2025新高考高二直線和圓的方程易錯(cuò)培優(yōu)競(jìng)賽試題

【專(zhuān)題目錄】

專(zhuān)題一：名校直線和圓的方程易錯(cuò)題精選

專(zhuān)題二：名校直線和圓的方程培優(yōu)題精選

專(zhuān)題三：直線和圓的方程全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽強(qiáng)基計(jì)劃精選試題

【精選練習(xí)】

專(zhuān)題一：名校直線和圓的方程易錯(cuò)題精選

1.己知尸點(diǎn)坐標(biāo)為（2cos6,sin。）,直線/:（m+2）*+（〃7+1萬(wàn)-后〃-2百=0與圓加：x2+y2-2A/3X+2=0交

于A,8兩點(diǎn)，則P4P8的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.[-4,4]C.[6-4石,6+4括]D.17-46,7+46]

【答案】C

【分析】由直線/的方程可以判斷直線/過(guò)定點(diǎn)（道,。），恰好為圓心所以跖4+M8=0,且

|M4|=|MB|=r=l,從而得尸4尸2=|尸叫2-1,由|尸加『=3cos20-4后cosd+4,換元即可得到取值范圍，

進(jìn)而得到的取值范圍.

【詳解】由丁+/一2嶼^+2=0得（x-6『+y2=l,所以圓心/（6,0）,半徑廠=1

由（7〃+2）x+（〃2+l）y—后加—2括=0得〃?（尤+y—石）+2x+y—2有=0,

由1+丫-610得卜=6,所以直線/過(guò)定點(diǎn)（括,0）,即為圓心M,

2x+y-2y/3=0[y=0''

所以A,3是圓M的直徑的兩端點(diǎn)，所以MA+M2=0,且|M4|=|M@=r=l,

PA-PB=（PM+MA）（^PM+MB）=^PM+M^PM-MA^=\PM^-\MA^=\PM^

因?yàn)槭?cosd,sind）,M（若,0）,所以PM=（石-2cos，,-sin@,

\2

1PM2=（指-2cos6）+sin2^=3-4^cos0+4cos2+sin2^=3cos26,-4^cos0+4

令cose=y-l,l],貝11PM2=3〃-4"+4=3t--,

I3）

所以當(dāng)f=l時(shí)，|取得最小值7-4有；當(dāng)f=-l時(shí)，|PM『取得最大值7+4石，

所以PA.尸8=|尸M『一le[6-4石,6+4相],

故選：C.

2.過(guò)直線y=f+l上任一點(diǎn)尸向圓好+。+1）2=1作兩條切線，切點(diǎn)為A,8.則的最小值為（）

A.當(dāng)B.當(dāng)C.72D.73

【答案】C

【分析】設(shè)點(diǎn)P（x04-x0），求出設(shè)點(diǎn)尸小,1-X。），由點(diǎn)到直線的距離求出圓心C（O,-1）到直線AB的距離d,

再由|AB|=277r才結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】設(shè)點(diǎn)尸（5,1一飛），則直線的方程為尤ox+（2r0）（y+l）=l,

（注：由圓尤2+>2=戶外一點(diǎn)石（的為）向該圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為凡G,則直線FG的方程是

2

xox+yoy=r）,

化簡(jiǎn)可得：%x+（2-x（））y+l—飛=0,

1

所以圓心C（0,-l）到直線AB的距離為：d=

所以|4同=2,產(chǎn)-相=寸一屋F

21寸馬.后不

當(dāng)毛=1時(shí)，|AB|的最小值為血.

故選：C.

3.已知圓O：Y+y2=i,過(guò)點(diǎn)4（2,0）的直線與圓。交于8、C兩點(diǎn)，且就=詫?zhuān)瑒t|BC|等于（）

A.也B.-C.嫗D.如

2222

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，設(shè)3（4%）,力）,由向量關(guān)系可得々=2為-2,%=2M,代入圓的方程即可得到占,％,

再由兩點(diǎn)間距離公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】設(shè)3（再,％）,C（9,%），且4（2,0）,

UUUUUUZ\/\

由AB=BC可得（玉一2,另）=（%一%,%-%）,即％=2再-2,%=2%,

尤；+犬=1

將B,C代入圓。方程可得

尤;+貨=1'

即（2玉一2）2+（2yj2=1,化簡(jiǎn)可得4x；-凱+4+4y：=1,

故選：D

PA1

4.（多選題）已知A（—2,0）1（6,0）,0（2,2）,點(diǎn)p滿足方3=不設(shè)點(diǎn)尸的軌跡為曲線C,。為坐標(biāo)原點(diǎn),

rDJ

則下列說(shuō)法正確的是（）

A.過(guò)點(diǎn)8作曲線C的切線，切線長(zhǎng)為60

B.當(dāng)A民尸三點(diǎn)不共線時(shí)，ZAPO=ZBPO

C.在C上存在點(diǎn)使得|MO|=2|MA|

D.|尸國(guó)+31Poi的最小值為2遍

【答案】AB

PA1

【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)函=§可求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，A選項(xiàng)，構(gòu)造直角三角形，即可求得切線長(zhǎng)；B

選項(xiàng)可知PO是△向內(nèi)角—APB的角平分線，即可得出結(jié)論；C選項(xiàng)，可以求得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡，判斷兩

曲線的位置關(guān)系來(lái)判斷是否存在；D選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)和最小可以求解.

