第五章分式與分式方程單元考點(diǎn)訓(xùn)練

刷中考

考點(diǎn)1分式及其性質(zhì)

[2023四川涼山州中考]分式二的值為0,則x的值是()

X~1

A.OB.-1

C.lD.0或1

2[2023甘肅蘭州中考]計算：—=()

a—5

A.a-5B.a+5

C.5D.a

[2024湖南長沙中考]要使分式占有意義，貝人需滿足的條件是_______.

考點(diǎn)2分式的運(yùn)算(

[2024廣州中考偌a加，則下列運(yùn)算正確的是()

X.-+-=-B.a3-a2=a5

235

—236cR7A

C.—'———D.CLCL=1

aaa

5[2024山東威海中考]計算：a+；=_______

x—22—x

6[2024黑龍江綏化中考]化簡：?+-出產(chǎn))=_.

7[2024四川眉山中考]已知的=%+1(%。0且久。一1),口2=…，。九=——廁22024的值

1一的±-0-21~an-i

為.

8[2024山東濱州中考]歐拉是歷史上享譽(yù)全球的最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他不僅在高等數(shù)學(xué)各個領(lǐng)域作出杰出貢

獻(xiàn)，也在初等數(shù)學(xué)中留下了不凡的足跡.設(shè)為兩兩不同的數(shù)，稱

a,b,c6={,a-b二){a—c)、+—{b—c^){b―—a)+{,c—a:){:c八—b)、(n=

0,1,2,3)為歐拉分式.

(1)寫出Po對應(yīng)的表達(dá)式；

(2)化簡Pi對應(yīng)的表達(dá)式.

考點(diǎn)3分式的化簡求值

9[2024四川雅安中考]已知|+：=l(a+b力0).則鬻=()

1

A.-B.lC.2D.3

2

10[2024四川樂山中考]先化簡，再求值：含其中x=3.小樂同學(xué)的計算過程如下：

X—4X~Z

ATI2x12x1?

X—4X—2(%+2)(%—2)X—2

2xx+2?

=--------------------------??Z

(x+2)(%—2)(x—2)(%+2)

2%—%+2仁

=-------------3

(x+2)(x-2)

——④

(x+2)(x-2)J

當(dāng)x=3時，原式=1.

⑴小樂同學(xué)的解答過程中，第步開始出現(xiàn)了錯誤;

⑵請幫助小樂同學(xué)寫出正確的解答過程.

11（2024黑龍江牡丹江中考］先化簡,再求值：個+（%-胃）,并從-1,0,1,2,3中選一個合適的數(shù)代入求值.

考點(diǎn)4分式方程

12［2024四川遂寧中考］分式方程二7=1-占的解為正數(shù)，則m的取值范圍（）

A.m>-3B.m>-3且m#-2

C.m<3D.m<3且m齊2

13［2024黑龍江龍東地區(qū)中考］已知關(guān)于x的分式方程胃-2=*無解，則k的值為()

x-33-x

A.k=2或k=-lB.k=-2

C.k=2或k=lD.k=-l

14［2024湖北武漢中考］分式方程2=二的解是.

X—oX—L

15新考向開放性試題［2024四川廣元中考］若點(diǎn)Q(x,y)滿足(+?=泉則稱點(diǎn)Q為“美好點(diǎn)"寫出一個“美好

點(diǎn)”的坐標(biāo)一

2X+1z

16［2024重慶中考B卷］若關(guān)于x的一元一次不等式組｛--3)的解集為x<4,且關(guān)于y的分式方程

4%—2<3%+a

震-W=1的解均為負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是

1712。24陜西中考］解方程：看+三=1.

考點(diǎn)5分式方程的實際應(yīng)用

18［2024甘肅臨夏州中考］端午節(jié)期間，某商家推出“優(yōu)惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售細(xì)心的小夏發(fā)

現(xiàn)，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求：每袋粽子的原價是多少元?設(shè)每袋粽子的原價是x元，所得方

程正確的是)

.240240y八

A.------=10--=10

xx+2xx-2

c240240?八

C.---=10D.------=10

x-2xx+2X

19［2024重慶中考A卷］為促進(jìn)新質(zhì)生產(chǎn)力的發(fā)展，某企業(yè)決定投入一筆資金對現(xiàn)有甲、乙兩類共30條生產(chǎn)線

的設(shè)備進(jìn)行更新?lián)Q代.

