二次麴數(shù)新定義型綜合問(wèn)題

目錄

解密中考................................................................................1

題型特訓(xùn)提分............................................................................2

題型一新定義型二次西數(shù)之共生我仲BMWfr線(xiàn).............................................2

題型二新定義型二次圖數(shù)之特殊形狀問(wèn)題..................................................8

題型三新定義型二次語(yǔ)數(shù)與其他函數(shù)的綠合問(wèn)題..........................................11

題型四新定義型二次函數(shù)與幾何圖形的綠合問(wèn)題..........................................14

解密電壽

考倩分析:二次函數(shù)新定義型綜合題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容,更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些

考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，屬中頻偏高考點(diǎn)，多在壓軸題出現(xiàn)，約占解答題15%—20%。近年隨核心素養(yǎng)考查加

重，頻率略有上升,各地試卷年均1-2題，常與函數(shù)性質(zhì)、幾何綜合結(jié)合。

2.從題型角度看，以解答題為主（占比超80%）,分三類(lèi):①新定義概念（如“友好拋物線(xiàn)”），需根據(jù)定義求

解析式;②新性質(zhì)探究（如“最值點(diǎn)”關(guān)系），需推導(dǎo)規(guī)律;③跨知識(shí)應(yīng)用（如結(jié)合坐標(biāo)系定義“距離函數(shù)”），綜合

度高，分步設(shè)問(wèn)（2—3小問(wèn)）。

備考策略：1.強(qiáng)化讀題建模:圈畫(huà)新定義關(guān)鍵詞，用示例輔助理解（如通過(guò)圖像標(biāo)注“新頂點(diǎn)”）；

2.分階訓(xùn)練:先練單一知識(shí)點(diǎn)新定義（如僅含函數(shù)），再攻幾何代數(shù)綜合題；

3.提煉通法:按“理解定義t翻譯條件一聯(lián)立方程/幾何關(guān)系-驗(yàn)證結(jié)果”步驟解題,注意分類(lèi)討論與數(shù)

形結(jié)合，積累典型模型（如“對(duì)稱(chēng)型”“最值型”新定義）。

題蟄特調(diào)提分

題型一新定義型二次函數(shù)之共生或伴st加物線(xiàn)

1.（24—25九年級(jí)下?江西撫州?階段練習(xí)）新定義：若二次函數(shù)為力=€^2+6/+c（a#O,a,b,c是常

數(shù)），則稱(chēng)U2=-a"+be-c為功的“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù),稱(chēng)這兩個(gè)函數(shù)為互為“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù).

（1）寫(xiě)出夕=〃—4c+1的“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)的表達(dá)式,并寫(xiě)出該互為“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)的圖象的一個(gè)性

質(zhì)；

（2）若（1）中的互為“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)4=far（R#O）的圖象只有兩個(gè)交點(diǎn)，求R的

值；

（3）如圖，二次函數(shù)S與y2互為“關(guān)聯(lián)”二次函數(shù)，4B分別是互為“關(guān)聯(lián)”的兩個(gè)二次函數(shù)功與y2的

圖象的頂點(diǎn)，。是紡的圖象與"軸正半軸的交點(diǎn)，連接ABAC,若點(diǎn)A為（一2,1）,且△ABC為

直角三角形，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

1.明確定義:緊扣題目對(duì)“共生伴隨拋物線(xiàn)”的定義（如頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)、系數(shù)對(duì)稱(chēng)等），例:若定義為“與原拋

物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸相同,開(kāi)口方向相反”，則設(shè)原拋物線(xiàn)為y=a（x—拉丁+鼠伴隨拋物線(xiàn)為y=-a（x-K）2+

ko

2.聯(lián)立關(guān)系：根據(jù)定義列解析式，結(jié)合交點(diǎn)、最值等條件聯(lián)立方程（如兩拋物線(xiàn)交于立軸同一點(diǎn),代入

