專題10幾何壓軸中的證明與猜想題型

|明1概述

幾何壓軸中證明與猜想題指有些數(shù)學問題的條件、結論或解決方法不確定或不唯一，需要根據(jù)題目的

特點進行分析、探索，從而確定出符合要求的答案（一個、多個或所有答案）或探索出解決問題的多種方法.

該題型對考查學生思維能力和創(chuàng)造能力有積極的作用，是近幾年各地中考命題的一個熱點.通常這類

題目有以下幾種類型：條件開放與探索，結論開放和探索，條件與結論都開放與探索及方案設計、命題組

合型、問題開放型等.考生在復習時，首先對于基礎知識一定要復習全面，并力求扎實牢靠；其次是要加

強對解答這類試題的練習，注意各知識點之間的因果聯(lián)系，選擇合適的解題途徑完成最后的解答.由于題

型新穎、綜合性強、結構獨特等，此類問題的一般解題思路并無固定模式或套路，但是可以從以下幾個角

度考慮：

1.利用特殊值（特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等）進行歸納、概括，從特殊到一般，從而得出

規(guī)律.

2.反演推理法（反證法），即假設結論成立,根據(jù)假設進行推理，看是推導出矛盾還是能與已知條件一致.

3.分類討論法.當命題的題設和結論不唯一確定，難以統(tǒng)一解答時，則需要按可能出現(xiàn)的情況做到既不重

復也不遺漏，分門別類加以討論求解，將不同結論綜合歸納得出正確結果.

4.類比猜想法.即由一個問題的結論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結論或解決方法，并加以嚴

密的論證.

真題精析

例孽1

（2022?貴州黔西?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在正方形ABC。中，E,歹分別是BC,邊上的點（點￡不與

點、B,C重合），且ZE4F=45。.

AAD

(1)當3E=DF時，求證：AE=AF；

(2)猜想BE,EF,。尸二條線段之間存在的數(shù)量關系，并證明你的結論；

(3汝口圖2,連接AC,G是C8延長線上一點，GHLAE,垂足為K,交AC于點H且.若DF=a,

CH=b,請用含a,6的代數(shù)式表示￡尸的長.

郵甌

(1)先利用正方表的性質求得A5=AD,ZB=ZD=90°,再利用判定三角形全等的“SAS”求得三角形全等,

然后由全等三角形的性質求解；

(2)延長CB至使曲/=￡>尸，連接AM,先易得△ABN四△ADP(S45),推出40=AF,

ZMAB=ZFAD,進而得到△AEM絲△?("S),最后利用全等三角形的性質求解；

(3)過點H作用V，3c于點N,易得AABE當AGNH(AAS),進而求出“N=再根據(jù)(2)的結

論求解.

【答案與解析】

【答案】(1)見解析

(2)EF=DF+BE,見解析

y/2

(3)—&+6Z

2

【詳解】(1)證明：???四邊形A5CD是正方形，

/.AB=AD,ZB=ZD=90°.

在△AB石和△AD廠中

AB=AD

<NB=ND,

BE=DF

???^ABE^AADF(SAS),

/.AE=AF;

(2)解：BE,EF9。尸存在的數(shù)量關系為石尸=。廠+班.

理由如下：

延長C5至M,使=D尸，連接

貝！INABM=NO=90。.

在和△AD廠中

AB=AD

<ZABM=ZD,

BM=DF

：.AABM^AADF(SAS),

：.AM=AF,ZMAB=AFAD.

VZE4F=45°,

:.ZMAB+ABAE=AFAD+ABAE=450.

:.ZMAE=ZFAE9

在△A￡M和AAEF中

AM=AF

</MAE=ZFAE,

AE=AE

：.Z^AEM^Z\AEF(SAS),

:.EM=EF9

^EM=BE+BM,

：.EF=DF+BE；

(3)解：過點H作HNLBC于點N,

則NHVG=90。.

■:GHLAE,

：.ZAKG=ZABG=90°9

：.ZBGK=ZEAB.

在△ABE和VGNH中

/ABE=ZGNH

<ZBAE=ZNGH,

AE=GH

:.AABEmAGNH(AAS),

:.EB=HN.

?：4HCN=A5。,ZHNC=90°,

??一

??sin45=-H--N--

HCf

:.HN^—CH,

2

5

由(2)知，EF=BE+DF=HN+DF=—b+a.

總結與點撥

本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，特殊角的三角函數(shù)值，作出輔助線，構建三角

形全等是解答關鍵.

