北京市育才學(xué)校2024-2025學(xué)年高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷

1

1.已知/0)=3則/(1)=()

A.0B.1C.-1D.-2

2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()

A.(%+1)'=KB.(1)z=InxC.(s譏久)'=cosxD.(e*)'=xex~1

3.袋中共有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球.從袋中抽取2個(gè)球，其中恰有一個(gè)白球的概率為()

3313

A-5ByC.-D.-

4.已知函數(shù)/(X)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)等誓=a,則下列不等式正確的是()

z—1

A.尸(1)<尸(2)<aB./(1)<a<r(2)

C.((2)<((1)<aD.a</(1)</(2)

-15

5.在等比數(shù)列九｝中，的=2,a4=；.若％n=2,則m=()

A.17B.16C.14D.13

6.設(shè)是公比為q的等比數(shù)列，則“q>r是為單調(diào)遞增數(shù)列”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

a

7.若等差數(shù)列｛冊(cè)｝滿足期>。，。7+io<。，則當(dāng)｛an｝的前幾項(xiàng)和最大時(shí),n=()

A.7B.8C.9D.10

8.將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件/=｛兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同｝,8=｛出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)｝,則

P(B|/)=()

9.等比數(shù)列中，ar=8,a4=-1,記=nEN*,則數(shù)歹U｛加｝()

A.無最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)B.有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)

C.無最大項(xiàng)，有最小項(xiàng)D.有最大項(xiàng)，無最小項(xiàng)

10.已知%是等差數(shù)列｛5式九6N*)的前n項(xiàng)和，且55>S6>S*以下有四個(gè)命題：

①數(shù)列｛Sn｝中的最大項(xiàng)為Si。；

②數(shù)列的公差d<0；

③Si。>0；

④Su<0.

其中正確的序號(hào)是()

A.②③B.②③④C.②④D.①③④

11.已知函數(shù)/'(x)=xlnx,則/''(1)=.

12.一個(gè)工人看管三臺(tái)自動(dòng)機(jī)床，在一小時(shí)內(nèi)第一、二、三臺(tái)機(jī)床不需要照顧的概率為0.9,0,8,0.8,在

一小時(shí)的過程中，求至少有一臺(tái)機(jī)床需要照顧的概率.

13.已知｛即｝為等差數(shù)列，Sn為其前幾項(xiàng)和,若%=1,ai+a2=a3,則公差d=,數(shù)列｛二｝的前5項(xiàng)

和為.

14.是否存在一個(gè)各項(xiàng)都小于5的無窮遞增數(shù)列？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式；如果不

存在，說明理由.

15.已知數(shù)列滿足的,>0,a=a+工也手0),給出下列四個(gè)結(jié)論：

n+1nan

①存在鼠使得｛an｝為常數(shù)列；

②對(duì)任意的k>0,｛即｝為遞增數(shù)列；

③對(duì)任意的k>0,｛an｝既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列；

④對(duì)于任意的k,都有謚2a亥+2k(n-1).

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

16.已知等差數(shù)列｛即｝滿足：的=2,且%,a2,成等比數(shù)列，數(shù)列｛廝｝的前項(xiàng)和為Sn.

(1)求數(shù)列｛5｝的通項(xiàng)公式，前幾項(xiàng)和幾；

(2)是否存在正整數(shù)幾，使得%>60n+800?若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由.

17.某高中組織學(xué)生研學(xué)旅行,現(xiàn)有4,B兩地可供選擇，學(xué)生按照自愿的原則選擇一地進(jìn)行研學(xué)旅行,研學(xué)旅

行結(jié)束后，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

高一高二IWJ三

a地B地4地B地a地B地

滿意122183156

一般226568

不滿意116232

假設(shè)所有學(xué)生的研學(xué)旅行地點(diǎn)選擇相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.

(I)估計(jì)該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率；

(II)分別從高一、高二、高三三個(gè)年級(jí)中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中至少有2人選擇去8地的概率；

(III)對(duì)于上述樣本，在三個(gè)年級(jí)去4地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為比，調(diào)查

結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為受，寫出式和s/的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

18.已知函數(shù)f(x)=?.

(1)求f(久)在點(diǎn)力(1,e)處的切線方程；

(2)/i(x)=x■/(x),若拉(%)的一條切線I恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，求切線，的方程.

19.已知在數(shù)列｛即｝中，%=2,bn=2。",,其中n€N*.

(I)求數(shù)列｛心｝的通項(xiàng)公式；

(II)求證：數(shù)列｛,｝是等比數(shù)列；

(III)求數(shù)列｛每+3｝的前般項(xiàng)和

從下列三個(gè)條件中，任意選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的問題中并作答.

