2026全國(guó)版高考數(shù)學(xué)一輪

10.2離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差

五年高考

考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差

1.(2020課標(biāo)歷理,3,5分，易)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為pimgg,且

4

%=1口=1,則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()

A./?I=T74=0.1必=23=0.4

B.pi=04=0.4,22=23=0.1

C.0=P4=O.2,2=。3=0.3

D.pi=p4=0.3,2=，3=0.2

2.(2019浙江,7,4分，中)設(shè)0<a<l,隨機(jī)變量X的分布列是

X0a1

111

P

333

則當(dāng)。在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，()

A.D(X)增大

B.D(X)減小

C.D(X)先增大后減小

D.D(X)先減小后增大

3.(2021浙江,15,6分，中)袋中有4個(gè)紅球，加個(gè)黃球那個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的

紅球數(shù)為卷若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為:，一紅一黃的概率為；，則

63

m-n=二.

4.(2022全國(guó)甲理,19,12分，中)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目

勝方得10分,負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知

甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

5.(2021新高考/,18,12分，中)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類問(wèn)題.每位參加

比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同

學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否,

該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分,否則得0分;B類問(wèn)題中的每個(gè)

問(wèn)題回答正確得80分,否則得0分.

已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確

回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

⑴若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題?并說(shuō)明理由.

6.(2022北京」8,13分，中)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)

達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主,

收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī),并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):

甲980,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;

乙978,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;

丙985,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

⑴估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

⑵設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX;

(3)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大?(結(jié)論不要求證明)

7.(2021新高考〃,21,12分，難)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這

種微生物為第0代,經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……該微生物每

代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)

數(shù)，尸(X=，)=pt(i=0,l,2,3).

(1)已知po=O.4,pi=0.3,2=0.2,03=0.1,求E(X);

⑵設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率,是關(guān)于x的方

^:po+pix+p2^+p3^=x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證:當(dāng)E(X)<1時(shí)夕=1,當(dāng)E(X)>1時(shí),P<1;

(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

三年模擬

基礎(chǔ)強(qiáng)化練

1.（2025屆廣東適應(yīng)性測(cè)試,3）已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示:

□01

1mn

若P(癥0尸點(diǎn)且2X+y=l廁D(Y)=（）

A.—B.—C.-

18189

2.（2025屆重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校第三次考試,7）為迎接中秋佳節(jié),某公司開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則

如下:在不透明的容器中有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，每位員工從中摸出2

個(gè)小球.若摸到一紅球一白球，可獲得價(jià)值a百元代金券;摸到兩白球，可獲得價(jià)值b百元代

金券;摸到兩紅球，可獲得價(jià)值ab百元代金券（a/均為整數(shù)）.已知每位員工平均可得5.4百

元代金券，則運(yùn)氣最好者至多獲得百元代金券.（）

A.5.4B.9C.12D.18

3.（多選）（2025屆湖南長(zhǎng)沙周南中學(xué)期中,9）盒中有3個(gè)球，其中1個(gè)紅球,2個(gè)黃球.從盒中隨

機(jī)取球，每次取1個(gè),不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為J,E?、D（O

分別為隨機(jī)變量^的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（f=0）=|B.E?=1

C.E（3f+l）=3D.D（3f+l）=6

4.（2024湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)、浙江杭州二中、江蘇師大附中三校聯(lián)考,13）已知4件產(chǎn)品中

有2件次品，逐個(gè)不放回檢測(cè)，直至能確定所有次品為止，記檢測(cè)次數(shù)為X.則

E（X）=.

5.（2025屆云南昆明師大附中期中,15）甲袋中裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙袋中裝有1個(gè)紅

球、3個(gè)白球.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2,從甲袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球;如果

點(diǎn)數(shù)為3,4,5,6,從乙袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球.

⑴記摸出紅球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）;

（2）已知摸出的2個(gè)球是1紅1白，求這2個(gè)球來(lái)自乙袋的概率.

