熱點(diǎn)必刷題03圓綜合選填壓軸40題

［內(nèi)容概覽^___________________

一、圓中長度問題.........................................2

二、圓中路徑長度問題.....................................3

三、圓中最值問題.........................................5

四、圓中面積問題.........................................8

五、圓與幾何綜合........................................10

一、圓中長度問題

1.（2024?浙江.模擬預(yù)測）如圖，在oABCD中，AB=10,BC=6.E是邊AB的中點(diǎn)，過

點(diǎn)E作AO的平行線，交以45為直徑的OE于點(diǎn)尸，交CD于點(diǎn)H,連接O尸并延長，交

2.（2024?四川瀘州?模擬預(yù)測）如圖，VABC中，NC=90。，點(diǎn)。為VA2C的外心，BC=6,

AC=8,0尸是AABC的內(nèi)切圓.則。尸的長為（）

A.2B.3C.V5D.y

3.（2024.重慶渝北.模擬預(yù)測）如圖，AB是。。的直徑，弦a>_LA3,DE//AC,若

AB=26,AC=24,點(diǎn)歹是弦DE的中點(diǎn)，則0P的值為（）

A595百口595所「20352045

.------1J.----------------L?\-J.

4.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，A在半徑為3的。。上，8為。。上一動(dòng)點(diǎn)，將射線54

繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°交。。于C,取的中點(diǎn)。，求在2的運(yùn)動(dòng)過程中D的路徑長為（）

71c.九D.岳

2

5.（2024.湖北武漢.模擬預(yù)測）如圖，在口ABCD中，以A8為直徑的。。交CD于N,

交A。于且AM平分連接3月交4以于死若AD=5,AM=8,則M/的長為

C.5D.4.8

6.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖，△ABC的兩條高線AD,BE交于點(diǎn)F,過8,C,E

三點(diǎn)作。。，延長AO交。。于點(diǎn)G,連接GQGC.設(shè)Ab=5,DF=3,則下列線段中可

求長度的是（）

B.GDC.GOD.GC

二、圓中路徑長度問題

7.（2024?湖北武漢.模擬預(yù)測）如圖，在VA3C中，ZACB=120°,AC=BC=26WP

在以A5為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，"為PC上一點(diǎn)，且PM=2CM,當(dāng)點(diǎn)尸沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)

至點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是（）

AC3兀-2兀-「

A.兀B.—C.--D.V3TI

23

8.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，及△AC3中，NAC5=90。，。在線段CB上，連

以為的直徑。。交AD于P,CB=CA=6f當(dāng)。在線段CB上自。向B運(yùn)動(dòng)的過程中,

3

A.3B.3^2C.-7iD.3兀

9.（2024.湖北武漢.模擬預(yù)測）如圖，CD為。0直徑，ABLCD且過半徑OD的中點(diǎn)H,

過點(diǎn)A的切線交CO的延長線于G,且GH=6,點(diǎn)七為上一動(dòng)點(diǎn)，。尸，鉆于點(diǎn)尸，當(dāng)

點(diǎn)七從點(diǎn)8出發(fā)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)尸經(jīng)過的路徑長是（）

A2^3「4^3八c/TTA8A/3

A.-----itB.-----TtC.2j3〃D.-----7t

333

10.（2024?江蘇揚(yáng)州?三模）在矩形ABC。中，AB=U,5C=16,點(diǎn)河、N分別是邊AD、

BC的中點(diǎn)，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)M出發(fā)，沿方向以每秒4個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)。

勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)/從點(diǎn)N出發(fā)，沿NB方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)

動(dòng)，其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形頂點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接斯，過點(diǎn)C作斯的垂線，垂

足為尸.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長是.

11.（2024.四川眉山.二模）7個(gè)半徑均為廠的硬幣兩兩外切，如圖所示，若將左邊第一個(gè)

硬幣沿著剩下硬幣的圓周滾動(dòng)一圈回到原來的位置（其余6個(gè)硬幣固定不動(dòng)），那么這個(gè)硬

幣在滾動(dòng)時(shí)圓心移動(dòng)的路徑長為（）

D.1271r

三、圓中最值問題

12.（2024.山東淄博?二模）如圖，在中，ZACB=90°,BC=2,AC=2^,產(chǎn)是

以斜邊AB為直徑的半圓上一動(dòng)點(diǎn)，“為尸C上一點(diǎn)且滿足PM=2MC,連接則3M

的最小值為

13.（2024.江蘇連云港.三模）如圖，C在以A8為直徑半圓上，AC=y/3,ZCAB=30°,

點(diǎn)。是弧BC上的一動(dòng)點(diǎn)，CE1AD,連接3E,則破的長的最小值是

c

14.（2024?江蘇鹽城?三模）如圖，直線/與0。相切于點(diǎn)A,點(diǎn)C為。。上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C

作C3，/,垂足為2,已知。。的半徑為逐，則+的最大值為一.

