+(2a-l)2=(713<Z)2

解得:ai=1,%=T(舍去)

：CT

.W9

【點睛】本題是圓的綜合考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)同弧對的圓周角相等全等

三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)勾股定理解一元二次方程三角

函數(shù)等知識構(gòu)造適當(dāng)輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.⑴見解析

(2)60°

(3)5近

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)可得AD//BCAB//CD結(jié)合角平分線的定義可得

ZBAE=ZDFAZDAE=ZCEF從而得出NCFE=/CE尸由等角對等邊得出CE=CF即可得

證

(2)證明BEG—DCG(SAS)得出BG=DGZBGE=ZDGC證明CEG是等邊三角形得

出/CGE=60。即可得出ZBGD=60。證明BDG是等邊三角形即可得解

(3)求出AB=BE=6得出CE=BC-BE=2證明四邊形EC尸G為正方形得出CF=CE=2

ZCFE=450由勾股定理可得所=，CE2+C尸=2蟲結(jié)合題意可得依〈E尸=應(yīng)作

MNLCF^N則跖由為等腰直角三角形求出MN=NF=與MF=1從而可得

DN=DC+CF-NF=1最后由勾股定理計算即可得解.

【詳解】（1）證明：二?四邊形如。是平行四邊形

/.AD//BCAB//CD

*/AE平分

ZBAE=ZDAE

AZBAE=ZDFAZDAE=ZCEF

，ZCFE=ZCEF

/.CE=CF

,??四邊形石CFG為平行四邊形

，四邊形EBG為菱形

（2）解：:四邊形是平行四邊形

/.AD//BCAB//CDAB=CD

9：ZABC=120°

/.ZBCD=60°/BCF=120°

由（1）可得四邊形EBG為菱形

/.CG=GE=CE/DCG=120。

?/EG//DF

/.ZBEG=ZBCF=120°=ZDCG

*/AE平分

，ZBAE=ZDAE

*.*AD//BC

，ZAEB=ZDAE

ZAEB=ZBAE

AB=BE

BE=CD

/.BEG絲。CG(SAS)

/.BG=DGZBGE=ZDGC

：.ZBGD=ZCGE

?.?CG=GE=CE

*e?CEG是等邊三角形

ZCGE=60°

ZBGD=60°

BG=DG

.?一如G是等邊三角形

/.NBDG=GO。

(3)解：二?四邊形ABC。是平行四邊形ZABC=90°

/.AD//BCAB//CDBC=AD=8CD=AB^6

ZDAE=ZAEBZBCF=ZABC=90°

*/A石平分4AD

/.ZBAE=ZDAE

:?ZBAE=ZAEB

AB=BE=6

CE=BC-BE=2

由（1）可得四邊形石BG為菱形

/ZBCF=90°

，四邊形及TG為正方形

CF=CE=2ZCFE=45°

EF=yJCE2+CF2=20

是跖的中點

MF=-EF=

2

如圖：作禰V_Lb于N則MN尸為等腰直角三角形

?*-DM=飛DN?+MN?=572.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)菱形的判定與性質(zhì)正方形的判定與

性質(zhì)勾股定理等腰直角三角形的判定與性質(zhì)角平分線的定義等邊三角形的判

定與性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點熟練掌握以上知識點并靈活運用是解

此題的關(guān)鍵.

4.(1)22.5°

(2)證明見解析

⑶證明見解析

【分析】(1)先由三角形內(nèi)角和定理得到NBAC=90。從而得到4E4=45。在RtADE中

由直角三角形性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)求解即可得到答案

(2)延長DM至點〃使得皿=NP連接如圖所示由三角形全等的判定與性質(zhì)

通過.AA%—>WH（SAS）ADP^ADH（SAS）即可得證

（3）延長ED至點R使得￡>R=￡?連接ARCR如圖所示由三角形全等的判定與性

質(zhì)通過」ADE%ADA（SAS）CDR竺GDE（SAS）和ACR與ABE（SAS）即可得證.

