專題14函數(shù)中的最值問(wèn)題

函數(shù)中的最值問(wèn)題在中考中的考查頻率較高，主要包括求線段之和的最小值(將軍飲馬型)、求線段之

和的最小值(修橋模型)、胡不歸求最值問(wèn)題等

一、求線段之和的最小值(將軍飲馬型)

1.在一條直線機(jī)上，求一點(diǎn)P,使B4+P8最?。?/p>

(1)點(diǎn)A、B在直線機(jī)兩側(cè)：

%

A?

?----------------?n?----------------X------------?m

P、

?

BB

(2)點(diǎn)A、8在直線同側(cè)：

A

\，，B

1X/

_I_

?-----;--------*-----------?m

A?；/P

?

B

?------------------------?mA,

4、4是關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。

2.在直線相、”上分別找兩點(diǎn)尸、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：

A

A

m

BPP

(2)一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè):

A

(3)兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè):

(4)臺(tái)球兩次碰壁模型

變式一：已知點(diǎn)A、8位于直線相，”的內(nèi)側(cè)，在直線〃、機(jī)分別上求點(diǎn)。、E點(diǎn)、,使得圍成的四邊形ADEB

周長(zhǎng)最短.

變式二：已知點(diǎn)A位于直線"z,w的內(nèi)側(cè)，在直線機(jī)、〃分別上求點(diǎn)尸、。點(diǎn)E4+PQ+QA周長(zhǎng)最短.

二、求線段之和的最小值（修橋模型）

已知A、8是兩個(gè)定點(diǎn)，P、。是直線機(jī)上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，尸在。的左側(cè)，且尸。間長(zhǎng)度恒定，在直線機(jī)上要

求產(chǎn)、。兩點(diǎn)，使得以+PQ+QB的值最小。（原理用平移知識(shí)解）

（1）點(diǎn)A、2在直線機(jī)兩側(cè)：

過(guò)A點(diǎn)作AC/加，且AC長(zhǎng)等于尸。長(zhǎng)，連接BC,交直線機(jī)于。，。向左平移尸。長(zhǎng)，即為尸點(diǎn)，此時(shí)尸、

。即為所求的點(diǎn)。

（2）點(diǎn)A、2在直線相同側(cè)：

PQ

過(guò)A點(diǎn)作4￡7/祖，且AE長(zhǎng)等于PQ長(zhǎng)，作2關(guān)于相的對(duì)稱點(diǎn)小，連接BE,交直線小于。。向左平移

PQ長(zhǎng)，即為尸點(diǎn)，此時(shí)尸、。即為所求的點(diǎn)。

三、胡不歸求最值（胡不歸模型）

一動(dòng)點(diǎn)尸在直線外的運(yùn)動(dòng)速度為刃，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2,且V1<V2,A、8為定點(diǎn)，點(diǎn)C

在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使生+生的值最小.

ACBC1記憶=匕，即求的最小值.

----1----二——BC+^-AC\,BC+kAC

構(gòu)造射線使得s加CH/AC=k,CH=kAC.

B

M戶./C------------N

CH、尊、

sina==kn、、

AC

、、、、D

CH=kAC

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值，過(guò)8點(diǎn)作交MN于點(diǎn)C,交于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小

值，即BC+fc4c最小.

M------------------------7--------------N

二'A

、、、D

在求形如“PA+kPB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與任牛相等的線段，：將（6PA^kPBv型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

aPA+PC,型.

真題精析

例孽1

（2022?西藏?統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線+5-1）x+2m與x軸交于A,B

（4,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

y

(1)求拋物線的解析式，并直接寫(xiě)出點(diǎn)A,C的坐標(biāo)；

(2)如圖甲，點(diǎn)M是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AM,0M,是否存在點(diǎn)M使AM+OM最小，若存在，請(qǐng)

求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3汝口圖乙，過(guò)點(diǎn)尸作P凡L8C,垂足為R過(guò)點(diǎn)C作。，BC,交x軸于點(diǎn)連接。尸交8c于點(diǎn)E,連

接CP.設(shè)4尸所的面積為S,4PEC的面積為S2,是否存在點(diǎn)P,使得1k最大，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的

坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

郵碗

(1)將5(4,0)代入丫=-；/+(相-l)x+2〃z,求出函數(shù)解析式即可求解；

(2)作。點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接40'交3c于點(diǎn)M,連接5(7,當(dāng)4、M、(7三點(diǎn)共線時(shí)，AM

+OM有最小值，分別求出直線AO'的解析式和直線的解析式，兩直線的交點(diǎn)即為“點(diǎn)；

⑶連接尸3,過(guò)尸點(diǎn)作尸G〃y軸交CB于點(diǎn)G,設(shè)尸(“g/+/+4),則G(f,—f+4),由

SBS=(X4XPG==BC2PF求出尸尸=一手產(chǎn)再由P歹〃CZ>,可得"=寒貝*=-'(-2)2+J當(dāng)，

s

=2時(shí)，寸有最大值，同時(shí)可求P的坐標(biāo).