15.（2024?湖北武漢?二模）如圖，在半圓。中，直徑48=2石，點(diǎn)P為半圓。圓弧上一

動(dòng)點(diǎn)，則AP+#>BP的最大值為.

16.（2024?四川成都?二模）如圖，在RtAABC中，^ACB=90°,BC=6,AC=8,。。是以AC

為直徑的圓，點(diǎn)。為0。上一點(diǎn)，連接C0、BD,點(diǎn)E是。D的中點(diǎn)，連接AE,則BD+AE

的最小值是.

17.（2024.山東濟(jì)寧.模擬預(yù)測）如圖，。。與x軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,D,P

為。。上一動(dòng)點(diǎn)，。為弦AP上一點(diǎn)，2AQ^3PQ.若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,-5）,則CQ的最小

值為.

18.（2024?浙江寧波?一模）如圖，AB.CD是。。中的兩條弦，相交于點(diǎn)E,且

AB±CD,=點(diǎn)H為劣弧AO上一動(dòng)點(diǎn)，G為HE中點(diǎn)，若CE=1,￡>E=7,連接AG,

則AG最小值為.

19.（2024?江蘇宿遷?二模）如圖，Rt^ABC中，ZACB=90°,tanA=2,AC=2日以BC

為直徑作圓，圓心為0,過圓上一點(diǎn)。作直線A8的垂線，垂足為E,則AE+OE的最大值

是.

20.（2024.江蘇無錫.三模）如圖，是。。的直徑，是。0的弦，且"N與。4交于

點(diǎn)C,過A、3分別作垂線，垂足記作E和尸.現(xiàn)有下列結(jié)論：①若AB=10,MN=8,

22

則OC的最小值為3；②若MN=§a,則sin/NBM=§；③若AB=10,/ACM=30°,

則AE（BF+EF）的最大值為10°+：5指；④若M=“，孫5族-AE為定值

Vo2-b2-其中正確的為（）.

C.②③④D.①②④

四、圓中面積問題

21.（2024?山西大同?模擬預(yù)測）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=30°,AB=4,O

是斜邊AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心的半圓。與AC相切于點(diǎn)。，交48于點(diǎn)E,F,則圖中陰

影部分的面積為（）

3731?o/71廣cA1c3731

AA.----------7iB.2y3—7iC.2v3—兀D.-----------兀

232322

22.（2024?湖北?模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E是VABC的內(nèi)心，的延長線和VABC的外接

圓相交于點(diǎn)。，ZACB=60°,AB=5^/3,BC=8,則VRDE的面積是（）

A.10B.8A/5C.D.5也

23.（2024?湖北武漢.模擬預(yù)測）在邊長為1的正五邊形ABCDE內(nèi)，所有到點(diǎn)A的距離大于

1且到點(diǎn)C的距離小于1的點(diǎn)組成圖形的面積是（）

A

TT「G兀nV371

B.sin72°——L.----------l_z.--------------

1010230430

24.（2024?安徽滁州?模擬預(yù)測）圖1是一張圓形紙片；如圖2,將圓形紙片作兩次對折,

且折痕垂足為點(diǎn)M；如圖3,把紙片展開后，再將圓形紙片沿弦折疊，使兩點(diǎn)B,

M重合，折痕E尸與相交于點(diǎn)N,連接AE,AF,BE,BF.下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是

A.四邊形尸是菱形B.△AEF為等邊三角形

C.EN-FN=AM2—BN2D.S四邊形人於：S扇形耽=3"：2兀

25.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)C在以A8為直徑的半圓上，AB=4,ZCR4=30°,

點(diǎn)。在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E與點(diǎn)。關(guān)于AC對稱，DF_LDE于點(diǎn)D,并交EC的延長線于

B.線段的最小值為4君

3

C.當(dāng)時(shí)，跖與半圓相切

4

D.當(dāng)點(diǎn)。從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，線段所掃過的面積是46

五、圓與幾何綜合

26.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?二模）如圖，邊長為2的正方形ABCZ）中，E、/分別為3C、CZ）上的

動(dòng)點(diǎn)，BE=CF,連接AE、3下交于點(diǎn)尸，則+的最小值為一.

