2024—2025學年度北京市第十三中學分校第一學期期中八年級數(shù)學

試卷

考生須知：

1.本試卷分為第I卷和第II卷，第I卷共2頁，第I［卷共4頁.

2.本試卷滿分100分，考試時間100分鐘.

3.在試卷（包括第I卷和第n卷）密封線內(nèi)準確填寫學校、班級、姓名、學號.

4.考試結(jié)束，將試卷及答題紙一并交回監(jiān)考老師.

第I卷

一、選擇題：（本大題共8小題，每小題2分，共16分）

1.2024年巴黎奧運會和殘奧會體育圖標一共70個.與近年來各大體育類賽事圖標都注重運動員運動狀

態(tài)刻畫不同，巴黎奧運會則是注重項目本身的展現(xiàn).此次巴黎奧運會項目圖標在視覺設(shè)計上主要融入三個

方面的元素一對稱軸設(shè)計、項目場地的抽象表達以及項目的代表性元素.如圖，下列哪個圖標屬于軸對

稱圖形（忽略圖標上的文字標注）（）

A.射箭項目圖標

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了軸對稱圖形的識別，根據(jù)若一個圖形沿著一條直線折疊后兩部分能完全重合，這樣的

圖形就叫做軸對稱圖形，進行判斷即可求解.

【詳解】解：選項B、C、D均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠

互相重合，故選項B、C、D中的圖標不是軸對稱圖形.

選項A能找到一條直線，使圖形沿這條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以選項A中的圖標

是軸對稱圖形.

故選：A.

2.課堂上，老師組織大家用小棒擺三角形.已知三條線段的長分別是4,5,a,若它們能構(gòu)成三角形，

則整數(shù)切不可能是（）

A.10B.8C.7D.4

【答案】A

【解析】

【分析】考查了三角形的三邊關(guān)系.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍，進而解答即可.

【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得5-4<“<5+4,即1<加<9,

??.整數(shù)m不可能為10,

故選：A.

3.下列計算正確的是（）

A.c.=-^3D,3^*+a3=3a4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)募的運算法則即可求解.

【詳解】A.a3+o3=2a3,故錯誤；

B。'=a7,正確；

C.（2a））=8",故錯誤；

D.3/+/=3/,故錯誤；

故選B.

【點睛】此題主要考查幕的運算，解題的關(guān)鍵熟知其運算法則.

4.如圖，已知犯=3,那么添加下列一個條件后，仍然不能判定乙4比-A4DC的是（）

A.CB=CDB.ZB=ZD=90°

c.ABAC=ADACD.^BCA=ADCA

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查三角形全等的判定方法，要判定A4BC-^ADC,己知幺5=功，幺°是公共邊，具

備了兩組邊對應(yīng)相等，結(jié)合判定全等的方法添加條件即可.解題的關(guān)鍵是掌握：判定兩個三角形全等的一

般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意:AAA,+SA不能判定兩個三角形全等，判定兩

個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角.

【詳解】解：A.添加C3=CO,根據(jù)SSE,能判定ZUBCg&lDC,故此選項不符合題意；

B.添加根據(jù)HL,能判定&4BC-AADC,故此選項不符合題意；

C.添加一瓦4C=NMC,根據(jù)EAS,能判定△ABC9A1DC,故此選項不符合題意；

D.添加NBCA=NQCA,不能判定乙45（7金乙11）（7,故此選項符合題意.

故選：D.

5.下列各式中，從左到右的變形是因式分解的是（）

A.3x+3y-5=3(x+y)-5B.(x+i)(.T-l)=r-i

131、

2

C?+2A+1=（.T+1）口X+X='E+?

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)因式分解的定義，將多項式寫成幾個整式相乘的形式，逐項判斷選出正確答案.

【詳解】A.3,T+3r-5=3（A-l-.r）-5,結(jié)果不是整式相乘的形式，不是因式分解；

B.0+1）汽-1，=1-1,結(jié)果不是整式相乘的形式，不是因式分解；

c.V+2.1+1=+結(jié)果是整式相乘的形式，是因式分解;

X+X-X（X+-）

D.X,結(jié)果不是整式相乘的形式，有分式，不是因式分解;

故選：C.