［答案與解析】

【答案】(l)y=-gv+尤+4,A(-2,0)；C(0,4)

812

⑵存在點(diǎn)M使AM+OM最小，M(-,y)

⑶存在，P(2,4)

【詳解】(1)將3(4,0)代入y=-y%2+(m-1)x+2m,

：.-8+4(m-1)+2/n=0,

解得m=2,

~x1+x+4,

令x=0,貝！|y=4,

：.C(0,4),

令y=0，貝！I-g/+x+4=0,

解得*=4或*=-2,

：.A(-2,0)；

(2)

存在點(diǎn)M使AM+OM最小，理由如下：

作。點(diǎn)關(guān)于5c的對(duì)稱點(diǎn)。，連接40'交5c于點(diǎn)M,連接80',

由對(duì)稱性可知，0M=0'M,

：.AM+OM=AM+O'M>AO',

當(dāng)A、M、0,三點(diǎn)共線時(shí)，AM+OM有最小值，

,:B(4,0),C(0,4),

：.OB=OC,

，NC5O=45。，

由對(duì)稱性可知NO'BM=45°,

：.BO'LBO,

：.O'(4,4),

設(shè)直線AO'的解析式為y=kx+b,

解得，

b

?力=二+屋

設(shè)直線BC的解析式為y=k'x+4,

???41+4=0,

???kf=-l,

?力=-x+4,

y=-x+4

聯(lián)立方程組24,

y=—x+—

I33

[8

x=—

解得J，

連接尸5,過(guò)P點(diǎn)作尸G〃y軸交C5于點(diǎn)G,

設(shè)尸(f,-9產(chǎn)+f+4),則G(f,-f+4),

:.PG=-1r+2t,

：0B=0C=4,

：.BC=4y/2,

2

：.SABCP=1X4X(-11+2t)=-產(chǎn)+4t=；x4④xPF,

：.PF=-與t1+垃t,

'：CD±BC,PF1BC,

：.PF//CD,

.EF_PF

?瓦一五'

.鼠_EF

?S2~~CE'

.縣=”

,s2CD'

."B.。兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,

CD=4^/2,

I1/2,、1,,1

用"-4"=-記（S+“

尸點(diǎn)在第一象限內(nèi),

\0<^<4,

?.當(dāng)-2時(shí)，自有最大值％

此時(shí)尸(2,4).

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題考查二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，軸對(duì)稱求最短距離的方法，平行線的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例早2

(2022?四川廣元?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x-2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)8,

拋物線y=a/+6x+c(a>0)經(jīng)過(guò)A,8兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C.

(1)求a,6滿足的關(guān)系式及c的值；

(2)當(dāng)a=g時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求A/HB周長(zhǎng)的最小值；

(3)當(dāng)a=l時(shí)，若點(diǎn)。是直線A8下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作QOLA8于點(diǎn)。，當(dāng)。。的值最大

時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及。。的最大值.

郵甌

(1)先求得點(diǎn)4、點(diǎn)3的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)先利用對(duì)稱性找出APAB周長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)P的位置，此時(shí)AP=CP,APAB的周長(zhǎng)最小值為：

PB+PA+AB=BC+AB,根據(jù)勾股定理求出AB.BC的長(zhǎng)即可求出APAB最小值；

(3)過(guò)點(diǎn)Q作QF±x軸交于F點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)E,得到N0EZ>=NE"=45。，推出QD=ED=^-EQ,

設(shè)。設(shè)P+f-2),E設(shè)七2),求得。E=-f2②，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

[答案與解析】

【答案】(1)2〃=。+1,c=-2；

PAB的周長(zhǎng)最小值是2^/5+272;

⑶此時(shí)0(-1,-2),最大值為1.

2

【詳解】(1)解：工?直線y=-x-2與X軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)5,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?2,0),點(diǎn)6的坐標(biāo)為(0,?2),

???拋物線(a>0)經(jīng)過(guò)A,5兩點(diǎn)，

.J4a-2/?+。=0

>[c=-2

/.2a=b+l,c=-2；

(2)解：當(dāng)?shù)?時(shí)，貝!

???拋物線的解析式為廣

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

:點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),

.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),

△E43的周長(zhǎng)為：PB+PA+AB,且A8是定值,

:.當(dāng)PB+PA最小時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最小，

?點(diǎn)A、C關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

二連接BC交直線x=l于點(diǎn)P,此時(shí)PB+PA值最小,

'：AP=CP,

.,.△E48的周長(zhǎng)最小值為：PB+PA+AB=BC+AB,

VA(-2,0),B(0,-2),C(4,0),

：.OA=2,OB=2,OC=4,

由勾股定理得3c=2石，AB=2拒,

.,.△P43的周長(zhǎng)最小值是：26+2萬(wàn).