27.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCZ）中，AB=3,AD=4,點(diǎn)E為AD的

中點(diǎn)，點(diǎn)尸在直線CD上，點(diǎn)G在線段上，且NGDF=NDEF,點(diǎn)尸為BC邊上一動(dòng)點(diǎn),

則R4+PG的最小值為.

28.（2024?內(nèi)蒙古興安盟.二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M,N分別為AB,3c上的

動(dòng)點(diǎn)，且AM=BN,DM,AN交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連

接PE,PF,若AB=4,則PE+尸尸的最小值為.

29.（2024?浙江溫州?模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)M,N分別在邊A5,BC_L

（不與頂點(diǎn)重合），且滿足AM=BN,連接4V,DM交于點(diǎn)、P.E,廠分別是邊AB,BC

的中點(diǎn)，連結(jié)接PE,PF.若正方形的邊長為8,則尸E+尸的最小值為

2

DC

30.（2024?山東德州?三模）如圖，正方形A5C。的邊長為4,點(diǎn)E是正方形內(nèi)的動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)P是2C邊上的動(dòng)點(diǎn)，且NE4B=N￡BC.連接,則PD+PE的最小值

為.

31.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）如圖，在VABC中，NA=45。，ZABC=60°,AB=4,D,

E分別是射線A3,射線AC上的點(diǎn)，AD,AE的垂直平分線交于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)。落在8C上

32.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)、P為邊CD上

一動(dòng)點(diǎn)，連接AP交對角線5〃于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF交BC于點(diǎn)F,連接"交BO

于點(diǎn)G,在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過程中，AAEG面積的最小值為.

33.（2024?江蘇蘇州?一模）如圖，矩形ABCZ）中，AB=8,BC=6,。。與邊A￡＞、對角線

AC均相切，過點(diǎn)B作。。的切線，切點(diǎn)為尸，則切線長3尸的最小值為（）

DC

A.6B.7C.572D.46

34.（2024.安徽蚌埠.二模）如圖，在正方形ABCD中，AB=2,M,N分別為邊AD,CD

的中點(diǎn)，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，A3的長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)F,P為EF

的中點(diǎn)，。為線段跖V上任意一點(diǎn)，則尸。長度的最小值為（）

A.[B.|V2-1C.25/2-2D.6一2

35.（2024?安徽淮北?三模）如圖，線段45=4,點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)M的距離

是1,連接PB,線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PC,連接AC,則線段AC長度的

C.2啦D.372

36.（2024.北京.模擬預(yù)測）如圖，在正方形A5CD中，點(diǎn)尸是對角線30上一點(diǎn)（點(diǎn)尸不與

B、。重合），連接AP并延長交CD于點(diǎn)E,過點(diǎn)尸作尸交于點(diǎn)尸，連接AF、EF,

AF交班）于點(diǎn)G,給出四個(gè)結(jié)論：①ABmB產(chǎn)=2A^;?BF+DE=EF；③

PB-PD=y/2BF;?FC+EC=y/2PG-,

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.③④C.①②③D.①②④

37.（2024.安徽合肥.模擬預(yù)測）如圖，口的對角線AC,3。交于點(diǎn)。，E是邊上

的動(dòng)點(diǎn)，連接OE,DE,DE交AO于點(diǎn)、F.若AB=23C=4,ZDAB^60°,則下列結(jié)論中錯(cuò)

誤的是（）

A.DE的最小值是出

B./DEO總小于60。

C.當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，血邛的面積是名

D.ADOE周長的最小值是由+3

38.（2024.湖南邵陽.二模）如圖所示，在正方形ABC。中，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE,過

點(diǎn)D作DFIIAE交BC的延長線于點(diǎn)尸，過點(diǎn)C作CG±DF于點(diǎn)G,延長AE,GC交于點(diǎn)H,

點(diǎn)尸是線段DG上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,將△CPG沿CP翻折得到ACPG',連接AG'.若