求解a、h、fc）o

3.分類(lèi)討論:若定義含多種情形（如伴隨拋物線(xiàn)頂點(diǎn)為原拋物線(xiàn)與沙軸交點(diǎn)），需分情況推導(dǎo),驗(yàn)根時(shí)

確保符合所有約束條件。

4.數(shù)形結(jié)合：通過(guò)畫(huà)圖直觀呈現(xiàn)兩拋物線(xiàn)位置關(guān)系,輔助分析參數(shù)取值范圍。

2.（2025?河南焦作?一模）新定義：如果二次函數(shù)夕=ax2+bx+c（a#0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（—1,0）,那么稱(chēng)此

二次函數(shù)圖象為“定點(diǎn)拋物線(xiàn)”.

⑴若拋物線(xiàn)“="—mc+2—卜與c軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，且是“定點(diǎn)拋物線(xiàn)”，求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式.

（2）已知拋物線(xiàn)夕=+"*一m+"為常數(shù)，且0）.

①求證:該拋物線(xiàn)為“定點(diǎn)拋物線(xiàn)”；

②若小<0,當(dāng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在最低位置時(shí)，拋物線(xiàn)上有兩點(diǎn)。（2,s）,（瓦土），當(dāng)時(shí),求k的取值范

圍.

3.（23—24九年級(jí)上?浙江?期中）新定義:我們把拋物線(xiàn)yi=ax2+bx+c與拋物線(xiàn)外=bd+arc+c其

中ab￥0）稱(chēng)為“關(guān)聯(lián)拋物線(xiàn)”.例如：拋物線(xiàn)%=3d+4尤+2的“關(guān)聯(lián)拋物線(xiàn)”為紡=4d+3工+2.

2

已知拋物線(xiàn)Ci：%=2ax+ac+a-2（a￥0）的“關(guān)聯(lián)拋物線(xiàn)”為C2.

（1）寫(xiě)出拋物線(xiàn)a的函數(shù)表達(dá)式（用含a的式子表示）統(tǒng)=，頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

（2）對(duì)于G和Q，當(dāng)幼〉紡時(shí)，求力的取值范圍.

（3）若a>0,當(dāng)a—3WcWa—1時(shí)，a的最大值與最小值的差為2a,求a的值.

4.（2025?山東?一模）新定義:我們把拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c（其中ab￥0與拋物線(xiàn)y=bx2+ax+c稱(chēng)為

“關(guān)聯(lián)拋物線(xiàn)”，例如，拋物線(xiàn)y=2d+3宓+1的“關(guān)聯(lián)拋物線(xiàn)”為y=3x2+2x+l,已知拋物線(xiàn)G：y

=4ax2+ax+4：a-3（a>0）的''關(guān)聯(lián)拋物線(xiàn)”為G，G與沙軸交于點(diǎn)E.

（1）若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,-1）,求G的解析式；

（2）設(shè)G的頂點(diǎn)為尸，若△OE尸是以。尸為底的等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）過(guò)①軸上一點(diǎn)P,作①軸的垂線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)G，G，于點(diǎn)M，N.

①當(dāng)MN=6a時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)

②當(dāng)a-4&;rWa—2時(shí)，。2的最大值與最小值的差為2a,求a的值.

5.(2025?遼寧阜新?一模)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明興趣小組對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行了深入的探究,如果將

二次函數(shù)：夕++c(aW0)圖象上的點(diǎn)人(a:,,)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)锳點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之

和，就會(huì)得到的一個(gè)新的點(diǎn)A(x,2+9).他們把這個(gè)點(diǎn)4：定義為點(diǎn)人的“和點(diǎn)”.他們發(fā)現(xiàn):二次函

