平?jīng)鲆恢?024-2025學(xué)年度第二學(xué)期階段性考試試題（卷）

局一數(shù)學(xué)

時(shí)間：120分鐘總分：150分

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知向量屋（區(qū)2，1），工（2，-1，1）,若（片山J則（）

,79

A.—B.4C.—D.5

22

【答案】A

【解析】

【分析】先求根―“，再由（m—〃>〃=0解方程即可求得.

【詳解】由機(jī)—,可得加一〃=（。一2,3,0）,

又由（力-〃）_!_〃，則得（加一〃）?〃=（）,

即2（a—2）—3=0,解得a=萬(wàn).

故選：A.

2.已知A3,C三點(diǎn)不共線，對(duì)平面ABC外的任一點(diǎn)O,下列條件中能確定點(diǎn)M,A,民C共面的是（）

A.OM=OA+OB+OCB.OM=2OA-OB-OC

-11111

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23333

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間共面向量定理的推論逐項(xiàng)判斷即得.

【詳解】平面ABC外的任一點(diǎn)。，點(diǎn)KA,民C共面的充要條件是OM=xOA+yOB+zOC,且

x+y+z-1,

對(duì)于A,由3/=O/+OB+O（j,得1+1+1=3片1,點(diǎn)M,A,3,C不共面，A不；

對(duì)于B,由=204-03—OC，得2+（-1）+（-1）=0/1,點(diǎn)加,4瓦。不共面，B不是；

對(duì)于C,由。M=。4+工。3+工。。，得1+工+工W1,點(diǎn)〃,A,3,C不共面，C不是；

2323

對(duì)于D,由0M=』。4+工。5+工。。，得工+,+,=1,點(diǎn)M,A,民C共面，D是.

333333

故選：D

3.已知函數(shù)八％)的導(dǎo)函數(shù)為了'(%),且“X)=2礦《J+sinx,

B.C.

~22

【答案】D

【解析】

7T

【分析】對(duì)函數(shù)表達(dá)式同時(shí)求導(dǎo)并令X=：,解方程即可求得結(jié)果.

【詳解】由/(X)=2礦D+sinX可得/'(X)=2/'［巳)+cosx,

令一可得/02吧+c吟即/符岑

故選：D

f(x］

4.對(duì)函數(shù)y=/(x),若數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足玉+1=%—赤j,則稱(chēng)卜｝為牛頓數(shù)列.若函數(shù)/(x)=%2,

數(shù)列｛七｝為牛頓數(shù)列，且%=2,an=log2xn,則/=()

A.20B.-35C.30D,-55

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，求得x,+i=gx“，得到｛七｝是等比數(shù)列，求得,再得出4=2-〃結(jié)合等

差數(shù)列求和即可.

【詳解】因?yàn)?％)=X2,所以/'(x)=2x,則X"M=x”—方\=玉一寸=］當(dāng)，

又因?yàn)?=2,且xn〉0,所以｛%｝是首項(xiàng)為%=2,公比q=＜的等比數(shù)列，

…，…g2』咱二一〃，

則

故選：B.

5.進(jìn)入4月份以來(lái)，為了支援上海抗擊疫情，A地組織物流企業(yè)的汽車(chē)運(yùn)輸隊(duì)從高速公路向上海運(yùn)送抗疫

物資.已知A地距離上海500km,設(shè)車(chē)隊(duì)從A地勻速行駛到上海，高速公路限速為60km/h~110km/h.

已知車(chē)隊(duì)每小時(shí)運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成，可變部分與速度vkm/h的立方成

正比，比例系數(shù)為b,固定部分為。元.若人=’,a=1。4,為了使全程運(yùn)輸成本最低，車(chē)隊(duì)速度丫應(yīng)為

200

()

A.80km/hB.90km/hC.100km/hD.110km/h

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)運(yùn)輸成本為y元，依題意可得了=U。4+上迎，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得

1200)v

到函數(shù)的極小值點(diǎn)，從而得解；

【詳解】解：設(shè)運(yùn)輸成本為y元，依題意可得斗迎=,2+儂2四，

I200)v2v

貝I」5000000_5v3-5000000_5(v3-106)_5(v-102)(v2+102v+104)

、＞="一~

所以當(dāng)v=l()2時(shí)y'=0,當(dāng)60Wv<100時(shí)y<0,當(dāng)ioo<v〈no時(shí)y'〉o,

即函數(shù)在(60,100)上單調(diào)遞減，在(100,110)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)V=100時(shí)取得極小值即最小值,

所以v=100km/h時(shí)全程運(yùn)輸成本最低；

故選：C

6.在四面體。45c中，04=。，OB=b，OC=c，G為VABC的重心，P在OG上，且OP=」PG,

2

則4尸=(

21,181?1.