①前n項(xiàng)和%—n2+n；

a

@n+i-2=an；

(^)口4=8_且2<1血+1—a7z+d-fi-^2'

“地區(qū)農(nóng)科所統(tǒng)計(jì)歷年冬小麥每畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，得到頻率分布直方圖(如圖)，考慮到受市場(chǎng)影響，預(yù)測(cè)該

地區(qū)明年冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)價(jià)格情況如表(該預(yù)測(cè)價(jià)格與畝產(chǎn)量互不影響).

明年冬小

麥統(tǒng)一收

購(gòu)價(jià)格(單2.43

位：元/

kg)

概率0.40.6

假設(shè)圖中同組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值估算，并以頻率估計(jì)概率.

(I)試估計(jì)H地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為1500元的概率；

(II)設(shè)“地區(qū)明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為X元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(III)”地區(qū)農(nóng)科所研究發(fā)現(xiàn)，若每畝多投入125元的成本進(jìn)行某項(xiàng)技術(shù)改良，則可使每畝冬小麥產(chǎn)量平均增

加50kg.從廣大種植戶的平均收益角度分析，你是否建議農(nóng)科所推廣該項(xiàng)技術(shù)改良？并說明理由.

21.己知數(shù)列｛斯｝滿足的=：廝+1=(2an+2n_奇數(shù)，數(shù)列｛心｝的前幾項(xiàng)和為%,數(shù)列｛b｝滿足

I一%:-幾九為偶數(shù)

bn=。2九，其中九EN*

(I)求。2+。3的值；

(II)證明：數(shù)列｛,｝為等比數(shù)列；

(III)是否存在n(neN*),使得S2n+i-?=b2/若存在，求出所有的n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解:f'(x)=則，(1)=-1,

故選：C.

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的基本公式求導(dǎo)，再帶值計(jì)算即可.

本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本公式，和導(dǎo)數(shù)值的求法，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：(x+l)'=l,故A錯(cuò)誤；

C)'=T，故B錯(cuò)誤；

(sinx)7=cosx,故C正確；

(ex)'-ex,故￡>錯(cuò)誤.

故選：C.

直接運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求解即可.

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：袋中共有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球.從袋中抽取2個(gè)球，

基本事件總數(shù)n=Cl=10,

其中恰有一個(gè)白球包含的基本事件個(gè)數(shù)機(jī)=廢廢=6,

其中恰有一個(gè)白球的概率為P='=卷=|.

n105

故選：A.

基本事件總數(shù)n=底=10,其中恰有一個(gè)白球包含的基本事件個(gè)數(shù)爪=廢6=6,由此能求出其中恰有

一個(gè)白球的概率.

本題考查概率的求法，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的變化率，屬于基礎(chǔ)題.

解題時(shí)根據(jù)圖象和導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.

【解答】

解：由圖象可知，當(dāng)％>0時(shí)，函數(shù)的增長(zhǎng)越來越快，

尸(1)與尸(2)分別代表在x=1,x=2處的切線的斜率，

即，(2)>((1),

???等誓=a,a表示(1"(1)),(2)(2))兩點(diǎn)連線的斜率,

Z—1

.?.r(i)<a<r(2),

故選8.

5.【答案】A

【解析】解：a1=2,a=

44

1

-1

--4-

28-

??q-ai

則q=g，

12m

Vam=2T5=QiqM—i=2x(p^=2-,

?*-2—m=-15,

即m=17,

故選：X.

根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可.

本題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，根據(jù)條件求出公比是解決本題的關(guān)鍵.

6.【答案】D

【解析】【分析】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，利用特殊值法是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)

等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可得到結(jié)論.

【解答】

解:等比數(shù)列-1,—2,—4,…，滿足公比q=2〉1,但不是遞增數(shù)列，充分性不成立，

若a“=-1X弓尸-1為遞增數(shù)列，但q=^>1不成立，即必要性不成立，

故“q>1”是“｛即｝為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件，

故選D

7.【答案】B

【解析】【分析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

由題意和等差數(shù)列的性質(zhì)求出的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：?.?等差數(shù)列滿足a7+aw<0,

?*,CLQ++。10V0，

a8>0,a9<0,???a9—a8=d<0,

.?.等差數(shù)列｛&J的前8項(xiàng)為正數(shù)，從第9項(xiàng)開始為負(fù)數(shù)，

.,?當(dāng)5｝的前幾項(xiàng)和最大時(shí)n的值為8.