【詳解】（1）解：ZABC=ZACB=45°

:.ABAC=180O-ZABC-ZACB=90°

.^BAC+2^DEA=180°

:.ZDEA=45°

在RtAOE中ZADE=90°IJJljZDAE=90°-ZDEA=45°

/.NADF=ZAFD=――"鉆=67.5°

2

...ZCAD=ZADF-NACB=22.5°

（2）證明：延長。Af至點“使得M"=NP連接AH如圖所示:

在Rt.AZ)石中ZADE=90°貝(jZDAE+NOE4=90。

/BAC+2/DE4=180。

/.ZBAC+2(90°-ZZME)=180°貝l|ZBAC=2ZDAE

DM1ACNP1AB

:.ZAMH=ZANP=9。。

在4Vp和中

AM=AN

<ZAMH=ZANP=90°

MH=NP

ANP^,AMH(SAS)

:,AH=APZPAN=ZHAM

ABAC=2ZDAE=/DAE+(ZDAM+ZBAE)

ZDAE=ZDAM+ZBAE=ZDAM+ZHAM=ADAH

在△4DP和ADH中

AH=AP

<ZDAE=ZDAH

AD=AD

.?.一AD尸"45H(SAS)

:.DP=DH

DH=DM+MHMH=NP

，DM+PN=DP

(3)證明：延長即至點H使得DR=DE連接4?CR如圖所示:

在RtADE中ZADE=90°貝(jZDAE+NOEA=90。且/ADR=90。

ZBAC+2ZDEA=1^0

ABAC+2(90°-ZDAE)=180°貝(jZBAC=2ZDAE

在VAD￡和一ADH中

AD=AD

<ZADE=NADR=90°

DR=DE

ADE咨ADR(SAS)

:.AR=AEZDAR=ZDAE

點。為CG的中點

:.DC=DG

在ADCR和ADGE中

DR=DE

<ZCDR=ZGDE

CD=GD

.?.CDR空GDE(SAS)

:.CR=GE

ABAC=2ZDAE=ZZME+(NZMC+NBAE)

ZDAR=ADAE=ZDAC+ABAE

ADAR=ZDAC+ZCAR

:.ZBAE=ACAR

在△AC/?和A5石中

AR=AE

<ZBAE=ZCAR

AB=AC

AC跆ABE(SAS)

:.BE=CR

CR=GE

:.BE=EG.

【點睛】本題考查幾何綜合涉及三角形內(nèi)角和定理直角三角形兩銳角互余等腰

三角形性質(zhì)全等三角形的判定與性質(zhì)中點定義等知識熟練掌握三角形全等的判

定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

5.(1)475

(2)AE=2

(3)見解析

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)全等三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判

定勾股定理熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵

(1)根據(jù)勾股定理計算即可求解

(2)證明=皿得出映=防進而證明得出4￡=皿即可得出E為

的中點即可求解

(3)過點G作GGLAC于點G交8C于點廠分別證明.叫E="C/(ASA)AD^^HQC

即可得出回=5HC=AA1進而根據(jù)"二加+修=人石+必即可得證.

【詳解】(1)解：:矩形ABCD

ZABC=90°

在中AJB=4BC=8

??AC=VAB24-BC1=A/42+82=4-\/5

故答案為：46.

(2)解：?.?矩形ABC。和矩形A4GA

/.NA5C=NARG=90。

,/BF=D、F

/.ZFBDi=ZFD.B

ZABC-ZFBD,=ZA^DG—/FD】B艮|JZED.B=ZEBD,

ED,=EB

?/BDX_LAC

/.ZA+/ABD、=90°/ARE+NED1B=90°

/.NA=/ARE

：.AE=EDi

AE=EB=-AB=2

2

(3)解：如圖過點G作CGAC于點G交于點尸

圖3

;四邊形4耳G2是矩形

GA=44幺RC]=90°

又A4=AR=CG

CC,=D￡

C\G±AC4RG=90°

/.NFC、H=NCgH=90。一NGD\C[=/ADiE

在四邊形EBFDI中NEBF=NED[F=90°

NEBF+ZED,F=180°NREB+ZBFD,=180°

又?/NAEDi+ZDtEB=180°

，ZAED]=ZDtFB=ZHFC]

在ARE,HCtF中

ZFCtH=ZADtE

<D1￡=C1F

NAED]=NHFCi

：.AE\E均HCF(ASA)

AE=HFAR=HC\

在AQA，"C|C中

AD,=HC、

■ZCCtH=NARA

AQ=CC

/.AD^iHC,C(SAS')

HC=AAj

/.CF=FH+CH=AE+AAi.

