福建省莆田市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合題目要求的.

~AB-Ci5c-~BC\DA^

1.化簡：I廠()

A.2ADB.ADC,0D.2DA

【正確答案】c

【分析】應(yīng)用向量加減法則化簡即可得答案.

AB-(DC-BC\DA=AB+BC-(DC-DA}=AC-AC=O

【詳解】IJ

故選：C

cosB=—

2.在V4SC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且。=2,c=3,4,則b=(

)

A,舊B.際C.4D.麗

【正確答案】B

【分析】由余弦定理戶=/+。2-2accos8即可得出答案.

b2=a~+c2—2accos5=4+9—2x2x3x—=10r—

【詳解】由余弦定理可得4，則8=,10.

故選：B.

1

sina=—

3.已知3,則cos2a=()

751

---

B9c9D3

A.

【正確答案】B

【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式計算即可.

1.21/

sma=—cos2。=1一2sina=l-2x—=—

【詳解】因為3,則99.

故選：B.

4.在平面直角坐標(biāo)系中，角。的頂點在坐標(biāo)原點，其始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位

尸尸』

圓交于點I55人貝°sm2a=()

_12__2486

A.25B.25c.5D.5

【正確答案】B

【分析】根據(jù)角終邊上的點坐標(biāo)，求得sina,cosa,代入二倍角公式即可求得sin2a的值.

43

一cosCC——

【詳解】由定義知sina=5,5,

24

sin2a=2sinacosa=---

所以25,

故選：B.

該題考查的是有關(guān)三角恒等變換的問題，涉及到的知識點有三角函數(shù)的定義，正弦二倍角公式,

熟練記憶公式即可解決，屬于基礎(chǔ)題目..

5.已知向量3=(4,—1),1=(〃,一1),若他+9)//萬，則彳+〃=()

A.-2B.-1C.0D.1

【正確答案】B

【分析】根據(jù)向量共線的充要條件得解即可.

［詳解］因為之=(1，2),刃=(%T),

所以1+3=0+41),

因為(a+b)//c,

所以-(l+X)-M=0,解得2+M=-1,

故選：B

a_cos5

6,在V/8C中，若石cosA,則V48C的形狀為（）

A.等邊三角形B,直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角

三角形

【正確答案】D

【分析】首先根據(jù)正弦定理，將邊化為角，再結(jié)合二倍角的正弦公式，以及角的關(guān)系，即可判斷.

acosBsin4_cosB

【詳解】因為bcosN,由正弦定理可得sinBcosA,即sinNcosN=sinBcosB,

所以sin2N=sin28,可得2Z=23或2N+28=兀，

A+B=-

所以4=8或2,所以V45C的形狀為等腰或直角三角形.

故選：D.

7.設(shè)向量&與5滿足㈤=2,B在&方向上的投影向量為5",若存在實數(shù)2,使得乙與

”與垂直，則彳=（）

A.2B.-2C,狗D.Y

【正確答案】B

【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合己知求得鼠族，再由值與）一九3垂直，得"Q—

結(jié)合數(shù)量積得運算律即可得解.

1-

_、--Q

【詳解】解：因為5在&方向上的投影向量為2,

a-ba_1-

所以門口，

所以。石=一2,

因為&與。一兄5垂直，

a'（a-Xb\=Q

所以1）,

―2-*-*

即。一4。?6=4+22=0,角軍得力二—2

故選：B.

8.已知在V48C所在平面內(nèi)，BD=2AB,E、F分別為線段幺°、力。的中點，直線跖與

BC相交于點G,若DGLBC,則（）

3

A.當(dāng)國=4網(wǎng)

cosNR4c取得最小值M

時,

4

B.當(dāng)年卜4畫

時，cosNR4c的最小值為M

4

C.當(dāng)國=3網(wǎng)

時，cosNA4c的最小值為M

3

cosNR4c取得最小值M

D.當(dāng)時,

【正確答案】D

【分析】首先根據(jù)已知條件得出向量之間的線性關(guān)系，再利用向量共線定理確定相關(guān)系數(shù)，接著

根據(jù)向量垂直的性質(zhì)得到關(guān)于向量模長和夾角余弦值的等式，最后運用基本不等式求出夾角余弦

AB\=cAC\=b,通與近的夾角為N8NC=a,

設(shè)

