2025年中考數(shù)學復(fù)習難題速遞之尺規(guī)作圖（2025年4月）

選擇題（共10小題）

1.（2025?福田區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABC。中，以A為圓心，A8長為半徑畫弧交于點R分

1_

別以點2,尸為圓心，大于aBF的長為半徑畫弧，兩弧交于點G,連接AG并延長交8C于點E,連接

BF交AE于點、O,過點A作于點"若8尸=6,AB=4,則A8=（）

3近

A.15B.—C.—D.3V7

22

2.（2025?石家莊一模）如圖，在△ABC中，按下列步驟利用尺規(guī)作圖:

①以C為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別與AC,BC交于H,G；

1

③分別以H,G為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點K,作射線C4

③分別以3,。為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧分別交于"，N兩點；

④作直線MN,分別交BC、CK于點。，E^

⑤連接BE,AE,AD.

B.ZBED^ZCEDC.AE=BED.NEBC=/ACE

1

3.（2。25春崎口區(qū)月考）如圖’在△MC中,分別以點A和2為圓心，大于三B的長為半徑畫弧，兩弧

相交于點E,F,直線E尸交AC于點。，連接若NC￡）B=40°,則乙4的大小是（）

4.（2025?碧江區(qū)一模）如圖，在△ABC中，NC=90°,以點A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交A3、

1一

AC于點M和點N,再分別以點M、N為圓心，大于-MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，連接AP并

2

延長交BC于點。，若CD=3,AC=4,則點D到直線A3的距離是（）

5.（2025?朝陽區(qū)校級一模）如圖，在AABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法一定正確的是（）

1

C.ZBAF=^ZABCD.EF=AE

6.（2025?萊蕪區(qū)開學）如圖，在EL48CZ）中，AB=2,AO=3,ZABC=60°,在AB和AO上分別截取AE

（AE<AB）,AF,使AE=AR分別以E,尸為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在NZM8內(nèi)交于點

1

G,作射線AG交8c于點連接分別以。，//為圓心，以大于萬的長為半徑作弧，兩弧相

交于點M和N,作直線MN交CD于點K,則CK的長為（)

AFD

BC

3231

A.-B.-C.一D.-

4352

7.（2025?湖南模擬）利用下列尺規(guī)作圖中,不一定能判定直線a平行于直線b的是（）

8.以△ABC的頂點5為圓心，8C長為半徑畫弧，交AC于點。，再分別

1

以C,。為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E,作射線BE交AC于點E若AB=AC,Z

ABF=3NFBC,則NA的大小是（）

A

C.40°D.45°

9.（2025?安徽模擬）如圖，在矩形ABC。中，某同學利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作:

①分別以點8和。為圓心，BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E和F；

②連接EF分別交AD于點G,交BD于點H；

③連接AE.

若2,A,E三點在一條直線上，則下列說法不正確的是（）

A.直線EF垂直平分線段

B.ZAEG=30°

C.DG=2AG

D.AB=2HG

1

10.（2025?東方一模）如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=35°,分別以A,8為圓心，以大于］48的

長度為半徑畫弧，兩弧分別交于E、尸兩點，直線EP交于點連接AD則NC4。等于（）

E

A.70°B.35°C.30°D.20°

二.填空題（共5小題）

1

H.（2025?花溪區(qū)模擬）如圖，以線段的兩個端點A,8為圓心，大于萬48的長為半徑作弧，兩弧分

別相交于點M,N,作直線MN.在直線MN上取點C,連接AC,BC.若BC=2,則AC的長為.

1

12.（2025春?新鄭市月考）如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=4,分別以點A,點8為圓心，大于5aB長

為半徑作弧，兩弧交于點E,F,過點E,尸作直線交AC于點D連接若△BCQ的周長為10,則

AB的長為,AABC的面積為.

13.（2025?市南區(qū)校級模擬）作圖題：請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：△ABC及BC邊上一點D

求作：QO,使。。與邊BC相切，點。為切點，且圓心。到NA4c兩邊的距離相等.