能力拔高練

1.（2024廣東廣州天河綜合測(cè)試（二）,8）設(shè)103I<X2<X3<X4<X5S50,隨機(jī)變量酊取值

X1,X2,X3,X4,X5的概率均為0.2,隨機(jī)變量h取值叼詈產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)：叫廣產(chǎn)產(chǎn)的概率也均為o'

若記。哈）刀?）分別為之專的方差，則（）

A.D（6）<D（a）

B.D?）=D@）

c.D（a）>D（a）

D.￡>（41）與￡）（a）的大小關(guān)系與X1,X2,X3,X4,X5的取值有關(guān)

2.（2025屆湖北武漢重點(diǎn)校第一次聯(lián)考,17）為倡導(dǎo)節(jié)能環(huán)保，實(shí)現(xiàn)廢舊資源再利用,小明與

小亮兩位小朋友打算將自己家中的閑置玩具進(jìn)行交換，其中小明家有2臺(tái)不同的玩具車和

2個(gè)不同的玩偶，小亮家也有與小明家不同的2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶，他們每次等可能地各

取一件玩具進(jìn)行交換.

⑴兩人進(jìn)行一次交換后，求小明仍有2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶的概率；

⑵兩人進(jìn)行兩次交換后，記X為“小明手中玩偶的個(gè)數(shù)”，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

創(chuàng)新風(fēng)向練

（創(chuàng)新知識(shí)交匯）（2024浙江五校聯(lián)盟聯(lián)考,17）記復(fù)數(shù)的一個(gè)構(gòu)造:從數(shù)集｛0,1,6｝中隨機(jī)取

出2個(gè)不同的數(shù)作為復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部.重復(fù)n次這樣的構(gòu)造，可得到n個(gè)復(fù)數(shù)，將它們的

乘積記為Z".已知復(fù)數(shù)具有運(yùn)算性質(zhì):|（a+歷）?（c+di）|=|（a+bi"|（c+di）|,其中a,b,c,d^R.

⑴當(dāng)n=2時(shí)，記㈤的取值為X,求X的分布列；

⑵當(dāng)n=3時(shí),求滿足團(tuán)區(qū)2的概率；

⑶求閡＜5的概率Pm

10.2離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值、方差

五年高考

考點(diǎn)離散型隨機(jī)變量及其分布列、均值與方差

1.(2020課標(biāo)加理,3,5分，易)在一組樣本數(shù)據(jù)中,1,2,3,4出現(xiàn)的頻率分別為21必?3,4,且

4

乙=1跖=1,則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是()

A./?I=T74=0.1,/?2=7?3=0.4

B.pi=p4=0.4,p2=/73=0.1

C.pI=/?4=0.2,p2=p3=0.3

D.0=p4=O.3,2=7?3=O.2

答案B

2.(2019浙江,7,4分，中)設(shè)0<a<l,隨機(jī)變量X的分布列是

X0a1

111

p

333

則當(dāng)。在(0,1)內(nèi)增大時(shí)，()

A.D(X)增大

B.D(X)減小

C.D(X)先增大后減小

D.D(X)先減小后增大

答案D

3.(2021浙江,15,6分，中)袋中有4個(gè)紅球,加個(gè)黃球/個(gè)綠球.現(xiàn)從中任取兩個(gè)球，記取出的

紅球數(shù)為若取出的兩個(gè)球都是紅球的概率為巳一紅一黃的概率為2則

63

m-n=,E?=.

答案1;1

4.(2022全國(guó)甲理,19,12分，中)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目

勝方得10分,負(fù)方得0分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知

甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

⑴求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

⑵用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

解析⑴記“甲學(xué)校在第，個(gè)項(xiàng)目獲勝”為事件4(0,2,3),“甲學(xué)校獲得冠軍”為事件E.

xxxxxx

則P(E)=P(AlA2A3)+P(AlA2A3)+P(AiA2A3)+P(A1A2A3)=^fjf|+j||+

1243

-X-X-=

2555

???甲學(xué)校獲得冠軍的概率為*

(2)記“乙學(xué)校在第j個(gè)項(xiàng)目獲勝”為事件為0=1,2,3).