PA1+2）+y-1

【詳解】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（蒼＞）,由轉(zhuǎn)=w，則》,?=多化簡(jiǎn)得

PB3耳_6『+/3

X2+/+6X=0,所以動(dòng)點(diǎn)軌跡是以C（-3,0）為圓心，r=3為半徑的圓.

A選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)B作曲線C的切線，切線長(zhǎng)為標(biāo)耳=60,A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，當(dāng)46尸三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形內(nèi)角平分線定理可知，PO是“PB內(nèi)角—4PB的角平分線，所

以ZAPO=/BPO.故B選項(xiàng)正確.

I22

C選項(xiàng)，因?yàn)殛?yáng)。|=2|八劃，設(shè)M（x,y）,則2=2,化簡(jiǎn)得軌跡為（x+|）2+y2=g,所以動(dòng)點(diǎn)M

的軌跡為圓心G（-*80），半徑為馬=]4的圓，圓心距

|CC2|=|<|r-^|-所以兩圓位置關(guān)系為內(nèi)含，所以在C上不存在點(diǎn)M，使得|MO|=2|M4],故C錯(cuò)誤.

D選項(xiàng),因?yàn)樾?；,所以儼3|+3|叫=3|斜+3戶0=3（|酬+|尸刈”3|4￡>|=3，（一2-21+（0-2）2=66,

故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

5.（多選題）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直線上，這條直線

被后人稱(chēng)為三角形的“歐拉線”.若V4JC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3,4）,B（-l,2）,C（l,0）,其“歐拉線”為/,

圓”:（無(wú)一0）2+丁=1,貝IJ（）

A.過(guò)A作圓M的切線，切點(diǎn)為P,則恒尸|的最小值為4

B.若直線/被圓M截得的弦長(zhǎng)為2,則。=-1

C.若圓M上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到/的距離都為1,貝U-1-2應(yīng)+2應(yīng)

D.存在。，使圓河上有三個(gè)點(diǎn)到/的距離都為1

【答案】BC

【分析】A項(xiàng)，利用勾股定理寫(xiě)出的表達(dá)式，即可求出|AP|的最小值；B項(xiàng)，求出直線/的解析式，得

出圓的位置，即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，根據(jù)圓M上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到/的距離，得出圓心河（。,0）到直線/的

距離小于直徑，結(jié)合距離公式即可得出結(jié)論；D項(xiàng)，由幾何知識(shí)即可得出結(jié)論.

【詳解】由題意,

VABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3,4）,B（-l,2）,C（l,0）,

在圓（尤-°）2+y2=l中，M（a,O）,半徑尺=尸弁=1

\AM\=J（3-a）2+（4-0）2=｛（3-a）2+16,

A項(xiàng)，

過(guò)A作圓M的切線，切點(diǎn)為尸，如圖所示，

在RtZVLPM中，由勾股定理得，AP=y/AM2-PM2

2

|AP卜^AM"-PM-3-4+16]-I=^(a-3)2+15

...當(dāng)a=3時(shí)，|AP|取最小值，|APL=JI?,故A錯(cuò)誤;

B項(xiàng),

3-1+14+2+0J即G(l,2),

重心坐標(biāo)G

33

4-2

A3所在直線4：丁-4=(x-3),BPy=+|

3-(-1)

線段AB的中點(diǎn)。（1,3）,

AB的垂直平分線為：y=-2x+5,

同理可得，AC的垂直平分線為：y=x+3,

4

y=-2x+5x=—

3

1，解得：,

y=——x+37

2y=—

3

47

夕卜心石

§'4

由幾何知識(shí)得，垂心與外心重合,

.../過(guò)G（l,2）和l-.y~2=^—（x-1）,即y=x+l,

直線/被圓M截得的弦長(zhǎng)為2,恰好為圓的直徑，

C項(xiàng)，圓M上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到/的距離都為1,

圓心M（a,O）到直線l:y=x+l^x-y+l=O的距離小于直徑.

±Z￡±1

<2解得：-2>/2-l<a<272-1,故C正確；

D項(xiàng)，由幾何知識(shí)得，

圓上不可能有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離均為半徑1，故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

6.（多選題）已知點(diǎn)A,8為圓O:d+y2=i4上兩動(dòng)點(diǎn)，且|科|=46，點(diǎn)尸為直線/：x+y+12=。上動(dòng)點(diǎn),

則（）

A.圓心。到直線A3的距離為四

B.以AB為直徑的圓與直線/相離

C.NAP3的最大值為g

D.PA.尸3的最小值為38

【答案】ABD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)條件，利用弦長(zhǎng)公式，即可求解；對(duì)于B,利用選項(xiàng)A可得點(diǎn)C在以。為圓心，立

為半徑的圓上，再利用圓的幾何性質(zhì)和直線與圓的位置關(guān)系的判定，即可求解；對(duì)于C,根據(jù)條件找到最

大角，進(jìn)而得最大角小于三，即可求解；對(duì)于D,根據(jù)條件得到24.依=2。2-12,再求出『「L，即可求

解.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,設(shè)A3的中點(diǎn)為C,如圖1,連接OC,AO.

