僑光中學(xué)2025年春季高一年第1次階段考數(shù)學(xué)試卷

(考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.下列不能化簡(jiǎn)為尸。的是()

A.QC-QP+CQB.AB+{PA+BQ)

C.(AB+PC)+(BA-QC)D.PA+AB-BQ

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量的加減法及運(yùn)算性質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】對(duì)于A,QC-QP+CQ=PC+CQ=PQ,故A不符合題意；

對(duì)于B,AB+(PA+BQ)=PA+AB+BQ=PB+BQ=PQ,故B不符合題意；

對(duì)于C,(AB+PC)+(BA-QC)=AB+BA+PC+CQ=PQ,故C不符合題意；

對(duì)于D,PA+AB-BQ=PB-BQ^PQ,故D符合題意.

故選：D.

2.已知角6的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)網(wǎng)-3,-4)/

433

A.——B.--C.—D.

555

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出cos。，再化簡(jiǎn)sin［，T-1］可求得結(jié)果.

-33

【詳解】由題意得cos-k.+(.4)2=-5,

故選：B

3.設(shè)％wR,向量a=(%/),/?=(1,一2),且a_LZ;,則cos(匕一b,a)=()

AA/2rVio逐&

A.----D.-----C.----L).--------

55102

【答案】D

【解析】

【分析】由向量垂直得九=2,再利用向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算求解cos(a-"a)即可.

【詳解】因?yàn)?=(無(wú),1)3=(1,—2),

又aLb，所以x—2=0,得到x=2,

所以&=(2,1),得到a—6=(1,3),

/、ya-bya5_V2

所以cos(a—b,a)=^-----T—

'/〃一b忘標(biāo)-2

故選：D

4.如圖，在VABC中，設(shè)A3=a,AC="3D=2Z)C,AE=4ED，則BE=()

3+j

D.

315

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合圖形由向量的線性運(yùn)算可得.

【詳解】因?yàn)?C=AC—AB=匕—。,3￡>=2。。，

22(\2/\21

所以BD——BC——(b—Q),A,D-AB+BD—aT—(b—ct\——bH—a,

33、/3、,33

又因?yàn)锳石=4￡D，

所以￡)￡1=—DA=--f—/?+—=~—zb---a,

55l33)1515

22]][8

所以BE=BD+DE=-(b-a\-----b------a=------a-\-----b,

3、'15151515

故選：C.

7575

A.——B.-C.一D.——

9999

【答案】D

【解析】

【分析】由條件根據(jù)二倍角余弦公式可求cos[2a-￡）,再結(jié)合誘導(dǎo)公式求cos12a+：

【詳解】因?yàn)閟in1—專，所以cos2(a—=l—2sin2(a—t)=l—g=g

即cos[2a——j——,

LLJ5小「（兀）（兀、5

所以cos2aH-----=cos2a——+7i=-cos2a——=——

I6JLI6jJI6>9

故選：D.

6.已知卜|=2慟，若。與匕的夾角為120。，則2b—a在。上的投影向量為（）

13

A.3-3aB.--aC.--D.3a

乙2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算即可求解.

【詳解】（26-a）=-tf+2a?》=-4牙+4慟cos120=-6b,

（2b-a\-ba_61；a3

2b—a在a上投影向量為

，卜?|JW=2心％=2

故選：C

,一、AnAr「

7.已知VA3C中，84+BC-AC=0,,~~?=V3,則此三角形為（）

''|AB||AC|

A直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)8A+3C-AC=O即可得VA3C為等腰三角形，又因?yàn)閪r+if=j3可知

''|AB||AC|

A=60°,所以VA3C為等邊三角形.

【詳解】如下圖所示：

設(shè)M為AC中點(diǎn)，貝U(8A+_BC>AC=25Af?AC=O,

所以6MLAC，即VA3C為等腰三角形，

ABAC=c,所以ABAC

+=3,

又WT網(wǎng)MM

綜上可知三角形為等邊三角形.

故選：B.

8.定義運(yùn)算：“出=%%-g%，將函數(shù)/5)=C‘in?！钡膱D像向左平移§個(gè)單位，所得圖像

%a41coscox3

對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則。的可能取值是()

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合輔助角公式可得/(x)=2cos[ox+tj，根據(jù)圖像變換結(jié)合誘導(dǎo)公式可得

2/7WT7T

，竺+2=E/eZ,運(yùn)算求解即可.