(3)解：當(dāng)。=1時(shí)，b=l,

二拋物線的解析式為y=N+x-2,

過(guò)點(diǎn)。作QFLx軸交于F點(diǎn)，交直線45于點(diǎn)E,

:.OA=OB,

：.ZOAB=45°,

?:QD±AB,

：.ZAEF=ZQED=ZEQD=45°,

：.QD=ED=^EQ,

設(shè)Q(f,F+f-2),E(f,-f-2),

0E=-￡-2-(￡2+￡-2)=?F-2￡,

DQ=旦QE=-顯(t2+2t)=-也(Hl)2+也，

2222

當(dāng)U-l時(shí)，有最大值,，此時(shí)。(-1,-2).

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題是二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例率3

（2022?天津?統(tǒng)考中考真題）已知拋物線>=辦2+法+。（a,b,c是常數(shù)，a>0）的頂點(diǎn)為P,與x軸相交

于點(diǎn)4-1,0）和點(diǎn)股

⑴若》=_2,c=—3,

①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②直線x（根是常數(shù)，1（根<3）與拋物線相交于點(diǎn)與3P相交于點(diǎn)G,當(dāng)MG取得最大值時(shí)，求點(diǎn)

M,G的坐標(biāo)；

⑵若肪=2c,直線x=2與拋物線相交于點(diǎn)N,E是x軸的正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，尸是y軸的負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，

當(dāng)+即的最小值為5時(shí)，求點(diǎn)E,尸的坐標(biāo).

型輻

（1）①將從c的值代入解析式，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可求出“的值，再用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)即

可；②先令y=0得到3點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線5P的解析式，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（見(jiàn)根2-2〃?-3）,則點(diǎn)G的坐

標(biāo)為（私2機(jī)-6）,再表示出MG的長(zhǎng)，配方求出最值得到M、G的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)m=2°,解析式經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，可得到解析式：y=ax2-lax-3a,再表示出尸點(diǎn)坐標(biāo)，N點(diǎn)坐標(biāo)，

接著作點(diǎn)尸關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)尸'，作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N',再把P和N’的坐標(biāo)表示出來(lái)，由題意可

知，當(dāng)尸尸+FE+E2V取得最小值，此時(shí)尸尸+FE+RV=PN，=5,將字母代入可得：

P'N'2=PH-+HN'2=9+49a2=25,求出。的值，即可得到E、尸的坐標(biāo)；

［答案與解析】

【答案】⑴①（LT）;②點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2,-3）,點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2,-2）；

⑵點(diǎn)噌，。）和點(diǎn)小-鄂

【詳解】（1）①???拋物線y=M+6x+c與x軸相交于點(diǎn)A（-l,0）,

a-b+c=O.又匕=-2,c=-3,得。=1.

???拋物線的解析式為y=V-2x-3.

Vy=x2-2x-3=U-l）2-4,

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,-4）.

②當(dāng)>=0時(shí)，由/_2工一3=0,

解得玉=-L尤2=3.

???點(diǎn)3的坐標(biāo)為(3,0).

設(shè)經(jīng)過(guò)3,尸兩點(diǎn)的直線的解析式為y=h+〃,

3左+〃=0,入,k=2,

有—解得

n=-6.

直線3尸的解析式為y=2x-6,

?.?直線x=，〃(機(jī)是常數(shù)，1＜根＜3)與拋物線y=/-2x-3相交于點(diǎn)M,與3P相交于點(diǎn)G,如圖所示:

.??點(diǎn)M的坐標(biāo)為(根，療-2租-3),點(diǎn)G的坐標(biāo)為(m,2m-6).

二MG=(2m-6)—-2m-3)=-m2+4m-3=~(m-2)2+1.

.?.當(dāng)〃z=2時(shí)，MG有最大值1.

此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,-3),點(diǎn)G的坐標(biāo)為(2,-2).

(2)由(1)知a-6+c=0,又舫=2c,

b=-2a,c=—3a.(a＞0)

二拋物線的解析式為y=ax2-2ax-3a.

y=ax2-lax-3a=a(x-I)2-4a,

???頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(l，-4a).

■:直線x=2與拋物線y=ax2-lax-3a相交于點(diǎn)N,

???點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,-3a).

作點(diǎn)尸關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P,作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N，,如圖所示:

得點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（T「4a）,點(diǎn)V的坐標(biāo)為（2,3a）.

當(dāng)滿足條件的點(diǎn)E,尸落在直線尸上時(shí)，/+莊+￡2V取得最小值,

此時(shí)，PF+FE+EN=P'N'=5.