【點睛】本題考查判斷是否是因式分解，掌握因式分解的定義是解題關(guān)鍵.

6.數(shù)學活動課上，小敏、小穎分別畫了乙30和WER,尺寸如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作

p，小穎畫的三角形面積記作q,那么你認為（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積.過點A作月G_LBC交于點G,過點。

作Z）H_L歹E的延長線，交于點H,根據(jù)兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等可證明

根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出幺G=DH,結(jié)合題意可得這兩個三角形是等底等

高的三角形，故面積相等，即可求解.

【詳解】解：如圖：過點A作aG_L3c交于點G,過點D作的延長線，交于點

貝jM=180°-130°=50°,

在A45G和△￡￡//中，

ZAGB=4DHE=90。

4ABG=^DEH=50。

AB=DE=5

.一BG知。以小AAS）

??\/，

,-.AG=DH,

?.?3C=即=4,

故3-短。=$_￡SF,

即p=q.

故選：B.

7.如圖，A&C中，AB<AC<BC,如果要用尺規(guī)作圖的方法在3c上確定一點P,使

P4+4=BC,那么符合要求的作圖痕跡是（）

【解析】

【分析】本題考查了線段垂直平分線的判定，線段垂直平分線的基本作圖.根據(jù)題意得出以=&,即

點P在AC的垂直平分線上，結(jié)合垂直平分線的作法即可求解.

【詳解】解：：尸月+尸8=3C,PC+PB=BC,

:.PA=PC,

.?.點尸在/「的垂直平分線上，

即點尸為RC的垂直平分線與的交點.

故選：D.

8.在學完《三角形》一章后，某班組織了一次數(shù)學活動課，老師讓同學們自己談?wù)剬θ切蜗嚓P(guān)知識的理

解.

小峰說：“存在這樣的三角形，它的三條高的比為1:2:3.”

小慧說：“存在這樣的三角形，其一邊上的中線不小于其它兩邊和的一半."

下面對于小峰和小慧的說法，判斷正確的是（）

A.小峰和小慧均正確B.小峰和小慧均錯誤

C,小峰正確，小慧錯誤D.小峰錯誤，小慧正確

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，根據(jù)三角形面積和倍長中線說明即可.

【詳解】解：如果三角形三條高的比是1：±3,根據(jù)等積法得到此三角形三邊比為23，這

與

三角形三邊關(guān)系相矛盾，故小峰說法錯誤；

倍長中線后利用三角形全等，可得到三角形中線的2倍小于其它兩邊和，即其一邊上的中線小于其他兩邊

和的一半，故小慧說法錯誤，.

故兩人都不正確.

故選：B.

第II卷

二、填空題（本大題共8小題，每題2分，共16分）

9.計算：（"-D=.

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)零指數(shù)幕的意義即可求出答案.

【詳解】：*一1。0,故答案為1.

【點睛】本題考查零指數(shù)塞的意義，解題的關(guān)鍵是熟練運用零指數(shù)幕的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型.

10.如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A、B的距離，可以在/出的垂線B尸上取兩點0、D,使

BC=CD,再作出89的垂線。E,使A、C、E三點在一條直線上，這時測得的長就等于48

的長.判定和△RDC是全等三角形的依據(jù)是.

【答案】①.DE②.ASA

【解析】

【分析】此題主要考查了全等三角形的應(yīng)用，由對頂角相等，兩個直角相等及30=。。，可以判斷兩個

三角形全等，所以判定全等的依據(jù)是A1A.

【詳解】解：根據(jù)題意可知：

Z5=ZCD￡=90°,BC=CD,ZACB=&CD,

在6力3。和△EDO中，

Z5=4CDE

，BC=CD

&CB=/ECD

.助。（）

??\ASA/，

:.AB=DE,

判定一.45C和△及）（7是全等三角形的依據(jù)是ASA,

故答案為：DE,ASA.

11.學校附近的胡同里，增設(shè)了幾處有立體效果的圖標，起到減速帶的作用.該圖形是由一個等腰三角形

和兩個全等的平行四邊形構(gòu)成的五邊形，則五邊形相CD&的內(nèi)角和.