6.(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)矩形的判定及勾股定理等腰三角形的判定

與性質(zhì)掌握矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB”。。的關(guān)系根據(jù)平行四邊形的判定可得BFDE

是平行四邊形再根據(jù)矩形的判定可得答案

（2）勾股定理求得3c=8進而證明包=加根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可得

ZDAF=ADFA根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ZZ加4=根據(jù)角平分線的定義可得答案.

【詳解】（1）二?四邊形是平行四邊形

/.ABCD,AB=CD

,/AE=CF

DF=BE

四邊形跳7汨是平行四邊形.

*/DE.LAB

：.ZDEB=90°

?二四邊形母是矩形.

（2）由（1）知四邊形9是矩形

/.ZBFC=90°.

在Rt5CF中CF=4BF=46

...BC=y/CF2+BF2-^42+（4A/3）2=8

,/AD=BC=8DF=8

/.AD=DF

/.ZDAF=ZDFA.

*/AB//CD

：.ZDFA=ZBAF

：.ZDAF=ZBAF

/..平分NDW.

7.(1)120

⑵①Z.OPF=90。+Z.OMB理由見解析②30°或120°

(3)40°

【分析】本題主要考查平行線的性質(zhì)角平分線的定義三角形內(nèi)角和定理熟練掌

握平行線的性質(zhì)三角形內(nèi)角和等知識是解題的關(guān)鍵.

(1)直接利用平行線的性質(zhì)得到々GD的度數(shù)再根據(jù)平角的定義即可得到答案

(2)①設(shè)與。尸交于點。由印//AB可得NO尸尸=N0Q8再利用補角和三角形內(nèi)角和得

出ZOQB=ZOMQ+90。即可

②由(1)可知ZBGD=60。然后分情況討論：當(dāng)?！?時當(dāng)O暇〃CD時當(dāng)時

三種情況分別得出結(jié)論即可

(3)先找出滿足題中給出條件時的圖形利用平分4CVWMN平分ZBMP設(shè)

ZNMP=ZKMP=ZBMN=x再禾［J用砂平分NOMV和/應(yīng)0V=NKWP+Z7VMP列式求出x即可得

到答案.

【詳解】(1)W：'.,CD//MP

ZBGD=ZOMP=60°

ZCGB=1800-ZBGD=120°

(2)解：①NO抒'=90。+/0虺？理由如下：

如圖所示設(shè)A3與。尸交于點。

NOPF=NOQB

,/ZOQB=180°-ZOQM

=180。-(180。-ZMOQ-ZOMQ)