因為5Z）=2ZS,所以4D=4B+BD=4B+2aB=3AB,

—■1—-—.1—.3—■

AE=~ACAF=-AD=-AB

由于E、F分別為線段NC,NQ的中點，則222

AG=AAE+（l-^AF=^AC+^-^AB

因為E,G,F共線，所以存在實數(shù)之，使得22

4+義匕少=1」AG=-AC+-AB

又因為B,G,C共線，所以22，解得2,貝I44

W=AG-AD=(-AC+-AB]-3AB=-AC--AB

那么(44144BC=AC-AB

W-BC=(-AC--AB\(AC-AB

由于。GLBC,所以144八

1--21----9—-—■9—-21,9,5

=-AC——AC-AB——AB-AC+-AB=-b2+-c2——bccosa=Q

4444442

_44_b2+9c-______

C0S&=~5-=b-+9c22db2義對2x3bc3

一be1Qbc-----2-------------——

由此可得2，而106c10Z)c10Z)c5,

當(dāng)且僅當(dāng)6?=9。2,即b=3cb>0c>0時，等號成立，

此時=3|*,cos/B4c取得最小值M.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列命題中，正確的命題有（）

A.向量方與向量強的長度相等

B.??II??是。，臺共線的充要條件

C.若1a//b,則Z與書的方向相同或者相反

D.若，，。2是兩個單位向量，且*4=1,則舊+02卜血

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)平面向量的定義及其性質(zhì)對各選項判斷即可.

【詳解】對于A,向量方與向量而是方向相反的向量，但它們的長度是相等的,

因為向量的長度只與向量的大小有關(guān)，與方向無關(guān)，所以選項A正確；

-Z-。=2也=1Q+6=3\a-t\=\

對于B,若。，'同向共線時，H,??，則門口，1?不相等，

Ll+I^l=\a-b\-7

所以??門??不是。，'共線的充要條件，故B不正確；

-?-?II-?―?—?—?—?―?

對于C,。力0,6*0,a//b,則。與b共線，故。與人的方向相同或者相反，C正確;

對于D,若'，是兩個單位向量，且ez|=l

--2—*1-?—?I-

G+%+2e,-e,=73

則1212,故D錯誤.

故選：AC.

V3

10.在V4SC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,Cl+c?=b~-etc

6=行，則（）

COS5=——sinB=-

A.2B.2

C.ac=]Da+c=百

【正確答案】ACD

【分析】通過已知條件，利用余弦定理求出角B,再根據(jù)三角形面積公式求出的值，最后結(jié)

合已知條件和完全平方公式求出的值.

222

［詳解］在V/3C中，因為/+/=/—ac,gpa+c-b=-act

a1+C1-b1-ac1

cos5=

由余弦定理2ac2ac2

5ZOAB=—sinB=—

又（'人所以3,2,故B錯誤，A正確;

11A/3V3

ABC=—=-acsinB=——cicx.....-

因為4,則2224,所以ac=l,故c正確;

22

因為"+°2=/一四,b=?,ac=l,則"+c-1=1

所以（4+°）一=/+/+2。。=1+2=3,因為a+c>0,所以a+c=G,故D正確.

故選：ACD.

11.如圖所示，線段N8是0c的弦，其中N8=8,AC=5,點D為℃上任意一點，則以

下結(jié)論正確的是()

B.方?赤的最大值是78

——.sinZDAB=—

C.當(dāng)幺BCD=0時，5

DAC-AB=32

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)圖形特征判斷A,再應(yīng)用數(shù)量積公式計算判斷B,D,再根據(jù)向量垂直得出角的正

弦值判斷C.

【詳解】點D為℃上一動點，可知當(dāng)點A,C,D三點共線的時候，W4的值最大是

2ZC=10,故選A；

_______________________-pl]一2

AC-AB=|^C|.網(wǎng)cos/CZB=".網(wǎng)x，網(wǎng)=32

,故選D；

當(dāng)48?3)=()時，即48,CZ),此時，點口在℃上有兩個位置，如圖所示，故

sin/。4s不止一個答案，所以，排除c選項.