【答案】540。

【解析】

【分析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和=（"-2）x180°,將加=5代入計算即

可.

【詳解】解：五邊形的內(nèi)角和=（"2）x180°=540°,

故答案為:540°.

12.小明在做作業(yè)時，不慎把墨水滴在紙上，將一個三項式前后兩項污染得看不清楚了，中間項是120'，

請幫他把前后兩項補充完整，使它成為完全平方式（寫出一種即可）原式為：

■+1知+■=

【答案】（6x+j）（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，即可求解.

【詳解】解：.??UQ'=2X6XXJ,

故前后兩項可以分別為36/和廣，

即36/+12寸+）戶=（6.r+.y）J

故答案為：（6、+?。ù鸢覆晃ㄒ唬?

13.如圖，在?45。中，ZC=90\AD平分/CAB,BC=9cm,BD=6cm,那么點。到直線月B的距

離是___cm.

承索自

【答案】3

【解析】

【詳解】CD=BC-BD=3cm,根據(jù)角平分線上的點到角兩邊的距離相等

14.如圖，在平面直角坐標系'Or中，點8口:|,若點尸在平面直角坐標系中，且以0,A,P

為頂點的三角形與△Q43全等，則滿足條件的尸點的坐標是.

【答案】(4一2)或(-2T)或(T2)

【解析】

【分析】根據(jù)題意，這兩個三角形中Q4為公共邊，故分△。期七°AB,

△。4鳥且?°8乙496/4。4￡三種情況討論，根據(jù)題意作出圖形，進而求得點尸的坐標

【詳解】解：如圖，

①作3關(guān)于x的對稱的點匕連接。

OB=OPVAB=APX

-：0A=0A

A。明知。AS

..5（4,2）

?/，

..邢4,-2）

②作々關(guān)于直線x=l對稱的點片，連接。鳥，明，

則尚=。3。耳=明

又Q4=0A

：

.^OAP^AOP2

.A04叫“OB

則點々（T-2）

③作已關(guān)于％軸的對稱的點"，連接/典，

則-^3=-^2,。月=。月

又：Q4=0A

“。平"。鳥

■..^AOP^OAB

則點片（一2二）

故答案為：（4一2）或（T一2）或（一：？）.

【點睛】本題考查了坐標與圖形，全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

15.小明同學在學習了全等三角形的相關(guān)知識后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長方形直尺就可以作出一個角

的平分線.如圖：一把直尺壓住射線0B,另一把直尺壓住射線0A并且與第一把直尺交于點P,小明

說：“射線0P就是NBOA的角平分線.”小明的做法，其理論依據(jù)是—

【答案】在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點在角的平分線上

【解析】

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證明.

【詳解】因為直尺的寬度一樣，故點P到AO與BO的距離相等，故可知PO為角平行線.

【點睛】此題主要考查角平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì).

16.如圖，平面直角坐標系中，點8、點°分別為I軸正半軸、軸正半軸上的動點，且在第二象限內(nèi)存

在點A,使得A&C為等腰直角三角形，ZC4B=90°,AB=AC,若03）,'倍⑼（其中,

）（用含6,c的代數(shù)式表示）.

【答案】-,2

【解析】

【分析】過點A作RDJ_x軸交于點0,過點A作.軸交于點E,即可得出四邊形4D0E是矩

形，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余、對頂角相等和等角的余角相等得出=根據(jù)兩角及其

一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等可證明AHCE^ABD,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出

AE=AD,CE=BD,根據(jù)一組鄰邊相等的矩形是正方形得出四邊形功08是正方形，根據(jù)正方形的

0￡=—

四條邊都相等得出血=.=。月=00,結(jié)合題意可求得-,根據(jù)點A在第二象限，即可求

出點A的坐標.