CH=?DH=8,則AG'長度的最小值是（）

A.4衣B.10-3A/2C.4D.8-2近

39.（2024.安徽?三模）如圖，矩形A2CD中，AB=3,3c=4,P為AD邊上一點(diǎn)（不與A、

D重合），連接3P,過C點(diǎn)作CELBP,垂足為點(diǎn)E,點(diǎn)尸為CE的中點(diǎn)，則QF的最小值

是（）

APD

Bc

A.3B.V13-2C.V10D.V1O-1

40.（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測）動(dòng)點(diǎn)P在等邊VABC的邊AC上，AB=2,連接PB,AD±PB

于。，以為一邊作等邊V">E,ED的延長線交8C于歹，當(dāng)所取最大值時(shí)，PB的長

為（）

7]

A.2B.—C.yf3D.A/2H—

42

熱點(diǎn)必刷題03圓綜合選填壓軸40題

內(nèi)容概覽上

一、圓中長度問題.........................................2

二、圓中路徑長度問題.....................................3

三、圓中最值問題.........................................5

四、圓中面積問題.........................................8

五、圓與幾何綜合........................................10

一、圓中長度問題

1.（2024?浙江.模擬預(yù)測）如圖，在oABCD中，AB=10,BC=6.E是邊AB的中點(diǎn)，過

點(diǎn)E作AO的平行線，交以45為直徑的OE于點(diǎn)尸，交CD于點(diǎn)H,連接O尸并延長，交

【答案】B

【分析】本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線等

分線段定理，三角形中位線性質(zhì)，由是OE的直徑可得NAfB=90。，進(jìn)而得

EF=-AB=5,由平行四邊形的性質(zhì)得AD〃BC,AB//CD,可得AD〃EH〃BC,四邊

2

DkDMAP1

形3CHE是平行四邊形，得到上H=3C=6,FH=EH-EF=1,笠=黑=黑=據(jù)

FGHCEB1

此得FH為△OCG的中位線，得到CG=2F"=2,最后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解，掌

握以上性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：:AB是。石的直徑，

：.ZAFB=90°f

???E是AB的中點(diǎn)，

EF=-AB=5,

2

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AB//CD,

???BE//CH,

?:EH//AD,

：.AD//EH//BC,

。：BE〃CH,EH〃BC,

???四邊形BCHE是平行四邊形，

EH=BC=6,

：.FH=EH-EF=6-5=1,

AD//EH//BC,

.DFPHAE1

"FG~HC~EB~l'

：.DF=FG,DH=HC,

FH為△OCG的中位線，

CG=2FH=2x\=2,

BG=BC—CG=6—2=4,

故選：B.

2.（2024.四川瀘州?模擬預(yù)測）如圖,VABC中，NC=90。，點(diǎn)。為VABC的夕卜心,BC=6,

AC=8,0P是AABC的內(nèi)切圓.則OP的長為（）

A.2B.3C.0D.y

【答案】C

【分析】本題主要考查了直角三角形的內(nèi)心與外心.熟練掌握三角形內(nèi)心性質(zhì)，三角形外心

性質(zhì)，切線長定理，勾股定理解直角三角形，是解題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)P作PD_LAC,PELBC,PF±AB,根據(jù)三角形的內(nèi)心性質(zhì)得到尸==根

據(jù)切線長定理得到CD=CE,BE=BF,AF=AD,得到四邊形尸DCE是正方形，根據(jù)勾

股定理求出AB=10,得到OB=5,求出尸尸=口）=2,得到BF=4,得到。尸=1,即得

OP=4S.

【詳解】過點(diǎn)尸作PDLAC,PE1BC,PF±AB,

7點(diǎn)P是內(nèi)切圓的圓心，

APD=PE=PF,CD=CE,BE=BF,AF=AD,

四邊形尸DCE是正方形，

：VA5C中，ZC=90°,BC=6,AC=8,

AB=4AC2+BC1=10-

設(shè)CD=CE=x,BE=BF=y,AF=AD=z,

x+y=6①

則＜x+z=8②，

y+z=10（3）

(①+②-③)+2,得％=2,

:.PE=PF=CD=2,

：.BE=BF=6—2=4,

???點(diǎn)。為VABC的外心,

OB=-AB^5,

2

OF=OB-BF=5-4=1.