14.（2025?鐵東區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，BC=5,AC^12,NC=90°,以點B為圓心，長為半

1

徑畫弧，與A8交于點。，再分別以A、。為圓心，大于aAD的長為半徑畫弧，兩弧交于點M、N,作

直線MN,分別交AC,AB于點E,F,連接。E,則△AEZ）的周長為

A

15.（2025?濱海新區(qū)校級模擬）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A,8在格點上，點C是

小正方形的中心，OC與直線/相切于點T.以點G為圓心的圓經(jīng)過點A,B,并且與直線/相切.

（I）直線CG與的位置關(guān)系為（填“平行”“相交但不垂直”“垂直”）；

（II）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點G,并簡要說明點G的位置是如何找到的（不

要求證明）.

三.解答題（共5小題）

16.（2025?南關(guān)區(qū)模擬）圖①、圖②、圖③均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小

正方形的邊長均為1,AABC的頂點均在格點上.只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖,

所畫的圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡.

（1）在圖①中在邊AB上找到格點。，連結(jié)C。，使C￡）=CA.

（2）在圖②中的△ABC的內(nèi)部找到一個格點E,連結(jié)BE、CE,使與圖①是的相等.

（3）在圖③中的△ABC的外部找到一個格點凡連結(jié)8F、CF,使/BRT與圖①是的NBDC相等.

AAA

圖①

17.（2025?浙江模擬）如圖，在△ABC中，NB=30°，ZC=45°,線段8c的長為4+4代.

AB

（0作出AABC的高線AD（要求：尺規(guī)作圖,不寫作圖步驟,保留作圖痕跡）（2）求就的值.

18.（2025?金華模擬）尺規(guī)作圖問題:

如圖1,已知/ABC,用尺規(guī)作圖方法作以54,8C為鄰邊的平行四邊形A8CD.

（1）如圖2,根據(jù)作圖痕跡，判定四邊形A8CD為平行四邊形的依據(jù)是什么？

（2）在圖1中，請你再作一個平行四邊形ABC。（方法與上題不一樣，保留作圖痕跡，不需要證明）.

四邊形ABCD就是所求作的

平行四邊形

圖1圖2

19.（2025春?迎澤區(qū)校級月考）操作題:

（1）如圖，要把水渠中的水引到C點，在渠岸A8的什么地方開溝，才能使溝最短？畫出圖形，并說

明理由.

（2）只用直尺畫出方格紙上已知直線的垂線.

20.（2025春?鼓樓區(qū)校級月考）如圖，C。是。。的直徑，A8是OO的弦，C￡）和相交于點G,點G

是弦A3的中點.

(1)若點尸在OO上，連接必，F(xiàn)D,FB.求證：/AFD=/BFD.

(2)在弦AB上方的優(yōu)弧作一點尸，使B4=3P3(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

2025年中考數(shù)學復(fù)習難題速遞之尺規(guī)作圖（2025年4月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案CCDCCCCBDD

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?福田區(qū)模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，以A為圓心，長為半徑畫弧交于點R分

1一

別以點5,F為圓心，大于5的長為半徑畫弧，兩弧交于點G,連接AG并延長交5C于點E,連接

BF交AE于點O,過點A作于點若BF=6,A3=4,則A"=（）

3V7

A.15B.—C.—D.3V7

22

【考點】作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運算能力.

【答案】C

【分析】證明四邊形ABEE是菱形，利用面積法求解即可.

【解答】解：由尺規(guī)作圖的過程可知，直線AE是線段8尸的垂直平分線，ZFAE^ZBAE,

：.AF=AB,EF=EB,

'：AD//BC,

：.ZFAE=ZAEB,

：.ZAEB=ZBAE,

：.BA=BE,

:.BA=BE=AF=FE,

四邊形A8EF是菱形,

1

：.BO±AOfOB=OF=aBF=3,AB=4,BE=AB=4,

.9.AO=7AB2—BO2=V42-32=V7,

：.AE=2AO=247

'：SMBE=寺BE?AH=^AE-BO,

.AE-BO2V7X3V73"

--AH=~BE~=-4-=I--

故選：C.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的

判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識.