【詳解】解：如圖：過點A作幺。_1_1軸交于點Z）,過點A作花軸交于點

vZC/5=90°,￡COB=90°,

.-.ZACE+ZAEC=90°,NABD+NBEC=90。,

-：ZAEC~Z.BEO,

.\ZACE=ZABD,

在△>!（衛(wèi)和一中,

rAAEC=ZADB=9Q0

<ZACE=ZABD

AC=AB

.^ACE^ABD(AAS)

:.AE=AD,CE=BD,

故四邊形血)OE是正方形，

故AD-AE-OE=OD,

..C(0,c)B(bO)

：.OC=c,OB=b,且c>b,

故CE=OC-OE=c-OE,BD=OB+OE=b+OE,

所以2,

?.?點A在第二象限，

c-b_b-cc-b

故點A的橫坐標為22,點A的縱坐標為2,

fb-cc-6)

故A點坐標為〔2,2J.

b—cc-b

故答案為：—,

【點睛】本題考查了矩形的判定，直角三角形的性質(zhì)，對頂角相等，等角的余角相等，全等三角形的判斷

和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、解答題：(本大題共10小題，共68分.其中17、19、21題，每題8分，18、20、22-

24每小題6分，25、26每小題7分)

17.計算：

⑴(A--1)(.T+3)-2.V3

⑵(I)'+x(x-3)

【答案】(1)-『+[,-3

⑵2.X3-7.V+4

【解析】

【分析】本題考查了整式混合運算，重點是多項式乘多項式法則以及完全平方公式的運用；

(1)先算乘法，再合并同類項；

(2)先用完全平方公式(0±"[=/±2^+*去括號，再算加減；

【小問1詳解】

原式=.<+3.V-T-3-

=-.x2+2x-3；

【小問2詳解】

原式=X2-4X+4+T2-3X

=2A？-7x+4.

18.先化簡，再求值：(4x+l)(4“-1)一(才+6.33父，其中1=_].

【答案】12x:+2x-l,9

【解析】

【分析】此題主要考查了整式化簡求值，先利用整式的乘法和除法運算法則運算，再合并同類項，再把已

知數(shù)據(jù)代入得出答案.

【詳解】解：原式=16『-l-4「+2x

=12X2+2X-1

將1=-1代入，原式=Ux(-1)2+n-1)-1=9.

19.分解因式：

(1)3az-6ab+3b2.

33

(2)x(m-2)+y(2-w)

【答案】(1)3(°一切

⑵(*2)(x+M(xr)

【解析】

【分析】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用.

(1)先提公因式，然后再利用完全平方公式繼續(xù)分解即可；

(2)先提公因式，然后再利用平方差公式繼續(xù)分解即可

【詳解】(1)解：3a2-6ab+3b2

=3[a2-2ab+b2)

=3(a-6)3.

⑵/(加-2)+J(2-加)

=(w-2)(x3-y3)

=(w-2)(x+y)(x-y)

20.如圖，點在一條直線上，且月E若Nl=/2,EC=FB.求證：/E=NF.

E

H

ABCD

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】由N1=N2,根據(jù)補角的性質(zhì)可求出N03尸=N2CE,根據(jù)AB=CD可得EC=D3,根據(jù)

94s推出MCEwAD即，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】?.?/l+NDBF=180°,Z2+ZACE=180°.

又—二

.-.ZDBF=ZACE,

vAB=CD,

.-.AB+BC=CD+BC,

即AC=DB,

'EC=FB

'4ACE=4DBF

在AACE和ADBF中，［AC=DB

AAACE=ADBF(SAS)；

4=ZF.

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，能證明2UCE三尸是解此題的關(guān)鍵.

21.將代數(shù)式通過配方得到完全平方式，再運用完全平方式的非負性這一性質(zhì)解決問題，這種解題方法叫

做配方法，配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問題等都有廣泛的應(yīng)用，如利用配方法求最小值，求

-4a+3的最小值.

解.a2-4a+S=a2-4a+23-23+3=(a—2)3-1

:不論。取何值，(°-?總是非負數(shù)，即①一?-0,

,,(。-2)々NT；即當a=2時，J-4a+3有最小值-1,

根據(jù)上述材料，解答下列問題：

(1)求4a-6的最小值；

⑵若"=%、3a,NuBa'+S,比較M、N■的大小(寫出比較過程)；

(3)若三角形中某兩邊a、3滿足a'+/-6a-143+58=0,求a+6.

【答案】⑴-io

⑵M〈N

⑶a+b=10

【解析】

【分析】本題考查了完全平方公式，配方法的應(yīng)用，整式的加減運算.