則OC_LAB,|AC|=|BC|=||AB|=2A/3,

所以|oc|=J|AC『_|AC「=J14-12=0,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,由A知，點(diǎn)C在以。為圓心，0為半徑的圓上，又原點(diǎn)。到，：x+y+12=0的距離為

d=*6日

所以點(diǎn)C到直線/的距離的最小值為60-0=50，

因?yàn)?頁(yè)＞2石，故以A3為直徑的圓與直線/相離，所以選項(xiàng)B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,如圖2,當(dāng)直線A3與直線/平行，且0,C,P共線時(shí)，尸為等腰三角形,

此時(shí)|CP|最小，最小值為50,又忸C|=2有，故此時(shí)最大，且/APB=2/CPB,

BC2J3J6J3TT

則所以NCP3<則44尸5＜；,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

C-i5,233

1

對(duì)于選項(xiàng)D,PA-PB=(PC+CA^\PC+CB^=PC+PC\CA+CB^+CACB=PC-^AB"=PC-12,

當(dāng)OP，/,0,C,P共線，且C在0,P之間時(shí)取等號(hào)，|CP1mhi=50，

所以尸APB的最小值為38,所以選項(xiàng)D正確,

故選：ABD.

7.(多選題)已知圓。：/+：/=4,尸是直線/：x+y-6=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線出，P8分別與圓。

相切于點(diǎn)A，B,則()

A.圓。與直線/相離B.|PA|存在最小值

C.|AB|存在最大值D.存在點(diǎn)尸使得ABO為直角三角形

【答案】AB

【分析】求出圓心。到直線的距離判斷A；利用切線長(zhǎng)定理計(jì)算判斷B：利用四邊形面積求得

|AB|=41-—,借助1Poi的范圍求解判斷C；根據(jù)為直角三角形求得|尸。|=2及，根據(jù)圓心到直

線的最小距離即可判斷D.

【詳解】圓O：，+y2=4的圓心0(0,0),半徑牛=2,

對(duì)于A,點(diǎn)。到直線/的距離d=\=3后>2=r,故圓。與直線/相離，正確;

對(duì)于B,\PA\=^|PO|2-|AO|2=JiPOF—戶>&2一/=5,

當(dāng)且僅當(dāng)尸時(shí)取等號(hào)，正確;

對(duì)于C,由PO垂直平分48得，SPAOB=^\PO\\AB\=2SPAO=\PA\\AO\,

2\PA\\AO\_4\PA\4出

則4>|AB]=

|尸。|"\PO\當(dāng)且僅當(dāng)尸時(shí)取等號(hào),

所以不存在最大值，錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由A可知，忸。12d=3&，若ABO為直角三角形，則ZAOP=45,

從而|尸。|=&|4。|=2&,又2&<3&，所以不存在點(diǎn)尸使得AABO為直角三角形，錯(cuò)誤.

故選：AB

8.(多選題)在直角坐標(biāo)系中，M(-l,-1),N(l,3),P(3,-3),2(2,5),則以下判斷正確的是()

A.兒。。為直角三角形B.M,N,P,。依次連起來(lái)是一個(gè)四邊形

C.cosZMP2=^pD.SAPQN~5

【答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件，利用斜率坐標(biāo)公式、兩點(diǎn)間距離公式逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對(duì)于A,直線MP的斜率直線的斜率3。===2,

=即MPQ為直角三角形，A正確；

對(duì)于B,直線的斜率七N===2,點(diǎn)M，N,Q共線，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,在RtAMPQ中，|MP|="W=2君，|PQ|=Vl2+82=>/65.

cosZMPQ=,C正確；

\PQ\13

對(duì)于D,\NQ\=^￥=5S^PQN=^\NQ\-\MP\=5,D正確.

故選：ACD

9.（多選題）已知圓M與直線x+y+2=0相切于點(diǎn)A（0,-2）,圓”被無(wú)軸所截得的弦長(zhǎng)為2,則下列結(jié)論

正確的是（）

A.圓M的圓心在定直線x-y-2=0上B.圓M的面積的最大值為50兀

C.圓M的半徑的最小值為1D.滿足條件的所有圓M的半徑之積為8

【答案】AB

【分析】由直線與圓的相切，可判斷A正確；結(jié)合弦長(zhǎng)可求得圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可判斷B正確，C、D錯(cuò)

誤.

【詳解】由圓M與直線x+y+2=0相切于A（0,-2）,

所以直線40與直線x+y+2=。垂直，

所以直線AM的斜率為1,則點(diǎn)M在直線y=x-2,即x-y-2=0上，故A正確;

設(shè)“(4,0-2),則圓”的半徑/?石4團(tuán)二后江尸=血同，

又圓〃被X軸截得的弦長(zhǎng)為2,

所以2,以-(a-Z)。=lyja1+4?—4=2，解得a=_5或a=].

當(dāng)a=-5時(shí)，圓A1的面積最大，為兀，=50兀，故B正確；

當(dāng)a=l時(shí)，圓M的半徑最小，為血,故C錯(cuò)誤；

滿足條件的所有圓”的半徑之積為50x0=10,故D錯(cuò)誤.

