安徽省安慶市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期2月檢測(cè)數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合”={(x,y)ly=x},集合N={(x,y)|2x-y=l且x+4y=5},是pwN的

()條件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分又不必要

2.己知2i-3是關(guān)于x的方程2x2+px+4=0(p,qeR)一個(gè)根，則[=()

A.-10B.26C.-26D.13

3.根據(jù)分類變量x與y的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得至I]/=2.974.已知產(chǎn)(/23.841)=0.05,

依據(jù)小概率值。=。.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，以下結(jié)論正確的是()

A.變量x與y獨(dú)立

B.變量X與y獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05

c.變量x與y不獨(dú)立

D.變量X與y不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05

4.在VA3C中sinA=—,sinB=—貝！JcosC的值為（）

16「56c16f56c16.56

A.-----B.—C.—或---D.-----或一

656565656565

5.已知<l,a5<l,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.-l<a<——B.~—<a<0

22

C.0<Q<一D.一<Q<1

22

6.在孟德爾豌豆試驗(yàn)中，子二代基因型為DD,Dd,dd,其中D為顯性基因，d為隱性基因，

且這三種基因型的比為1:2:1,如果在子二代中任意選取2株豌豆進(jìn)行雜交試驗(yàn)，那么子三

代中基因型為dd的概率為()

r、,、S”3〃+2

7.已知分別為等差數(shù)列｛q｝，色｝的前〃項(xiàng)和，冒=赤不，設(shè)點(diǎn)A是直線2c外一點(diǎn)，

點(diǎn)P是直線3c上一點(diǎn)，且再5=胃空點(diǎn)+九正，則實(shí)數(shù)力的值為（）

4

89c221

A.——B.——C.——D.——

25252525

8.設(shè)。是含數(shù)1的有限實(shí)數(shù)集，f（x）是定義在。上的函數(shù)，若/（X）的圖象繞原點(diǎn)逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)g后與原圖象重合，則在以下各項(xiàng)中，F(xiàn)⑴的可能取值只能是（）

6

A.6B.且C.也D.0

23

二、多選題

9.平面。垂直于平面夕，且下列命題正確的是（）

A.平面。內(nèi)一定存在直線平行于平面￡

B.平面a內(nèi)已知直線必垂直于平面夕內(nèi)無(wú)數(shù)條直線

C.平面a內(nèi)任一條直線必垂直于平面夕

D.過(guò)平面。內(nèi)任意一點(diǎn)作交線/的垂線，則此垂線必垂直于平面夕

10.一動(dòng)圓M與。G：x2+y2+6x+8=0,QC2：，+y2-6x=。都相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡

方程可能情形是()

2

A.x2=l(x<-1)B.x-^=l(x>l)

2222

C.---上-=1(尤4-2)D.--^-=l(x>2)

45、745v7

11.扇形的中心角為60。，所在圓半徑為抬，它按如圖I、圖H兩種方式有內(nèi)接矩形

CD跖.已知圖I：矩形CM尸的頂點(diǎn)C。在扇形的半徑OB上，頂點(diǎn)E在圓弧A8上，頂點(diǎn)尸

在半徑Q4上，設(shè)NEOB=6.圖H：點(diǎn)M是圓弧AB的中點(diǎn)，矩形CDEF的頂點(diǎn)RE在圓弧AB

上，且關(guān)于直線對(duì)稱，頂點(diǎn)CI分別在半徑。氏。4上，設(shè)NEOM=g（）

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

AA

E

D

'B

圖I圖n

6

A.圖I矩形CD所面積最大值是2

^

3

B.圖I矩形CDE/面積最大值是

C.圖II矩形CDM面積最大值是6-36

D.圖H矩形COM面積最大值是6-

三、填空題

12.拋物線y=加"？0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.

13.在平行六面體中，底面ASCD是邊長(zhǎng)為。正方形，側(cè)棱AA的長(zhǎng)為6,

且NAAB=ZA.AD=120°,則AQ的長(zhǎng)為.

1-2X

14.已知實(shí)數(shù)％V滿足x<ey<l且yln_x-ylny=F，則,-2x的最小值為.

四、解答題

15.一個(gè)車間有3臺(tái)機(jī)床，它們各自獨(dú)立工作，其中A型機(jī)床2臺(tái)，8型機(jī)床1臺(tái).A型機(jī)

床每天發(fā)生故障的概率為0.1,B型機(jī)床每天發(fā)生故障的概率為0.2.