(1)利用完全平方式的非負性求解即可；

(2)先化簡M-N,再結(jié)合完全平方式的非負性得出即可求解；

(3)先利用完全平方式的非負性，得出。=3,b=7,再代入求代數(shù)式的值即可.

【小問1詳解】

貂a2-4a-6=(a2-4a+4)-10=(a-2)i-10

用牛：?

..(a-2)3>0

?\7，

.(a-2)3-10^-10

??\'，

.?.當a=?時，一4a-6有最小值-10.

【小問2詳解】

解：?.?M=2a、3a,"=3a、5,

M-N=2a，+3a-(3a'+5)=—a3+3a—5=—(a————

(3丫1111

-a————S——

I"44,

即<0,

<N.

【小問3詳解】

解：：a"+b"-6a—14》+58=0,

-6a+9+/-14b+49=0,

.(<7—3)3+(6—7)3=0

??，

:.a=3,b=1,

\*a+b=3+7=10.

22.如圖，在一月3C中，NR4C=90°,AB=AC,。是幺C邊上一點，連接BD,ECLAC,且

AE=BD,AE與BC交于點F.

A

D

BF\Z

F

（1）求證：CE=AD；

（2）當/。尸8=/刃。3時，求證：平分/四。.

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

【分析】此題考查全等三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)HL證明三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答.

（1）根據(jù)HL證明出二口4后與Rt75Z）全等，進而解答即可；

（2）先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到/反40=乙450,ZE=ZADB,即可證明乙4G。=90°,再證明

/CFE=NE=ZADB=ZAFB,最后根據(jù)乙430+乙42加=90°,ADBC+AAFB=90°,得到

UBD=-DBC,即可說明角平分線.

【小問1詳解】

證明：ABAC=90°,

乙4CE=N44C=90。，

在Rt—C4E與RtZ^45。中，

'CA=AB

'AE=BD

.RtAC4￡^RtA^Z）（HL：i

..CE=AD.

【小問2詳解】

由（1）得RtAC4ESRt△也。，

..AEAC=ZABD,ZE=ZADB,

-.-AABD+AADB=90°,

...N瓦4C+乙4Zm=90。，

...ZXGD=90°,

.-.ZAGD=AAGB=ABGF=90°,

.,ADBC+AAFB=90°,

?；NCFE=NADB,匕CFE=UFB,

./CFE=NE=ZADB=ZAFB,

ZABD=^DBC,

3D平分/ABC.

23.當我們利用兩種不同的方法計算同一圖形的面積時，可以得到一個等式，例如：由下圖可得等式:

(a+?)(a+b)=

abb

bba

(i)已知等式：(a+3+c)=/+'+c'+2ab+2ac+?c,請仿照下圖構(gòu)造相應(yīng)的圖形(畫在答題

紙指定位置)；

(2)利用(1)中等式，解決下面的問題：

①已知a+Z?+c=ll,ab+bc+ac=38,求的值；

②已知S-cr=4<a-5i(c-aj,用等式表示。、6、C之間的關(guān)系，并證明.

【答案】(1)圖見解析

(2)①45；②2a=6+c,證明見解析

【解析】

【分析】本題考查了完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，多項式乘多項式的運算，完全平方公式的計算.

(1)根據(jù)等式，畫一個邊長為m+6+c'的正方形，即可求解；

(2)①根據(jù)(1)中等式，代入計算即可求解；

②將己知等式根據(jù)整式的乘法法則整理得出4爐+3+--4ac+2bc-4ab=0,設(shè)。=x,b=寸，

c=一二，則x-T-：=a+b+c,結(jié)合(i)中等式將等式轉(zhuǎn)換為

3323

(2x)+v+5+2(2x)r+23c+2(2x)-,v=(2.T+.v+s)=0)得出(％-6-c尸=0,即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖：

b

可得(a+b+c1=a3+b2+c3+2ab+2ac+2bc

【小問2詳解】

解：①：a+b+c=11,ab+bc+ac=38,

.a~+3"+c-=ia+6+c)—2(ab+ac+bc)