故選：AB.

10.(多選題)經(jīng)過(guò)4(1,0),3(0,1)兩點(diǎn)的曲線。:加+勿2_網(wǎng)=1如圖所示，關(guān)于曲線c,下列說(shuō)法正確

B,曲線C經(jīng)過(guò)的整數(shù)點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)

c.蒼丫的取值范圍均為

D.若點(diǎn)尸在曲線C上，則以。尸為半徑的圓的面積的最大值為2兀

【答案】ACD

【分析】對(duì)于A,將已知點(diǎn)代入方程，可得正誤；對(duì)于B,利用賦值法，由一元二次方程，可得正誤；對(duì)于

C,由一元二次方程根的存在性判別，可得正誤；對(duì)于D,由基本不等式，結(jié)合圓的面積，可得正誤.

ja—]

【詳解】對(duì)于A,將4(1,0)與8(0,1)代入方程加+加2—|孫|=1,可得6=1，故A正確；

對(duì)于B,由A可知曲線。:爐+/-|孫|=1,當(dāng)x=0時(shí)，/=1,解得y=±l；

當(dāng)x=l時(shí)，l+y2-|y|=l,解得產(chǎn)-1或0或1：同理可得當(dāng)x=T時(shí)，y=T或0或1；

當(dāng)兀=機(jī)，時(shí)，trT+y2—\my\=1,即y?±〃少+/_]=0,

由△=7?z2-4（/n2-l）=4-3m2<0,則方程無(wú)解,

綜上可得曲線C經(jīng)過(guò)的整數(shù)點(diǎn)有(0,1),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),(-1,-1),

(-1,0),(-1,1),共8個(gè)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,將曲線C的方程等價(jià)轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程y2±xy+x2-l=0,

則公=/一4(尤2-1)=4一3/20,解得一半,，

同理可得一2叵4y叵，故C正確；

3■3

22

對(duì)于D,/+,2=1+附4匕2+1,當(dāng)且僅當(dāng)國(guó)=忖時(shí)，等號(hào)成立，

22

由尤2+>24與上+1,則/+,242,即OP的最大值為近，所以圓的面積最大值為2兀，故D正確.

故選：ACD.

11.(多選題)已知直線/：%+4>-3=0與圓C：f+y2_8x+6y+16=0,則下列說(shuō)法正確的是()

A.當(dāng)a=2時(shí)，直線/與圓C相交

4

B.若直線/與圓C相切，則。=§

C.圓C上一點(diǎn)尸到直線/的最大距離為標(biāo)+3

D.若圓C上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為2,則。=1

4

【答案】AC

【分析】易知圓心C(4,-3),半徑r=3,由選項(xiàng)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，利用點(diǎn)到直線的距離公式和

兩點(diǎn)之間的距離公式依次計(jì)算即可求解.

【詳解】A：當(dāng)a=2時(shí)，直線/:x+2y-3=0,圓C的方程可化為(x—)?+(y+3)?=9,

所以圓心C(4,一3),半徑r=3,則圓心C到直線/的距離1=

所以直線/與圓C相交，故A正確;

|4-3?-3|4

B：因?yàn)橹本€/與圓C相切，所以圓心C到直線/的距離〃=L"=3,解得。=-二，故B錯(cuò)誤;

C：因?yàn)橹本€/恒過(guò)定點(diǎn)（3,0）,所以圓心C到直線/的最大距離,3-4）2+（0+3）2=用,

則圓C上一點(diǎn)尸到直線/的最大距離為+r=W+3,故C正確；

D：因?yàn)閳AC上恰好有三個(gè)點(diǎn)到直線/的距離為2,

所以圓心C到直線/的距離d'/」=1,解得。=0或a==,故D錯(cuò)誤.

Vl+a24

故選：AC.

12.已知圓C:（x-l）2+（y-2）=1,點(diǎn)A（7,6）,B為圓C上的動(dòng)點(diǎn)，。為無(wú)軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|例+|。目的最

小值為?

【答案】9

【分析】作出點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A（7,-6）,由圓的幾何性質(zhì)可得出\Q^+\QB\=\QA'\+\QB\>\CA'\-r,

即可得解.

【詳解】如下圖所示：

%4

點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A（7,-6）,圓C的圓心為C（l,2）,半徑為廠=1,

由于。為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性知|Q4|=|0A'|,

所以|QA|+|Q3|=|QA|+|2B|>|C4,|-r=J（7-l）2+（-6-2）2-1=9,

當(dāng)且僅當(dāng)8、。分別為線段AC與圓C、x軸的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，

因此，|Q4|+|Q目的最小值為9.

故答案為：9.

13.已知直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（4,2）,且與x軸、丫軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B,當(dāng)卜4取最小值時(shí)，直線/的方

程為.

【答案】>=尤-2或y=-x+6,

【分析】表達(dá)出>-2=MX-4）,得至uic4i=217i,|以|=4"7記，由基本不等式得到的最小

值，得到后=±1,即可得到直線方程.