故選：B.

8.【答案】A

【解析】解：由題意事件4=｛兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同｝,包含的基本事件數(shù)是36-6=30,

事件8：出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)，有10種，

.?.P(B|4)=卷10制1，

故選：A.

此是一個(gè)條件概率模型的題，可以求出事件4=｛兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同｝包含的基本事件數(shù)，與事件8包含的

基本事件數(shù)，再用公式求出概率.

本題考查古典概率模型及條件概率計(jì)算公式，解題的關(guān)鍵是正確理解事事件4兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同，事件

B：出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)，以及P(8|4),比較基礎(chǔ).

9.【答案】C

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則。4=￡1也3=一1,BP8q3=-1,解得q=—看

由q<0且|q|<l,可得：｛時(shí)｝的各項(xiàng)正負(fù)交替出現(xiàn)，且隨n的增大而減小.

所以7；=anan+1<0恒成立，且隨著九的增大，|&|變小.

因此，當(dāng)72=1時(shí)，=的(12最小，且7?T+8時(shí)，TnT0,無最大值.

故選：C.

根據(jù)題意可知等比數(shù)列的公比q<0,由此結(jié)合la1的變化規(guī)律進(jìn)行分析，即可得到本題的答案.

本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)與性質(zhì)、數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于中檔

題.

10.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

S5>S6>S4,可得as>0,a6<0,a5+a6>0,d<0,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式及其性

質(zhì)即可判斷出結(jié)論.

【解答】

解：S5>S6>S4,a5>0,a6<0,a5+a6>0,

d<0,數(shù)列｛Sn｝中的最大項(xiàng)為S5.

W(aaio)

S10=^=5(as+a6)>0,

Sn==lla6<0.

因此只有②③④正確.

故選8

1L【答案】1

【解析】解：因?yàn)?(久)=久"％,

所以/(x)=lnx+1,則之(1)=1.

故答案為：1.

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把尤=1代入即可求解.

本題主要考查了函數(shù)的求導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】0.424

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)“第一、二、三臺(tái)機(jī)床不需要照顧”分別為事件久,人2,人3，

設(shè)“至少有一臺(tái)機(jī)床需要照顧”為事件B,則后為“三臺(tái)機(jī)床都不需要照顧”，

由題意A2,4相互獨(dú)立，且P(4)=0.9,P(A2)=0.8,P(A3)=0.8,

則P(B)=「⑶&甸=P(4)xPP2)xP03)=0.9x0.8x0.8=0.576.

貝IJP(8)=1-P(B)=1-0.576=0.424.

故答案為：0.424.

根據(jù)題意，設(shè)“第一、二、三臺(tái)機(jī)床不需要照顧”分別為事件4,A2,A3,設(shè)“至少有一臺(tái)機(jī)床需要照

顧”為事件B,由相互獨(dú)立事件的概率公式求出P(3),由對(duì)立事件的性質(zhì)計(jì)算可得答案.

本題考查概率的性質(zhì)，涉及對(duì)立事件的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】1|

【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)數(shù)列｛/｝的前5項(xiàng)和為T,

｛a九｝為等差數(shù)列，若的=1,ar+a2=a3,則有1+l+d=l+2d,

解可得d=1,

又由a1=1,貝U。九="1+（九—l）d=7i,

故S_（。1+—.）＞＜九_(tái)幾（九+1）,

則T=1x2+2x3+3x4+4x5+5x6=2[。-1）+（|-1）+……+（1-7）]=I-

故答案為：1;

根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出第一空答案，求出土的表達(dá)式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得第二空答

案.

本題考查數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】存在，如數(shù)列an=5

【解析】解：根據(jù)題意，存在這樣的數(shù)列，

如數(shù)列｛an｝,其通項(xiàng)為即=5—《產(chǎn)，

當(dāng)幾＞1且n￡Z時(shí)，有即=5-（今11＜5,

且即+i-即=[5--[5-（1）n]=（|）n+1＞0,該數(shù)列為遞增數(shù)列，

符合題意.

根據(jù)題意，舉出例子，驗(yàn)證其是否符合題意，即可得答案.