⑴記X為每天發(fā)生故障的機(jī)床數(shù)，求X的分布列及期望E(X)；

(2)規(guī)定：若某一天有2臺(tái)或2臺(tái)以上的機(jī)床發(fā)生故障，則這一天車間停工進(jìn)行檢修.求某

一天在車間停工的條件下，8型機(jī)床發(fā)生故障的概率.

16.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S”,q=2,q+[=2S“+2(〃wN*)

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式

(2)在an與。用之間插入n個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為4的等差數(shù)列.設(shè)

1

7T=—1+—1+—1+?-?+—

nnGN，求I,；

I^^2^^3f.

22

17.已知雙曲線E:土-匕=1與直線/：丁二履+機(jī)(4。±2)有唯一的公共點(diǎn)加，

416

⑴若/與直線1=半交于點(diǎn)M證明：以MN為直徑的圓過(guò)雙曲線石的右焦點(diǎn);

⑵過(guò)點(diǎn)M且與/垂直的直線分別交x軸，y軸于A(x,0),8(0,y)兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)〃運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)

尸(x,y)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線.

18..如圖，正方形ABC。的邊長(zhǎng)為。，尸，。分別為邊上的點(diǎn).

(1)若ACPQ是等邊三角形，求△AP。的面積

⑵△APQ的周長(zhǎng)為2a,

(i)求ZPCQ的大?。?/p>

(ii)若。=0+1,。是AC的中點(diǎn)，設(shè)S為△PC。的面積，將△AP。沿PQ折成直二面角

A'-PQ-C,求當(dāng)S取最小值時(shí)，直線AP與平面A'。。所成角的正弦值.

19.已知函數(shù)/(x)="-ln(x+?z),其中m21.

(1)設(shè)x=0是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，討論函數(shù)A》)的單調(diào)性；

(2)若＞=/(尤)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)七和馬,且玉＜。＜/，

(i)求參數(shù)m的取值范圍；

V1

(ii)求證：e*—ln(x2—xl+l)＞e—1.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

《安徽省安慶市第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期2月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BBADCADBABACD

題號(hào)11

答案AC

1.B

【分析】根據(jù)條件可得N曙由此可得答案.

,[2x-y=l,(x=l

【詳解】由/,得，J

[x+4y=5[>=1

?.?N={(U)},

:.N窿M,

:“M是pwN的必要不充分條件.

故選：B.

2.B

【分析】將x=2i-3代入方程可得(2p-24)i+10—3p+q=0,進(jìn)而列方程組求解即可.

【詳解】將尤=2i—3代入方程2x2+px+夕=0,

W2（2i-3）2+^（2i-3）+^=0,

即（2p-24）i+10-3/7+q=0,

2〃-24=0

所以解得P=12應(yīng)=26.

10—3p+q=0

故選：B.

3.A

【分析】根據(jù)42=2.974<3.841作出判斷.

【詳解】由于/=2.974<3.841,故變量1與V獨(dú)立，A正確，BCD均錯(cuò)誤.

故選：A

4.D

IT

【分析】根據(jù)正弦值的大小分析可得0<A<?<8,進(jìn)而求cosA,cos8,再根據(jù)

4

cosC=-cos(A+B)結(jié)合兩角和差公式運(yùn)算求解，注意cosB的符號(hào).

答案第1頁(yè)，共15頁(yè)

【詳解】因?yàn)?<也<±，BPsinA<sin—<sinB,可知0<A<￥<5,

132544

且sinA=—,sinB=—,則cosA=Jl-sin2A=—,cosB=±Vl-sin2B=±—,

135135

-J-Pn4_/曰/.n\An..n1235416

右cosB=—,可得cosC=一cos（A+B）=-cosAcosB+smAsmB=-----x—H——x—=------；

513513565

若cos5=-3,可得cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB+sinAsinB=-x—+—x—=—；

5V713513565

綜上所述：cosC的值為-普或If.

6565

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得，的取值范圍.

【詳解】???指數(shù)函數(shù)y=在R上為減函數(shù)，

,'由出<1=出得,a>Q，

?.?累函數(shù)v-1在R上為增函數(shù)，

y-x

??由Q§<]=]3倚,a<l,

0<<1,

；?10g|4g<1可化為log”!<1=log/,

0<4<1時(shí)，指數(shù)函數(shù)y=log0X在（。,+8）上為減函數(shù)，

**?0<Q<—.

2

故選：C.