（2022?山東濟南?統(tǒng)考中考真題）如圖1,△ABC是等邊三角形，點。在AABC的內(nèi)部，連接A。，將線段

CE.

圖1圖2圖3

（1）判斷線段8。與CE的數(shù)量關系并給出證明;

（2）延長ED交直線BC于點F.

①如圖2,當點尸與點B重合時，直接用等式表示線段AE,BE和CE的數(shù)量關系為

②如圖3,當點尸為線段8C中點，且EZ）=EC時，猜想NA4D的度數(shù)，并說明理由.

（1）利用等邊三角形的性質和旋轉的性質易得到/△ACE（5AS）,再由全等三角形的性質求解;

（2）①根據(jù)線段AD繞點A按逆時針方向旋轉60。得到AE得到VADE是等邊三角形，

由等邊三角形的性質和（1）的結論來求解；②過點A作AG_L。于點G,連接AF,根據(jù)等邊三角形的性

ArzAp

質和銳角三角函數(shù)求值得到NBAF=ZDAG,—=—，進而得到ABADsNAG，進而求出ZADB=90°,

ADAB

結合BD=CE,EO=EC得到3Z）=AD,再用等腰直角三角形的性質求解.

【答案與解析】

【答案】⑴BD=CE,理由見解析

（2）@BE=AE+CE；②440=45。，理由見解析

【詳解】（I）解：BD=CE.

證明：???△ABC是等邊三角形，

/.AB^AC,Zfi4C=60°.

?.?線段AZ）繞點4按逆時針方向旋轉60°得到AE,

/.AD=AE9ZDAE=60°9

：.ZBAC=ZDAE,

：.ABAC-ADAC=ZDAE-ZDAC,

^ZBAD=ZCAE.

在和ZXACE中

AB=AC

</BAD=/CAE,

AD=AE

：.^\ABD^AACE（S45）,

：.BD=CE；

⑵解：①BE=AE+CE

理由：???線段A。繞點A按逆時針方向旋轉60。得到AE,

???V4）￡是等邊三角形，

AD=DE=AEf

由（1）得BD=CE,

：.BE=DE+BD=AE+CE；

②過點A作AG,跖于點G,連接如下圖.

???V4）石是等邊三角形，AGA.DE,

：.ZDAG=-ZDAE=30°,

2

：?-cosZ.DAG-?

AD2

???AABC是等邊三角形，點尸為線段3C中點，

:?BF=CF,AFIBC,ZBAF=-ABAC=30°

29

.AF,口V3

??=cos/BAF=—,

AB2

AGAF

:.ZBAF=ZDAG,

ADAB

：.ZBAF^-ZDAF=ZDAG^-ZDAF9

即/&1D=ZE4G,

???△BAD^NAG,

：.ZADB=ZAGF=90°.

?：BD=CE,ED=EC,

：.BD=AD,

即△ABD是等腰直角三角形,

：.ZBAD=45°.

總結與點撥

本題主要考查了等邊三角形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形，相似三角形

的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，理解相關知識是解答關鍵.

例孽3

（2022?廣東深圳?統(tǒng)考中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示,在正方形ABCD中，E為AD邊上一點,

將△AEB沿BE翻折到△3EF處，延長E尸交。邊于G點.求證:LBFG這ABCG

圖①

（2）【類比遷移】如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點,且AD=8,AB=6,將△的沿班翻折到

ABEF處,延長EF交BC邊于點G,延長BF交CD邊于點且FH=CH,求AE的長.

（3）【拓展應用】如圖③，在菱形ABCD中，AB=6,E■為CD邊上的三等分點，ZD=60°,\ADEAE

翻折得到△川花，直線跳'交BC于點尸，求CP的長.

備用1備用2

（1）根據(jù)將AA￡B沿BE翻折到ABER處，四邊形ABCD是正方形，得AB=BF,ZBFE=ZA=90°,即得

ZBFG=90°=ZC,可證RtABFG"RtABCG(HL)；

711

(2)延長AD交于。，設"/=8C=x,在MJC”中，有82+爐=(6+4,得％=可，DH=DC-HC=-,

6_BG_FGI

由ABF8ABCH,得豆=口=尸，BG=±,FG=：,而EQ//GB,DQ//C8,可得會=照，即點=得，

6+--44DQDHDQ6_7

333

144

含，設AE=EF=m,則OE=8rw,因祟=箓，有』二=號,即解得AE的長為

/DCJrCj2

T4

（3）分兩種情況：（I）當DE=；DC=2時，延長在交AD于。，過。作。以工8于H,設QE=y,

貝?。軦Q=6-x,CP=2x,由AE是AAQF的角平分線，有?①，在R&7QE中，（1」4+(x)2=y2②,

622

33

可解得cp=y

11?