36

【詳解】由題意可得：/(》)="sin。*=Gcos°x-sintyx=2cos(ox+巴],

1cosa)xI6J

將函數(shù)/(x)的圖像向左平移經(jīng)個(gè)單位，所得y=2cos[0卜+事)+弓=2cos[(yx+g^+￡

2①7171

因?yàn)閥=2cosa)x+丁+彳為偶函數(shù),

r,2。兀兀，，~5—6左一1,,,

則---+—=E,左eZ,解得。=------,keZ,

364

可得。-?,,,,—，…，結(jié)合選項(xiàng)可知：B正確，ACD錯(cuò)誤.

4444

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列選項(xiàng)中，值為!的是()

A.2cos215°B.sin27°cos3°+cos27°sin3°

tan22.5°

C.2sin15°sin75°D.-----------

1-tan222.5°

【答案】BCD

【解析】

【分析】選項(xiàng)A利用二倍角余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式求解判斷；選項(xiàng)B利用兩角和的正弦公式求

解判斷；選項(xiàng)C利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式求解判斷；選項(xiàng)D利用二倍角的正切公式求解判斷.

【詳解】選項(xiàng)A：2COS215°=1+COS30°=1+—,故選項(xiàng)A不符合題意；

2

選項(xiàng)B：sin27°cos3°+cos27°sin3°=sin30°=-,故選項(xiàng)B符合題意；

2

選項(xiàng)C：2sin15sin75°=2sin15°cos15°=sin30°=-,故選項(xiàng)C符合題意；

2

但〒工rtan22.5°12tan22.5°1.,1工人出行一小人.上

選項(xiàng)D："----2?。?=彳°tan45n=—,故選項(xiàng)C付合意思.

1-tan222.5°21-tan222.5022

故選：BCD.

10.已知函數(shù)/(x)=Asin(ox+0)(A>0,口>0,冏<^)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的

是()

A.函數(shù)“X)的最小正周期為2兀

兀

B.(p=—

3

57r

C.函數(shù)八％)的圖象關(guān)于直線％=-石■對(duì)稱

兀兀］

D.若方程/(x)=m(meR)在一個(gè)§上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根“馬，則cos(%+%)=萬(wàn).

【答案】BC

【解析】

【分析】首先通過圖象的最值確定A的值，再根據(jù)圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出周期T，進(jìn)而得到口的值，然

后將特殊點(diǎn)代入函數(shù)求出。的值，最后根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸性質(zhì)以及方程根的對(duì)稱性來逐一分析選項(xiàng).

【詳解】由函數(shù)圖象可知，A表示振幅，所以4=2.

函數(shù)/(幻的圖象過點(diǎn)(上,2)和(殳,0),這兩點(diǎn)間的距離是!個(gè)周期，即那么丁=兀，故A

123443124

錯(cuò)誤；

27r22冗

根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式T=—(?>0),可得0=——=——=2,所以/(x)=2sin(2x+。).

a)T7i

把點(diǎn)(±2)代入/(%)=25皿2%+0)中，得到2=2sin(2xZ+°),即sin(色+°)=1.

12126

TT7T7T71

因?yàn)閨Q|<—，所以F+e==+2E,keZ,解得0=—,故B正確；

2623

JTJTTTKTTJT

由上分析可得：/(x)=2sin(2x+§).令2x+§=E+g,左eZ,解得》=耳+五次eZ.

當(dāng)左=—1時(shí)，x=-—,所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線》=對(duì)稱，故C正確；

1212

TTTTTT7T7T7T

函數(shù)/(%)=2sin(2%+—)的圖象在［——上，其對(duì)稱軸為2%+—=—,即%=—.

3633212

TT7T

若方程/(%)=加(meR)在［-二,一)上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根不々，根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知

x+x=2x--=z.所以cos(X]+x,)=cos—=y：—>故D錯(cuò)誤.

r2-126~622

故選：BC.

11.VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,S為VABC的面積，且a=2,

ABAC=2而,下列選項(xiàng)正確的是()

.n

A.A=-

6

B.若b=2,則VA3C只有一解

C.若VABC為銳角三角形，則6取值范圍是(26,4]

D.若。為3C邊上的中點(diǎn)，則AD的最大值為2+6

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用平面向量數(shù)量積公式及三角形面積公式可判定A,直接解三角形可判定B,利用角的范圍結(jié)合

正弦定理可判定C,利用平面向量中線的性質(zhì)及數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理、基本不等式可判定D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)锳8-AC=2jis,所以bccosA=26x」Z?csinA,貝(ltanA=3,

23

因?yàn)锳e(O,7i),所以A=$,故A正確；

6

7T971

對(duì)于B,因b=2=a,則B=A=—,C=—,故VA3C只有一解，故B正確；

63

對(duì)于C,若VA5C為銳角三角形，則Be[。,'),

71

0<B<

2jrjr

則<,則一＜5〈一，BPsinBE

三一B(三32

0〈兀一

由正弦定理可知：b=Z0=4sin5e(20,4),故C錯(cuò)誤；

sinAv7

對(duì)于D,若。為5c邊上的中點(diǎn)，則AD=；(A8+AC),

所以AD?=；(AB2+2AB-AC+AC2)=：(〃+C2+^C)