?*-OP=y]OF2+PF2

故選：c.

3.（2024.重慶渝北.模擬預(yù)測）如圖，A5是0。的直徑，弦CDLAB,DE//AC,若

AB=26,AC=24,點(diǎn)尸是弦DE的中點(diǎn)，則0斤的值為（）

A595石口595MC2。352045

D.-------------------D.------

13169,169169

【答案】C

【分析】如圖，記AB、CD的交點(diǎn)為連接3C,延長ED交AB的延長線于N,由A3是

。。的直徑，可得NACB=90。，由勾股定理得，BC=ylAB2-AC2=10＞由弦CDLAB,

可得CM=DM,由SNBcugABxCMugACxBC,可求CM=*,由勾股定理得,

BM=^BC2-CM2=||,貝l|OM=詈，AM=^,證明絲AACM(AAS),則

QQQ407

MN=AM=—,DN=AC=24,ON=—,由點(diǎn)尸是弦QE的中點(diǎn)，可知即

407

OFONOF7T

ZOFN=90°=ZDMN,證明AONFSA°MW,則——=—,即不亦=興，計(jì)算求解即

DMDN12024

13

可.

【詳解】解：如圖，記A3、CD的交點(diǎn)為連接2C,延長即交的延長線于N,

：A8是。。的直徑，

ZACB=90°,

由勾股定理得，BC=YIAB2-AC2=10-

,弦CD_LAB,

CM=DM,

'''SZ.AArlfCir=-2ABxCM2=-ACxBC,

.,.-x26xCM=-x24xlO,

22

120

解得，CM=—,

由勾股定理得，BM=^BC2-CM2=1^,

11QOQQ

AOM=OB-BM=——,AM=OA+OM=——,

1313

???DE//AC,

:,ZN=ZA,Z.NDM=ZACM,

??.△/△ACM(AAS),

QQQ

：.MN=AM=——，DN=AC=24,

13

407

：.ON=OM+MN=——,

13

???點(diǎn)尸是弦DE的中點(diǎn)，

：?OF1DE,BPZOFN=90°=ZDMN,

又丁ZONF=ZDNM,

：.AONFSQNM,

407

.OFON叩生=31

"DMDN'12024

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與

性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識.熟練掌握直徑所對的圓周角為直角，垂徑定理，勾

股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2024.湖北武漢.模擬預(yù)測）如圖，A在半徑為3的0。上，B為。。上一動(dòng)點(diǎn)，將射線明

繞8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。交。。于C,取的中點(diǎn)。，求在B的運(yùn)動(dòng)過程中。的路徑長為（）

A.27rD.也兀

【答案】C

【分析】本題考查了垂徑定理推論，圓內(nèi)接四邊形，圓周角定理，弧長公式，當(dāng)點(diǎn)48重

合時(shí)，ZAOC=120°,由。為8C中點(diǎn)，則ODLAC,當(dāng)點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)過程中，￡）在以廠為圓

心，|■為半徑的DC上運(yùn)動(dòng)，然后根據(jù)弧長公式即可求解，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】如圖，取圓上一點(diǎn)E,

VZB+ZE=180°,ZB=120°,

：.ZE=60°,

：.ZAOC=120°,

ZAOC=120°,

???。為5c中點(diǎn),

：.OD.LAC,

：.ZBDO=ZCDO=90°,

???oc為直徑，

當(dāng)點(diǎn)5在運(yùn)動(dòng)過程中，。在以尸為圓心，；。。長度為半徑的上運(yùn)動(dòng)，

???。為5。中點(diǎn)，尸為OC中點(diǎn)，

：.DF//OA,

：.ZDFC=ZAOC=120°,

3

在B的運(yùn)動(dòng)過程中。的路徑長為,

---------------------=TC

180

故選：C.

5.（2024.湖北武漢.模擬預(yù)測）如圖，在口ABCD中，以A8為直徑的。。交CD于M,N,

交AD于E,且AM平分4AD,連接8E交411于凡若AD=5,AM=8,則M/的長為

A.4B.4.5C.5D.4.8

【答案】B

【分析】首先連接OM,BM,根據(jù)OA=OM和角平分線性質(zhì)得到AD〃OM,結(jié)合ABIIDC

得到四邊形。LDM是平行四邊形，求得AB=10,由AB是直徑，得至ijNAMB=90。，得到

MFBM

BM=6,由tanNAffiE^tanN班〃，得到——=——，即得M/=4.5.