【詳解】因?yàn)橹本€/與尤軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)8,

所以直線/的斜率存在，可設(shè)直線/的方程為y-2=以尤-4）,

所以A,一：,。），8（0,2-4左），所以|G4|=小匕+4=20+1,|CB|=416+16。=441+1，

所以|04|-|0?|=8，，+1）（1+/）=8小/+,+2216,

當(dāng)且僅當(dāng)公=5時(shí)取等號(hào)，此時(shí)改=±1,

止匕時(shí)直線的方程為y=尤一2或y=-x+6,

故答案為：y=x-2或y=-x+6,

14.已知點(diǎn)M（0,3）,直線尤-母-2=0被圓尤2+/=8所截得弦的中點(diǎn)為N,則|MN|的最大值是.

【答案】V10+1

【分析】先確定點(diǎn)N的軌跡為圓，再根據(jù)圓外一點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最值的求法確定的最大值.

【詳解】如圖：

因?yàn)橹本€X-母-2=0過(guò)點(diǎn)C（2,0）,

設(shè)直線與圓/+，=8相交于A,B兩點(diǎn)，N為中點(diǎn)，則ONLAB.

當(dāng)點(diǎn)N,C重合時(shí)，在RrONC中，。（1,0）為OC中點(diǎn)，所以|DV|==1

所以弦A3的中點(diǎn)N在以。（1,0）為圓心，1為半徑的圓上，易知點(diǎn)C也在該圓上.

所以1MMWMD|+pN|=斤牙+1=加+1.

故答案為：Vio+i

15.已知直線/：y=Mx-2）與圓C:（尤-3）?+/=4交于A,2兩點(diǎn)，過(guò)A2分別作圓C的切線，則這兩條切

線夾角的取值范圍是.

【答案】0,鼻

【分析】根據(jù)直線是否過(guò)圓心進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合直線與圓的相關(guān)性質(zhì)即可求解.

【詳解】當(dāng)直線/過(guò)圓心C時(shí)，兩條切線平行，所以?shī)A角為0,

當(dāng)直線/不過(guò)圓心C時(shí)，如圖，設(shè)兩條切線交于點(diǎn)。，則"=7t-/ACB,

設(shè)點(diǎn)C到直線/的距離為d,因?yàn)橹本€/：y=M尤-2）過(guò)點(diǎn)（2,0）,所以0<d《l

當(dāng)d=l時(shí)，直線/斜率不存在，不符合題意，

所以0<d<l,則cosNZ）=cos（?！猌ACB）=-cosZACB=1—2cos2^^^=1-2（弓）,

綜上，兩條切線夾角的取值范圍是0,1^.

DA

故答案為：0]]

16.定義：min（P,C）表示點(diǎn)尸到曲線C上任意一點(diǎn)的距離的最小值.已知P是圓（尤-仔+尸=9上的動(dòng)點(diǎn),

圓C:/+y2=i,則min（P,C）的取值范圍為.

【答案】[1,3]

【分析】記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，作出圖形，求出|。尸|的取值范圍，即可得出min（C,P）=|OP|-l的取值范圍.

【詳解】記。為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓C的圓心為原點(diǎn)，圓C的半徑為1,

由圓的幾何性質(zhì)可知，min（C,P）=|OP|-l,

^.\AP\-\O^<\OP\<\AP\+\O^,BP3-1<|（9P|<3+1,BP2<|OP|<4,

當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P（-2,0）時(shí)，|O耳取最小值，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸（4,0）時(shí)，|OP|取最大值，

故min（C,尸）=|0日-141,3].

故答案為：[1,3].

17.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為。-2）2+y=1,若直線>=日+1上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為

圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是.

【答案】（一雙；

【分析】根據(jù)圓和圓的位置關(guān)系列式結(jié)合兩點(diǎn)間距離及點(diǎn)到直線距離計(jì)算求參.

【詳解】由題意得圓心C的坐標(biāo)為（2,0）,半徑為1,

設(shè)直線>=區(qū)+1上的點(diǎn)尸（機(jī)〃）滿足條件，

則以點(diǎn)尸（〃4〃）為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，即兩圓相交或相切，

y=kx+l

<x-2)2+/=l

所以04JO-2)2+/42,

所以點(diǎn)P（m,n）到點(diǎn)（2,0）的距離小于等于2,

即點(diǎn)（2,0）到直線y=kx+l的距離小于等于2,

\2k+l\3

所以1/T42,解得左

所以實(shí)數(shù)上的取值范圍是1-咫：,

故答案為：1i003-

18.已知尸為圓C:（x-3）2+（y-4）2=l上一點(diǎn)，A（-l,0）,5（1,0）,則1pli②+|必「的最小值為.

【答案】34

【分析】設(shè)出P（x,y）,利用兩點(diǎn)間距離公式表示|叢『+\PB|2，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得到10H>\OC\-r=4,

進(jìn)而求出最值即可.

【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓心為C（3,4）,半徑為r=1,

貝|]IPA「+陷2=（X+1）2+y2+（X_]）2+y2=212+,2）+2=21PO「+2,

因?yàn)椋?-3）2+（0-4）2>1,所以原點(diǎn)。在圓C外，且因=打+不=5,

則尸以0。—〃=5-1=4,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)尸為線段OC與圓C的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立.