由余弦定理知1=/+02—2bccosA="+c2—屈C=4,WZ?2+c2=V3Z;c+4，

y.b2+c2-也be+4>2bc，所以6。<--忑=4若+8,

當(dāng)且僅當(dāng)b=c=0+?時(shí)取得等號(hào)，

所以AD?=；（/+°2+辰4=；（4+2屏C）<：4+26X（4占+8）］=7+4相,

即|ADg17+46=2+后,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.某扇形的圓心角為7T一，弧長(zhǎng)7為Tg,則該扇形的半徑為____.

128

3

【答案】一##1.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】若扇形圓心角為a,半徑為廣，則弧長(zhǎng)為：l=ar.

兀

I63

所以扇形的半徑為「=—=*=—.

?2

12

，一3

故答案為：一

2

13.在VA3C中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若二^±￡匚=一1,則人=

be

【答案】120°

【解析】

【分析】根據(jù)題意整理可得〃+02—片=—秘,結(jié)合余弦定理即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椴乓?+『）’整理可得加+。2一。2=一兒,

be

Z?2+c2-a2-be

則cosA=

2bc2bc2

且0°<A<180°,所以A=120。.

故答案為：120°.

兀

14.己知函數(shù)/(x)=sinCOXH--（-口＞0）區(qū)間（兀,2兀）內(nèi)沒有零點(diǎn)，則口的取值范圍是一

3

【答案】[o』j]|,|

k3」136」

【解析】

7T

【分析】根據(jù)周期性可得0＜。41,以+§為整體，結(jié)合題意可得其取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)零點(diǎn)運(yùn)

算求解.

【詳解】設(shè)函數(shù)/（九）的最小正周期為T,

根據(jù)函數(shù)周期性可知：-＞271-71=71,即7》2兀，

2

且。＞0,則&22兀，可得

G）

/、7tI7t7t?

因?yàn)閄￡（兀271J,則COXHG7169H,2兀69H,

71_71

且兀69+一￡,27169+—e

3

71711

因?yàn)楹瘮?shù)/（九）在區(qū)間（兀,2兀）內(nèi)沒有零點(diǎn)，可知y=sinx在區(qū)間兀69+§,2兀69+]J內(nèi)沒有零點(diǎn),

或乜0二,

336

（125

所以。的取值范圍是0,§。j

6

25

故答案為:

3'6

四、解答題（本題共5小題，共77分）

15.已知向量

（1）若（a+町〃（2a+b）,求實(shí)數(shù)左;

（2）若向量°+他與2。+》所成角為銳角，求實(shí)數(shù)左的范圍.

【答案】（1）A=,

2

【解析】

【分析】（1）先根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算得a+妨=（1—匕1）,2a+8=（1,2）,結(jié)合（a+奶）〃（2a+）），求得實(shí)

數(shù)左；

（2）根據(jù)向量a+/與2a+b所成角為銳角，（a+奶）（2。+》）>0,解得左<3.結(jié)合A=1時(shí)

（a+妨）〃（2a+Z?）,可得實(shí)數(shù)左的范圍.

【小問1詳解】

a+kb=（l-k,r）,2a+b=（1,2）,

（a+幼）〃（2a+Z?）,.?.一=；,解得A=j

【小問2詳解】

由（1）知，a+劭=（1一女,1）,2〃+/?=（1,2）,

，向量0+姑與2〃+人所成角為銳角，

（a+kb）,（2a+b）=（1—左,1）?（1,2）=1—左+2>0,解得k<3.

又當(dāng)A=g時(shí)，（a+妨）〃（2a+）），可得實(shí)數(shù)人的范圍為

16.已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且（2a—J§c）cos5=J§Z?cosC.

（1）求角8的大小；

（2）若c=G，a+b=2,求VABC的面積.

JT

【答案】(1)y

6

⑵走

4

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求COSB的值，進(jìn)而求角

(2)利用余弦定理求邊a,再利用三角形的面積公式求面積.

【小問1詳解】

因?yàn)?2a-64cos5=A/3/?COSC,

由正弦定理可得：2sinAcosB-gsinCcosB=J^sinBcosC，

所以2sinAcosBugGinCcosB+cosCsinB)=Gsin(C+5)=GsinA，

因?yàn)閟inA/O,所以COS5=43.

2

又5e(O,7i),所以3=9

【小問2詳解】

由余弦定理得：b2=(T+c2-2accosB^b2=a2+3-3a^

又a+6=2,所以(2-<2)一=a?+3-3ana=1.