數(shù)U=+尻+c(a#0)所有和點(diǎn)構(gòu)成的圖象也是一條拋物線(xiàn)，于是把這條拋物線(xiàn)定義為y=ax2+

bx+c(a#0)的''和拋物線(xiàn)”.例如，二次函數(shù),=x2+x+l的“和拋物線(xiàn)”就是y=x2+x+l+x=

/+22+1,請(qǐng)按照定義完成：

(1)點(diǎn)P(l,2)的''和"點(diǎn)是；

(2)如果拋物線(xiàn)y=x2+bx+3(a#0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)河(1,一3),求該拋物線(xiàn)的“和拋物線(xiàn)”；

(3)已知拋物線(xiàn)y=x2+bx+c圖象上的點(diǎn)B(x,g)的“和點(diǎn)”是瓦(一1,1)，若該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(p,q),該拋物線(xiàn)的“和拋物線(xiàn)”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n).

①當(dāng)0WcW5時(shí)，求ri的取值范圍.

②小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)c取不同值時(shí)，所有的頂點(diǎn)(p,q)組成一條新的拋物線(xiàn),設(shè)為外，所有的頂點(diǎn)g,n)也

組成一條新的拋物線(xiàn)，設(shè)為以，請(qǐng)直接寫(xiě)出這兩條新拋物線(xiàn)頂點(diǎn)之間的距離.

6.如圖，拋物線(xiàn)力:9="一4c+3上的點(diǎn)A,口，C,。分別關(guān)于直線(xiàn)y=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為分

別關(guān)于點(diǎn)P(O,1)中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為A",8〃，如下表:

40,3)8(1,0)。⑵—1)。(3,0)

4(0,—1)8(1,2)0(2⑶“3,2)

A,f(0,-1)B"(—1,2)。'(_____，_____)。"(―3⑵

(1)①補(bǔ)全表格；

②在下圖中，描出表格中的點(diǎn)4,再用平滑的曲線(xiàn)依次連接各點(diǎn)得到的圖象記為〃；描出

表格中的點(diǎn)人〃，B",C",再用平滑的曲線(xiàn)依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為

形成新定義:直線(xiàn)n=m與y軸交于點(diǎn)P(O,m)，我們把拋物線(xiàn)L關(guān)于直線(xiàn)y=m的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)L1,叫

作拋物線(xiàn)L的“共線(xiàn)拋物線(xiàn)”;把拋物線(xiàn)L關(guān)于點(diǎn)P(O,m)中心對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)乙2,叫作拋物線(xiàn)L的“共

點(diǎn)拋物線(xiàn)”.

問(wèn)題探究

(2)①若拋物線(xiàn)L與它的“共點(diǎn)拋物線(xiàn)”L2的函數(shù)值都隨著力的增大而減小，求力的取值范圍；

②若直線(xiàn)y=m與拋物線(xiàn)入、“共線(xiàn)拋物線(xiàn)”"，“共點(diǎn)拋物線(xiàn)”L2有且只有四個(gè)交點(diǎn),求m的取值范

圍.

③已知拋物線(xiàn)L：夕=加2—2a;r+a+3的“共線(xiàn)拋物線(xiàn)”右的解析式為y=--^-x2+kx--^-k2-5.

請(qǐng)寫(xiě)出拋物線(xiàn)L的“共點(diǎn)拋物線(xiàn)”乙2的解析式.

7.(24-25九年級(jí)上?遼寧鐵嶺?期末)閱讀以下材料，并解決相應(yīng)問(wèn)題：

定義義口果二次函數(shù)沙=￡11謨+30；+5(電片0,電,bi，ci是常數(shù))與夕=&2如+62±十。2((12片0,a2>b2,

C2是常數(shù))滿(mǎn)足&+=1,Cl=C2且對(duì)稱(chēng)軸相同的二次函數(shù)互為''友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”.例如：y=

2"+4X-3的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為y=—/—2必一3.

⑴夕=-善"的，，友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)，，為”=-靖+2t+3的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”為；

(2)關(guān)于“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”，下列結(jié)論正確的是;(填序號(hào))

①二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)沒(méi)有“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”;

②二次項(xiàng)系數(shù)為y的二次函數(shù)的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”是它本身；

(3)y=ax2—2ax+3(a#l)的“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)"為4=(1—a)rr2—2(1—a)s+3；

④任意兩個(gè)“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”與y軸一定有交點(diǎn),與比軸至少有一個(gè)二次函數(shù)有交點(diǎn).