=ZMOQ+ZOMQ

=ZOMQ+90°

/.ZOPF=90°+ZOMB

②由(1)可知ZBGD=60°

當(dāng)OP。時如圖所示設(shè)A8與OP交于點。

,/OPCD

/.ZOQM=ZBGD=60°

NMOP=90。

/.ZOMB=180°-ZOQM-/MOP=30°

當(dāng)OA/〃CD時如圖所示

OM//CD

/.ZOMA=ZBGD=60°

ZOMB=180°-ZOMA=120°

當(dāng)依〃8時ZOMB=1SO°（舍）

綜上NOMB的度數(shù)為30?；?20。

（3）解：當(dāng)點尸在直線鉆下方時如圖

co

D

此時MP在ZKMN外部故不存在MP平分ZKMN

當(dāng)點尸在直線A5上方時如圖

:MP平分/KMNMN平分/BMP

,.沒ZNMP=/KMP=/BMN=x

/^OMP=6Q°

ZOMN=AOMP+APMN=60。+%

/MK平吩4OMN

ZOMN60。+工

\/KMN=

22

?ZKMN=ZKMP+ZNMP=2x

60°+x個

--------=2x

2

解得：x=20。

ZBMP=NBMN+NMP=2x=40°

,/EF//AB

ZEPM=ZBMP=40°

，MP與直線所所夾銳角的度數(shù)為40。

8.⑴見解析

⑵劣弧PC的長為華

(3)見解析

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理求得/APC=NAPO+NOPC=90。再證明/CP"=NAPO推出

ZOPH=ZCPH+ZOPC=900即可證明P"是,;。的切線

（2）利用垂徑定理求得CQ='c=|證明△2仁”耍尸求得3=6利用特殊角的三

角函數(shù)值求得/QCP=30。推出CPQ是等邊三角形據(jù)此求解即可

（3）過點尸G作的垂線垂足分別為"N證明.F￡M"EGN（AAS）得到GN=￡M

EN=FM根據(jù)三角函數(shù)的定義求得tan/"M=tanZACB=41=1推出CN=2GN=￡M

EN=FM=IBM據(jù)止匕求解即可.

【詳解】（1）證明：:AC是。的直徑

，ZAPC=ZAPO+AOPC=90°

OA=OP

，ZAPO=ZCAP

ZCPH=ZCAP

，ZCPH=ZAPO

/.ZOPH=ZCPH+ZOPC=90°

TOP是。的半徑

，PH是。的切線

（2）解：9：BE=1CE=2

：.3c=1+2=3

OPLBC

13

/.BQ=CQ=：BC=：NEPC=NPQC=90。

,/ZPCE=ZQCP

^PCE^/\QCP

?C^=CQ

??CE-CP

3

CP=y/3

3

?：cosNQCP衛(wèi)與聲

CP62

/.ZQCP=30°

/.ZCPQ=60°

?/OC=OP

???CPO是等邊三角形

ZCOP=60°OC=CP=6

???劣弧PC的長為竺巴亞=叵

1803

（3）解：過點尸G作BC的垂線垂足分別為MN

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知NFEG=90。EF=EG

/.ZFME=ZFEG=ZENG=90°

/FEM=90。-NGEN=/EGN

/.FEM^石GN(AAS)

:?GN=EMEN=FM

〈AC是。的直徑

ZABC=90°

9：BDVAC

ZADB=90°

/.ZABD=900-ZBAD=ZACB

?/FM±BC

：.AB//FM

/.ZBFM=ZABD=ZACB

?/BC=2AB

AR1

/.tanZBFM=tanZACB=—=-

BC2

?GN-1BM_1

**~CN~2FA?"2

，CN=2GN=EMEN二FM=2BM

CE=CN+EN=2EM+2BM=2BE.

【點睛】本題考查了切線的判定圓周角定理解直角三角形相似三角形的判定和

性質(zhì)全等三角形的判定和性質(zhì)正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

9.(1)|

(2)2后或竽

(3)班的長為1或5或3+半或3-半.

【分析】(1)作四，3。于點H解直角三角形即可求解

(2)分點。，落在射線山上和點。,落在線段上時解直角三角形即可求解

(3)分當(dāng)5=鉆=2和W=D石=3兩種情況討論解直角三角形即可求解.

【詳解】(1)解：如圖作加，3c于點//

,**tanB=2y/2

設(shè)BH=a貝ljAH=2億

*.*AB=3

/+（2億『=32

解得。=1

/.BH=1貝!jA4=2應(yīng)

.RBH1

??cosB=lF=i

故答案為：!

(2)解：如圖點)落在射線班上時作DGLAD于點G

設(shè)AG=6貝（JEG=2-6

tanZD'AG=tanZABC=2&

D，G=2?