⑴為鼓勵企業(yè)進(jìn)行生產(chǎn)線的設(shè)備更新，某市出臺了相應(yīng)的補(bǔ)貼政策根據(jù)相關(guān)政策，更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)

備可獲得3萬元的補(bǔ)貼，更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備可獲得2萬元的補(bǔ)貼.這樣更新完這30條生產(chǎn)線的設(shè)備，該企

業(yè)可獲得70萬元的補(bǔ)貼.該企業(yè)甲、乙兩類生產(chǎn)線各有多少條?

（2）經(jīng)測算，購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備比購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需多投入5萬元，用200萬元購

買更新甲類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量和用180萬元購買更新乙類生產(chǎn)線的設(shè)備數(shù)量相同，那么該企業(yè)在獲得70萬元的補(bǔ)

貼后，還需投入多少資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備？

刷章測

一、選擇題（共32分）

[2024河南鄭州期末]下列分式中，是最簡分式的是（）

43B.—D.導(dǎo)

*+1x-13xyxz-l

2[2023山東威海文登區(qū)期中]下列從左到右變形正確的是（）

A.-=-B.-=—

bbebb-c

a3_aac2_a

r=bDn'bc^=b

3[2023湖南郴州質(zhì)檢]對于下列說法，錯誤的個數(shù)為（）

①止2是分式;②當(dāng)x#l時，二2^=%+1成立；③Q+bx，=a+l=a;④當(dāng)x=-3時，分式三卷的值是0.

J冗x-1b\x\-3

A.4個B.3個

C.2個D.1個

4若x,y的值均擴(kuò)大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（）

4二B.上

y+1x+1

…D.工

x+y3x-y

5[2024遼寧葫蘆島興城期末]美琪在做數(shù)學(xué)作業(yè)時，不小心將式子中除號后邊的代數(shù)式污染，即點(diǎn)卷一通過

查看答案，得知結(jié)果為名則被污染的代數(shù)式為（）

3x—2y

A.—B.—

x+lX

2-xx+l

Cr.----nU.-----

x2x-l

6如果偌）J（斤=3,那么4b，等于（）

A.6B.9C.12D.81

7甲志愿者計劃用若干個工作日完成社區(qū)的某項工作，從第三個工作日起，乙志愿者加入此項工作，且甲、乙

兩人工作效率相同，結(jié)果提前3天完成任務(wù)，則甲志愿者計劃完成此項工作的天數(shù)是（）

A.8B.7C.6D.5

2023四川成都調(diào)研］一次函數(shù)y=（a-7）x+a的圖象不經(jīng)過第三象限且關(guān)于x的分式方程￡=3-言有整數(shù)解,

則滿足條件的整數(shù)a的和為（）

A.18B.17C.12D.11

二、填空題（共16分）

9當(dāng)m=________方程三+三=谷會產(chǎn)生增根.

xx-1x（x-l）

10新考向傳統(tǒng)文化［2024遼寧沈陽質(zhì)檢］《九章算術(shù)》中記錄的一道題目譯為白話文是把一份文件用慢馬送到9

00里外的城市，所需的時間比規(guī)定時間多一天，如果用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少3天.已知快馬的速度是

慢馬速度的2倍，求規(guī)定時間.設(shè)規(guī)定時間為x天，則可列出的分式方程為.

11［2023江蘇蘇州模擬］若正數(shù)a,b,c滿足abc=1,a+*=3,6+十=17,則c+~=

12［2024河南開封調(diào)研］一個容器裝有1升水，按照如下方法把水倒出：第I次倒出得升水，第2次倒出水量是

打的1第3次倒出水量是汨的；，第4次倒出水量是：升的去…,第n次倒出水量是外的；?按照這種倒

水的方法，n次倒出的水量共為________升.