本題考查數(shù)列的函數(shù)特性，涉及函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】②③④

【解析】解：已知數(shù)列滿足的＞0,a=a+—（fc豐0）,

n+1nan

若為常數(shù)列，即有的i+i=a九=%,可得k=0,不成立，故①錯(cuò)誤；

若任意的々〉0,又的＞0,可得冊(cè)＞0,即有冊(cè)+1＞。九，則為遞增數(shù)列，故②正確；

任意的k＞0,由等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，結(jié)合an+i=an+&（kR0），

an

可得既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故③正確；

當(dāng)72=1時(shí)，不等式感之於+2憶（九一1）成立；當(dāng)72=2時(shí)，不等式成之於+2七（九一1）,即為避之於+

2k,

>>z

又g=a1+可得a亥+2k+滔Na亥+2/c,成乂；

k_k

由％i+i=aH----(kW0),可得九之2時(shí)，ct=d-iH--------，

nannnan-l

,2

兩邊平方可得嫌=c^n-i+2kd—2—>碎-1+2k>..>a亥+2k(n—1),故④)正確.

an-l

故答案為：②③④.

由數(shù)列的遞推式和常數(shù)列、等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)分析可得

結(jié)論.

本題考查數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，以及不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬

于中檔題.

2

16.【答案】a”—2或an=4n—2,Sn=2zi或％=2n；

Sn=2n時(shí)，不存在正整數(shù)m，使得配>60n+800成立；當(dāng)立=2"時(shí)，存在正整數(shù)n=41,使得%>

60n+800成立.

【解析】解：(1)設(shè)等差數(shù)列但"的公差為d,

由的=2,且的，a2,as成等比數(shù)列，

得(2+d)2=2(2+4d),解得d=0或d=4,

當(dāng)d=0時(shí)，an=2,Sn-2n；

咖2

當(dāng)n=4時(shí)，an=2+4(n—1)=4n—2,Sn==2n.

(2)當(dāng)5?=2n時(shí)，Sn<60n+800,此時(shí)不存在正整數(shù)n,使得%>60n+800成立；

當(dāng)立=2/時(shí)，由0>60n+800,得2層>60n+800,解得n>40或n<—10.

此時(shí)存在正整數(shù)n=41,使得%>60n+800成立.

(1)由已知列式求解公差，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和；

(2)把與分類代入%>60n+800,求解得答案.

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前幾項(xiàng)和，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題.

17.【答案】(I)獲

(II)焉

(III)sf>si.

【解析】解：(I)從表格數(shù)據(jù)可知，隨機(jī)抽取的100名學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的人數(shù)為12+2+18+3+

15+6=56,

因此該校學(xué)生對(duì)本次研學(xué)旅行滿意的概率可估計(jì)為蓋=~

(II)設(shè)事件4：抽取的高一學(xué)生選擇去B地，

事件42：抽取的高二學(xué)生選擇去B地，

事件4：抽取的高三學(xué)生選擇去B地，

事件G：抽取的3人中恰有i人選擇去B地，i=2,3,

事件。：抽取的3人中至少有2人選擇去B地，

從數(shù)據(jù)表格可知，抽取的100名學(xué)生中高一年級(jí)學(xué)生總數(shù)為12+2+1+2+2+1=20,

選擇去B地的總數(shù)為2+2+1=5,所以P(2)可估計(jì)為嘉=p

抽取的100名學(xué)生中高二年級(jí)學(xué)生總數(shù)為18+6+6+3+5+2=40,

選擇去B地的總數(shù)為3+5+2=10,所以P(4)可估計(jì)為告=P

抽取的100名學(xué)生中高三年級(jí)學(xué)生總數(shù)為15+6+3+6+8+2=40,

選擇去B地的總數(shù)為6+8+2=16,所以P(43)可估計(jì)為索=1>

因?yàn)椤?c2UC3=ArA2A3UArA2A3UArA2A3UA1A2A3,

所以尸(D)=P(C2UC3)=P(A1A2A3\JArA^A3\JArA2A3\JArA2A3)

=0(4>(&)P(彳3)+P(4)尸“2)P(4)+P(彳1)「(人)尸(4)+PG4I)P(4)PG43)，

所以抽取的3人中至少有2人選擇去B地的概率可估計(jì)為

11-2、，c1—1、2,11217

-x-x(l--)+2x-x(l-?)x-+-x-x-=-;

(III)在三個(gè)年級(jí)去4地研學(xué)旅行的學(xué)生中，

調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為五=[12+18+15)=15,

則調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為受=|[(12-15尸+(18-15)2+(15-15)2]=6,

調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為石=g(1+6+3)=與，

則調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為4=聶(1-y)2+(6-y)2+(3-給2]=等

則S/>S2.

(I)利用頻率估計(jì)概率即可求解；

(II)利用頻率估計(jì)概率即可求解，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率公式求解即可；

(Ill)求出4sL比較大小即可.

本題考查了相互獨(dú)立事件的概率公式和方差的計(jì)算，屬于中檔題.