6.A

【分析】由條件概率與全概率公式求解即可.

【詳解】記事件3：子三代中基因型為血，因父本中含。。時(shí)子三代為血的概率為0,故

父本基因選擇如下：

記事件A：選擇的是Dd,記事件4：選擇的是如、dd,記事件4：選擇的是Dd、

dd,

答案第2頁(yè)，共15頁(yè)

則尸（4）=Lx』=L,F（A,）=—x—=—,P（>l3）=2x—x—=—,

'"224'）44163424

在子二代中任取2株豌豆雜交，分以下三種情況討論：

若選擇的是A/、Dd,則子三代中基因型為dd的概率為；P（B|A）=；，

若選擇的是面、dd,則子三代中基因型為面的概率為；尸（冏4）=1,

若選擇的是dd,則子三代中基因型為㈤的概率為P（B|A）=g.

綜上，P（B）=尸（A）?尸（B|A）+P（4>P（8|4）+P（A）?尸（3%）

因此，子三代中基因型為㈤的概率是

故選：A.

7.D

【分析】設(shè)邑=（3〃+2）〃匕r=（4"+5）〃左，利用三點(diǎn)共線得號(hào)&+幾=1,根據(jù)等差數(shù)列

的性質(zhì)求得，可得答案.

4

（3〃+2）成

【詳解】■=（女工0）,不妨設(shè)邑二（3〃+2）成工=（4〃+5）成，

（4〃+5）成

因?yàn)镻,民C三點(diǎn)共線，所以空&+彳=1,

%+。7X7

所以字+1/和法二2

------x5

2

7M21+2)5_23

----7------TX-=

5M20+5)725

2aA.46.,,21

所以"+'=行+'=1"=一石

故選：D.

8.B

【分析】利用函數(shù)的定義即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意得到：?jiǎn)栴}相當(dāng)于圓上由12個(gè)點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)￡JT個(gè)單位

0

后與下一個(gè)點(diǎn)會(huì)重合.

答案第3頁(yè)，共15頁(yè)

我們可以通過(guò)代入和賦值的方法當(dāng)f（1）=6，B,o時(shí)，此時(shí)得到的圓心角為工，

0,然而此時(shí)x=0或者x=l時(shí)，都有2個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個(gè)

x只能對(duì)應(yīng)一個(gè)y,因此只有當(dāng)x=白，此時(shí)旋轉(zhuǎn)?，此時(shí)滿足一個(gè)x只會(huì)對(duì)應(yīng)一個(gè)y,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的定義，即“對(duì)于集合A中的每一個(gè)值，在集合B中有唯一的元素與

它對(duì)應(yīng)”（不允許一對(duì)多）.

9.AB

【分析】根據(jù)面面垂直、線面垂直、以及線線垂直的判定和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，

即可判斷和選擇.

【詳解】對(duì)A：因?yàn)?u面則平面a內(nèi)只要是平行于/的直線，都平行于平面故A

正確；

對(duì)B：在平面夕內(nèi)作直線/的垂線機(jī)，則修_1面。，則"?垂直于平面。的任意直線；

故平面。內(nèi)已知直線必垂直于直線加，以及與冽平行的無(wú)數(shù)條直線，故B正確；

對(duì)C：平面。內(nèi)垂直于兩平面交線/的直線才垂直于平面￡,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：過(guò)平面a內(nèi)，且在交線/外的一點(diǎn)作交線/的垂線，則此垂線必垂直于平面夕，故D

錯(cuò)誤；

故選：AB.

10.ACD

【分析】求出圓C|、圓G的圓心坐標(biāo)和半徑，討論圓Af與兩圓的位置關(guān)系，結(jié)合雙曲線的

定義可得結(jié)果.

【詳解】由題意得，圓方程可化為（尤+3『+/=1,故G（_3,0）,圓G半徑4=1,

圓G方程可化為（尤一3）2+丁=9,故G（3,。），圓G半徑々=3,

.?.兩圓的圓心距rd=6,

由CG|＞石+4得兩圓相離，設(shè)動(dòng)圓〃的半徑為R,圓心

答案第4頁(yè)，共15頁(yè)

M

Oc2

圖1圖2

①如圖1,當(dāng)動(dòng)圓M與圓C］外切，與圓C2內(nèi)切時(shí)，陽(yáng)。1|=尺+1,|加。2|=尺-3,故

\MQ\-\MC2\=4<6,

根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以G（-3,0）,G（3,o）為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其中

%=2,c=3,故偽=J9-4=亞，

2

點(diǎn)M的軌跡方程為M-上=1（x22）,選項(xiàng)D正確.