三、解答題（共52分）

13［2023山東煙臺期末冼化簡（告三-9）+空，然后在2,-2,-1中選一個你認(rèn)為合適的a值，代入求

az—4a+4a—2a￡—2a

值

14解方程：

⑴*=蕓一3;⑵三一9=1.

15[2024安徽亳州期末]如果兩個分式P與Q的和為正整數(shù)m,則稱P與Q互為“完美分式"，正整數(shù)m稱

為“完美值"如分式P=*，Q=±，P+Q=詈=1，則P與Q互為“完美分式”，“完美值"m=l.

⑴已知分式a==W，判斷A與B是否互為“完美分式”?若不是，請說明理由；若是，請求出“完美值”

m.

⑵已知分式c=甘,。=&，若c與D互為“完美分式”，且“完美值"m=3,其中x為正整數(shù)，分式D的值

X-2%2-4

為正整數(shù).

①求E所代表的代數(shù)式；

②求x的值.

16[2023黑龍江雞西模擬]為迎接春節(jié)，某商場計劃購進(jìn)甲、乙兩種品牌的T恤衫共100件.已知乙品牌每件的

進(jìn)價比甲品牌每件的進(jìn)價貴30元，且用6000元購買甲品牌的件數(shù)恰好是用6000元購買乙品牌件數(shù)的2倍.

(1)甲、乙兩種品牌每件的進(jìn)價分別是多少元？

(2)商場決定購進(jìn)甲、乙兩種品牌T恤衫的資金不少于3600元，且購進(jìn)甲品牌T恤衫至少78件，求該商場有

哪幾種進(jìn)貨方案.

⑶在⑵的條件下，商場決定甲品牌T恤衫以每件50元出售，乙品牌T恤衫以每件100元出售，若該商場推出

促銷活動：顧客購買一件T恤衫持購物票據(jù)可抽獎一次，每人限購一件，一等獎共有1個，所購T恤衫按標(biāo)價返款

100%；二等獎共有3個，所購T恤衫按標(biāo)價返款50%.該商場將這100件T恤衫全部售出后共獲利2220元，求出

抽到的二等獎中，購買的乙品牌T恤衫有多少件.

刷中考

1【解析】：分式三的值為0,??????x2-x=OSx-1加，解得x=0,故選A.

2.D【解析】號=安=a.故選D.

—a—5a—5

3.x，19【解析】由題可知，當(dāng)x-19^0時，分式有意義，解得*19.故答案為xR19.

4.B

41%24x24-x2

5.-x-2【解析】-------—---------=-X-2.故答案為-x-2.

x-22-xx-2x-2x-2

X1

6.—【解析】原式=4+上空”x-y=工.故答案為

x-yXXx,(x-y)2x-yx-y

1111x

7.--【解析】ai=x+1,a2=,a3===

x1—Qi~x^T^)^

11_1

CLA.=--------%+L.?.a5=-^,a6=2,……每3個為一個循環(huán).丁？024:3=674二

131--——X+12,

一。x+i

a2024=一§.故答案為一點(diǎn)

+++

8.【解】⑴由題意可得,Po=(a-bXa-c)+(b-c)(b-a)(c-a)(c-6)=(a-b)(a-c)(b-C)(b-a)(c-a)(c-“

⑵中題章可得尸=△?I]?”=a_______b____________,______c______

'J''1(a-1b)(a-c)(Z?-c)(Z)-a)(c-a)(c-b)(a-Z?)(a-c)(Z7-c)(a-Z))(a-c)(b-c)

a(d-c)-d(a-c)+c(a-d)_ab-ac-ab+bc+ac-bc---------------=o.

(a-fo)(D-c)(a-c)(a-d)(&-c)(a-c)(a-&)(&-c)(a-c)

9.C【解析】：2+工=l(a+b#0),"=1,a+26=ab,■.況=a+a—==2.故選C.

ababa+ba+ba+b

10.[ft?]⑴第③步開始出現(xiàn)了錯誤，分子應(yīng)該是2X-X-2,故答案為③.

