乘法公式與幾何背景問題重難點(diǎn)綜合訓(xùn)練

一、解答題

1.(21-22七年級(jí)下?江西撫州?階段練習(xí))完全平方公式：(a±6)2=。2±2成+/經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，可?/p>

解決很多數(shù)學(xué)問題，

(1)①若x+y=6,x2+y2-28,貝!Jxy=；

(2)若2a+b=6,ab—4,則(2a—b)2=；

⑵如圖，C是線段AB上的一點(diǎn)，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設(shè)力B=8,兩正方形的面積和Si+S?

=44,求△2FC的面積.

2.(23-24七年級(jí)下?貴州貴陽?階段練習(xí))如圖，用4個(gè)長(zhǎng)是°,寬是6的長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)如圖2所示的"回

形"正方形.

⑴由圖可知，因?yàn)槠磮D前后的面積不變，所以可得恒等式：;

(2)利用(1)中得到的恒等式，解決下面的問題：己知2(x+y)=10,2(x-y)=2,求xy的值.

3.（23-24七年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，4種紙片是邊長(zhǎng)

為a的正方形，B種紙片是邊長(zhǎng)為6的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為6,寬為a的長(zhǎng)方形.并用4種紙片一張，B種紙

片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.

⑴請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積：方法1：；方法2：:

⑵觀察圖2,請(qǐng)你寫出代數(shù)式：（a+6）2,a2+b2,ab之間的等量關(guān)系

⑶根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：

①已知：a+b=5,a2+b2-13,求ab的值；

②已知（2020-a）2+（a—2019）2=5）求（2020—a）（a—2019）的值;

4.（23-24七年級(jí)下?全國(guó)?單元測(cè)試）如圖①是長(zhǎng)為0,寬為6的長(zhǎng)方形，將這樣四個(gè)形狀和大小完全相同

的長(zhǎng)方形拼成如圖②所示的大正方形，中間是一個(gè)小正方形（陰影部分）.

⑴請(qǐng)你用兩種不同的方法表示圖②中小正方形（陰影部分）的面積：

方法一：S小正方形=:方法二：S小正方形=?

⑵根據(jù)（1）中小正方形面積的兩種不同的表示方法，下列等式中：①（a+6）（a—b）=a?—。2；②（a+6）2

=（a—6）2+4ab,能夠驗(yàn)證成立的是（填序號(hào)）.

⑶應(yīng)用⑵中驗(yàn)證成立的等式，解決問題：已知m+n=12,mn-11,求m—n的值.

5.(23-24七年級(jí)下?浙江寧波?期中)如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為2根、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四

塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形.

⑴你認(rèn)為圖2中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于;

(2)請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積.

①；

②.

⑶觀察圖2你能寫出(zn+71)2,(小一九)2,nwi三個(gè)代數(shù)式之間的等量______.

⑷用完全平方公式和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求代數(shù)式2/+4x+3y2_i8y+32的最小值.

6.(22-23七年級(jí)下?浙江溫州?期中)如圖1,是一個(gè)寬為a,長(zhǎng)為46的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成

四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)"回形"正方形(如圖2).

圖1圖2

⑴觀察圖2,請(qǐng)你用等式表示(a—b)2,(a+b)2,ab之間的數(shù)量關(guān)系：

Q

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論，如果久+y=5,xy=~,求代數(shù)式(x—y)2的值.

7.（22-23七年級(jí)下?江蘇常州?期末）如圖1,已知紙片力是邊長(zhǎng)為acm的正方形，紙片B是相鄰兩邊長(zhǎng)分別

為久cm,ycm的長(zhǎng)方形，且紙片4B的周長(zhǎng)相等.

⑴當(dāng)a=5時(shí).

①若%>6,求y的取值范圍;

②如圖2,以紙片B的相鄰兩邊為邊長(zhǎng)分別向外作正方形&D,若紙片8的面積比紙片4的面積小10cm2,求&D

的面積之和;

⑵如圖3,將紙片4B疊合在一起，記陰影部分的周長(zhǎng)為M.

①M(fèi)=（用含孫1的代數(shù)式表示）；

②若關(guān)于式的不等式M<12恰有3個(gè)正整數(shù)解，貝Ua的取值范圍是

8.（22-23七年級(jí)下?四川成都?期末）通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等

式.

如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為6的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形

拼成一個(gè)"回形"正方形（如圖2）.