2.（2025?石家莊一模）如圖，在AABC中，按下列步驟利用尺規(guī)作圖：

①以C為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別與AC,BC交于H,G；

③分別以X，G為圓心，大于JHG的長為半徑作弧，兩弧交于點K,作射線CE；

1

③分別以C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧分別交于N兩點；

④作直線MN,分別交8C、CK于點。，E；

⑤連接BE,AE,AD.

則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.BE=CEB./BED=/CEDC.AE=BED.NEBC=/ACE

【考點】作圖一基本作圖；角平分線的定義；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】C

【分析】由作圖可知，是的垂直平分線，據(jù)此可判斷A,8正確；由作圖可知，CE是的

平分線，得出/BCE=/ACE,結(jié)合8E=CE,可判斷。；無法判斷C的正誤.

【解答】解：由作圖可知，是BC的垂直平分線，CE是NACB的平分線，

：.BE=CE,MN±BC,故A正確；

：.ZBED=ZCED,故8正確；

由作圖可知，CE是NACB的平分線，

：.ZBCE=ZACE,

由條件可知ZEBC=ZBCE,

；./EBC=/ACE,故。正確；

無法證明故C錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了尺規(guī)作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握尺規(guī)作

圖是解答本題的關(guān)鍵.

1

3.（2025春?研口區(qū)月考）如圖，在△ABC中，分別以點A和B為圓心，大于5AB的長為半徑畫弧，兩弧

相交于點E,F,直線EF交AC于點。，連接3。，若N08=40°,則NA的大小是（）

A.26°B.24°C.22°D.20°

【考點】作圖一基本作圖；三角形的外角性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專題】作圖題；運算能力.

【答案】D

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解：由作圖可知跖垂直平分線段

:.DA=DB,

ZA=ZDBA,

VZCDB^ZA+ZDBA^4Q°,

.?.NA=NA2O=20°.

故選：D.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，三角形的外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定

和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題.

4.（2025?碧江區(qū)一模）如圖，在△ABC中，ZC=90°,以點A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交A3、

1_

AC于點M和點N,再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，連接AP并

延長交BC于點。，若CD=3,AC=4,則點。到直線A8的距離是（）

A.5B.4C.3D.2

【考點】作圖一基本作圖；角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).

【答案】C

【分析】根據(jù)作圖方法可得AD平分NBAC,則由角平分線的性質(zhì)可得點D到直線AB的距離即為CD

的長，據(jù)此可得答案.

【解答】解：如圖所示，過點。作于E,

由條件可知AD平分/BAC,

：.DE=CD=3,

點。到直線AB的距離是3,

故選：C.

【點評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)及其尺規(guī)作圖，熟練掌握原式知識點是關(guān)鍵.

5.（2025?朝陽區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法一定正確的是（）

1

B.DF=^BF

1

C.ZBAF=^ZABCD.EF=AE

【考點】作圖一基本作圖.

【專題】作圖題；幾何直觀；推理能力.

【答案】c

【分析】由作圖可知BE平分/ABC,。尸垂直平分線段AB,再根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)判斷即可.

【解答】解：由作圖可知BE平分NABC,。尸垂直平分線段A2,

:.NABE=NEBC,FB=FA,

：.ZBAF=/ABE,

1

ZBAF=^ZABC.

故選項C正確，

故選：c.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線，角平分線等知識，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，

靈活運用所學知識解決問題.

6.(2025?萊蕪區(qū)開學)如圖，在回ABC。中，AB=2,A￡)=3,ZABC=60°,在AB和A。上分別截取AE

(AE<AB),AF,使AE=A尸，分別以E,尸為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在/D48內(nèi)交于點

1

G,作射線AG交BC于點X,連接分別以。，以為圓心，以大于］DH的長為半徑作弧，兩弧相

交于點M和N,作直線MN交CD于點K,則CK的長為()

1

D.-

2

【考點】作圖一基本作圖；解直角三角形；線段垂直平分線的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定

理；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】作圖題；幾何直觀；運算能力.

【答案】C

【分析】如圖，連接HK,過點K作KJLBC交BC的延長線于點J,設(shè)CK=x.在Rt^K用中，利用

勾股定理構(gòu)建方程求解.

【解答】解：如圖，連接HK,過點K作K7LBC交BC的延長線于點J,設(shè)CK=x.