45

②如圖2,當(dāng)動(dòng)圓M與圓C|內(nèi)切，與圓C2外切時(shí)，|MCJ=R-I,|MC2|=R+3,故

|MGHMG|=4<6,

此時(shí)點(diǎn)M的軌跡是以G（-3,0）,G（3,o）為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，結(jié)合①可知點(diǎn)M的軌跡

③如圖3,當(dāng)動(dòng)圓M與圓C1,C2均外切時(shí)，|MG|=R+1,|MC?|=R+3,故附G|-|MG|=2<6,

此時(shí)點(diǎn)M的軌跡是以G（-3,0）,G（3,。）為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，其中出=Lc=3,故

&2=19-1=2A/2,

,2

???點(diǎn)M的軌跡方程為一=l（x<-l），選項(xiàng)A正確.

8

④如圖4,當(dāng)動(dòng)圓M與圓G，G均內(nèi)切時(shí)，|崢|=氏—1，|加。2卜R—3,故|MG|TMG|=2<6,

答案第5頁(yè)，共15頁(yè)

此時(shí)點(diǎn)M的軌跡是以G(-3,0),G(3,o)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，結(jié)合③可知點(diǎn)M的軌跡

2

方程為=1(x21),選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

故選：ACD.

11.AC

【分析】分別用角夕、。表示出矩形的面積SCDEF=^sin(26+巴)——-,

o2

S3F=6sin(2e+：)-36,再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得最大值即可判斷選項(xiàng).

【詳解】如圖I所示，在直角AO即中，

由扇形AOB的中心角為60。，所在圓半徑為行，

可得QD=Jocose,ED=CF=V3sin61.

又CD=OD-OC=6cos。--0二=7§cose-sine,

tan60°

所以So?所=EDCD=石sine(V§cos6-sine)=Ssinecose-Gsin?。

當(dāng)26+6=^,即8=弓時(shí)，

矩形CDEP的面積最大，最大值為".

2

如圖n所示，設(shè)直線分別交OE,C尸于點(diǎn)N,尸,

圖II

由/E0M扇形AOB的中心角為60。，所在圓半徑為名,

則EN=FP=忘inR,于是ED=2J§sinO，

又CD=PN=ON-OP=yficosm---=6c°s（p-3sinc?,

tan30°

2

所以SCDEF=ED?CD=2指sin夕（V5cos。-3sin。）=6sin^cos^>-6V3sin^

答案第6頁(yè)，共15頁(yè)

=3sin20-3^3(1-cos2°)=6sin120+yj-3^3,

當(dāng)功+g=g時(shí)，即。二看時(shí)，矩形。￡史尸的面積最大，最大值為6-36.

3乙12-

故選：AC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于結(jié)合圖形特點(diǎn)及三角恒等變換公式將矩形CDEb的面積

表示出來(lái)，進(jìn)而求解即可.

i2-

【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式再讀取焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐=工＞,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，：］

故答案為：

13.42a2-2"+及

【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算來(lái)求得正確答案.

【詳解】AC^AB+AD+A^,Aq2=(AB+AD+AA^

222

=AB+AD+AAt+2AB-AD+2AB-A^+2AD-A^

—Q2+a2+/—ab—ab—2a?—2ab+Z??,

所以|猬卜y/2a2-2ab+b2.

故答案為：y/2a2-2ab+b2

14.2-21n2

【分析】首先通過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則對(duì)已知等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)/(%),利用導(dǎo)數(shù)判斷其單

YY

調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)值相等及單調(diào)性得到In—與x的關(guān)系，進(jìn)而得到--2x關(guān)于尤的表達(dá)式,

yy

構(gòu)造新函數(shù)g(x),通過(guò)求導(dǎo)判斷其單調(diào)性來(lái)求解最小值.