A.——a+—b+—cB.-a——b——c

999999

81『1-21,1.

C.——a+—b+—cD.-a——b——c

999999

【答案】C

【解析】

【分析】延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)。，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，結(jié)合重心的性質(zhì)將AP表示為QAO5OC

的線性形式即可.

【詳解】延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)。，則點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

因?yàn)镺P=LpG,所以。尸=1(9G,

23

所以AP=OP—OA=g(9G—0A=g(05+3G)—0A,

所以APMLOB+'XZBD—OAMLOB+ZIOD—OBJ—QA,

33339、'

所以AP=!O3+2XUOA+OC)—OA=LO3+LOC—§OA,

992、>999

因?yàn)镺A=a，OB=b，OC=c，

Q11

所以AP=——a+—b+—c,

999

故選：C.

7.已知過(guò)點(diǎn)A（a,0）作曲線y=（2—x）ei的切線有且僅有1條，則。的值為（）

A.—2或2B.—1或3C.3D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)切點(diǎn)為（%,（2-Xo）e&T）,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點(diǎn)A（a,0）代入切線方程結(jié)合

切線有且僅有1條，令判別式為0即可求解.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（/，?一/卜為一）,由已知得y'=（l—x）ei,則切線斜率左=（1—%）e為一】，

所以切線方程為y—（2—%）e3=0—%）（%—%）,

因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)A（a,0）,則—（2—%）6*=（1—%卜與Ya—/），

化簡(jiǎn)得蒞-(a+2)X。+a+2=0,

又因?yàn)榍芯€有且僅有1條，即△=(a+2)2—4(a+2)=0,解得a=—2或2,

故選：A

8.已知函數(shù)/'(尤)=6一1!1^+1無(wú)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a>e-1B.a>e2C.a>eD.a>e2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，將其轉(zhuǎn)化為方程。=生土工在(0,+8)上沒(méi)有實(shí)根，研究函數(shù)

X

g(x)=電￡/(尤>0)的值域，即可求得參數(shù)a的取值范圍.

【詳解】函數(shù)/(%)=依-lnx+1無(wú)零點(diǎn)，即關(guān)于X的方程依—lnx+l=O在(0,+8)上沒(méi)有實(shí)根，

也即方程a=見(jiàn)匚蟲(chóng)在(0,+8)上沒(méi)有實(shí)根.

X

、In%—1.1—(Inx—1)2—Inx

設(shè)g(%)=------(x>0),則g'Q)=^~~二——,

XXX

由/(%)>?？傻?<%<e2,由g'(%)v0可得

故函數(shù)g。)在(0,5)上單調(diào)遞增，在e2,+00)上單調(diào)遞減，

1

則％=，時(shí)，函數(shù)g(x)取得極大值為g(e29)==,

e

當(dāng)Xf。+,貝-00,當(dāng)X—+°0,貝Ug(x)-。，

作出函數(shù)g(x)=@±二的圖象，可得其值域?yàn)?-8,3］，故。>!.

二.多選題：本題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知空間向量￡=(1,1,—1),Z?=(-2,2,1),則下列結(jié)論正確的是()

A.(b-lct^/laB.忖=百忖

C.。與b夾角的余弦值為一等D.。，(。+3可

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，對(duì)于A,結(jié)合向量平行的性質(zhì)，即可求解，對(duì)于B,結(jié)合向量模公

式，即可求解，對(duì)于C,結(jié)合向量的夾角公式，即可求解，對(duì)于D,結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】因?yàn)閍=(l,L—1)，=(-2,2,1),

所以匕—2a=(—4,0,3),

-403................