由折疊的性質(zhì)知DE=DE=5-2=3

在RtWGE中由勾股定理得（2-6『+（2&b『=32

整理得9/-46-5=0

解得8=1或％=高（舍去）

JD'G=2^/2

：.AAED的面積=：AExZyG=gx2x20=20

如圖點以落在線段上時作DGLAD交延長線于點G

tanZD'AG=tanZABC=272

D'G=2s/2c

由折疊的性質(zhì)知DE=DE=5-2=3

在RtaDGE中由勾股定理得（2+c『+（2岳『=3。

整理得9/+46-5=0

解得6或b=T（舍去）

/.D'G=—y/2

9

/.AAED的面積=gAExZyG=：x2xg友=一應(yīng)

綜上△皿的面積為20或竽

（3）解：當(dāng)必=隹=2且以在04的上方時如圖作AHLBC于點目作。7_1_/1￡）交。4延

長線于點T作EG，3c于點G則四邊形A”GE是矩形

由折疊的性質(zhì)知?！?OE=3ZjyEF=ZDEF

/.ZD'EA=2aZD'EF+ZDEF=180°+2a

/.ZUEF=/DEF=900+a

/.ZFEG=ZDEF-900=a

設(shè)AT=x

在RtAADT和RtA￡DT中DfT2=AD,2-AT2=D'E2-ET2BP22-%2=32-（2+x）2

解得

DrT=^AD,2-AT2=^~

or=-+5=—

???*444

377

DfT4_a

??tancc------

DT217

4

在RtAEFG中EG=AH=2A/2tanZFEG=tancr=

7

?FGV7

??---=-----

EG7

:.FG=也

7

/.BF=BH+HG-FG=3-^^-

7

當(dāng)必=AE=2且次在DA的下方時如圖作于點H作交04延長線于點

T作EG，3c于點G則四邊形AHGE是矩形

tan/FGF

同理ZFEG=c

77

/.BF=BH+HG+FG=3+^^-

7

當(dāng)AZ7=DE=3且6在DA的上方時如圖作。7，加交DA延長線于點7作EG，3c于點

G

2

r>T=V32-12=2A/2

設(shè)ZADD=a同理/FEG=c

DrT_2A/2_V2

tana=

^7-1+3-V

V|

在RtAEFG中EG=2V2tanZFEG=tana=

2

?FGV2

??=

EG2

，F(xiàn)G=2

BF=3-2=1

當(dāng)W=DE=3且3在ZM的下方時如圖作于點了作EGL5C于點G

/.DT=V32-12=2A/2

設(shè)ZADD=a同理NFEG=。

?D'T2A/2V2

??tan6/=----=------=—

DT1+32

在RtAEFG中EG=2^2tanZFEG=tana=

.FGV2

??="

EG2

「?FG=2

族=3+2=5

綜上郎的長為1或5或3+半或3-半.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)等腰三角形的判定和

性質(zhì)二次根式的混合運算折疊的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考

問題.

10.（1）四邊形ACED是矩形理由見解析

（2）①證明見解析②GH=^（GD-GF）證明見解析

【分析】（1）先證出3成再證出四邊形AC即是平行四邊形然后根據(jù)矩形的判定

即可得

（2）①先根據(jù)角平分線的定義可得/A瓦）=ZBAG=^ZCAB從而可得

ZABD+ZR4G=45。再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得ZAGr=45。由此即可得證

②過點G作GM〃AC交旗延長線于點“連接DM先證出ABF密GMF根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)可得跳'=怖再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得獷=所=叱根據(jù)勾股定理可

得DM=6DF=e（GD-GF）然后證出四邊形DHGU是平行四邊形根據(jù)平行四邊形的性

質(zhì)可得G"=OW由此即可得.

【詳解】（1）解：四邊形AC即是矩形理由如下：

:平分

，ZABD=ZCBD

*/AD=AB

ZABD=ZADB

，ZCBD=ZADB

/.ADBE

又＜CE=AD

，四邊形ACE。是平行四邊形

*/ZACS=90°

/.ACE180??ACB90?

???四邊形ACE。是矩形.