^|PA|2+|PB|2=2|PO|2+2>2X42+2=34.

故答案為：34

19.已知。為常數(shù)，圓（工-。）2+0+。-2）2=戶。>0）與圓尤2+）;2=1有公共點(diǎn)，當(dāng)廠取到最小值時(shí)，。的值

為.

【答案】1

【分析】根據(jù)給定條件，求出兩圓的圓心距，利用兩圓有公共點(diǎn)的條件建立不等式求解.

【詳解】圓(x-a)2+(y+a-2)2=，(r>0)的圓心,半徑r,圓x?+y2=1的圓心(0,0),半徑為1,

由兩圓有公共點(diǎn)，得|一1區(qū)J(q-0)2+(2-a-0jWr+1,

d=7(a-0)2+(2-a-0)2=^2(0-1)~+2>72,當(dāng)且僅當(dāng)。=1時(shí)取等號(hào)，

當(dāng)4=1時(shí)，/取得最小值血,「取得最小值后-1，此時(shí)兩圓外切，滿足兩圓有公共點(diǎn)，

所以當(dāng)「取到最小值時(shí)，。的值為1.

故答案為：1

20.如圖所示是放在平面直角坐標(biāo)系中的太極圖，圖中曲線為圓或半圓，已知點(diǎn)尸(x,y)是陰影部分(包括

邊界)的動(dòng)點(diǎn)，則小的最小值為_(kāi)___.

%—4

【答案】二

【分析】根據(jù)給定條件，利用目標(biāo)式的幾何意義，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系求出最小值.

【詳解】依題意，二二表示點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)4(4,0)確定直線叱的斜率，

令W~^=k,得直線AP：kx-y-4k=0,

無(wú)一4

觀察圖形知，當(dāng)叱與半圓尤2+(y-l)2=1(x20)相切于第一象限時(shí)，女最小,

I—1—4%|Y8V8

此時(shí)左<0,因此J[+]=1,解得％=-卷，所以長(zhǎng)的最小值為q.

故答案為：■-白

專(zhuān)題二：名校直線和圓的方程培優(yōu)壓軸試題精選

1.今年春晚中合唱節(jié)目《玉盤(pán)》至今令人印象深刻，銀幕上的“月亮”元素惟妙惟肖，若將“月亮”的平面形

象看作圓C:尤2+（，-3）2=1,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M（x,y）在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則?的取值范圍是（）

A,12尤,4右）B.卜40,-20）

C.[-20,2行]D.卜s,-20卜[28,+句

【答案】D

【分析】設(shè)k=」，則丫=后，則直線y=后與圓d+（y_3）2=l有交點(diǎn)，所以圓心（0,3）到直線y=后的距

X

3

離解不等式即可.

【詳解】設(shè)左=2,則丫=依，因點(diǎn)河（x,y）在圓元2+（y-3『=i上運(yùn)動(dòng)，且在直線＞="上,

則直線y="與圓/+（廠3）2=1有交點(diǎn),

3_

則圓心（0,3）到直線y=kx的距離而j＜1,解得心_2后或發(fā)22夜,

故?的取值范圍是卜8,-2后卜[2夜,+8）.

故選：D.

2.若曲線三上存在兩點(diǎn)到直線/"-百y-機(jī)=。（機(jī)＞。）的距離為3,則優(yōu)的取值范圍為（）

A.[7,9）B.（6,7]C.（5,6）D.（5,9）

【答案】B

【分析】由。：〉=，一￡+以一3表示圓（工一2）2+尸=1的上半部分,數(shù)形結(jié)合確定直線/到X一6y=o的距離

大于3,到x-gy-1=0的距離小于等于3,再應(yīng)用平行線的距離公式列不等式求參數(shù)范圍.

【詳解】由C:y=J-Y+4尤-3表示圓（了一2）2+;/=1的上半部分,如下圖，

|2-0-加|

當(dāng)圓心C（2,0）到直線I的距離d=---------=1可得根=0或m=4,

Vl+32

若根=0時(shí)，I:x-^3y=0,若根=4時(shí)，I:x-y/3y-4=0,

I祖

當(dāng)直線/過(guò)點(diǎn)（1,。）時(shí)，有耳一71=°，可得利=1，此時(shí)/:x-/y-l=0,

結(jié)合圖知，要使曲線存在兩個(gè)點(diǎn)與直線/的距離為3,且加>0,即直線/必在x-石y=0的右下方,

所以直線/到x-Gy=0的距離大于3,至Ux-百y-1=0的距離小于等于3,

l:x-6y-m=0（m>0）~^x-6y=0的星巨離多>3,貝!]機(jī)>6,

/:x-\Z3y-m=O（7M>O）^x->/3y-l=O的距離43,則0<〃zW7,

所以6〈機(jī)W7.

故選：B

3.已知點(diǎn)A（X],yJ在圓/+丁=9上，點(diǎn)3（々,%）在圓_?+；/=12上，且西9+M%=%T。為坐標(biāo)原

點(diǎn).對(duì)于以下兩個(gè)命題，判斷正確的是（）

①在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)P,使得AP_LBP恒成立；

②三角形OAB面積的最小值為卮.