答案第7頁(yè)，共15頁(yè)

/X尤2l1n-XXIn*X

【詳解】Y加^一旦以二丁,;.加一==,.?.—^=—,即_Z=土，

e>e二e*如上/

ye,

設(shè)〃x)=g，則上式表明/卜n：［=/(x),

求導(dǎo)得/(6=乓,當(dāng)0<x<l時(shí)，了'(力>0"("在(0,1)上單調(diào)遞增，

由于Ovxveyvl

YYY

In—=x,.?.—=e',--2x=e'-2x,令g(x)=e*—2x(x<l),

g<x)=e*-2,當(dāng)0<x<ln2時(shí)，g'(x)<O,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)l>x>ln2時(shí)，g(x)>O,g(x)

單調(diào)遞增，

g(x)min=g(ln2)=2-21n2.

故答案為：2-ln2.

15.(1)分布列見解析,0.4；

⑵N

23

【分析】(1)求出X的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望；

(2)根據(jù)給定條件，利用條件概率公式計(jì)算即得.

【詳解】(1)X的可能值為0,1,2,3,

P(X=0)=(l-0.1)2x(l-0.2)=0.648,

P(X=l)=2x(l-0.1)x0.1x(l-0.2)+(1-0.1)2x0.2=0.306,

=2)=0.12x(1-0.2)+2x(1-0.1)x0.1x0.2=0.044,

=3)=0.12x0.2=0.002,

所以X的分布列為：

X0123

P0.6480.3060.0440.002

期望E(X)=Ox0.648+1X0.306+2x0.044+3x0.002=0.4.

(2)記事件A為“車間停工”，事件3為8型機(jī)床發(fā)生故障”,

答案第8頁(yè)，共15頁(yè)

貝(JP(A)=P(X=2)+P(X=3)=0.046,P(AB)=0.1x(l-0.1)x0.2x2+0.12x0.2=0.038,

P(AB)0.03819

因此P(B|A)=

P(A)-0.04623

所以某一天在車間停工的條件下，區(qū)型機(jī)床發(fā)生故障的概率為二1Q.

16.(1)%=2X3〃T

⑵5y

【分析】（1）由。的關(guān)系，作差即可求解；

（2）由題意得到力=生二，再結(jié)合錯(cuò)位相減法求解即可；

Z7+1

【詳解】（1）解：當(dāng)“22時(shí)，由a向=21+2可得%=2S“T+2,

上述兩個(gè)等式作差可得an+l-an=2an,可得an+l=3a?,

a2=2St+2=2at+2=6,又4=2,滿足。=3,

所以，數(shù)列｛%｝是以2為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，故%=2x3"。

(2)解：0)由題意可得4=%+「4-=2*3"_2*3"1=生］

〃+1〃+1n+1

二匚八【7234n+1

所以‘(=時(shí)+￡？+中+…+1F'

n

則!T=^-T+^-T+---+

3〃4x314x324X3〃T4X3〃

上述兩個(gè)等式作差得

52/+5

8-8x3"

因此’片73

17.（1）證明見解析

22

⑵^-去=1（〉工0）,軌跡是焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為20,虛軸長(zhǎng)為10的雙曲線（去掉兩

個(gè)頂點(diǎn)）

【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程消去九可得x的一元二次方程，利用△=（）,可得

答案第9頁(yè)，共15頁(yè)

/=4（攵2—4）,可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而可得N的坐標(biāo)，計(jì)算成7.麗可得結(jié)論.

（2）過(guò)點(diǎn)M且與/垂直的直線方程為y+3=-；（x+竺］,可得尤=_迎,>=_也,

消去

mmJmm

參數(shù)可得點(diǎn)P（x,y）的軌跡方程.

【詳解】（1）聯(lián)立方程416―’

y=kx+m,

2

可得（4一女2）%2-2Amx-m-16=0,

因?yàn)橛形ㄒ还颤c(diǎn)且左w±2,

則A=4左2療—4（4-左2）（_病-16）=0,

整理得病=4（公-4）,

一AR一/km4m）

可解侍點(diǎn)

其中km^Q.

即El/LKV,即以MN為直徑的圓過(guò)雙曲線E的右焦點(diǎn).

（）由（）知，過(guò)點(diǎn)且與/垂直的直線方程為；4k

21My+3=-XH-----

mkm

20k20k20

可得A,P

mmm

20k20

即Rn％=----,y=—

mm

2八

E2400左2400fm呼=1。。+4y2,

貝|「尤二———7-------+4=100+

mm,'214m

答案第10頁(yè)，共15頁(yè)

即二—二=1,其中ywO,

10025

22

所以點(diǎn)尸（x，y）的軌跡方程是工-乙=1（力0）,軌跡是焦點(diǎn)在X軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為20,虛軸

10025■

長(zhǎng)為10的雙曲線（去掉兩個(gè)頂點(diǎn)）.