D

（。）

對于B選項，如圖1所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則點D坐標(biāo)設(shè)為（5c°sd，5sm'），人點坐標(biāo)

是㈠,—3）,B點坐標(biāo)是“—3）,

圖1

則幺5=（8,0）,AD=（5cos9+4,5sine+3）,而.赤=40cos6+32,

所以，當(dāng)cosd=l,即e=°時，刀.萬5取得最大值72,因此B不正確;

故選：AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量"=（，），（，），若（）則x-

【正確答案】-1

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)運算求出己+坂的坐標(biāo)，再利用向量垂直的性質(zhì)列出方程，最后求解方程

得到尤的值.

【詳解】因為"=（T2）,%=（3，x）,所以"+'=G，x+2）,

因為所以-lx2+2x+4=0,解得x=-l.

故T

4S

13.在人^。中，A=60°>b=l,MBC=,貝|sinC的值為

2回

【正確答案】3

【分析】

S=LcsinZ

由2可求出再根據(jù)余弦定理求出即可由正弦定理求出.

11

S=—bcsinA逝=—xlxcxsin60°

【詳解】由2可得，2,解得c=4.

a2-b2+c2-2bccosA=l+16-2xlx4x—=13/—

2,即a=713.

a_c_5_2回

由正弦定理可得，sinNsinCsin6003.

2回

故3.

本題主要考查三角形面積公式的應(yīng)用，以及正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知正方形N5C。的邊長為2,E是5c的中點，F(xiàn)是線段NE上的點，則成?市的最大值

為.

9

【正確答案】5

【分析】先建系得出坐標(biāo)，再應(yīng)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算結(jié)合二次函數(shù)值域計算求解.

如圖，以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則（'）,（，）,（，）,；.（，）.

設(shè)方=4次（OV4VI）則舒=（24"）,CF=（22,2）-（2,2）=（22-2,2-2）

AF-CF=22-（2A-2）+2-（2-2）=522-62

FA-CF=-2A-（22-2）+（-2）-（2-2）=-522+62

...當(dāng)5時，莎?而有最大值，最大值為5

9

故答案為：5

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在直角坐標(biāo)系xS中，已知點"He),，僅2W，C(2cos，,sin，)，其

中12_.

(1)若茄〃云，求tan'的值；

(2)設(shè)點,O'。)，求就,麗的取值范圍.

【正確答案】(1)26；

⑵…4]

【分析】(1)利用共線向量的坐標(biāo)表示，列式計算得解.

(2)利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合輔助角公式及余弦函數(shù)性質(zhì)求出最大值.

【小問1詳解】

依題意，方=(2,26)，〃=(2cosasine),

由翔〃灰，得2sind=2G-2cos。，所以tan6=20.

【小問2詳解】

依題意，3),點心),

則5。=0,一20)AC=(2cos3+2,sin6))

AC-BD=2cos3+2-2Gsin9=2+4cos|^+—|

因此I3人

八兀八兀兀571

Oe0,—^+―e

i,-6~

當(dāng)2」時，則3

cos[e+g

e+四J

因此當(dāng)33,即e=0時,取得最大值5,

l4C-AD=2+4x-=4

此時2

八兀5兀八兀A?兀)V3

Q-\--二---Q——COS(/H------

當(dāng)36,即2時，13J取得最小值2,

一AC-—BD=2+4x「-由-1=2-2V3r

此時1一2

[2-273,4]

所以的取值范圍是

16.已知平面向量a=°'X),坂=(2x+3,-x),c=(3,5),xeR

(1)若求X的值；

I\

一〃72a+b

(2)若?！?，求的值.

(3)若口與°的夾角是銳角，求x的取值范圍.

【正確答案】(1)-1或3；

(2)右或5；

5U*

(3)53

【分析】(1)根據(jù)兩向量垂直數(shù)量積為°列方程求解.

(2)根據(jù)兩平行向量坐標(biāo)之間的關(guān)系列方程求解出x,代入得到22+B的坐標(biāo),

再代入向量模

的公式進(jìn)行求解.

(3)口與"的夾角是銳角，則口吃〉°且兩向量不共線.

【小問1詳解】

若￡j_3則=(l,x)-(2x+3,-x)=2x+3+x(-x)=0

整理得犬-2x-3=0,解得x=_］或x=3.

所以x的值為T或3.