因?yàn)槎∷韵蛄?—2a與〃不共線，故選項(xiàng)A不正確；

11—1

因?yàn)椴酚?，慟=3,所以W=6卜故選項(xiàng)B正確；

因?yàn)閏os(a,b)=2￡4=—走，故選項(xiàng)C正確；

'/A39

因?yàn)閍+3〃=(—5,7,2),所以a?a+3))=—5+7—2=0,即a'(a+3。)，故選項(xiàng)D正確.

故選：BCD.

10.已知函數(shù)，(x)=e*+sinx,_f(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則()

A.曲線y=/(%)在(0,/(0))處的切線方程為y=x+1

B.f(x)在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增

C.f(x)在區(qū)間(-兀,0)上有極小值

D./'(X)在區(qū)間(-兀,+8)上有兩個(gè)零點(diǎn)

【答案】BC

【解析】

【分析】求出函數(shù)/'(x),再利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求解判斷A；結(jié)合單調(diào)性、極小值意義判斷BC；求出零

點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷D.

【詳解】依題意，/(x)=e"+cosx,

對(duì)于A,/'(。)=2,/(0)=1,所求切線方程為y=2無(wú)+1,A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)x>0時(shí)，/,(%)=ev+cosx>l+cosx>0,/(幻在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增，B正確；

對(duì)于C,丁=1,丁=(：05%在(-兀,0)上都單調(diào)遞增，則函數(shù)/"(x)在(-兀,0)上單調(diào)遞增，

尸(―兀)=b—1<0,尸(0)=2,則存在唯一/e(F,0),使得尸(%)=0，

當(dāng)一兀<x<Xo時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)玉)<x<0時(shí)，f'(x)>0,因此/(%)在/處取得極小值，C正確；

對(duì)于D,由選項(xiàng)C知，/'(X)在(一兀,0)上有唯一零點(diǎn)，又/'(0)=2,

當(dāng)x>0時(shí)，f'(x)-ev+cosx>1+cosx>0,即VxNO,f'(x)>0,

因此/"(x)在區(qū)間(-71,+8)上有1零點(diǎn)，D錯(cuò)誤.

故選：BC

1nx,

11.已知函數(shù)/(X)=F，則下列說(shuō)法正確的是()

X

A./(l)</(V2)</(^)

B.方程6,(x)『—7,⑴+1=0恰有4個(gè)不等實(shí)數(shù)根

C.存在實(shí)數(shù)x使不等式/(x)>gx3-x+1成立

1e

D.若〃x)〈左—=在(0,+8)上恒成立，則實(shí)數(shù)左〉5

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(%)的單調(diào)性和最值情況，即可判斷ABC；根據(jù)恒成立問(wèn)題，通過(guò)分離參數(shù)求

最值即可判斷D.

【詳解】由題意知/?'(■<)=-3、々工>0),

X

令fXx)<0=>x>1(%)>0=>0<x<A/C,

所以函數(shù)/(X)在(G,+O0)上單調(diào)遞減，在(0,J3)上單調(diào)遞增，

且/⑴=0,x-。時(shí)，/(x)f—00,當(dāng)Xf+00時(shí)，/(x)f0,如圖，

所以/(無(wú))皿=/(&)=1-

2e

A：因?yàn)?〈后〈五，所以/⑴</(JI),

由==Ve<73<2>

得/(2)</(6)，則/(衣</(6)，所以/⑴</(后)</(6)，故A正確;

B：由6|/(幻「—刀/(刈+i=o,得/⑸=1或|/(刈=：,如圖，

由圖可知，當(dāng)|/(刈=1時(shí)，方程有1個(gè)根，當(dāng)|/(刈=、時(shí)，方程有3個(gè)根,

所以原方程共有4個(gè)實(shí)根，故B正確；

C：若命題成立，貝!J/(x)>：彳3—x+1,即不x+1,

11Mx32e3

設(shè)F(x)=-x3-x+1,

3

則F\x)=x2-l,^F'(x)<O=^O<x<l,F'(x)>O=>x>l,

所以F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以尸⑺*=網(wǎng)1)=:>3，故命題不成立，故C錯(cuò)誤；