所以SARC--acsinB=—xlxV3x—=.

ABC2224

JT

17.已知函數(shù)/(%)=3sin(2Gx——),(G>0),%￡R的最小正周期是兀

6

71

(1)求函數(shù)/(%)的解析式，并求函數(shù)/(%)在0,-上的單調(diào)增區(qū)間；

(2)將y=/(x)圖象上的所有點(diǎn)向右平移。(。>0)個(gè)單位長(zhǎng)度，并把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原

來的g(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)=g(x)的圖象已知g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為皚0；求6的最小

值；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)6取最小值時(shí)，若對(duì)xe-,關(guān)于x的方程g(x)=a—1恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)

66

根，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

TT

【答案】(1)/(x)=3sin(2x--),

6

⑵：

(3)ae(-2,l]

【解析】

【分析】（1）根據(jù)周期公式可解得。=1,從而得出解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得增區(qū)間;

（2）根據(jù)伸縮平移變換可得的解析式，結(jié)合為對(duì)稱中心，從而求得夕的最小值；

（3）在（2）條件下結(jié)合，利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可得解.

【小問1詳解】

TT

因?yàn)門=---=兀，所以。=1,所以/'（無(wú)）=3sin（2x-：）

2m6

因?yàn)閤e0,3,所以-］，稱，

L2J6L66J

當(dāng)2/JTJTTT

---時(shí)，即OVxV—時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增,

62J3

當(dāng)2x—=e學(xué)時(shí)，即巴WxW任時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.

6126」32

71

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：0,-.

【小問2詳解】

由題意，/⑺=3sin（2x-7T$的圖象向右平移3（3>0）個(gè)單位，

6

再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的g（縱坐標(biāo)不變），

JT

可得g（x）=3sin（4x-20——）的圖象，

6

5兀3ATT

依題意，4x一71-20——=kit,ksZ,解得。=—兀----,keZ,

12642

7T

因。>0,則當(dāng)左=1時(shí)，此時(shí)。的最小值為一.

4

【小問3詳解】

jr/JT

當(dāng)。取最小值一時(shí)，g(x)=3sin(4x----),

43

,7171.2714兀八

當(dāng)工￡［一二,二］時(shí)，4x-——G一~—,0,

6633

2兀

止匕時(shí)g(X)=3sin(4x-)e

因g（九）=。-1恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故g（無(wú)）與丁=。-1的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),

結(jié)合圖象可知—3VO—1V0,即—2<Q<1,.-.ae(-2,l］.

18.如圖，在直角梯形A3CD中，AB//CD,ADJ.AB，AB^AD=2CD=4,E是3c的中點(diǎn).

（1）求AEBE；

（2）連接班），交AE于點(diǎn)M，求

（3）若P2,P3,《為3c邊上的〃+1等分點(diǎn)，當(dāng)〃=100時(shí)，求

（叫+MP,+MP3+■■■+MP^-AB的值.

【答案】（1）1

⑵半

（3）240

【解析】

【分析】（1）建立合適的直角坐標(biāo)系，再求出相關(guān)向量，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可;

(2)設(shè)AM=XAE,8M=〃3￡>,根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算得到方程組，解出4〃，最后利用向量

模的坐標(biāo)公式即可；

(3)首先證明5+此+兒里+..+上有0G=100VE,最后轉(zhuǎn)化為求解ME?A3即可.

【小問1詳解】

因?yàn)锳B_LAT>,所以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為V軸，

建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0),5(4,0),C(2,4),E(3,2),A應(yīng)=(3,2),BE=(—1,2),所以

AEBE=-3+4=l-

【小問2詳解】

T&AMAAE,BM=piBD,4,〃eR,

AM-BM^AAE-^iBD,所以AB=4AE—〃3。，

所以(4,0)=2(3,2)-〃(T,4)=(32+4〃,22—4〃),

32+4/7=45

所以。；c，解得〈

22—4〃=02

"=!)

所以|3|=^|4￡|=^><相=^如.

【小問3詳解】

在△MBC中，因?yàn)镋為5c中點(diǎn)，所以MC+MB=2ME，

又因?yàn)槠辐B，月，?，冊(cè)oo是邊5c的1。1等分點(diǎn)，

MPi+MPim=2ME,MP2+MI^=2ME^,MP50+MP5l=2ME,

所以5+死+次+..+次0G=100ME,

所以(5+兒明+叫++MPmyAB=100AfE-AB

由（2）得ME=gAE=[|,|）A5=（4,0）,

312

所以ME.AB=gx4=w，

所以（孫與++M^oo）-AJB=lOOxy=240.

19.在路邊安裝路燈，燈柱A3與地面垂直（滿