⑴根據(jù)上述過程,寫出（a+b）2、（a—b）2、ab之間的等量關(guān)系:_；

⑵類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)幾何體的體積，也可以得到一個(gè)恒等式.觀察圖3,把一個(gè)大正方

體分割成如圖所示的小長(zhǎng)方體和小正方體，從中可以得到一個(gè)恒等式：

⑶兩個(gè)正方形力BCD,CEFG如圖4擺放，邊長(zhǎng)分別為x,y（x>y）,若這兩個(gè)正方形面積之和為34,且

BE=8,求圖中陰影部分面積.

9.（23-24七年級(jí)下?廣東佛山?階段練習(xí)）如圖1,力紙片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形,

C紙片是長(zhǎng)為b,寬為a的長(zhǎng)方形.現(xiàn)用4種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方

形.

（1）請(qǐng)用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積.

方法L;方法2：；

⑵觀察圖2,請(qǐng)你寫出下列三個(gè)代數(shù)式：（a+b）2,a2+b2,ab之間的等量關(guān)系

⑶①根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：若a+小5,a2+b2=11,求ab的值；

②已知(％-2023)2+(光—2025)2=52,求久-2024的值.

ba

a

。囚bBbC

圖1圖2

10.（2025七年級(jí)下?全國(guó)?專題練習(xí)）【閱讀學(xué)習(xí)】

做整式的乘法運(yùn)算時(shí)借助圖形，可以由圖形直觀地獲bc

取結(jié)論.a

例1：如圖1,可得等式a（6+c）=ab+ac.

例2：如圖2,可得等式(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2

圖1圖2

b2.

【問題解決】

（1）如圖3,將幾個(gè)面積不等的小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b+c的大正方形.若用不同的形

式表示這個(gè)大正方形的面積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？請(qǐng)用等式表示出來.

（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知

a+b+c=11,ab+be+ac-38.求a?+b2+c?的值.

【拓展應(yīng)用】

（3）利用此方法也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積.如圖3

圖4,將兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和6的正方形拼在一起，BCG三點(diǎn)在同一直線上，連接若這兩個(gè)正方形

的邊長(zhǎng)滿足a+b=10,a6=20,請(qǐng)求出陰影部分的面積.

IL（22-23七年級(jí)下?陜西咸陽?期中）【問題背景】通過對(duì)同一面積的不同表達(dá)和比較來理解整式乘法公式

是常見的辦法.如圖L邊長(zhǎng)為a+6的大正方形可分割成兩個(gè)較小的正方形和兩個(gè)大小相同的長(zhǎng)方形（如

圖2）,且在圖1到圖2的分割過程中，面積沒有變化，由此解決下列問題.

11占［

ababb

圖1圖2

【探索歸納】

①若將圖1中的大正方形看作一個(gè)整體,則它的面積是______（用含a,b的式子表示）;

②圖2中4個(gè)部分的面積之和是________（用含a,b的式子表示）；

③因此，可以得到等式：____________________.

【學(xué)以致用】簡(jiǎn)便計(jì)算：

①1052；

②3.142+6.28X6.86+6.862.

【拓展應(yīng)用】若圖2中的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)（b）與寬（a）的值分別為12-zn和m-3,且滿足(12-zn)(zn-3)=18,

請(qǐng)求出（12—m）2+（m—3）2的值.

ba

a±H6

。因6BbC----------

圖1圖2

12.（23-24七年級(jí)下?江蘇淮安?期末）如圖，AB=a,P是線段力B上任意一點(diǎn)，在AB同一側(cè)分別以4P,BP

為邊作正方形力PCD、正方形PBEF.設(shè)ZP=久.解答下列問題（用含a、久的代數(shù)式表示）

（1）①正方形PBEF的邊長(zhǎng)為二

②求這兩個(gè)正方形的面積之和S；（需化簡(jiǎn)）

1

（2）若％<5處連接DF、BD、BF,求圖中陰影部分的面積.

13.（23-24七年級(jí)下?遼寧沈陽?期末）（1）如圖1,是一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為加，〃的長(zhǎng)方形紙片，如果它的長(zhǎng)

和寬分別增加。，b,所得如圖2長(zhǎng)方形，用不同的方法表示這個(gè)長(zhǎng)方形的面積，得到的等式為（爪+a）5+6）

（2）①如圖3,是幾個(gè)正方形和長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)邊長(zhǎng)為a+6+c的大正方形，用不同的方法表示這個(gè)

大正方形的面積，得到的等式為（a+6+c）2=_

②已知a+6+c=15,a2+b2+c2=77,利用①中所得到的等式，求代數(shù)式ab+6c+ac的值.