(2)證明：①'?'在RtZXABC中ZACB=90°

ZABC+ZCAB=90°

平分/ABC

/.ZABD=ZCBD=-ZABC

2

丁AG平分ZC4B

ZBAG=ZCAG=-ZCAB

2

/.ZABD+ZBAG=-ZABC+-ZCAB=-(ZABC+ZCAB}=45°

222VJ

ZAGF=ZABD+ZBAG=45°

AF±BD

/.ZAFG=90°,ZFAG=90°-ZAGF=45°

/.ZFAG=ZAGF=45°

/.AF=GF

，AFG為等腰直角三角形.

②GH=^GD—GF)證明如下：

如圖過點G作G肘〃AC交的延長線于點“連接。M

由上已得：AF=GFZAB尸+NB4G=45。NE4G=45。ZBAG=ZCAG

，ZGMF+ZAGM=ZFAG=45°

/.ZABF+ZBAG=ZGMF+ZAGM

9：GM//AC

：.ZCAG=ZAGM

：.ZBAG=ZAGM

/.ZABF=ZGMF

在AAB尸和/\GMF中

ZAFB=ZGFM=90°

</ABF=ZGMF

AF=GF

；.ABF^GMF（AAS）

BF=MF

VAD=ABAF±BD

/.DF=BF=MFZDFM=90°

DM=VDF2+A/F2=V2DF=y/2（GD-GF）ZFDM=ZFMD=45°

9：ZAG尸=45。AG1GH

：.ZDGH=90°-ZAGF=45°

ZDGH=NFDM=45°

/.DMGH

由（1）已證：四邊形ACE。是矩形

/.DHAC

又?:GM//AC

GM//DH

???四邊形是平行四邊形

GH=DM

：.GH=^（GD-GF）.

【點睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)平行四邊形的判定與性質(zhì)等腰三角形的判

定與性質(zhì)三角形全等的判定與性質(zhì)勾股定理等知識較難的是題（2）②通過作

輔助線構(gòu)造全等三角形和等腰直角三角形是解題關(guān)鍵.

11.⑴（2五一）2

⑵存在最小值2仞；后

（3）存在點尸使得CPQ為等腰三角形NOA尸的度數(shù)為15?；?0。

【分析】（1）過點。作，于點尸利用矩形的性質(zhì)含30。角的直角三角形的性質(zhì)

勾股定理求得3利用折疊的性質(zhì)得到"=胡=4再利用勾股定理含3。。角的直角

三角形的性質(zhì)求得DFOF即可得出結(jié)論

（2）過點E作EGLAC并延長交3C于點"連接交AC于點"利用全等三角形的

判定與性質(zhì)得到點E與點“關(guān)于AC對稱由將軍飲馬模型可知：此時&W的周長最

小.最小值為NH+NE利用直角三角形的邊角關(guān)系定理勾股定理求得EN即可

得出結(jié)論

（3）利用分類討論的思想方法解答：當(dāng)點尸在點。的下方時①w=c。時利用等腰

三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可②CQ=P。時利用等腰三角形的性質(zhì)和

直角三角形的性質(zhì)解答即可存在PC=PQ的情形當(dāng)點尸在點。的上方時此種情況

不存在當(dāng)點尸在點。的上方時同樣也不存在a。為等腰三角形.

【詳解】（1）解：過點。作于點尸如圖

???點。(。，4)

/.OC=4

,??四邊形0ABe為矩形

，BA=OC=4BC〃OA

，ZBCA=ZOAC=30°.

：.AC=2OC=8

?*.OA=ylAC2-OC2=4A/3.

.??將長方形。MC沿AC折疊使得點5落在點。處

，ZDCA=ZBCA=30°DA=BA=4

/.ZDCA=ZOAC

：.CE=AEZOCE=30°

ZOAD=30°

*/DF±OA

DF=-AD=2

2

?*.AF=YIAD2-DF2=2A/3

OF=OA-AF=2y/3.

???點。的坐標為R6-2)

(2)解：在直線AC上存在點"使得的周長最小.