32e

11Inx+1

D：因?yàn)?(x)(左一一7,故女>/(X)+F=——,

X"XX

又函數(shù)在(0,+8)上恒成立，所以上>(電"3ram，

X

'門(mén)z\In%+1.—2In%—1

設(shè)g(x)=——(X>0),則g(X)=----——，

XX

令g'(x)<0=>x>J,g<x)>0=>0<x<-^,

veve

所以g(%)在(J,+8)上單調(diào)遞減，在(0,J)上單調(diào)遞增，

，eyje

故g(X)max=g(7=)=5，即左〉］,故D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明形如/(￡)2g(x)的不等式恒成立的求解策略：

1、構(gòu)造函數(shù)法：令—x)=〃x)—g(x),利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)/⑴的單調(diào)性與最小值，只需

F(x),20恒成立即可；

\/min

2、參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為。之姒力或aW°(x)恒成立，即。2姒力1mx或。4以力.恒成立，只需利用導(dǎo)

數(shù)求得函數(shù)。(%)的單調(diào)性與最值即可；

3,數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合函數(shù)y=/(x)的圖象在y=g(x)的圖象的上方(或下方)，進(jìn)而得到不等式恒成立.

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，滿(mǎn)分15分.

12.己知a=(2,2,1)力=(1,0,0),則a在b上的投影向量的坐標(biāo)為.

【答案】(2,0,0)

【解析】

【分析】利用投影向量的定義，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可得￡在B上的投影向量的坐標(biāo).

【詳解】已知空間向量。=(2,2,1)和/7=(1,0,0)，

則￡在3上的投影向量為

同cos(a,端=同*七

H\a\\b\\b\

=￥匕=干(1,。,。)=(2,0,0).

\b\

故答案為：(2,0,0).

13.如圖，在平行六面體ABCD—AUGA中，G為與G的中點(diǎn)，AG=xAB+yAD+zA^,則

x+y+z=；若該六面體的棱長(zhǎng)都為2,ZBAD=ZA.AB=ZAtAD=60°,則AG=.

5，—

【答案】①.—##2.5②.47

2

【解析】

12___9

【分析】由空間向量基本定理和已知條件可得AGnAB+iAD+AA；由=AG—結(jié)合向量的數(shù)量

積運(yùn)算可得AG.

**.x=l,y=—,z=lfx+y+z——；

v|AG|2=AG2=^AB+1AD+A4j

212-2

=AB+-AD+7Vli+ABAD+2ABA4i+ADA4i

=22+—x22+22+2x2cos60°+2x2x2cos60°+2x2cos60°=17,

4

A|AG|=A/17,即AG=A/I7.

5L

故答案為：一；JF7.

2

14.若曲線G：y=/與曲線。2：＞=小、存在公切線，則。的最大值

4

【答案】飛

e

【解析】

【分析】設(shè)公切線與曲線a切與點(diǎn)（4片），與曲線G切與點(diǎn)（無(wú)2，或巧），由題意可得

2

2X1=a^==一%,化簡(jiǎn)可得起*=4々-4,則/(xj),構(gòu)造函數(shù)〃司=生￡1,利用導(dǎo)

數(shù)求出其最大值即可.

【詳解】設(shè)公切線與曲線G切與點(diǎn)(西，龍；)，與曲線C2切與點(diǎn)(々me"),

由y=I?,得了=2x；由y=aex得yf=aex.

r-％優(yōu)巧-%?

則2石=〃e2=---------,

所以2為=2~%■=>玉=2々-2,所以〃e巧二4々-4,即］=巴%~D.

x2-玉e”2

設(shè)心…，則"

由/''(xAOnxvZ；由/''(x)<0=>x>2.

所以函數(shù)在(—8,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減.

4

所以函數(shù)/(#</(2)=/.

4

即。的最大值為二.

e

4

故答案為：—r

e

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是設(shè)出兩切點(diǎn)的

坐標(biāo)，由切線為兩曲線的公切線列方程組求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程.

A-i-C

15.VA5C的內(nèi)角AS。的對(duì)邊分別為。，仇。，已知asin-------=bsinA.

2

(1)求5；

(2)若VA3C為銳角三角形，b=y/3,求2a—c的取值范圍.

TT

【答案】(1)B=-

3

(2)(0,3)

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理將邊化角，再由三角變換公式可得sinO=,，從而可求3的值.

22

(2)利用正弦定理及三角變換公式可得2a-c=2/sinA-E,結(jié)合A的范圍可求其取值范圍，從而

可求2a—c的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閠zsin=Z?sinA,由正弦定理得sinAsin=sinBsinA,

.Bc.BB..