2

⑶如圖，二次函數(shù)乙皿=ax-4ax+l(a#1)與其“友好對(duì)稱(chēng)二次函數(shù)”L2都與y軸交于點(diǎn)4點(diǎn)

C分別在〃，乙上，點(diǎn)B,C的橫坐標(biāo)均為m(0<m<2)，它們關(guān)于L,的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B',

。，連接BBLB'C',C'C,CB.若巾=1,且四邊形WOC的鄰邊之比為1:2,直接寫(xiě)出a的值.

題型二新定義型二次函數(shù)之精殊移狀問(wèn)題

8.定義：由兩條與①軸有相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線(xiàn)所圍成的封閉曲線(xiàn)稱(chēng)為“月牙線(xiàn)”.

【概念理解】

（1）拋物線(xiàn)%=2（力一1）（>—2）與拋物線(xiàn)例=靖一3必+2是否圍成“月牙線(xiàn)”？說(shuō)明理由.

【嘗試應(yīng)用】

⑵拋物線(xiàn)%/Q—I）z—2與拋物線(xiàn)紡=a靖+近+c（a>/）組成一個(gè)如圖所示的“月牙線(xiàn)”，與

力軸有相同的交點(diǎn)河，N（點(diǎn)河在點(diǎn)N的左側(cè)）,與y軸的交點(diǎn)分別為A,B.

①求a:b:c的值.

②已知點(diǎn)P（T0,m）和點(diǎn)Q（如n）在“月牙線(xiàn)”上，山〉小且巾—九的值始終不大于2,求線(xiàn)段43長(zhǎng)的

取值范圍.

1.拆解新定義：明確“特殊形狀”的幾何特征（如拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成等腰梯形、頂點(diǎn)與交點(diǎn)構(gòu)成等邊三

角形等）,標(biāo)注關(guān)鍵條件（邊長(zhǎng)、角度、對(duì)稱(chēng)關(guān)系）。

2.坐標(biāo)代數(shù)化:設(shè)二次函數(shù)為y=ax2+bx+c,求頂點(diǎn)、與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，用距離公式、斜率表示形狀

邊/角關(guān)系（如\AB\=|BC|fcWBC=-l）o

3.分類(lèi)討論建模:按形狀頂點(diǎn)位置或邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系分情況，列方程（組）求解（如等腰三角形分頂角在頂

點(diǎn)或底邊）,注意判別式與定義域限制。

4.圖形驗(yàn)證:代入解驗(yàn)證是否滿(mǎn)足形狀定義，舍去退化解（如三點(diǎn)共線(xiàn)的三角形）,結(jié)合圖像判斷參數(shù)合

理性。

9.二次函數(shù)"="—的圖象交力軸于原點(diǎn)。及點(diǎn)4

感知特例

⑴當(dāng)m=1時(shí)，如圖1,拋物線(xiàn)乙：9="—上的點(diǎn)B,O,。，人，。分別關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為

A,D,如下表：

0(0,0)C(LT)4―，—)。(3,3)

B\5,-3)O'(4,0)。(3,1)4(2,0)。'(1,一3)

①補(bǔ)全表格；

②在圖1中描出表中對(duì)稱(chēng)后的點(diǎn)，再用平滑的曲線(xiàn)依次連接各點(diǎn),得到的圖象記為，.

形成概念

我們發(fā)現(xiàn)形如(1)中的圖象，上的點(diǎn)和拋物線(xiàn)刀上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)□是L的“孔像拋物

線(xiàn)”.例如，當(dāng)巾=—2時(shí)，圖2中的拋物線(xiàn)L'是拋物線(xiàn)L的“孔像拋物線(xiàn)”.