AFD

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD=2,AD=BC=3,AD//BC,CD//AB,

：.ZBAD=18Q°-ZB=120°,

由作圖可知AH平分/BAD,

：.ZBAH=ZDAH=60°,

??.△A3”是等邊三角形，

；?AB=BH=2,CH=BC-BH=\,

〈MN垂直平分線段0",

：.DK=KH=2-x,

'JCD//AB,

：.ZKCH=ZB=6Q°,

???G/=CK?cos60°=>KJ=^-x,

?；Klf=Kj2+Hj2,

(2-X)2=(l+Jx)2+(—x)2,

22

解得x=I，

:.CK=|.

故選：c.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三

角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題

7.(2025?湖南模擬)利用下列尺規(guī)作圖中，不一定能判定直線。平行于直線6的是()

【考點】作圖一基本作圖；平行線的判定.

【專題】線段、角、相交線與平行線；尺規(guī)作圖；幾何直觀.

【答案】c

【分析】根據(jù)作圖痕跡，結(jié)合平行線的判定方法逐項分析即可.

【解答】解：4根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可判定直線。平行于直線6,

故該選項正確，不符合題意；

氏根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，可判定直線。平行于直線6,

故該選項正確，不符合題意；

C根據(jù)同旁內(nèi)角相等，不能判定直線。平行于直線6,

故該選項錯誤，符合題意；

D根據(jù)對頂角相等和同位角相等，兩直線平行，可判定直線。平行于直線從

故該選項正確，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查了作圖-基本作圖，平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解答本題的關(guān)鍵.

8.（2025春?東西湖區(qū)月考）如圖，以△ABC的頂點B為圓心，長為半徑畫弧，交AC于點。，再分別

1一

以C,。為圓心，大于aCD的長為半徑畫弧，兩弧交于點E,作射線BE交AC于點?若AB=AC,Z

ABF=3NFBC,則NA的大小是（）

A.30°B.36°C.40°D.45°

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；三角形內(nèi)角和定理；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】作圖題；幾何直觀；運算能力.

【答案】B

【分析】設(shè)貝iJ/A8F=3x,ZABC=ZC=4x,利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程求解.

【解答】解：'：AB=AC,

：.ZABC=ZC,

設(shè)則NA3P=3尤，ZABC=ZC=4.r,

由作圖可知BF1.AC,

：.ZA=90°-3尤，

VZA+ZABC+ZC=180°,

.?.90°-3x+4x+4x=180°,

.,.x=18°,

；.NA=90°-54°=36°.

故選：B.

【點評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學會利用參

數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

9.（2025?安徽模擬）如圖，在矩形ABC。中，某同學利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作：

①分別以點8和。為圓心，BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點E和F；

②連接EF分別交AD于點G,交BD于點H-,

③連接AE.

若8,A,E三點在一條直線上，則下列說法不正確的是（）

A.直線所垂直平分線段

B.ZA￡G=30°

C.DG=2AG

D.AB=2HG

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三

角形.

【專題】作圖題；等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識.

【答案】D

【分析】A、根據(jù)題干①作圖過程即可得出直線EF是線段8。的垂直平分線；

8、根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)即可判定；

C、證明4G會Z^DHG即可判定；

。、根據(jù)斜邊大于直角邊即可判定.

【解答】解：由尺規(guī)作圖知，選項A正確，不符合題意；

如圖，連接DE.

由尺規(guī)作圖知：BE=BD=DE,

'：EH±BD,

：.ZAEG=30",

選項B正確，不符合題意；

同理可得NAO8=30°,

■:EHLBD,

：.DG=2GH,

,:BD=BE,ADLBE,EH1BD,

1

：.DH=EA=AB=專BE,

又；/AEG=NHDG=30°,NAGE=NHGD,

.?.△EAG^AD/fG（A4S）,

：.AG=HG,即DG=2AG,

選項C正確，不符合題意；

;AB=AE=DH￥DG,

：.AB^2HG,

選項。錯誤，符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了理解尺規(guī)作圖，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，等邊三角形的性質(zhì)和判定等，熟

練掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖方法與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

1

10.（2025?東方一模）如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZB=35°,分別以A,8為圓心，以大于］力B的

長度為半徑畫弧，兩弧分別交于昆尸兩點，直線所交BC于點。，連接AD則NC4D等于（

c

【考點】作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】作圖題；幾何直觀；運算能力.