MBAM

【詳解】連接OM,BM,

'：OA=OM,

：.ZOAM=ZOMA,

,：AM平分N&LD,

???ADAM=ZOAM,

：.ZDAM=ZOMA,

：.AD//OM,

???在口A3c。中，AB//DC,

???四邊形OADM是平行四邊形，

OM=AD=5,

???AB=10,

???AB是直徑，

???ZAMB=9Q0,

??BM=VAB2—AM2=6，

ZMBE=ZDAM=ZBAM,

tanAMBE=tanABAM,

.MFBM

??礪一而‘

.MF_6

??~-=一，

68

：.MF=4.5.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓與三角形綜合.熟練掌握圓周角定理及推論，角平分線定義，平

行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，是解決問題的關(guān)鍵.

6.（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測）如圖，AABC的兩條高線AABE交于點(diǎn)、F,過8,C,E

三點(diǎn)作。。，延長AO交。。于點(diǎn)G,連接GO,GC.設(shè)AF=5,DF=3,則下列線段中可

求長度的是（）

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的外接圓、圓周角定理、解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵

是熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題.連接C/交。。于點(diǎn)則3〃LAB,設(shè)

BF=a,ACAD=a,則3Z>=acosa,￡>F=asina,EF=5sina,AE=5cosa,設(shè)QO的半徑為

r,貝！|BE=_B尸+￡F=a+5sincr=3Ccosa=2rcostz,在HAGDO中，GD2=OG2-DO2W

出G￡）2=D尸-AD,即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接CP交AB于點(diǎn)

根據(jù)題意得，點(diǎn)尸為AABC的垂心，

則

又NBEC=90°,

：.BC為。。直徑，

...ZBHC=90°,

故點(diǎn)H在A3上，

A

HE

B,

G

設(shè)BF=a,/CAD=a,

An2CD2

在Rt^ACD中，cos2a￥,sin2a=&,3=M,

AC2AC2

CD2AD2CD2+AD2

???cos2a+sm?2a=----1----==iCD,

AC2AC2AC2

依題意，ZEBC+ZBCE=ZCAD+ZDCA,

：.ZEBC=ZCAD=a,

BD=acosa,DF=asina,EF=5sina,AE=5cosa,

設(shè)。。的半徑為一，則BE=BF+EF=a+5sma=BCcosa=2rcosa,

a2+5asina=Iracosa?，

在中，GD2=OG2-DO2

=r2-(r-?cos6Z)2

=2racosa—a2cos2a

="+5〃sina-a2cos2a

=々2(1—cos2a)+5asina

=a2sin2a+5asina

=asina(asina+5)

=DF?AD；

?.,AF=5,DF=3,

AD=AF+O/=8,

AGZ)2=3x8=24,

GD=246，

故選：B.

二、圓中路徑長度問題

7.（2024.湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，在VABC中，ZACB=120°,AC=BC=2石.點(diǎn)尸

在以A8為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，M為PC上一點(diǎn)，且PM=2CM,當(dāng)點(diǎn)尸沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)

至點(diǎn)6時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是（）

AC3兀-2兀一「

A.兀B.—C.—D.V3TC

23

【答案】A

【分析】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長度，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性

質(zhì)與判定，解直角三角形等等.如圖所示，在AC上取一點(diǎn)E使得CE=；AC,在BC上取

一點(diǎn)/使得CF=：BC,連接跖，EM,FM,AP,BP,取E尸中點(diǎn)0,連接OC,證明

AECM^AACP,得到NAPC=NEMC,同理可證NFMC=NBPC,即可得至ljNRWF=90。，

則點(diǎn)M在以。為圓心，以O(shè)E的長為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)三線合一定理得到OCLEF,

NECO=60。,求出OE=1,又當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)E沿半圓運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)/，可得點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長.