探究問(wèn)題

⑵①當(dāng)m=-1時(shí)，若拋物線(xiàn)L與它的“孔像拋物線(xiàn)"L'的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則c的取值

范圍為;

②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)m取不同值時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線(xiàn)與二次函數(shù)4=

2mx的所有“孔像拋物線(xiàn)”〃，都有唯一交點(diǎn),這條拋物線(xiàn)的解析式可能是.(填“9=附2+辰

+c”或"y=ax2+bnc"或"y=ax2+c"或"y=a/",其中abc半0)；

③若二次函數(shù)y=x2-2mx及它的“孔像拋物線(xiàn)”與直線(xiàn)y=m有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求成的值.

10.定義:若直線(xiàn)夕=-1與開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離叫做這條拋物線(xiàn)的

“反碟長(zhǎng)”.如圖，已知拋物線(xiàn)Li：y=—〃與直線(xiàn),1相交于p,Q.

⑴拋物線(xiàn)好的“反碟長(zhǎng)"PQ=.

（2）拋物線(xiàn)隨其頂點(diǎn)沿直線(xiàn)y=^x向上平移，得到拋物線(xiàn)L2.

①當(dāng)拋物線(xiàn)〃的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)（6,3）,拋物線(xiàn)L的解析式是.拋物線(xiàn)"的“反碟長(zhǎng)”是

②若拋物線(xiàn)。的“反碟長(zhǎng)”是一個(gè)偶數(shù)，則其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)可能是.（填寫(xiě)所有正確的選項(xiàng)）

A.15B.16C.24D.25

③當(dāng)拋物線(xiàn)L2的頂點(diǎn)A和拋物線(xiàn)L2與直線(xiàn)y=-1的兩個(gè)交點(diǎn)。構(gòu)成一個(gè)等邊三角形時(shí)（點(diǎn)B在

點(diǎn)C左右），求點(diǎn)A的坐標(biāo).

題型三新定義型二次系數(shù)與其他函數(shù)的綜合問(wèn)題

11.（2025?湖南岳陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）【定義】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于“積值”給出如下定義:點(diǎn)人（力,9）是函數(shù)

圖象上任意一點(diǎn),橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的乘積xy稱(chēng)為點(diǎn)A（x,y）在函數(shù)圖象上的“積值”；

【舉例】已知點(diǎn)4（1,4）在函數(shù)沙=力+3的圖象上，點(diǎn)41,4）在函數(shù)“=3；+3圖象上的“積值”為叼=

1x4=4.

【問(wèn)題】根據(jù)定義，解答下列問(wèn)題：

（1）已知點(diǎn)B是函數(shù)9=立圖象上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)B在該函數(shù)圖象上的“積值”為；

X-------

（2）求點(diǎn)M（m,-3）在函數(shù)夕=爐+4尤+1圖象上的“積值”；

（3）已知點(diǎn)「（然,為）在函數(shù)沙=21一b（b為常數(shù)，且6>4）的圖象上，當(dāng)OWcWl時(shí)，點(diǎn)P在函數(shù)夕=

2c—b圖象上的“積值”的最小值為一3,求b的值.

巧

1.吃透雙定義:先明確二次函數(shù)新定義（如“聯(lián)動(dòng)函數(shù)”），再分析其他函數(shù)（一次/反比例）性質(zhì)，標(biāo)注交

點(diǎn)、增減性等關(guān)聯(lián)點(diǎn)。

2.聯(lián)立方程求解:將兩函數(shù)解析式聯(lián)立,轉(zhuǎn)化為一元二次方程（如ax2+bx+c=kx+?。?用判別式判

斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，或用韋達(dá)定理求參數(shù)關(guān)系。

3.數(shù)形結(jié)合分析:畫(huà)草圖觀察兩函數(shù)位置（如二次函數(shù)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上），結(jié)合新定義條件（如