【答案】D

【分析】分別求出/D48,/CA8可得結(jié)論.

【解答】解：由作圖可知。E垂直平分線段A8,

:.DA=DB,

.?.ZDAB=ZB=35°,

VZC=90°,

：.ZCAB=90°-35°=55°,

：.ZCAD=ZCAB-ZDAB=55°-35°=20°.

故選：D.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知

識解決問題.

二.填空題（共5小題）

1

11.（2025?花溪區(qū)模擬）如圖，以線段A2的兩個端點4,2為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧分

別相交于點M,N,作直線MN.在直線MN上取點C,連接AC,BC.若BC=2,則AC的長為2.

【考點】作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】2.

【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解.

【解答】解：由作圖可知MN垂直平分線段

：.AC=CB=2.

故答案為：2.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的性質(zhì).

1

12.（2025春?新鄭市月考）如圖，在△ABC中，AB=AC,8c=4,分別以點A,點8為圓心，大于5aB長

為半徑作弧，兩弧交于點E,F,過點E,尸作直線交AC于點連接8。，若△BCD的周長為10,則

AB的長為6,AABC的面積為8V2.

【考點】作圖一基本作圖；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】6,8V2.

【分析】過點A作于點X.利用線段的垂直平分線的性質(zhì)證明△BOC的周長=AC+BC,求出

AC=AB=6,再利用勾股定理求出A”即可.

【解答】解：過點A作于點"

由作圖可知垂直平分線段AB,

小BDC的周長=O8+OC+BC=ZM+OC+BC=AC+8C=10,

：8C=4,

：.AB=AC=10-4=6,

；AH工BC,

：.BH=CH=2,

：.AH=7AB2—BH2=V62-22=4/，

AABC的面積=?BC，AH=/4X4a=8近.

故答案為：6,8V2.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的

關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識解決問題.

13.（2025?市南區(qū)校級模擬）作圖題：請用圓規(guī)和直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.

已知：△ABC及BC邊上一點D

求作：QO,使。。與邊BC相切，點。為切點，且圓心。到N8AC兩邊的距離相等.

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；角平分線的性質(zhì)；切線的判定與性質(zhì).

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】見解析.

【分析】作NR4C的角平分線AP，作DTLBC,交AP于點。，以。為圓心，0。為半徑作O。即

可.

【點評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，角平分線的性質(zhì)，切線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正

確作出圖形.

14.（2025?鐵東區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，BC=5,AC=12,ZC=90°,以點8為圓心，8c長為半

1一

徑畫弧，與A8交于點。，再分別以A、。為圓心，大于a4。的長為半徑畫弧，兩弧交于點M、N,作

28

直線MN,分別交AC,AB于點E,F,連接DE,則的周長為二.

【考點】作圖一基本作圖；相似三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】作圖題；幾何直觀；運算能力.

【答案】y.

【分析】利用勾股定理求出A3,再利用相似三角形的性質(zhì)求出AE可得結(jié)論.

【解答】解：在△ABC中，BC=5,AC=12,ZC=90°,

：.AB=y/AC2+BC2=V122+52=13,

,:BC=BD=5,

：.AD=AB-BD=13-5=8,

???EE垂直平分線段A。，

：.AF^DF^4,AE=ED,

VZA=ZA,ZAFEZACB=90°,

△AFEs^ACB,

.AEAF

??—,

ABAC

.AE_4

??—,

1312

13

：.AE=DE=早

???AAED的周長=2x竽+4=竽.

28

故答案為：—.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解

題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

15.（2025?濱海新區(qū)校級模擬）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A,B在格點上，點C是

小正方形的中心，OC與直線/相切于點T.以點G為圓心的圓經(jīng)過點A,B,并且與直線/相切.

（I）直線CG與的位置關(guān)系為垂直（填“平行”“相交但不垂直”“垂直”）；

（II）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點G,并簡要說明點G的位置是如何找到的（不

要求證明）.