X的所有可能取值為0,10,20,30.

則P(X=0)=尸(瓦瓦瓦片X|xg=2

,

P(X=10)=P(JBIB2B3)+P(B1B2B3)+/(B1B2B3)

12413412111

=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—

25525525525

P(X=20)=P(BTB2B3)+P(B12B3)+P(BRB3)

=-x-x-+-x-x-+-x-x-=

25525525550'

P(X=30)=P@B2B3)WX|X|=^-.

乙DDDU

.?.X的分布列為

411177

.,.E(X)=0x—+10x—+20x—+30x—=13.

5.(2021新高考/,18,12分,中謀學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A,B兩類問(wèn)題.每位參加

比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同

學(xué)比賽結(jié)束;若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否,

該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分,否則得0分;B類問(wèn)題中的每個(gè)

問(wèn)題回答正確得80分,否則得0分.

已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6,且能正確

回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

(1)若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

⑵為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題?并說(shuō)明理由.

解析(1)由題易知X的所有可能取值為0,20,100,

P(X=0)=1-0.8=0.2,

P(X=20)=0.8x(l-0.6)=0.32,

P(X=100)=0.8x0.6=0.48,

所以X的分布列為

(2)由(1)可知E(X)=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

假設(shè)小明先回答B(yǎng)類問(wèn)題，其累計(jì)得分為匕則y的所有可能取值為0,80,100,

P(y=0)=l-0.6=0.4,

P(y=80)=0.6x(l-0.8)=0.12,

P(y=100)=0.6x0.8=0.48,

所以y的分布列為

所以E(y)=0x0.4+80x0.12+100x0.48=57.6,

所以E(D>E(X),

所以小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問(wèn)題.

6.(2022北京,18,13分，中)在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績(jī)

達(dá)到9.50m以上(含9.50m)的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測(cè)獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主,

收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī),并整理得到如下數(shù)據(jù)(單位:m):

甲980,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;

乙978,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;

丙985,9.65,9.20,9.16.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立.

⑴估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；

⑵設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望EX;

⑶在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中，甲、乙、丙誰(shuí)獲得冠軍的概率估計(jì)值最大?(結(jié)論不要求證明)

解析⑴甲以往參加的10次比賽中，有4次比賽成績(jī)達(dá)到獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的標(biāo)準(zhǔn)，則甲得優(yōu)秀

獎(jiǎng)的概率P=±=|.

105

⑵隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,設(shè)甲、乙、丙獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)分別為事件A,3,C,則

43c4萬(wàn)e相互獨(dú)立，且P(A)=|,P(B)=P(O=pP(Z)=l-P(A)=l-|=|,P(B)=P(C)=i

則尸(X=0)=尸(彳BQ=Pa)P(S)P(C)=|x|x|=^

P(X=1)=P(ABC)+P(ZBC)+P(ZB0=P(4)P(B).尸(C)+P(2)尸(3)P(C)+P(a)P(B)P(O、x

11,311,31182

-X—|—X—X—|—X—X———；

22522522205

P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(>1BC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(i4)P(B)P(C)=-x-x

—1I,—2X1—X1—,|—3X1—x1-=7—

252252220

211I

P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=wx5xw=行

故X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x—+lx-+2x-+3x-=-.

20520105

⑶丙.

詳解:乙奪冠的概率為P(乙戶三x2x2+3x3x^+3x2x%+%x三x3+3x^x^=U,

V76104652652610265248

丙奪冠的概率為P(丙)=；+；x：x；=亮

445612

甲奪冠的概率為P(甲)=1。-a=焉

1Z4o1O

產(chǎn)(丙)最大，所以丙奪冠的概率最大.

7.(2021新高考〃,21,12分，難)一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這

種微生物為第0代,經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……該微生物每

代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)

數(shù),P(X=i)=M?=0,1,2,3).