【詳解】解：如圖所示，在AC卜.取一點(diǎn)E使得CE=gAC,在BC匕取一點(diǎn)尸使得CP=；8C,

連接砂，EM,FM,AP,BP,取中點(diǎn)0,連接OC,

:.ZAPB=90°,

'/PM=2CM,

/.CM=Lpc,

3

.CECM

,~CA~~CP'

又?.?ZECM=ZACP,

:./\ECM^/\ACP,

.\ZAPC=ZEMCf

同理可證ZFMC=NBPC,

ZEMF=ZEMC+Z.FMC=ZAPC+ZBPC=90°,

???點(diǎn)M在以。為圓心，以O(shè)E的長為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，

；AC=BC=2/，

CE=CF=：g,

：,OC1EF,NECO=-ZECF=60°,

2

OE=CE-sinZECO=1,

當(dāng)點(diǎn)尸沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)3時(shí)，點(diǎn)M從點(diǎn)E沿半圓運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)產(chǎn)，

點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長為gx2乃xl=?,

故選：A.

8.（2024.湖北武漢.模擬預(yù)測）如圖，Rt^AC3中，NACB=90。，。在線段CB上，連,

以為CO的直徑。。交A￡）于P,CB=G4=6,當(dāng)。在線段CB上自C向8運(yùn)動(dòng)的過程中,

3

A.3B.3A/2C.-itD.3兀

【答案】C

【分析】本題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)軌跡：點(diǎn)按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)所形成

的圖形為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡.解決此題的關(guān)鍵是利用圓周角定理確定P點(diǎn)的軌跡.連接PC,由

ZCPD=ZCPA=90°,可得點(diǎn)尸是在以AC為直徑的弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)。在線段CB上自C向2

運(yùn)動(dòng)的過程中,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是NC的長，據(jù)此求解即可.

???8是。。的直徑,

:.ZCPD=ZCPA=90°,

???點(diǎn)P是在以AC為直徑的弧上運(yùn)動(dòng)，

???當(dāng)〃在線段CB上自C向8運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑是"C的長，

:.CM=AM=MN=3,

?.?RtZkACB中，ZACB=90°,

ZAMN=ZCMN=90°,

90°TTx33萬

18002

故選：C

9.（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）如圖，CD為。。直徑，AB_LCD且過半徑OD的中點(diǎn)X,

過點(diǎn)A的切線交的延長線于G,且G"=6,點(diǎn)E為。。上一動(dòng)點(diǎn)，CbLAE于點(diǎn)E當(dāng)

點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過的路徑長是（）

A.苧B.等C.2$D.孚乃

【答案】B

【分析】連接AC,AO,由，CD,利用垂徑定理得到〃為AB的中點(diǎn)，證明^AOG^^HOA,

可求圓的半徑，在直角三角形中，由4。與OH的長，利用勾股定理求出AH的長，進(jìn)

而確定出A3的長，由C0+H9求出CB的長，在直角三角形AHC中，利用勾股定理求出AC

的長，由CF垂直于AE,得到三角形始終為直角三角形，點(diǎn)產(chǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為

直徑的圓上，當(dāng)E位于點(diǎn)2時(shí)，CHVAE,此時(shí)產(chǎn)與〃重合；當(dāng)E位于點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)尸與

C重合，可得出當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)8出發(fā)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)尸所經(jīng)過的路徑長CH的長，在

直角三角形ACH中，利用銳角三角函數(shù)定義求出/C4H的度數(shù)，進(jìn)而確定出C8所對圓心

角的度數(shù)，再由AC的長求出半徑，利用弧長公式即可求出CH的長，即可求出點(diǎn)尸所經(jīng)過

的路徑長.

【詳解】解：連接AC,AO,

'：ABVCD,

為AB的中點(diǎn)，即=

2

：AG是。。的切線，

ZOAG=90°=ZAHO,

又NGOA=ZAOH,

：.^AOG^^HOA,

.AO_OG

"lid~~6A

即OA2=OHOG,

：.<9A2=1OA^6+|OA^|,

Q4=4或。4=0（不符合題意，舍去）

：.OH=2,AH=y]AO2-OH2=2s/3=BH,

AC=y/AH2+CH2=4A/3，

,：CF1AE,

△ACF始終為直角三角形，點(diǎn)下的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AC為直徑的圓上,

當(dāng)E位于點(diǎn)8時(shí)，CH1AE,此時(shí)尸與H重合；當(dāng)E位于點(diǎn)C時(shí)，此時(shí)尸與C重合,

，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長C8的長，

在RSACH中，tanZACH=%=且，

CH3

，/AC"=30°,

NO4H=60°,

；?CH所對圓心角的度數(shù)為120。,

:直徑AC=4g,

120萬-2如_4后

ca的長=

-180~3

則當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)尸所經(jīng)過的路徑長的長為生生.