⑵三____二=_2______二=

'JX2-4X-2(%+2)(%-2)x-2

2xx+22x—x—2

(x+2)(x-2)(%-2)(化+2)-(x+2)(x-2)一

x-2_1

(x+2)(x-2)-x+21

當(dāng)％=3時,原式=

]][解]2%-6.(%6x-9\_2x-6.,x26%-9)_2x-6.x2-6x+9_2(x-3)x_2

'x\x/xxxJxxx(x-3)2x-3"

,**x^0且x?3,.,.x取-1或1或2均正確.當(dāng)x=-l時原式=-^―=-?答案不唯一).

—1—DZ

12.B【解析】去分母得：2=%-1-相，解得x=m+3.由方程的解為正數(shù)，得到m+3>0,,且m+3#l,則m的

取值范圍為m>-3且n#-2.故選B.

13.13.工【解析】R-2=白，化為整式方程為(k-2)x=-9.?.?關(guān)于x的分式方程R-2=2無解,二①x-3=

0,解得x=3,則3(k-2)=-9,解得k=-l;②k-2=0,解得k=2.綜上,k=-l或k=2.故選A.

14.x=-3【解析】去分母得x(x-l)=(x-3)(x+l).去括號得x2-x-x2-2x-3,解得x=-3檢驗:當(dāng)x=-3時,(x-l)

(x-3)#),故原方程的解為x=-3.故答案為x=-3.

15.(2,-1)(答案不唯一)【解析】等號兩邊都乘xy得x+y=l.令x=2,則美好點(diǎn)”的坐標(biāo)為(2,-1),故答案為(2,

-1)(答案不唯一).

16.12【解析】｛等-Slant3'①②解不等式①，得xW4,解不等式②彳導(dǎo)x<a+2,由題意得a+2>4,解得a>2.解方

4x—2<3x+a,

程震一W=L得y=32，且型2y為負(fù)整數(shù)，則有以下幾種情況:當(dāng)a=8時.y=望=-1；當(dāng)a=6時y=

等=-2(不合題意，舍去)，?當(dāng)a=4時，y=等=-3.綜上，符合條件的a的值有8,4,8+4=12，，所有滿足條

件的整數(shù)a的值之和是12.

17.【解】去分母得2+x(x+1)=x2-1,去括號得2+x2+x=x2-1,移項、合并同類項得x=-3.

檢瞼把x=-3代入(x+l)(x-l)得,(-3+1)(31)=8用,，x=-3是原方程的解.

18.C【解析】由題意可得,言-竽=10,故選C.

19.【解】⑴設(shè)該企業(yè)有x條甲類生產(chǎn)線，y條乙類生產(chǎn)線.

根據(jù)題意得+C-70解得C-20

十Ly—/u,y—乙U.

答：該企業(yè)有10條甲類生產(chǎn)線，20條乙類生產(chǎn)線.

(2)設(shè)購買更新1條乙類生產(chǎn)線的設(shè)備需投入m萬元，則購買更新1條甲類生產(chǎn)線的設(shè)備需投入(m+5)萬元.根據(jù)

題意得罷=竺2解得m=45.經(jīng)檢驗，m=45是所列方程的解且符合題意?：?10(m+5)+20m-70=10x(45

m+5m

+5)+20x45-70=1330.

答：還需投入1330萬元資金更新生產(chǎn)線的設(shè)備.

刷章測

1.A【解析】”是最簡分式，A選項符合題意—=-1,不是最簡分式，B選項不符合題意；？=三不

x2+lx-13xy3x

是最簡分式，c選項不符合題意=—=2,不是最簡分式，D選項不符合題意.故選A.

x2-l(x+l)(x-l)%+1

2.D【解析】：I=腎中缺少存0的條件，.?.A選項錯誤廠..分式的分子與分母同時乘或除以一個不等于0

的數(shù)或整式，分式的值不變,AB,C選項均錯誤；:c力0,，卷的分子與分母同時除以c2,分式的值不變，，D

be*

選項正確.

3.B【解析】"不是分式，是整式，故①錯誤;當(dāng)時，〒=(=)廣)=x+1,故②正確；a+bx5=a

71x—1x—1b

X：x：=專故③錯誤；當(dāng)x=-3時，分式書的分母為0，沒有意義,故④錯誤.綜上，錯誤的個數(shù)為3個.故選B.

bbbz\x\-3

4.D【解析】A選項，自4島,不符合題意；B選項，黑力翳,不符合題意；C選項，合中號,不

符合題意；D選項，科=三，符合題意.故選D.