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；切線的性質(zhì).

【專題】尺規(guī)作圖；推理能力.

【答案】（1）垂直.

（2）作圖見解答.

【分析】（1）先根據(jù)圖形計算求出AC=8C,得到點C在線段A8的垂直平分線上，而根據(jù)三角形外心

的性質(zhì)可知過42兩點的圓其圓心也在線段的垂直平分線上，從而得出直線CG就是線段的垂

直平分線.

（2）假設(shè)OG與直線/相切于點H,易得GH〃CT,連接。C交直線/于點E,然后連接AE交。。于

CECTCF

點F,過點A作AG//CF交CD于點G.通過平行線分線段成比例可得一=——=一，結(jié)合CT=CF

CGGHAG

進而得出AG=G8.即可得出AG為OG的半徑.

【解答】解：（1）,：AC=BC=J1.52+2.52,

...點C在線段48的垂直平分線上.

又：過A、8兩點的OG其圓心G也在線段的垂直平分線上，

???C、G兩點都在線段的垂直平分線上，

：.CG±AB.

故答案為：垂直.

(2)如圖，取A8與網(wǎng)格線的交點。，連接。C并延長，與直線/相交于點E；連接AE與OC交于點

F；連接CF并延長，與網(wǎng)格線交點為P,Q；連接A。與網(wǎng)格線相交于點R；連接PR并延長，與網(wǎng)格

線相交于點S;連接AS并延長，與。相交于點G,則點G即為所求.

【點評】本題考查了尺規(guī)作圖，切線的性質(zhì)，三角形外接圓的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線分線段

成比例等知識點，熟練應(yīng)用切線的性質(zhì)構(gòu)造平行線是解答本題的關(guān)鍵.

三.解答題(共5小題)

16.(2025?南關(guān)區(qū)模擬)圖①、圖②、圖③均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小

正方形的邊長均為1,AABC的頂點均在格點上.只用無刻度的直尺按下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，

所畫的圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡.

(1)在圖①中在邊上找到格點。，連結(jié)C。，使CD=CA.

(2)在圖②中的△ABC的內(nèi)部找到一個格點E,連結(jié)BE、CE,使NBEC與圖①是的NBOC相等.

(3)在圖③中的△ABC的外部找到一個格點R連結(jié)BF、CP,使N2FC與圖①是的/BDC相等.

【考點】作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】(1)見解答；

(2)見解答；

(3)見解答.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理和網(wǎng)格線的特征作圖;

（2）根據(jù)全等三角形的判定定理和網(wǎng)格線的特征作圖;

（3）根據(jù)全等三角形的判定定理和網(wǎng)格線的特征作圖.

【解答】解：（1）如圖①：點。即為所求；

AA

CB

圖②F圖③"

（2）如圖②：點E即為所求；

（3）如圖③：點R9即為所求.

【點評】本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計，掌握網(wǎng)格線的特征和全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

17.（2025?浙江模擬）如圖，在△ABC中，ZB=30°,ZC=45°,線段8c的長為4+48.

（1）作出△ABC的高線AO.（要求：尺規(guī)作圖，不寫作圖步驟，保留作圖痕跡）（2）求空的值.

【考點】作圖一基本作圖.

【專題】作圖題；幾何直觀；運算能力.

【答案】（1）見解析；（2）V2.

【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義作出圖形;

（2）設(shè)構(gòu)建方程求解即可.

【解答】解：（1）如圖，線段即為所求;

(2)VZB=30°,ZC=45°,AD±BC,

J.AD^CD,

設(shè)A￡)=cr>=x,KJBD=V3x,AB=2x,AC=V2x,

VBC=4+4V3,

.'.x+V3x=4+4"\/3>

：.AB^8,AC=4&,

AB8

—=--p=Vr2.

AC4V2

【點評】本題考查作圖-基本作圖，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問

題.

18.(2025?金華模擬)尺規(guī)作圖問題：

如圖1,已知/ABC,用尺規(guī)作圖方法作以54,8C為鄰邊的平行四邊形A8CD

(1)如圖2,根據(jù)作圖痕跡，判定四邊形A2CD為平行四邊形的依據(jù)是什么？

(2)在圖1中，請你再作一個平行四邊形ABC。(方法與上題不一樣，保留作圖痕跡，不需要證明).