3

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓的綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函

數(shù)定義，弧長公式，以及圓周角定理，其中根據(jù)題意得到當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)廠所經(jīng)過的路徑長為CH的長是解本題的關(guān)鍵.

10.（2024?江蘇揚(yáng)州?三模）在矩形A8CL（中，AB=U,BC=16,點(diǎn)河、N分別是邊AD、

BC的中點(diǎn)，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)/出發(fā)，沿方向以每秒4個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)。

勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)N出發(fā)，沿NB方向以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)8勻速運(yùn)

動(dòng),其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形頂點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接砂，過點(diǎn)C作砂的垂線，垂

足為尸.在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P所經(jīng)過的路徑長是.

【答案】舄

【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)、中點(diǎn)性質(zhì)即可求得CF,如圖1中，連接"N交所于點(diǎn)G,連接CG,

首先證明GN=4,利用勾股定理求出CG.由NCPG=90。，推出點(diǎn)P在CG為直徑的。。上

運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與。重合時(shí)，如圖2中，連接。尸，ON.點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是NP，求出/PON,

再利用弧長公式求解.

【詳解】解：,?,四邊形ABC￡＞是矩形，

/.AB=CD=12fAD=BC=16?

???點(diǎn)M、N分別是邊A。、5C的中點(diǎn),

：.AM=MD=-AD=S,BN=CN=-BC=S

22f

連接MN交E尸于點(diǎn)G,連接CG,如圖1,

圖1

:.MN=AB=12,

'.'EM//NF9

:.正GMS/'GN,

.GMEM_2t

.\GN=-MN=4,

3

在RMCGN中，CG=XcN?+GN?=j8?+42=4A6，

QCPAEF,

:./CPG=90。,

???點(diǎn)尸在CG為直徑的。O上運(yùn)動(dòng),

當(dāng)點(diǎn)￡與。重合時(shí)，如圖2中，連接OP,ON.點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)軌跡是NP，

AM

BFN、,_，/C

圖2

此時(shí)0V=8,NF=4,

:.CF=AB=CD=12,

???/BCD=90。,CP工DF,

:.CP平分/BCD,

:.NPCN=45。，

/.ZPON=2ZPCN=90°,

?-0P=LcG=2卮

2

，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡的長=9。兀x2'=島

180

故答案為：石兀.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題.

11.（2024?四川眉山?二模）7個(gè)半徑均為一的硬幣兩兩外切，如圖所示，若將左邊第一個(gè)

硬幣沿著剩下硬幣的圓周滾動(dòng)一圈回到原來的位置（其余6個(gè)硬幣固定不動(dòng)），那么這個(gè)硬

33

【答案】C

【分析】本題主要考查了弧長的計(jì)算的應(yīng)用等知識點(diǎn)，根據(jù)題意確定運(yùn)動(dòng)路徑是由由4個(gè)孤

1與8個(gè)孤2組成，然后利用弧長公式計(jì)算即可得解，熟練掌握弧長的計(jì)算是解決此題的關(guān)

鍵.

由圓半徑相等得，AB=AC=BC=2r,

VABC為等邊三角形，

ZABC=ZBAC=ZCAB=60°,

J.ZDAC=120°,NCBE=60。，

.120.4nrrrC弘60.2

??弧1的長二——7rx2r=-7rr,弧2的長=——7ix2r=—7ir,

18031803

4232

總路徑長=-7ZTX4+—TZTX8=——nr,

333

故選：C.

三、圓中最值問題

12.（2024?山東淄博?二模）如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=2A/3,P是

以斜邊AB為直徑的半圓上一動(dòng)點(diǎn)，M為PC上一點(diǎn)且滿足PM=2MC,連接RW,則3M

的最小值為.

【分析】如圖，取45的中點(diǎn)。，連接OC,在OC上取一點(diǎn)N,使得ON=2CN,連接OP,

過點(diǎn)N作NHL3C,先根據(jù)勾股定理求得AB=4,再根據(jù)中點(diǎn)定義及直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半得到0C=0P=04=03=工AS=2=BC,再證“OCB是等邊三角形，

2

得/NCT/=60。，NH=CNsin60°=@,CH=CNcos600=-,==*，由勾股