=121-76

=45；

②2a=b+c,

證明如下：?.,S-c)=63-2hc+c3

4(a-b)(c-a)=4(ac-a，-6c+ab)=Aac-4a3-Abe+4ab

故/-2bc+c2=4ac-4a2-4bc+Aab,

即4a2+V+c2-Aac+2bc-4ab=0,

設(shè)。=Y，b=-y,c=-z,則》一了一二=a+6+c,

將4aW+c'-4ac+2c-4而=0整理為

(2x)2+y3+c3-4x(-c)+2(-y),(-：)-4小(-y)=0

即(2.T)3+V+J+2(2.r)r+2;-:+2(2.r)V=0,

根據(jù)(0+'+c)'=/+/+T+1”"-ac+2bc,可得

(2x)3+j>3+二W(2辦二+2產(chǎn)+2.(2x>y=(21+”二)’=0

gp(2a-b-c)3=0,

故:!a=6+c.

24.如圖，在KHBC和24DE中，-AB=AC,AD=AE,Z.BAC+/.DAE=180°,F為BE的中

點，連接心，求證：CD=2AF.

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】延長游到G,使FG=AF,連接BG,證明ABFG=^EFA,可得

GB=AE,dGB=￡FAE,從而得到HE〃月G,進而得到乙MG+/助E=180。，再由

ABAC+Z.EAD=180°,可得到乙45G=NCAD,然后根據(jù)4?=AE,可得4D=GB,可證得

AABG=^CAD,即可求證.

【詳解】證明：延長”到G,使尸G=HF,連接EG,

,-.AG=2AF

?.F為BE的中點，

：.FE=FB,

在ABFG和弘中，

'FE=FB

'Z.GFB=ZAFE

FG=AF

A5RGWAB24(SAS)

???''，

...GB=AE.&GB=ZFAE,

:,AEBG,

.?.ZASG+NBAS=180°,

又：/班。+/反4。=180。，

"BAE+ACAD=360°-180°=l80°,

...ZABG=ACAD,

又；AD=AE,

：.AD=GB,

在口月BG和ACAD中

rAB=AC

</ABG=NCAD

BG=AD9

^ABG=^CAD(SAS)

：.AG=CD,

.-.CD=2AF.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

25.定義：如圖1,A,B為直線2同側(cè)的兩點，過點A作直線/的對稱點連接交直線；于點

P,連接力P,則稱點P為點A,B關(guān)于直線2的“等角點”.

=AE,ZBAC~ZDAE,連接OE、BD.

圖2

(1)猜想3。與的數(shù)量關(guān)系是；并證明你的結(jié)論.

(2)延長CE交郵的延長線于點N■，延長3。至點使DM=EN,連接4M.

①先補全圖形.

②求證：點A為點C,M關(guān)于直線的"等角點”.

【答案】(1)BD=CE,證明見解析

(2)①圖見解析；②證明見解析

【解析】

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等角的補角相等，正確理解“等角點”的

概念是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意=N朋。，根據(jù)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等得出

-CAE^-BAD,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證明；

(2)①根據(jù)題意，作圖即可求解；

②根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出乙衛(wèi)乃=乙四0,根據(jù)等角的補角相等得出乙如“=乙超"，根

據(jù)兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等得出」全等三角形的對應(yīng)角相等得出

/-DAM=AEAN,推得乙區(qū)4N=ZDAS,即AMAN=ABAC,過點M作關(guān)于3N■的對稱點M',

連接‘4M',根據(jù)對稱的性質(zhì)可得出乙帆4N=NM4M=NR4C,推得C、A、M'三點共線，在結(jié)合

“等角點”的定義即可證明.

【小問1詳解】

解：BD=CE,

證明如下：

vZZ)Aff=ZA4C,

.-.ZDAE+ACAD=ABAC+ZCAD,

即/。45=乙5肛

在LCAE和ABAD中，

'AC=AB

<ACAE=ABAD

?.?LAE=AD，

.AC4￡^A54D(SAS)

.\BD=CE,

故答案為：BD=CE.

【小問2詳解】

①解：如圖：

,-.ZADB=ZAEC,

???ZADAf+ZADB=180，°ZAEN+ZAEC=^0°，

即ZADM=ZAEV,

在L\ADM和LXAEN中，

'AD=AE

?ZADM=ZAEN

DM=EN，

.△月初