18.【答案】y-e=0；ex-y=0.

【解析】解：(1)因?yàn)?(久)=?,所以r0)=絲薩=史『，

所以((1)=0,

所以所求切線方程為y-e=0；

(2)因?yàn)閔(x)=x-/(%)=ex,所以八'(x)=ex,

設(shè)過原點(diǎn)的切線，切九(%)于點(diǎn)(t,e「)，

則切線方程為：y—N=N(%—。，又其過原點(diǎn)，

所以一N=N(T),所以[=1,

所以切線/的方程為y-e=e(x-1),即為e%-y=0.

(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；

(2)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點(diǎn)斜式方程，建立方程，即可求解.

本題考查函數(shù)的切線問題的求解，屬中檔題.

19.【答案】(I)冊(cè)=2幾；

(II)證明見解析；

(111)7^=|x4n+1+n2+n—

【解析】(I)解：若選擇①：前?1項(xiàng)和匕=H2+H,

22

則?！>2時(shí)，an=Sn-Sn_1=(n+n)—[(n—l)+(n—1)]=2n,

當(dāng)ri=1時(shí)，4=2=2x1,也適合幾>2的式子.

綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為冊(cè)=2幾；

若選擇②：an+1-2=an,則%i+i-a九=2(常數(shù))，

可知數(shù)列構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，首項(xiàng)的=2.

所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2+(n-1)x2=2n；

右=8且2(1九+1=CLn+%i+2，貝—Qn=%i+2—%1+1，

可知數(shù)列是等差數(shù)列，

設(shè)公差為d,則由口4=。1+34=8,得2+3d=8,解得d=2.

所以數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2+(n-1)x2=2n.

(II)證明：若%=2。%則由(I)的結(jié)論=2八，可得狐=2?71=4",

因?yàn)榕c±1=+=4(常數(shù))，且瓦=2%=4,

所以數(shù)列｛如｝是首項(xiàng)為4,且公比q=4的等比數(shù)列；

(III)根據(jù)冊(cè)=2n,6“=4%結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，可得：

Tn=(a1+瓦)+(a2+b2)+—F(an+Z?n)

=(a]+a2+……+<2n)+(瓦+62+……+bn)

=2n+x2+4(；]:)=n2+n—^+|x4n+1=1x4n+1+n2+n—

即=、一+n2+n-^.

(I)若選擇①，根據(jù)即與土的遞推關(guān)系列式算出的通項(xiàng)公式；

若選擇②，先證出｛5｝構(gòu)成公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式算出答案；

若選擇③，先證出｛廝｝構(gòu)成等差數(shù)列，然后根據(jù)的、求出公差d,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式算出答案.

(II)根據(jù)｛an｝的通項(xiàng)公式，可得勰=2/=4%然后根據(jù)等比數(shù)列的定義證出所求結(jié)論；

(III)根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式加以計(jì)算，化簡(jiǎn)即得心的表達(dá)式.

本題主要考查等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、運(yùn)用公式法求數(shù)列的前幾項(xiàng)和等

知識(shí)，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(I)由頻率分布直方圖知，畝產(chǎn)量為400kg的頻率為0.005x50=0.25,畝產(chǎn)量為450kg

的頻率為0.01x50=0.5,畝產(chǎn)量為500kg的頻率為0.005x50=0.25,

只有當(dāng)畝產(chǎn)量為500kg,且收購(gòu)價(jià)格為3元，才能使得明年每畝冬小麥統(tǒng)一收購(gòu)總價(jià)為1500元，故所求的

概率為0.25x0,6=0.15.

(II)由畝產(chǎn)量為400kg,450kg,500kg,收購(gòu)價(jià)格為2.4元，3元，可知隨機(jī)變量X的所有可能取值為

960,1080,1200,1350,1500,

P(X=960)=0.25x0.4=0.1,

P(X=1080)=0.5X0,4=0,2,

P(X=1200)=0.25x0.6+0.25x0.4=0.25,

P(X=1350)=0.5x0.6=0.3,

P(X=1500)=0.25x0.6=0.15,

所以X的分布列為

X9601080120013501500

p0.10.20.250.30.15

數(shù)學(xué)期望E(X)=960x0.1+1080X0.2+1200x0.25+1350X0.3+1500x0.15=1242元.

(III)增產(chǎn)后，小麥的畝產(chǎn)量變?yōu)?50kg,500kg,550kg,

由(II)可知，X的分布列為

X108012001320135015001650

p0.10.20.10.150.30.15

數(shù)學(xué)期望E（X）=1080X0.1+1200X0.2+1320X