(1)已知20=0.4必=0.3,02=0.2,3=0.1,求E(X);

⑵設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率,是關(guān)于x的方

程:po+pix+Qi^+ps/r的一個(gè)最小正實(shí)根，求證:當(dāng)E(X)<1時(shí),=1,當(dāng)E(X)>1時(shí),p<l;

⑶根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

解析(l)E(X)=0x0.4+lx0.3+2x0.2+3x0.1=l.

(2)設(shè)y(x)=p3X3+z?2%2+(7?i-1)x+po,

由題易知p3+p2+p\+po=l,

故fix)=p3X3+piT-(p2+po+p3)x+po,

f'(X)=3p3X1+2p2X-(p2+po+p?,),

E(X)=O-po+l-pi+2-p2+3-p3=pi+2p2+3p3,

若E(X)W1,則21+2夕2+303口,故pi+2p3<po,

因?yàn)閺V(0)=-①2+po+p3)<O,

f'(l)=P2+2p3-po<O,

所以/'(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)X1,X2,且%1<0<1<%2,

當(dāng)xe(-oo,xi)U(x2,+oo)時(shí)J'(x)>0,

當(dāng)X@(X1,X2)時(shí)J'(x)<0,

故兀t)在(-00,Xl),(X2,+ce)上為增函數(shù)，

在(XI,X2)上為減函數(shù)，

若X2=l,因?yàn)殪?在(%2,+00)上為增函數(shù)，在(X1,X2)上為減函數(shù)，且汽1)=0,

所以在(0,+8)上，小巨"2)=/⑴=0,

故1為關(guān)于X的方程:po+pix+22f+23/=》的一個(gè)最小正實(shí)根，即2=1,故當(dāng)E(x)<\時(shí),p=L

若X2>1,因?yàn)榘?)=0且段)在(0,X2)上為減函數(shù)，

故1為關(guān)于X的方程:po+pix+pi^+p^r的一個(gè)最小正實(shí)根.

綜上，若E(X)W1,則p=l.

若E(X)>1,則“+2P2+3夕3>1,則p2+2p3>po,

此時(shí)f'(O)=-(p2+po+p3)<O,f'(l)=p2+2p3-po>O,

故/'(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)X3X4且%3<0<%4<1,

故加0在(-00,X3),(X4,+8)上為增函數(shù)，在(X3,X4)上為減函數(shù)，

而加)=0,故於4)<0,

又汽0)=夕0>0,所以於)在(0,仙)上存在一個(gè)零點(diǎn)比,且%0<1,

所以X0為關(guān)于X的方程而+2j+夕加+依/二》的一個(gè)最小正根，即2<1,故當(dāng)E(X)>1時(shí),p<l.

⑶意義:若一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1,則若干代后會(huì)臨近滅絕，若繁殖后

代的平均數(shù)超過(guò)1,則若干代后還有繼續(xù)繁殖的可能.

三年模擬

基礎(chǔ)強(qiáng)化練

1.（2025屆廣東適應(yīng)性測(cè)試,3）已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示:

01

m|n

1

若p（癥0）三，且2X+y=1,貝|JD（y）=（）

A.—B.-C.-D.-

181899

答案c

2.（2025屆重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校第三次考試,7）為迎接中秋佳節(jié),某公司開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，規(guī)則

如下:在不透明的容器中有除顏色外完全相同的2個(gè)紅球和3個(gè)白球，每位員工從中摸出2

個(gè)小球.若摸到一紅球一白球，可獲得價(jià)值a百元代金券;摸到兩白球，可獲得價(jià)值b百元代

金券;摸到兩紅球，可獲得價(jià)值ab百元代金券（。力均為整數(shù)）.已知每位員工平均可得5.4百

元代金券，則運(yùn)氣最好者至多獲得百元代金券.（）

A.5.4B.9C.12D.18

答案D

3.（多選）（2025屆湖南長(zhǎng)沙周南中學(xué)期中,9）盒中有3個(gè)球，其中1個(gè)紅球,2個(gè)黃球.從盒中隨

機(jī)取球，每次取1個(gè),不放回，直到取出紅球?yàn)橹?設(shè)此過(guò)程中取到黃球的個(gè)數(shù)為6（小D（O

分別為隨機(jī)變量4的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是（）

A.P（f=0）=|B.E（f）=l

C.E（3f+l）=3D.D（3f+l）=6

答案ABD

4.（2024湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)、浙江杭州二中、江蘇師大附中三校聯(lián)考,13）已知4件產(chǎn)品中

有2件次品，逐個(gè)不放回檢測(cè)，直至能確定所有次品為止，記檢測(cè)次數(shù)為X.則

E（X）=.