A.①是真命題，②是真命題B.①是假命題，②是真命題

C.①是真命題，②是假命題D.①是假命題，②是假命題

【答案】A

【分析】對(duì)于①，注意到占X2+%%=X1+X2T=>（占一1）（々-1）+必為=°，

則可想到當(dāng)尸（1,0）時(shí)滿足題意；對(duì)于②，設(shè)A（3cos6>,3sind）,2（26cos/,2gsin@，

則SAOB=3\/3|sin（6>-/?）|,后由占％+%%=%+x?T可得6j5cos（6—6）=3cosd+2於cos￡-l，利用三角函

數(shù)知識(shí)可得卜ina上受,

據(jù)此可判斷命題正誤.

113V3

【詳解】=%+九2-10x\xi一%一巧+1+M%=0n

(石一1)包-1)+%％=°，則當(dāng)尸(1,0)時(shí)，AP=(l-&f),BP=(l-x2,-y2),

AP-BP=(l-A1)(l-%2)+j1y2=0,

即當(dāng)尸(1,0)時(shí)，AP,3P恒成立，則①是真命題；

設(shè)A(3cos43sin8)，5(2百cos12百sin尸)，

則OA=(3cos0,3sin6),OB=(2如cos0,2Gsin@，

..__OAOB6^3cos0cosB+6^3sin0sinB?

VcosZAOB=?————?=---------------------產(chǎn)---------------=cosz\0-p)

乂國(guó)?n網(wǎng)3.273l八

則SAOB-1|OA|\OB\sinZAOB=373|sin(6>->9)|.

因XjX2+x%=%+%-1,

貝！J6A/3cos^cosP+6百sinOsin(3-3cos6+2百cos尸一1,

則6A/3COS(^-=3cos0+2^/3COS/3-1,令6-B=a,

貝!J6gcosa=3cos6+2gcos(e-a)-l,

BP6^cosa=3cos9+2若cos6cosi+2若sinOsina-l,

貝！]6gcos。+l=(3+2也COS。)cos0+2指sinasin0

『十倒』sinajcos(<9—7),其中tany=

6A/3COSa+1

7171,貝i]cos("7)=

ye(倒退2，

252J3+2/cosa)+sina)

6^cos6z+1

因cos(?閆-15，則加+2限。sa”(2氐ina)

2

(66coscr+1

)2<(3+2^cosa『2+(2Ain"2,

Te[0,1]^(673cosa+1

(3+2石cosa)+(2石sina)

.2\cc.222I.IJ22

貝！HO8cos2a<20nl08(l-sina)W20=>sincif>-=>|sina\>—六,

2一7一3V3

則SAOB=3冏sin(e-￡)|=3用sina|z夜，故②是真命題.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于命題①，關(guān)鍵為注意到％*2-%-9+1=(石-1)(%-1)；

對(duì)于命題②，難點(diǎn)在于確定卜布(。-6)|的范圍，為此首先將。-尸看作整體，隨后將，一夕從相關(guān)等式中分離

出來(lái)，最后利用三角函數(shù)的值域確定范圍.

4.函數(shù)-8x+25(05xW4)的最小值為()

A.4B.垣C.2^D.5

32

【答案】C

【分析】當(dāng)?！从萕4時(shí)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線y=3上點(diǎn)尸到直線x-y+3=0的距離與到點(diǎn)4(4,0)的距離之和，

作出圖象，結(jié)合圖象及點(diǎn)到線的距離公式求解即可.

【詳解】解：因?yàn)椤?=*+/1)2+(3-0)2,

當(dāng)尤=0時(shí)，"0)=5：

當(dāng)0＜工《4時(shí)，如圖所示:

設(shè)尸a，3）,C（0,3）,A（4,0）,/PCB=45,PB上CB于B,

則/(x)=|pc|sin^PCB+1/M|=IPB|+1PA|,

由圖可知，|即+|尸山的最小值為點(diǎn)A到直線BC的距離d.

因?yàn)橹本€BC的方程為'=x+3,

即x—y+3=0,

所以d=；=述＜5,

V22

故外力的最小值為差.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線直線＞=3上點(diǎn)尸到直線x-y+3=0的距離與到點(diǎn)A（4,0）的距

離之和.

5.已知直線/:xcosJ+ysinJ+l=0（0eR）,圓C:（x-3）?+（＞-4）?=4,過(guò)/上一點(diǎn)尸作C的兩條切線，切點(diǎn)

分別為M,N,使四邊形RWCV的面積為8近的點(diǎn)P有且僅有一個(gè)，則此時(shí)直線的方程為（）

A.3x+4y—20=0B.9x+12y-65=0

C.ll%+17y-81=0D.19%+23y—129=0

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，可得|PC|=6,且CP，/,由點(diǎn)到直線的距離公式求得cose=|,sine=],進(jìn)而求得直線

/的方程，再求出直線PC的方程，求得點(diǎn)尸的坐標(biāo)，求出以PC為直徑的圓的方程，易知直線跖V是圓C與

以PC為直徑的圓的公共弦所在直線，兩圓方程相減得解.