?sinAcos一=2sin-cos—sinA,

222

在VABC中，0<A<TI,0<B<n,所以sinA>0,0<—<—,貝ijcos^〉。，

222

_/D.B1LL.B7Lr-r-IT-1兀

可r得sinl=一,所以一二"7，所以_B=—.

22263

【小問(wèn)2詳解】

2R=a=c=b=五=2

由正弦定理可得一金了―//一金不一耳一(R為VA3C外接圓的半徑),

所以〃=2sinA,c=2sinC,

兀2兀27i

因?yàn)?=—,則A+C=——，C=——A,

333

所以2〃一。=4sinA-2sin=3sinA-A/3COSA=2A/3sinfA-

0<A<-

2ITIT

因?yàn)閂ABC為銳角三角形，貝I；,解得<匕

八一2兀，7i62

0<C=----A<—

[32

則A—sin^A——e0,-^-,故2a—ce(0,3).

16.已知函數(shù)/(x)=x?-alnx(aGR).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)/(%)在區(qū)間A,e］上的最大值與最小值.

e

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

2

(2)最大值e-2.最小值為1

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，分類(lèi)討論求出其單調(diào)性.

(2)把a(bǔ)=2代入，利用(1)的結(jié)論求出函數(shù)/(%)在指定區(qū)間上的最值.

【小問(wèn)1詳解】

函數(shù)/(x)=V—。inx的定義域?yàn)?0,+8)，求導(dǎo)得f'(x)=2x--,

X

當(dāng)aW0時(shí)，/，(%)>0,函數(shù)/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，由/'(x)<0,得0<%<叵；由/'。)>0,得x>叵,

22

則函數(shù)/(%)在(0,孚)上單調(diào)遞減，在(容,+oo)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)/(%)在(0,+S)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(%)在(0,字)上單調(diào)遞減，在(浮,+oo)上單調(diào)遞增.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)a=2時(shí)，由(1)知：函數(shù)/(%)=必一21nx在上單調(diào)遞減，(l,e］上單調(diào)遞增，

e

因此當(dāng)X=1時(shí)，/(X)取得最小值為/(1)=1；

而/d)=4+2<3,/(e)=e2—2>5,則當(dāng)％=e時(shí)，/(x)取得最大值/(e)=e?—2，

ee

所以函數(shù)/(%)在區(qū)間d,e］上的最大值為e2-2，最小值為1.

e

17.如圖，在所有棱長(zhǎng)都為2的三棱柱A3C—A3IG中，點(diǎn)E是棱A&的中點(diǎn)，A用，CE.

(1)求證：平面A.ABB,1_平面ABC；

(2)若=m，點(diǎn)尸滿(mǎn)足4G=3AP，求直線CP與AB1所成角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵叵

10

【解析】

【分析】（1）取A3的中點(diǎn)0,證得四邊形是菱形，證得利用線面垂直的判定定

理，證得人與，平面EOC,得到再由OCLAB,證得OCL平面443與，結(jié)合面面垂直

的判定定理，即可證得平面AA5與，平面ABC.

（2）以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)CG=Ba，求得G（、行,1,、回），得到向量則

CP=,再由做=（0,3,也），結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

I33）

【小問(wèn)1詳解】

證明：如圖所示，取A3的中點(diǎn)。，連接EO,\B,OC,

因?yàn)镋為A4中點(diǎn)，。為A3中點(diǎn)，所以EO//AB.

在三棱柱ABC—A與G中，A3=AA=2,則四邊形A34A是菱形，

可得AB,1\B,則AB,1EO,

又因?yàn)锳gLCE,EOCE=E，且石O,"u平面EOC,

所以平面EOC,因?yàn)镺Cu平面EOC,所以O(shè)CLA用，

因?yàn)閂ABC是等邊三角形，。為AB中點(diǎn)，所以O(shè)CLAB,

又平面

ABABt=A,AB,AB,ABXUA^ABB^,

所以O(shè)C,平面4A3用，

因?yàn)镺Cu平面ABC,所以平面AAB4，平面ABC.

TV

因?yàn)?AB=AAl,所以是等邊三角形，所以4OLA5.