答案|

5.（2025屆云南昆明師大附中期中,15）甲袋中裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙袋中裝有1個(gè)紅

球、3個(gè)白球.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2,從甲袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球;如果

點(diǎn)數(shù)為3,4,5,6,從乙袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球.

（1）記摸出紅球的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）;

(2)已知摸出的2個(gè)球是1紅1白，求這2個(gè)球來(lái)自乙袋的概率.

解析(1)由題意知X的可能值是0,1,2,

甲袋中有2個(gè)紅球、2個(gè)白球，

因此從甲袋中摸出的兩球均為紅色的概率為=紅1白的概率為嬰=：=；,兩球均

663

為白色的概率是圣=3

6

乙袋中有1個(gè)紅球、3個(gè)白球，

因此從乙袋中摸出的兩球均為紅色的概率為0,1紅1白的概率為罷=：==,兩球均為白

62

色的概率是口=1

2

又摸出的球是從甲袋摸出的概率是？="從乙袋摸出的概率是:=

6363

匚匚八|八、11,217八12,215111

所以P(X=0)=-x-+-x-=-,P(X=1)=-x-+-x-=-,P(X=2)=-x-=—,

73632187*93332973618

則X的分布列為

11￡

75

118218

7512

E(X)=Qx—+1X-+2X—

189183

(2)由(1)知摸出的兩球1紅1白的概率是Pi=|,l紅1白兩球是從乙袋中摸出的概率是

n211

尸2=一X-=

323

1

所以在摸出的2個(gè)球是1紅1白，這2個(gè)球來(lái)自乙袋的概率P=^=另=：.

ri-5

9

能力拔高練

1.(2024廣東廣州天河綜合測(cè)試(二),8)設(shè)10%I<X2<X3<X4<X5S50,隨機(jī)變量酊取值

X1,X2,X3,X4,X5的概率均為0.2,隨機(jī)變量&取值巖羋/，甘，帶包的概率也均為0.2,

若記。?),￡>?)分別為之6的方差，則()

A.D(6)<D(a)

B.D(6)=D(f2)

C.D?)>D@)

D.DC1)與。(。2)的大小關(guān)系與X1,X2,X3,X4,X5的取值有關(guān)

答案C

2.(2025屆湖北武漢重點(diǎn)校第一次聯(lián)考,17)為倡導(dǎo)節(jié)能環(huán)保，實(shí)現(xiàn)廢舊資源再利用,小明與

小亮兩位小朋友打算將自己家中的閑置玩具進(jìn)行交換,其中小明家有2臺(tái)不同的玩具車和

2個(gè)不同的玩偶，小亮家也有與小明家不同的2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶，他們每次等可能地各

取一件玩具進(jìn)行交換.

⑴兩人進(jìn)行一次交換后，求小明仍有2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶的概率；

⑵兩人進(jìn)行兩次交換后，記X為“小明手中玩偶的個(gè)數(shù)”，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期

望.

解析(1)若兩人交換的是玩具車，則概率為[x]=*

若兩人交換的是玩偶，則概率為]=i

故兩人進(jìn)行一次交換后，小明仍有2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶的概率型+”[

(2)X可取的值為0、1、2、3、4,

一次交換后,小明有1個(gè)玩偶和3臺(tái)玩具車的概率為Jx；=有3個(gè)玩偶和1臺(tái)玩具車的

224

概率為？X；3

ZZ4

經(jīng)過(guò)兩次交換后P(X=0)=-x-x-=-

44464

1131311117

尸(X=l)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—

,44444422232

13313311111117

P(X=2)=