專題2極化恒等式，奔馳定理，三角形四心

序號考點

知識點01極化恒等式

知識點02奔馳定理

知識點03三角形四心

知識點01極化恒等式

_mm+6）~一（萬一

a-b=------------------|

4]

極化恒等式幾何意義：

向量的數(shù)量積可以表示為以這兩個向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”

平方差的工恒等式的作用在于向量的線性運算與數(shù)量積之間的聯(lián)系

4,

如圖在平行四邊形ABCD中，AB=a,Al5=b

則叱=由+通）、（通-而）;而廠畫=.『一兩『

44

總結：此恒等式的精妙之處在于建立了向量的數(shù)量積與幾何長度（數(shù)量）之間的橋梁，實現(xiàn)向

量與幾何、代數(shù)的巧妙結合，對于不共起點和不共終點的問題可通過平移轉化法等價轉化為

對共起點（終點）的兩向量的數(shù)量積問題，從而用極化恒等式解決，需大家強化學習。

例1.（全國?高考真題）設向量萬E滿足|1+5|=而，舊一5|=、后，則,石=

A.1B.2C.3D.5

例2.（2023?全國?高考真題）正方形A3CD的邊長是2,E是鈾的中點，則成.麗=（）

A.75B.3C.2A/5D.5

例3.（2022?北京?高考真題）在44BC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.尸為AABC所在平面內

的動點，且PC=1,則麗.麗的取值范圍是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

【強化訓練】

1.如圖，在AABC中，已知AB=4,AC=6,ABAC=60°,點D,E分別在邊AB,AC上,

且通=2AD,AC=3AE，若R為OE的中點，則麗?瓦的值為

2.（江蘇?高考真題）如圖，在AABC中，。是8C的中點，瓦F是A,。上的兩個三等分點,

BACA=4,BFCF=-1,則赤的值是

A

/1E\

廬

BDC

知識點02奔馳定理

L奔馳定理

如圖，已知。為A/RC內一點，

則有5ABOCQA+SAAOCOB+SMOB-OCUO

或者SaOA+SbOB+ScOC=b

由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為"奔馳定理

這個定理對于利用平面向量解決平面幾何問題，尤其是解決跟三角形的面積和“四心”相關的

問題，有著決定性的基石作用.

2.奔馳定理的推論

推論。是AABC內的一點，且X-西+y?礪+Z?無=0,則SBOC:SCOA:SAOB=x:y:z

3.奔馳定理的證明

如圖：延長04與邊相交于點。

BD_S&ABD_S^BOD_SAABD-SROD_

qqc_cc

u°^ACDURCOD°ACD°LCOD°AAOC

OD=—OB+—OC

BCBC

————OB+——LAOB——QQ

V_LVVV

丁丁0

AOC"AOB°AAOC^AOB

°D_SBOD_S(JOD_SBOD+SCOD

口ABOC

r)AQCQQq_i_c

0c丁丁

^BOA"COA^BOA^COA°AAOCQAAOB

0D=--------OA

q_i_Q

0△AOC丁

-------OA=—OB+—OC

°AAOCT°AAOBLAO。T°AAOB°^AOCT°AAOB

??S△DRCO/C,OA+SAAC。/C，,OB+SAAOCDR.OC—0

【練習題型：奔馳定理】

―>—>—>—>

例1.已知點P為ABC內一點，PA+2PB+3PC=0,則△APB,△APC,△BPC的面積

之比為（）

A.9：4：1B.1：4：9C.1：2：3D.3：2：1

例2.（2023?師大附中期末）已知。是三角形ABC內部一點，且次+2礪+詼=。，貝1兇08

的面積與AABC的面積之比為（）

例3.設。為AABC內一點，且滿足關系式04+20B+30c=3AB+2BC+以,則SABOC：

SAAOB：S&COA=.

例4.己知。是&ABC內部的一點，NA,ZB,NC所對的邊分別為“=3,6=2,c=4,

若sinA?市+sinB.麗+sinC?靈=0，則AAOB與AABC的面積之比為（）

4125

-

A.9-B.3-9-D.9

例5.(多選題)奔馳定理：已知。是AABC內的一點，ROC,△AOC,AAOB的面積分

別為踵，SB，SC,貝”A?麗+SB?礪+Sc?玄=0.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美

的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車(Mercedesbenz)的/og。很相似，故形象地

稱其為“奔馳定理”.若。、P是銳角AABC內的點，A、5、C是AABC的三個內角，且滿足

PA+PB+PC^^CA,OAOB=OBOC=OCOA,貝！I()

@.A

Aq-V.s—4?9?3

B.AA+ABOC=TI

C.|OA|:|(?B|:|(?c|=cosA:cosB:cosC

D.tanA-OA+tanB-OB+tanC-OC=0

知識點03三角形四心

（1）三角形的重心：三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，重心到頂點的距離與重心

到對邊中點的距離之比為2：1；三條重心所分六個小三角形面積均相等。

①萬+費+資=供記是aABC的重心.

②若O為△ABC的重心,P是AABC所在

平面內的任意一點，則P（）=l（PA+PB+PC）.