“最低點(diǎn)縱坐標(biāo)等于一次函數(shù)截距”）列等式。

4.分類(lèi)討論參數(shù):若新定義含參數(shù),分情況討論參數(shù)對(duì)兩函數(shù)交點(diǎn)、最值的影響,驗(yàn)根時(shí)兼顧定義域與實(shí)

際意義。

12.(2025?遼寧盤(pán)錦?模擬預(yù)測(cè))定義：若以函數(shù)夕圖象上的點(diǎn)P與平面內(nèi)兩個(gè)點(diǎn)A,B為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角

形是等邊三角形，則稱(chēng)P是U上關(guān)于A,口的“等邊點(diǎn)”.在平面直角坐標(biāo)系中，已知4(0,3),8(—1,

0),0(3,0).

(1)正比例函數(shù)功上存在關(guān)于的“等邊點(diǎn)”，直接寫(xiě)出正比例函數(shù)%的解析式；

(2)點(diǎn)Q是“軸正半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P是反比例函數(shù)例上關(guān)于C，Q的“等邊點(diǎn)”，且PC〃4軸，求反比例

函數(shù)改的解析式；

(3)二次函數(shù)統(tǒng)過(guò)點(diǎn)4B,。，則明的解析式為；

①如圖①,射線(xiàn)AK交多軸于點(diǎn)K,點(diǎn)人是y3上關(guān)于Af,N的“等邊點(diǎn)”，其中“在射線(xiàn)AKI.,N在射

線(xiàn)AC上，求點(diǎn)K的坐標(biāo)；

②如圖②，點(diǎn)E是第一象限內(nèi)二次函數(shù)燈的對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P是窩上關(guān)于。，后的等邊點(diǎn)，直

接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

13.（2024?浙江湖州?一模）定義:對(duì)于g關(guān)于力的函數(shù)，函數(shù)在◎4/&電（61<%2）范圍內(nèi)的最大值，記作

如函數(shù)g=2/，在-=范圍內(nèi)，該函數(shù)的最大值是6,即，1,3]=6.

請(qǐng)根據(jù)以上信息，完成以下問(wèn)題：

已知函數(shù)y=（Q—I）%?—42+Q2_1（。為常數(shù)）

（1）若Q=2.

①直接寫(xiě)出該函數(shù)的表達(dá)式，并求"[1,4]的值；

②已知聞謂]=3,求2的值.

（2）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,0）,且3,知=配求k的值.

題型四新定義型二次系數(shù)與幾何圖冊(cè)的綜合問(wèn)題

14.(2024.上海虹口.二模)新定義：已知拋物線(xiàn)g=0砂+法+c(其中abcW0),我們把拋物線(xiàn)g=c/+0力

+b稱(chēng)為y=ax2+bx+c的“輪換拋物線(xiàn)”.例如:拋物線(xiàn)y=2x2+3x+l的“輪換拋物線(xiàn)”為y=x2

+2/x+3.

已知拋物線(xiàn)C?y=4mx2+(4m-5)2:+m的“輪換拋物線(xiàn)”為&，拋物線(xiàn)G、G與0軸分別交于點(diǎn)

E、尸，點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方，拋物線(xiàn)&的頂點(diǎn)為P

(1)如果點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1),求拋物線(xiàn)G的表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線(xiàn)&的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)y=3x+8相交于點(diǎn)Q,如果四邊形PQEF為平行四邊形，求點(diǎn)E的

坐標(biāo)；

⑶已知點(diǎn)M(-4,n)在拋物線(xiàn)&上，點(diǎn)N坐標(biāo)為(-2,-7y),當(dāng)&PMN與APEF相似時(shí)，求小的

值.