過點E作EG_LAC并延長交8C于點"連接NH交AC于點M如圖

???將長方形0MC沿AC折疊使得點5落在點。處

，ZDCA=ABCA

在CGE和CG/7中

ZDCA=ZBCA

<CG=CG

/CGE=/CGH=90。

：.CGEm&CGH（ASA）

：.CE=CHEG=HG

???點￡與點”關(guān)于AC對稱

ME=MH.

則由將軍飲馬模型可知：此時的周長最小.最小值為NH+NE.

丁點N為。C的中點

/.ON=CN=-OC=2

2

由（1）知：ZCHZ）=30°

*/N。石C+NOCE=ZAED+NQ4Q=90。ZOEC=ZAED

：.ZOCE=ZOAD=30°

：.CE=2OE

OC2+OE2=CE2

?4A/3

??OE=---

3

??CE—2OE=.

3

?INE=^ON2+OE2

3

??「口1口8^3

?CH=CE=----

3

NH=yJcN2+CH2=.

3

，EMN的周長的最小值為巫產(chǎn)

（3）解：當(dāng)點P在點O的下方時

①CP=CQ時如圖

由（1）知：ZOAD=30°

*/CP=CQ

ZCPQ=ZCQP=18。；30。=75。

/.ZOAP=90°-ZOPQ=15°

②CQ=PQ時如圖

?/C0=尸。

/.NQPC=NOCO=30°

，ZOAP=90°-ZQPC=60°.

③不存在PC=PQ的情形

當(dāng)點P在點O的上方時如圖

若PC=PQ貝UAPQC=ZOCD=30°

/.ZOPA=ZPCQ+APQC=60°

ZOAP=90°-ZOPA=30°=ZOAC

???AP與AC重合此種情況不存在.

當(dāng)點尸在點。的上方時如圖

同樣也不存在。尸。為等腰三角形

綜上存在點尸使得CPQ為等腰三角形NO"的度數(shù)為15?；?0。.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)折疊的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)勾股定理

含30。角的直角三角形的性質(zhì)直角三角形的邊角關(guān)系定理點的坐標的特征分類討

論的思想方法利用點的坐標表示出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

12.⑴見解析

(2)見解析

⑶與

【分析】(1)根據(jù)題意得到加=9。。-/班C根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到

/4貿(mào)=3(180。一/240)=90。-：/24€?繼而得至

ZCAD=ZCBD=/ABC-ZABE=90°-1ABAC-(90°-ABAC)=；ABAC艮口可得至I」ABAC=2ZCAD

(2)作。的直徑CG.連接A。BODO證明AOC^AOB(SSS)ZOAC-ZOAB-1ABAC

ZOAC=ZCAD繼而證明AG=OC可推出ZACG=NCBD=".繼而可證明ZACG+ZACF=90。

即可證明結(jié)論

(3)由(2)可得ZF=/CBO推出BC=k=4占.過點。作于點M.設(shè)AE=x則

CE=10-x.根據(jù)在笈一^^二臺百二^^一庭。建立方程可求得他=6CE=4繼而求得

BE^^AB2-AE2=V102-62=8.證明得4f=警=皆可求得。舊=3AD=3也

DtLCzinC

ii_33

BD=DE+BE=H.??S=-AB-DM=-BDAE可得

AM=VAD2-DM2J（375）24|T=|根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.

【詳解】（1）證明：上于點E

/.ZABE=900-ZBAC.

/AB=AC

:.ZABC=ZACB

：.ZABC=1（180°-ABAC）=90°-1ABAC

.，.ACAD=NCBD=ZABC-ZABE=90°-1ABAC-（900-NBAC）=；ABAC

ZBAC=2ZCAD

（2）證明：如圖①作。的直徑CG.

FD=CD

ZF=ZDCF

：.ABAC=ZBDC=NF+NDCF=2ZF.

由⑴可得ZSAC=2/C4D=2NCBD

/.NF=NCBD.

連接AOBODO

AC=ABAO=AOCO=BO

AOC^AOB（SSS）

NOAC=ZOAB=-ABAC

2

OA=OC

,\ZOAC=ZOCA