【小問2詳解】

（2）若。〃3,則有1x（-x）-x（2x+3）=0,即x（2x+4）=0,解得x=0或x=-2,

當(dāng)x=0時,2=0,0）,石=（3,0）,則2Z+：=（5,0）,得忸+*5；

當(dāng)“-2時，:0，-2）,1（T2）,則2"心（1,-2）,得忸+*石

Ir

2a+b

所以，的值為.r5或5.

【小問3詳解】

3

————X>—

（3）因a與°的夾角是銳角，則分。>°,即3+5x>0,得5,

——X=--

又當(dāng)a與c共線時，有3x=5,得3,不合題意，貝（］3

U

綜上,x的取值范圍為

cos/=_

17.V48c的角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,若8,c-a=2,6=3.

（1）求a和si叫

cos2^4+—

(2)求I6J的值.

?n3V15

Sllltf=--------

【正確答案】(1)。=2,16

176-7汨

(2)64

【分析】（1）先應(yīng)用余弦定理計算得出°=2,再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系應(yīng)用正弦定理求解;

（2）先根據(jù)二倍角正弦及余弦公式計算求值，最后應(yīng)用兩角和余弦公式計算即可.

【小問1詳解】

b2+c2-a29+c2-a2_7

COSTI

由余弦定理可得2bc由b=3,則6c8,

由c—a=2,即c=2+a,代入上式整理可得72+8Q+2）—8/=42（a+2）,解得。=2

sirU=Jl-cos》=s辿="，凡亞

由8,根據(jù)正弦定理，可得a2816

【小問2詳解】

32幺=湛j陋=竺-竺=網(wǎng)

646464.

sin2N=2siih4cosZ=2x叵x-=

8864

71

66664264264

（1）求/（“）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;

7715兀

/(?)=7會

⑵若5,3'不，求cos2a的值.

--+kn,—+kn（keZ）

【正確答案】（1）最小正周期為兀，單調(diào)遞增區(qū)間為L63」’

3-4石

(2)10

【分析】（1）利用輔助角公式化簡函數(shù)/（“）的解析式，利用正弦型周期函數(shù)可求出函數(shù)

/（X）的最小正周期，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

/吟3

（2）由已知條件得出I6J5,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出

人叫

cos2a——

16J的值，再利用兩角和的余弦公式可求出cos2a的值.

【小問1詳解】

f（x）=^-sin2x--cos2x+l=sinfzx-—>1+1

因為22I6J,

7_2兀_兀

所以，函數(shù)的最小正周期為2"

jrjr

--+2hr<2x--<-+2左兀(左￡Z)+H<X<y+hl(A：€Z)

由262

~~+kit.—+kTi(kGZ)

所以，函數(shù)/

(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為L63」

【小問2詳解】

sinf2%--^-j+1

由⑴J)

4

5

。。兀71?兀71。兀7171?o兀71.兀71

COS26Z=cos2a——+—=cos2a——cos——sin2a——sin—

所以,666666

4V3313-473

------X-------X-二----------------

52210

19.在平面直角坐標(biāo)系x°y中，對于非零向量"=(石/|),'=(%，%),定義這兩個向量的“相

歸力一馬川

d@B)=

-X+;,容易知道刃平行的充要條件為

離度'為+yf72

(1)已知°=3),加=(-4,2),求d

(2)①已知Z,B的夾角為4和1，2的夾角為2,證明：d@,5)=dgd)

的充分必要條件

是sin4=sin02

一—AD-i___________

②在V48C中，AB=2,AC=4>￡>C=28。且3,若尸Z+P8+PC=0,求

d停，麗)

4

【正確答案】（1）5

A/3

（2）①證明見解析；②2

【分析】（1）根據(jù)“相離度”的定義代入相應(yīng)值進(jìn)行計算.

（2）首先證明①3七石+/向石）=\可得d（；b）=sin<；￡>,根據(jù)"@石）="（乙2）,

等價于sin<a,b>=sin<c,d>即可證明；

uunILUULK2

4D=AB+BD=—AB+—AC------------

②由33左右同時平方可求得Z8TC=-4,由題知產(chǎn)為V48C的重心,

然后以萬、/C為基底表示出沙、而，進(jìn)而求出c°s2P4必，再代

d停，麗)=-cos2PA,PB=三

即可得解.

【小問1詳解】

2x2-1x(—4)4

d@B)=

75x275—5

【小問2詳解】

（刀/2一》2%）2

2d2&B)=

COS5,6++

G：+%2）.儂+貨）