1.譯定義條件:將新定義(如“拋物線(xiàn)與三角形構(gòu)成'關(guān)聯(lián)圖形’”)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，例:頂點(diǎn)在三角形某

邊上,或與邊交點(diǎn)滿(mǎn)足特定距離。

2.建函數(shù)與幾何橋梁:用二次函數(shù)解析式表示幾何圖形頂點(diǎn)/交點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合全等/相似、面積公式等列方

程(如用距離公式表示邊長(zhǎng)相等)。

3.分情況討論:按幾何圖形位置(如頂點(diǎn)在左/右側(cè))或新定義多情形分類(lèi)，避免漏解。

4.驗(yàn)圖形邏輯:代入解驗(yàn)證是否符合幾何圖形完整性(如三角形不共線(xiàn)、拋物線(xiàn)不與邊重合)，結(jié)合圖像舍

去矛盾解。

15.（24—25九年級(jí)上?上海浦東新?階段練習(xí)）新定義:對(duì)于拋物線(xiàn)y=ax2+brr+c,若〃=ac,則稱(chēng)該拋

物線(xiàn)是黃金拋物線(xiàn)，若拋物線(xiàn)y=x2-2x+m是黃金拋物線(xiàn)，與u軸交于點(diǎn)力，頂點(diǎn)為。.

（1）求:此黃金拋物線(xiàn)的表達(dá)式及。點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)B（2,k）在這個(gè)黃金拋物線(xiàn)上.

①點(diǎn)C（c,-*）在這個(gè)黃金拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，求：NOBC的正切值.

②在射線(xiàn)AB上找一點(diǎn)P,使以點(diǎn)P、4。所組成的三角形與XAOD相似，求：P點(diǎn)坐標(biāo).

16.新定義:關(guān)于，軸對(duì)稱(chēng)的兩條拋物線(xiàn)叫做“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”.

（1）求:拋物線(xiàn)y=-ycc2+x+l的”同軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”.

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)口是拋物線(xiàn)L:y=ax2-4ax+l上一點(diǎn),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,過(guò)點(diǎn)B

作立軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)力的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”于點(diǎn)。，分別作點(diǎn)B、。關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)

B\C.

①當(dāng)四邊形8BOC為正方形時(shí)，求：a的值.

②在①的條件下,拋物線(xiàn)L的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”的圖像與一次函數(shù)夕=x-l相交于點(diǎn)河和點(diǎn)N（其

中河在N的左邊），將拋物線(xiàn)L的“同軸對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)”的圖像向上平移得到新的拋物線(xiàn)L'與一次函數(shù)“

=，—1相交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q（其中P在Q的左邊），滿(mǎn)足PM+QN=MV,試在拋物線(xiàn)L'上有且僅有三

個(gè)點(diǎn)/，R2,品，使得△跖VRI，△MN%，ZWN%的面積均為定值S,請(qǐng)直接寫(xiě)出：風(fēng),顯，用的坐標(biāo)?

17.（2024?廣東東莞?三模）閱讀理解

【信息提取】

新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果兩條拋物線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則一條拋物線(xiàn)叫另一條拋物線(xiàn)的

“友好拋物線(xiàn)”.

新知識(shí):對(duì)于直線(xiàn)7/1=卜逆+仇（自手0）和92=k2x+b2（A；2￥o），若自?=—1，則直線(xiàn)U1與Vi互相垂直;

若直線(xiàn)仍與為互相垂直，則自,k2=—L

【感知理解】

（1）拋物線(xiàn)儀=—23+2）2—3的“友好拋物線(xiàn)”為y2=；

22

（2）若拋物線(xiàn)y1=ax+bx+c（a/0）與y2=mx+nx+0）互為“友好拋物線(xiàn)”，則a與m的數(shù)

量關(guān)系為,b與n的數(shù)量關(guān)系為,c與q的數(shù)量關(guān)系為;

【綜合應(yīng)用】

（3）如圖,拋物線(xiàn)"一42+3的頂點(diǎn)為E,h的“友好拋物線(xiàn)”12的頂點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)13與

拋物線(xiàn)卜交于點(diǎn)3（點(diǎn)4在B的左側(cè)）,與拋物線(xiàn)12交于點(diǎn)C,。（點(diǎn)。在。的左側(cè)）.若四邊形