3x-y9x-3y

5.C【解析】由題意得孩蚩+合=需等?號=號，被污染的代數(shù)式為號，故選C.

6.B【解析】?.佶)+償)=3,x=3,a4b2=3,a8b4=(a4b2)2=9.

74【解析】設(shè)甲志愿者計劃完成此項工作的天數(shù)為x，故甲的工作效率為:，由于甲、乙兩人工作效率相同，

則乙的工作效率為右甲前兩個工作日完成了X2,剩余的工作量甲完成了i(x-2-3),乙從第三個工作日起加入

此項工作后完成了久久-2-3),則:+逗尹=1,解得x=8,經(jīng)檢驗,x=8是原方程的解，且符合題意.故選A.

8.D【解析】???一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限,???產(chǎn)；第,二0Wa<7.分式方程可化為2=3(2-x)+ax.

??,分式方程有解，二%=士，且3-a*：分式方程有整數(shù)解,，3-a=-2或3-a=l或3-a=-l或3-a=-4或3-a=4或3-a=2,解

得a=5或a=2或a=4或a=7或a=-l或a=l.Va=7和a=-l和a=l不合題意,舍去,，a=5或a=2或a=4,二.整數(shù)a的和為

11.故選D.

9.-3或5【解析】方程兩邊同時乘x(x-l)得3(x-l)+6x=x+m,解得%=笑?.,方程有增根,“=。或x=l把x=0

O

代入X=喑魂牟得m=-3才巴x=l代入x=喑，解得m=5.故答案為-3或5.

OO

1°?翳X2=告【解析】?.,用慢馬送,所需的時間比規(guī)定時間多一天，用快馬送，所需的時間比規(guī)定時間少

3天，目規(guī)定時間為x天，，用慢馬送需要(x+1)天，用快馬送需要(x-3)天.根據(jù)題意得哼x2=能.

11.【解析】解法:,**(a+/)("+十)卜+.)=(。匕+，+1+D(，+5)=+a+c+[+b+}+

工+4伍+；)+優(yōu)+9+(c+9+(abc+3),???3xl7x(c+工)=3+17+(c+[)+2,解得c+」=..

aabc\b/\cJ\aJ\abc/\a/\a/a25

解法二：abc=l,a,b,c者B為正數(shù)，ab=-.a+7=3,ab+1=3b.①,??b+工=17,.*.b+ab=17.②由①②

-CDC

1,11,,11.1,111...1_

12.^-【解析】由題意得"+?X-+-X-H--------1--X——=1--------1-----------++

n+12233445nn+1223+1-那-5n

—=1--=言故答案為言

n+1n+1

13.【解】(■a2-4a+1(a+2)(a—2)aa+1(a+2)(a—2)a(a—2)aa(a-2)

\<.a2-4a+4a2-2a(a-2/n—2.a(a-2)(a-2)2n+1ci—2.a+1

a(a+2)a2_2a

a+1a+1a+1

。-2H0,aW0,且a+1H0,

???aH2,aH。，且aH—1,

當(dāng)=-2時,原式=2X(-2)=4.

a-2+1

14.【解】⑴去分母、去括號彳導(dǎo)1=x-1-3x+6,移項、合并同類項，得2%=4,

解得x=2.

經(jīng)檢驗，x=2是增根，因此原分式方程無解.

(2)去分母、去括號，得/一3久+3=--久,移項、合并同類項，得2久=3,解得%=1.經(jīng)檢驗，%=|是原

分式方程的解.

15.【解】(1)A與B互為“完美分式???4+B=W+W=迎秘=2..-.A與B互為“完美分式”，且“完美值”

x-4x-4x-4

m=2.

⑵①與D互為“完美分式”，且“完美值”m=3,C+。=曰+3=3,二(3f(X+2)H—；——3,3

X-ZX—4X2-4X2-4'

x2+2x-8+E=3x2-12,.-.E=-2x-4.(2).:E=-2x-4,：.D=亨^=---.v久為正整數(shù)，分式D的值為