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；平行四邊形的判定.

【專題】作圖題；幾何直觀.

【答案】(1)兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形；

(2)見解析.

【分析】(1)根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形判斷即可；

(2)根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形作出圖形.

【解答】解：(1)如圖2中，四邊形ABCD是平行四邊形的依據(jù)是兩組對邊分別的四邊形是平行四邊

形；

(2)如圖1中，四邊形A8CD即為所求.

BC

圖1

【點評】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解

決問題.

19.(2025春?迎澤區(qū)校級月考)操作題：

(1)如圖，要把水渠中的水引到C點，在渠岸AB的什么地方開溝，才能使溝最短？畫出圖形，并說

明理由.

【專題】作圖題；線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】(1)見詳解，垂線段最短；

(2)見詳解.

【分析】(1)依題意，過點C作交A8于一定D,結(jié)合垂線段最短進行作答即可;

(2)結(jié)合網(wǎng)格的特征，作已知直線的垂線/,即可作答.

【解答】解：(1)根據(jù)題意，作渠岸的垂線段CD如圖所示：

...理由是：線段中，垂線段最短；

(2)根據(jù)題意，直線/如圖所示:

【點評】本題考查了垂線段最短，網(wǎng)格作圖，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

20.(2025春?鼓樓區(qū)校級月考)如圖，C。是。。的直徑，AB是。。的弦，C。和A8相交于點G,點G

是弦AB的中點.

(1)若點/在。。上，連接陰，F(xiàn)D,FB.求證：NAFD=/BFD.

(2)在弦48上方的優(yōu)弧作一點尸，使B1=3P8.(要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)

【考點】作圖一復(fù)雜作圖；圓周角定理.

【專題】幾何直觀.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析.

【分析】(1)根據(jù)點G是弦AB的中點可得而=皿，即可得到乙4即=/2即；

(2)找GB的中點E,連接QE交。。于點P,點P即為所求.

【解答】解：(1)是的直徑，點G是弦A8的中點，

：.AD=BD,

：.ZAFD=ZBFD；

(2)如圖，找GB的中點E,連接。E交。。于點P,

ZAFD=ZBFD,

；.PE是/APB的平分線，

...點E到AP,8尸的距離相等,

11

,:BE=^GB=^AB,

：.AE=3BE,

S^AEP=3SABEP,

由于點E到AP,BP的距離相等，

：.AP=3BP,

故點P即為所求.

【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，角平分線的性質(zhì)，利用角平分線正確作出圖形是解題的關(guān)

鍵.

考點卡片

1.角平分線的定義

(1)角平分線的定義

從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線.

(2)性質(zhì)：若0C是/的平分線

1

貝?。軿AOC=ZBOC=^ZAOB^.ZAOB=2ZAOC=2ZBOC.

(3)平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動手實踐.

2.垂線

(1)垂線的定義

當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一

條直線的垂線，它們的交點叫做垂足.

(2)垂線的性質(zhì)

在平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”

“過一點”的點在直線上或直線外都可以.

3.垂線段最短

(1)垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段.

(2)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短.它是相對于這點與直

線上其他各點的連線而言.

(3)實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩

個中去選擇.

4.平行線的判定

(1)定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角相等，

兩直線平行.

(2)定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯角相等,

兩直線平行.

(3)定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內(nèi)角

互補，兩直線平行.

(4)定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行.

(5)定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行.

5.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180。.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在轉(zhuǎn)化中借助平

行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法

求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

6.三角形的外角性質(zhì)

(1)三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對.

(2)三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角.

(3)若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去.

(4)探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角.

7.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角

形.

8.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有

時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，...c

在NAOB的平分線上，CDYOA,CELOB：.CD=CE

9.線段垂直平分線的性質(zhì)

(1)定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)

垂直平分線，簡稱“中垂線”.

(2)性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的

距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的

距離相等.

10.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中任意取出兩個

元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

11.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中

線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解

決問題的復(fù)雜程度不同，需要具體問題具體分析.

3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的

思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應(yīng)當