【詳解】如圖，SPMCN=2x^x2x\PM\=Sy/2,解得1PM=40,

所以|PC|=^|PM|2+|CM|2=J32+4=6,

因這樣的點(diǎn)尸有且僅有一個(gè)，由圖知此時(shí)CP，/,

則圓心。（3,4）到直線/:無(wú)cos8+ysing+l=。的距離為6,

13cose+4sin6+l|,...34

即6=-^ze2T,化簡(jiǎn)得|5sin（9+夕）+1]=6,其中sine=g,cose=,

「.sin（夕+0）=1,貝!J6+0=]+2配（左EZ）,

（71^3,（7114

/.cos8=cos----cp=—,sinc/=sincp=—,

344

所以尤+]y+l=O,即3x+4y+5=0,則直線CP的斜率為

4

所以直線CP：y-4=§(x-3),即4x-3y=。,

3

4%—3y=0

聯(lián)立3-二。,解得

因PC的中點(diǎn)坐標(biāo)為(|,|),且|「。=6,

則以PC為直徑的圓的方程為(X一|J+1>一|：=9,

整理得5/+5y2-12x-16y-25=0,

易知直線是圓C與以PC為直徑的圓的公共弦所在直線,

將兩圓的方程相減得9x+12y-65=0,

故直線MN的方程為9x+12y-65=0.

故選：B.

6.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線.例如曲線：卜1"+?1'=1(〃>0),當(dāng)〃=2時(shí)，是我們熟知的圓；當(dāng)

22

時(shí)，曲線￡：|x戶+|y|3=l是形狀如“四角星”的曲線，稱(chēng)為星形線，常用于超輕材料的設(shè)計(jì).則下列關(guān)于曲

線E說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.曲線E關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)

B.曲線E上的點(diǎn)到X軸，y軸的距離之積不超過(guò)!

O

C.曲線E與|x|+|y|=l有8個(gè)交點(diǎn)

D.曲線E所圍成圖形的面積小于2

【答案】C

22

【分析】對(duì)A,在方程|xp+|yp=i中，以羽-y替代x，y方程不變，可判斷；對(duì)B,由基本不等式求解判斷；

對(duì)C,易得曲線E在W+|y|=l的內(nèi)部，作出圖象判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)；對(duì)D,易求|x|+3=l圍成的正方形面積為

2,又曲線E在|x|+|y|=l的內(nèi)部，得解.

22

【詳解】對(duì)于A,在方程邱+|蘇=1中，以羽-V替代x，y方程不變，所以曲線E關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)，

同理，以一%八-羽-y替代方程均不變，所以曲線E關(guān)于y軸，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如圖，故A正確；

對(duì)于B,曲線E上點(diǎn)（％y）到x軸的距離為國(guó)，到y(tǒng)軸的距離為國(guó)，

由國(guó)：+|y|l=l>2荷.|$=2/（國(guó)而，當(dāng)且僅當(dāng)國(guó)=3時(shí)取等號(hào)，

.小心歸：，故B正確；

O

2222

對(duì)于C,在弟一■象限內(nèi)，+田3=%3+y3=]<x+y,所以曲線E在直線尤+y=1的下方,

所以兩者有4個(gè)交點(diǎn)，分別為（-1,0）,（1,0）,（0,1）,（0,-1）,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,如圖，W+N=l圍成的正方形面積為應(yīng)*&=2，

所以曲線E圍成圖形的面積小于2,故D正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程分析曲線E在第一象限的性質(zhì).

7.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：己知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)A,2及動(dòng)點(diǎn)尸，若=X（4>0且4*1）,

則點(diǎn)尸的軌跡是圓.后來(lái)人們將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，也叫阿氏圓.在平面直角坐標(biāo)系中，。(0,0),

。(0,啦)，直線(：依-y+k+3=0,直線4：x+0+3左+1=0,尸為4，4的交點(diǎn)，則31Poi+IPQI的最小

值為()

A.屈B.6-3忘C.9-3夜D.瓜

【答案】D

【分析】由己知可得乙，4，分別求出44所過(guò)的定點(diǎn)色歹，則點(diǎn)尸的軌跡是以所為直徑的圓，除去點(diǎn)產(chǎn)，

得到尸的軌跡方程，由阿氏圓性質(zhì)找到點(diǎn)。，將轉(zhuǎn)化為31尸O|=|9|,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解到兩定點(diǎn)距離之和

最小即可.

【詳解】當(dāng)左=0時(shí)，4：y=3,Z2：X=-1,此時(shí)/1J./?，交點(diǎn)為尸(-L3),

當(dāng)人聲。時(shí)，直線《的斜率為七直線4的斜率為-；，所以/J4，

K

綜4,

4M(x+1)-y+3=0,所以直線“亙過(guò)點(diǎn)E(-1,3),

%：x+1++3)=0,所以直線/恒過(guò)點(diǎn)尸(T一3),

由P為4，，2的交點(diǎn)，則尸，

設(shè)尸(x,y),連接EF,

則點(diǎn)尸的軌跡是以￡尸為直徑的圓(除去/點(diǎn))，圓心為線段EF的中點(diǎn)C(T,。)，

半徑為r=寫(xiě)=3,故P的軌跡方程為(x+iy+/