延長(zhǎng)P'P與直線x=2相交于點(diǎn)77,則PHLNH.

在Rt/\PHN'中，P'H=3,HN'=3a-（-4a）=la.

:.P'N'1=PH2+HN'1=9+49/=25.

44

解得％=］，%=-］（舍工

.?.點(diǎn)P，的坐標(biāo)為卜，告｝點(diǎn)V的坐標(biāo)為（2早.

則直線PN的解析式為丁三4丁-苗20?

.?.點(diǎn)《別和點(diǎn)心，一手

總結(jié)與點(diǎn)撥

本題考查二次函數(shù)的幾何綜合運(yùn)用，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、配方法求函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)、勾股定

理解直角三角形等是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.

精醺做/題

11.

1.（2022?山東濟(jì)南??？家荒＃┤鐖D,直線y=~x+-與X軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=。（彳-1）--2

過(guò)點(diǎn)A.

備用圖

⑴求出拋物線解析式的一般式；

(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)。在一次函數(shù)的圖象下方，求‘ACD面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)。的坐標(biāo)；

3

⑶若點(diǎn)尸為x軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求尸O+的最小值.

2.(2022.重慶銅梁?統(tǒng)考一模)如圖1,二次函數(shù)>=以2+版+3(awO)的圖象與x軸交于點(diǎn)A,B,與y

軸交于點(diǎn)C,tan/CBO=g,點(diǎn)A(-2,0).

(1)求二次函數(shù)的解析式；

⑵如圖2,點(diǎn)P是直線上方拋物線上一點(diǎn)，軸交BC于點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)E,求PD+8E

的最大值；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)尸D+BE取最大值時(shí)，點(diǎn)M在該拋物線的對(duì)稱軸上，滿足ZXBP河的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)

N為該坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)A,B,M,N為頂點(diǎn)的平行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

3.(2022?廣東中山?統(tǒng)考三模)如圖，拋物線y=ad+6x-3與x軸交于A、2兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,拋物

4

線的對(duì)稱軸為直線1=1,點(diǎn)A(-1,0),過(guò)5的直線交y軸于點(diǎn)O,交拋物線于且tanN石區(qū)4=1.

⑴求拋物線的解析式；

(2)在拋物線第四象限的圖象上找一點(diǎn)P,使得△3D尸的面積最大，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

4

⑶點(diǎn)M是線段BE上的一點(diǎn)，求AM+yME的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

4.(2022?貴州黔東南?統(tǒng)考二模)如圖，拋物線y=o?+bx-2與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)、3(1,0),與y軸交于

點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，求“B+MC的最小值；

(3)若點(diǎn)尸是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸。,AC于點(diǎn)。線段P。是否存在最大值？若存在,

求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.(2022.遼寧沈陽(yáng)?沈陽(yáng)市第七中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))如圖，拋物線y=62+反+；(4/0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)人(3,2)和點(diǎn)

且與>軸交于點(diǎn)C.

(1)分別求拋物線和直線8C的解析式；

(2)在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)G,拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)是否存在以。，A,G,"為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?

若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)。為拋物線上位于直線上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作?！辏ぽS交直線8C于點(diǎn)E,點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)

點(diǎn)，當(dāng)線段。E的長(zhǎng)度最大時(shí)，求尸D+叢的最小值.

6.(2022?黑龍江大慶?統(tǒng)考一模)如圖，已知拋物線,=1+法+。與無(wú)軸相交于4(-1,0),3(〃?,0)兩點(diǎn)，與

y軸相交于點(diǎn)。(0,-3),拋物線的頂點(diǎn)為D.

(1)求拋物線的解析式；

⑵若P是直線BC下方拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作。軸于點(diǎn)”，與8C交于點(diǎn)

①求線段長(zhǎng)度的最大值.

②在①的條件下，若尸為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，求尸8+即+手CF的最小值.

7.(2022?山東臨沂?統(tǒng)考一模)如圖，拋物線丁=-；/+加：+。與天軸交于4、8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直

線y=-x+l過(guò)8、C兩點(diǎn)，連接AC.

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(1)求拋物線的解析式.

⑵點(diǎn)M(3,1)是拋物線上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上位于直線BC上方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DELx軸交直線BC

于點(diǎn)E,點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)線段。E的長(zhǎng)度最大時(shí)，求尸Z5+PM的最小值.

8.(2021?貴州遵義?校考二模)在平面直角坐標(biāo)系中，有一拋物線y=頂點(diǎn)為M,點(diǎn)A,C

的坐標(biāo)分別為(0,1),(0,5),過(guò)點(diǎn)C作了軸的垂線交拋物線于點(diǎn)5,連接AB,BC,