ASS

又因?yàn)槠矫鍭XABBX1平面ABC,平面Ai八平面ABC=AB,

且A。＜=平面AiABBl,所以AQ，平面ABC,

因?yàn)橛蒓C,03u平面ABC,所以AOLOC,AO±OB,又因?yàn)镺CLAB,

以。為原點(diǎn)，OC,08,04所在的直線分別為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖所示，0(0,0,0),C(百,0,0),5(0,1,0),A(0,-l,0),A(0,0,73),B](0,2,百)，

設(shè)G（x,y,z）,因?yàn)镃G=B耳，即卜一石,/2）=（0,1,逝）

可得x=y=1,z=,所以G,

則CP=04+(AG

CP-AB[屈

又因?yàn)樽?（0,3,指），所以cosCP,Ag=

|CP|-|AB'|-io,

直線CP與A片所成角的余弦值為叵.

10

18.已知雙曲線C:1—與=1（。〉01〉0）的右頂點(diǎn)人到其漸近線的距離為冬叵.點(diǎn)6（2,1）在。的漸

ab~5

近線上，過(guò)8的直線/與C交于P,。兩點(diǎn)，直線AP,AQ分別與y軸交于M,N兩點(diǎn).

（1）求C的方程；

（2）若△APQ的面積為哀1,求/的方程;

3

（3）證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn).

r2

【答案】(1)—-y2=l

4-

(2)x+y—3=0

(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)由頂點(diǎn)到漸近線距離建立方程解得的值，從而得到曲線方程；

(2)設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組得到一元二次方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，由韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，由三角

形面積建立方程得到k的值，從而得到直線方程；

(3)設(shè)坐標(biāo)，然后得到直線40方程，聯(lián)立方程組得到一元二次方程，由韋達(dá)定理得到P點(diǎn)坐標(biāo),

同理求得Q點(diǎn)坐標(biāo).從而得到由向量共線建立等式，從而得到點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，即可得證.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)镃的一條漸近線方程為桁—?dú){=0,人(。,0),

過(guò)8(2,1)得％—a=0,

解得：a=2,b=l,

2

所以C的方程為?—>2=1①.

【小問(wèn)2詳解】

顯然直線/的斜率存在，設(shè)/的方程為丁=左(%—2)+1②，

①②聯(lián)立得：［^-kAx1-(ik-^x-^k2+4rk-2=G.

1）△=（25?4[卜”

則有廠廣。③,+4左一2）=2—4左>0④,

設(shè)尸（石，弘），。（盯％），

_2k-4k②4左2+4A-2

則-=⑤，/々=-j———⑥，

--k--k

44

把⑤⑥代入：民一X|=/（々+代）2-4々==[J肅，

?1I4r,iII11442-442[―

所以S50=-x|AB|x|x-^|=--xlx=-V6,

L2/1—4kJ

得：（左+D（4K—2左+1）=0,解得:左=—1.

滿(mǎn)足③④式，則直線/的方程為x+y—3=0.

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)〃（0，M，N（0,“），不妨設(shè)〃Z〉〃.則直線AM:y=—5（x—2）⑦,

聯(lián)立①⑦得：（^l-m2jjc2+4m2x-4m~-4=0,

4（m2+1

則△=（4〃[2）+4（1-療）（4m2+4）=16,

2（4+1）—_2m

則與

m2—1，丁0m2—1

2（/+1）—2n

同理:

=2~~i—，%=~~~7

n-1丫n-1

（2（m2+l、（2（/+1、

—2m—2n

而尸3=2--~~QB=2--~~

m2—1n2—1/一八

77

又尸，尻。三點(diǎn)共線，則有PB〃QB,

得：根+〃+2=0,

所以的中點(diǎn)為定點(diǎn)（0,—1）.

【點(diǎn)睛】技巧點(diǎn)睛，三角形在直角坐標(biāo)的面積可以用鉛錘高乘水平寬來(lái)表示，例如本題中

SAPO=g義IAB|X卜2-xj(氏2-%|表示點(diǎn)P,Q的水平寬).

19.南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求離散變量

的垛積問(wèn)題”.在他的專(zhuān)著《詳解九章算法?商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類(lèi)比，推導(dǎo)出了三角

垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式.如圖，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6

個(gè)球……第〃+1層球數(shù)是第n層球數(shù)與”+1的和，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛??｝.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式