③若AABC三個頂點的坐標分別為A（g,

yi),B(Hz,>2)?C(X3,?3)，重心O(z,y),

?+工2+23_>1+>+>3

則有了3'k32

（2）三角形的內心：三角形三條內角平分線的交點叫做三角形的內心，也就是內切圓的圓

心，三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑八

0為△ABC的內心㈡aOA+6OB+cOC=

。㈡sinA,OA+sinB,OB+sinC,OC=0.

（3）三角形的外心：三角形三條邊的垂直平分線的交點叫做三角形的外心，也就是三角形

外接圓的圓心，它到三角形三個頂點的距離相等.

若。為AABC的外心，則sin2A?市+sin2B-礪+sin2C前=6;或卜|礪卜|明

(4)三角形的垂心：三角形三邊上的高的交點叫做三角形的垂心，垂心和頂點的連線與對

邊垂直.

O為AABC的垂心-OB=OB?沅=

OC,OA<=^tanA?OA+tanB?OB4~tanC?

了=0.

總結.三角形四心與推論：/

(1)。是ZVIBC的重心：

而+為+1=605"℃:5八少小5.。3=1：1：1、

BC

(2)。是八鉆。的內心：

aOA+bOB+cOC=OS^oc:S^COA:S^OB=a:b:cOsinA-CM+sinB-OB+sinC-OC=6

(3)。是ZVlBC的外心：OA=OB=OC<=>

Sj()c：Sxcok:8AA08=sin2A:sin2B:sin2Cosin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0.

(4)。是△ABC的垂心：OAOB=OBOC=OCOAO

S&oc:SXCOA:S/XAOB=tanA:tanB:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=6.

【練習題型一：重心定理】

/\

---?ah

1.在AABC中，CB=a>CA=b>且。P=OC+根rq---+臼----,mwR,則點尸的軌

|?|sinB|Z?|sinA

跡一定通過AABC的（）

A.重心B.內心

C.外心D.垂心

2.設。是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

OP=OA+A（AB+AC）,2e[0,+oo）,則尸的軌跡一定通過的（）

A.外心B.內心C.重心D.垂心

3.若。為AABC的重心（重心為三條中線交點），且函+礪+彳反=6,貝IU=—.

__.3__?__

4.過△ABC重心。的直線P。交AC于點P,交BC于點。，PC=-AC,QC=nBC,則

n的值為.

5.在AABC中，AB=2,NABC=60。，AC-AB=^1,若。是AABC的重心，則前.*=

6.(1)已知△ABC的重心為。，且A2=5,AC=3,則而.瓦?=

(2)已知△ABC的重心為。，且AB=5,AC=3,A=g。為BC中點，則正?歷=

7.(多選)AABC中，a,b,c分別是內角A,B,C的對邊，。為其重心，%,hb,4分別

是邊a，b,c上的高.^2sinAOA+3sinBOB+4sinCOC=6.則下列結論正確的是()

A.a:b:c=4:3:2B.hj%：%=2:3:4

43

C.cosC=—D.AABC是鈍角三角形

【練習題型二：內心定理】

1.已知。是平面上的一個定點，48、C是平面上不共線的三點，動點P滿足

(AeR),則點尸的軌跡一定經(jīng)過“WC的()

A.重心B.夕卜心C.內心D.垂心

2.在AABC中，AB=2AC,動點M滿足㈤0?(而+而)=0,則直線AM一定經(jīng)過△ABC的

()

A.垂心B.內心C.外心D.重心

3.設/為AABC的內心，AB=AC=5,BC=6,AI=mAB+nW>則機+，為

—.3-■1—-

4.已知點。是AABC的內心，AO——AB+—AC,貝iJcosNBAC=.

5.已知AABC,/是其內心，內角A3,C所對的邊分別d"c,則（）

—1—,-.07TVCABbAC

A.AI=-(AB+AC)B.AI=-----+-------

aa

—_bAB!cACcAB!bAC

C.D.

a+b+ca+b+ca+ba+c

3

6.在△ABC中，cosA二一，。為△ABC的內心,若AO=xAB+yAC(羽yER),則x+y的

4

最大值為（）

6—A/67-V7D8-2夜

C.

56?7

【練習題型三：外心定理】

1.已知。是平面上的一定點，AB,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

存=西區(qū)+&ABAC

,幾€（。,+8）,則動點尸的軌跡一定通過△加（7的（）

2^cIcosC

A.重心B.外心C.內心D.垂心

2.已知△ABC中，AB=AC=\,BC=3，點。是△ABC的外心，則前?通=.

3.已知點尸是5c的內心、外心、重心、垂心之一，且滿足2經(jīng)?反=*2-通氣則點

P一定是AABC的（）

A.內心B.外心C.重心D.垂心

4.設。為“BC的外心，若AB=4,3c=26，則的?蔗=.

5.已知。是△48。的外

心,若竺君?AO+^AC-Ad=2mA02,5.

ABAC

sin8+sin。=",則實數(shù)m的最大值為()

3八7c3

A.3B.—C.—D.—

6.設。為AABC的外心，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，若6=3,c=5,則m.就=

()

A.8B.-8C.6