18.⑴（2一⑹/

⑵⑴45。；（ii）專

【分析】（1）根據(jù)幾何性質(zhì)可得？OCQ?BCP15°,由此得到￡＞。=82=（2-出“，表示

AP,A。即可得到答案.

（2）（i）設(shè)BP=x,DQ=y,?BCPa,?DCQ匕，根據(jù)條件結(jié)合兩個(gè)和的正切公式可得

tan（a+R）=l,由此可得結(jié)果.

（ii）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可得線面所成角的正弦值.

【詳解】（1）二?四邊形ABC。為正方形，ACPQ是等邊三角形，

CD=CB,CQ=CP,?CDQ?CBP90。,？PCQ60,

/.cos?DCQ—=—=cos?BCP,

CQCP

由彳力CQ,5CP?(0°,90°)^?￡>CQ1BCP15°.

Vtanl50=tan(600-45o)=^-^=2-A/3,,.-^=—=2-V3,BPDQ^BP=(2-

(71+6CDCBI

AP=AQ=a-(2-G)a=(若-1)a,

△的面積為：。()

???APQAP?A2-73a1.

(2)(i)設(shè)BP=x,DQ=y,2BCPa,?DCQb,貝IjAP=a-羽AQ=a-y,

△APQ的周長(zhǎng)為2〃，PQ=2a-(a-x)-(a-y)=x+y,

在直角三角形APQ中，由尸Q2=AQ2+AP得，（x+y）2=（a_x）2+g_y）2,整理得,

a(x+y)=。2-xy,

3

,.x7y.，/7\tana+tanb*+y)_[

?tantz=—,tanZ?=—,,?tan(〃+Z?)=-----------------=―a—―a=

aa')1-tanatanb]a2-xy'

aa

答案第11頁(yè)，共15頁(yè)

VO<a+/3<90,：.a+/3=45°,故NPCQ=90。-45。=45。.

（ii）由（i）知ZPCQ=45°,設(shè)/8CP=a,0。<a<45。，則ZDCQ=45°-a,

CB1+V2CD_1+也

cosacosa'cos（45°-a）cos（450-a）

（1+后（1+回2

AS=1-CP-Cg-sin450

20cosa?cos（45。-a）2sinacosa+2cos2a

（l+>/2）2（1+忘）2

sin2a+cos2a+1l+VIsin（2a+45°）

V00<a<45c,/.45°<2。+45°<135°,

當(dāng)2a+45。=90。時(shí)，sin（2e+45。）有最大值，最大值為1,此時(shí)S有最小值,

當(dāng)S取最小值時(shí)，NBCP=NDCQ=225,且CP=CQ="亞

~cos22.5°

由tan45。=、1,四'=匕門22.5>0得，tan225=應(yīng)-1,

1-tan222.5°

BP=r>2=??tan22.5°（及+1）?（01）=1,AP=AQ=0,PQ=42AP=2.

如圖，取尸。中點(diǎn)H,連接AH,S,則四人PQ,C”人PQ,故A,H,O,C四點(diǎn)共線,

由折疊得，A'H±PQ,故/A"C為二面角A'-PQ—C的平面角，

且A”=A組=；PQ=1,OH=AO-AH=；AC-AH=與（四1）-1=^.

?.?二面角A-PQ-C為直二面角，A'"_LC",故直線A酎,P。,CH兩兩垂直.

答案第12頁(yè)，共15頁(yè)

*

///"/

。HP%

如圖，以目為原點(diǎn)，分別以麻，加，麗的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(O,O,l),P(1,O,O),2(-1,0,0),O1當(dāng)

...褥,破=A^d=

w2

A'Qn=-x-z=0

設(shè)平面AOQ的法向量為。=(%y,z),則＜

----J2

AO-h=--y-z=0

令y=2,貝!Jx=_0,z=0,故"=(_后,2,后)，

I/.a|AP司2J2J2

設(shè)直線ArP與平面AOQ所成的角為凡則sin3=|cos(^P,力卜L__U=垃\'，

直線AP與平面A