（3）如圖4,是用2個(gè)正方體和6個(gè)長(zhǎng)方體拼成的一個(gè)棱長(zhǎng)為a+b的大正方體，通過用不同的方法表示這

個(gè)大正方體的體積，求當(dāng)a+6=5.9,ab=4.5時(shí)，代數(shù)式的值.

圖1圖2圖3圖4

14.(23-24七年級(jí)下?河北滄州?期末)如圖a是一個(gè)長(zhǎng)為2加、寬為2"的長(zhǎng)方形(爪>n),沿圖中虛線用剪

刀均勻分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖b形狀拼成一個(gè)正方形.

⑴請(qǐng)分別用兩種不同的方法表示圖6中陰影部分的面積：方法一：:方法二:

(2)觀察圖6,直接寫出代數(shù)式0+71)2，(ni—n)2,mn之間的關(guān)系；

⑶利用(2)的結(jié)論，嘗試解決以下問題：

①已知m+Ji=7,mn=6,求(m—九產(chǎn)的值；

②已知：(4-x)(5-x)=6,求(9—2x)2的值.

15.(23-24七年級(jí)下?四川成都?期末)通過計(jì)算幾何圖形的面積可以驗(yàn)證一些代數(shù)恒等式.

圖①圖②

⑴如圖①是一個(gè)大正方形被分割成了邊長(zhǎng)分別為a和b的兩個(gè)正方形及長(zhǎng)寬分別為a和b的兩個(gè)長(zhǎng)方形，利用

這個(gè)圖形的面積可以驗(yàn)證公式」

(2)若xy=8,x+y=6,求爐+產(chǎn)的值；

(3)如圖②，在線段CE上取一點(diǎn)D,分別以CD、DE為邊作正方形ABC。、DEFG,連接BG、CG,EG.若陰影

部分的面積和為9,/XCDG的面積為3.求CE的長(zhǎng)度.

16.（23-24七年級(jí)下?江西九江?階段練習(xí)）實(shí)踐操作：從邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方

形（如圖1）,然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖2）.

(1)上述操作能驗(yàn)證的等式是「(請(qǐng)選擇正確的一個(gè))

A.a2—2ab+b2=(a—Z?)2B.b2+ab=b(a+b)

C.a2—b2=(a+b)(a—b)D.a2+ab=a(a+b)

啟發(fā)應(yīng)用：請(qǐng)結(jié)合（1）選出的等式，利用其結(jié)論完成下列各題:

（2）計(jì)算：（1—去）義（1一專）*（1—*）X…X（一白）

（3）計(jì)算IO/-2X992+972

17.（23-24七年級(jí)下?浙江杭州?階段練習(xí)）如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形，圖2

是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為Si，圖2中陰影部分面積為S2.

⑴請(qǐng)直接用含a和b的代數(shù)式表示Si=,52=；寫出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式

（用式子表達(dá)）;

(2)應(yīng)用公式計(jì)算：(1_鄉(xiāng)(1_+)(1_表)(1—/\

(3)應(yīng)用公式計(jì)算:(5+1)(52+1)(54+1)-(532+1)(564+1)+今

18.（23-24七年級(jí)下?廣東佛山?期中）乘法公式的探究及應(yīng)用:

⑴如圖①，可以求出陰影部分的面積是_（寫成兩數(shù)平方差的形式）：

如圖②，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)矩形，面積是」（寫成多項(xiàng)式乘法的形式）:

比較左、右兩圖的陰影部分的面積，可以得到乘法公式—（用式子表達(dá)）

（2）運(yùn)用你所得到的公式，計(jì)算1003X997的值:

19.(21-22七年級(jí)下?江西撫州?期中)閱讀材料：

已知:“滿足(9一%)(%—4)=4,求(9一%)2+(久一4)2的值.

設(shè)9—x=a,x—4=b,

貝ijab=(9—x)(x—4)=4,a+h=(9—x)+(x—4)=5,

因此(9—久產(chǎn)+(x—4)2=a2+b2=(a+b)2—2ab=52—2X4=17.

用上面的方法解下列問題：

⑴已知:(5—x)(久一2)=2,求(5—x)2+(久一2/的值；

(2)如圖，已知正方形2BCD的邊長(zhǎng)為x,E、F分別是邊4D、DC上的點(diǎn)，AE=1>CF3,分別以MF、DF

為邊作正方形.

①M(fèi)F=,DF=(用含久的式子表示)；

②若長(zhǎng)方形EMFD的面積是48,試求陰影部分的面積.

20.（22-23八年級(jí)下?廣東佛山?期中）材料：對(duì)一個(gè)圖形通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積或體積，可以得

到一個(gè)數(shù)學(xué)等式.

⑴如圖1,將一個(gè)邊長(zhǎng)為。的正方形紙片剪去-一個(gè)邊長(zhǎng)為6的小正方形，根據(jù)剩下部分的面積，可得一個(gè)

關(guān)于a,b的等式：.

圖1

請(qǐng)類比上述探究過程，解答下列問題：

（2）如圖2,將一個(gè)棱長(zhǎng)為。的正方體木塊挖去一個(gè)棱長(zhǎng)為b的小正方體，根據(jù)剩下部分的體積，可以得到等

式：。3_匕3=__________,將等式右邊因式分解，即a3—〃=；

⑶根據(jù)以上探究的結(jié)果，

①如圖3所示，拼疊的正方形邊長(zhǎng)是從1開始的連續(xù)奇數(shù).?.，按此規(guī)律拼疊到正方形4BCD,其邊長(zhǎng)為

19,求陰影部分的面積.

②計(jì)算：（歷+1）3-（V21-1）3

AD

圖3

21.（22-23七年級(jí)下?重慶沙坪壩?階段練習(xí)）如圖1是長(zhǎng)為4a,寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分

成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)"回形"正方形（如圖2）.

圖1圖3

⑴觀察圖2,請(qǐng)你寫出（a+b）2、（。一匕）2、ab之間的等量關(guān)系：；

⑵根據(jù)（1）中的結(jié)論，若x+y=5,xy=*求（x-y）2的值；

⑶請(qǐng)求解下面實(shí)際問題：

如圖3,已知正方形4BCD的邊長(zhǎng)為x,E,F分別是4D、DC上的點(diǎn)，且2E=1,CF=3,長(zhǎng)方形EMFD的面積

是48,分別以MF、DF為邊長(zhǎng)作正方形MFRN和正方形GFD”，求陰影部分的面積.

22.（21-22七年級(jí)下?遼寧鐵嶺?期中）如圖所示，圖甲由長(zhǎng)方形①，長(zhǎng)方形②組成，圖甲通過移動(dòng)長(zhǎng)方形②

得到圖乙.

(1)S甲=,S乙=(用含a、b的代數(shù)式分別表示);

(2)利用(1)的結(jié)果，說明。2、爐、(a+b)(a—b)的等量關(guān)系:

⑶應(yīng)用所得的公式計(jì)算：(1_擊)(1―2)…(1_壺)(1_募)

⑷如圖丙，現(xiàn)有一塊如圖丙尺寸的長(zhǎng)方形紙片，請(qǐng)通過對(duì)它分割，再對(duì)分割的各部分移動(dòng)，組成新的圖形,

畫出圖形，利用圖形說明(a+6)2、(a—b)2、ab三者的等量關(guān)系.

2a

2b

丙

23.(24-25八年級(jí)上?遼寧?階段練習(xí))【問題初探】對(duì)于兩個(gè)正數(shù)a,b(a41),定義一種新的運(yùn)算，記作7?

(a,b),即：如果a。=6,那么〃(a,b)=c.例如:34=81,貝叼(3,81)=4.

Cl)根據(jù)上述運(yùn)算填空：底2,4)=；根2,16)=；4(2,64)=

【歸納猜想】

(2)先觀察以2,4),以2,16)與坂2,64)的結(jié)果之間的關(guān)系.再觀察(1)中的三個(gè)數(shù)4,16,64之間的關(guān)

系.試著歸納：+r](a,n)=；

【初步應(yīng)用】

(3)力BCD的邊長(zhǎng)為小正方形CGFE的邊長(zhǎng)為n,若?+〃(a,n)=〃(a,p),+n)=4,〃(2,p)

=5.求圖中陰影部分的面積.

【拓展延伸】

(4)如圖②：四邊形ABED,CG”D是長(zhǎng)方形紙條，按如圖所示疊放在一起，將重疊的部分矩形HFED沿著

DE翻折得到矩形DEMN.若〃(a,m)=〃(b,n)=2,矩形4BMN的面積是5,AN=4,a+b=2.5,求a,b的

值.

24.(24-25八年級(jí)上?福建福州?期中)我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說過："數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)

難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休."可見數(shù)形結(jié)