(II)當CE=§OC=2時，延長正交AD延長線于0,過。作ON，A5交班延長線于N,同理解得％=可,

CP=-

I答案與解析］

【答案】(1)見解析；(2)j9；(3)C尸的長為|3■或］6

【詳解】證明：(1)二?將A/跳沿m翻折到AB￡F處，四邊形A3CD是正方形,

:.AB=BF,ZBFE=ZA=90°f

.\ZBFG=90°=ZC9

?.?AB=BC=BF,BG=BG,

Rt^BFG^RtABCG(HL)；

(2)解：延長B”,AD交于。，如圖：

設FH=HC=x,

在Rt^BCH中，BC2+CH2=BH2,

/.82+x2=(6+x)2,

解得力=(7,

：.DH=DC-HC=—

39

ZBFG=ZBCH=90°,ZHBC=ZFBG,

:.\BFG^\BCH,

------------，即8a77

BCBHHC6+--

?：EQIIGB,DQ!1CB,

/.\EFQsAGFB,\DHQ^\CHB,

7

,BCCH8_§

,DQ~DH9即質―/J，

-3

■-DQ=y,

^AE=EF=m,貝！1。石=8—%，

88144

:*EQ=DE+DQ=8—m+—=------m,

77

,/^EFQSAGFB,

144

m

.EQ_EFm^P~_m

,"G一尸G'即25T

44

9

解得加=不

9

.：AE的長為，

(3)(I)當DE=；DC=2時，延長EE交AD于Q,過。作。"工C￡＞于“，如圖:

AB

DQ=x,QE=y9貝1]AQ=6-x,

-CPUDQ,

ACPESAQDE,

.—2

"DQDE9

CP=2x9

?.?A4DE沿AE翻折得到AAFE,

：.EF=DE=2,AF=AD=6,ZQAE=ZFAE,

J.AE是AAQF的角平分線,

.AQ=QE即？=白①,

,AF~EFo2

?「ND=60。，

..DH=-DQ=-xHE=DE-DH=2--XHQ=^DH=—x

229292f

222

在放Af/QE中，HE+HQ=EQ9

，（1一;+（等X）2=/②，

3

聯(lián)立①②可解得x=],

4

3

CP=2x=-；

：2

（II）當C￡=；OC=2時，延長庫交AD延長線于。，過。作DNLAB交B4延長線于N,如圖:

同理NQNE二NE4/，

二箜即山=工

AFEF64

由H02+802=0,02得：（5%）2%+4）2=>2,

12

可解得％=不，

/.CP=—x=—,

25

綜上所述，C尸的長為g或

總結與點撥

本題考查四邊形的綜合應用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質，三角形角平分線的性質,

勾股定理及應用等知識，解題的關鍵是方程思想的應用.

精喻暝辨題

1.（2022.安徽合肥?校聯(lián)考三模）已知AC,EC分別是四邊形ABCD和四邊形跖CG的對角線，點E在AABC

的內(nèi)部，ZCAE+ZCBE=90°.

（1）探索發(fā)現(xiàn)：如圖1,當四邊形ABCD和四邊形跖CG均為正方形時，則N￡B尸的度數(shù)為；

⑵引申運用：如圖2,當四邊形ABCD和四邊形EPCG均為矩形時，

ARFF

①若能=蕓，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；

BCFC

②若然=2==,AE=2,BE=1,求線段CE的長；

BCFC4

（3）聯(lián)系拓展：如圖3,當四邊形ABCD和四邊形跖CG均為菱形且/ZMB=NG￡F=30。時，設

BE=a,AE=b,CE=c,試探究a,b,c三者之間的等量關系，并說明理由.

【答案】（1）90。

（2）①（1）中的結論還成立；證明見解析；②叵

3

⑶（2+石）〃+62=c2.理由見解析

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質得到g=￡|=應，ZACB=/ECF=45。,由相似三角形的性質得到

BCCF

ZCAE=NCBF,由余角的性質得到ZEBF=90°；

ABEF

（2）①如圖2,連接^—=—=k,BC=a,FC=b,于是得到鈿=如，石尸=劭，根據(jù)勾股定

BCFC

理得到AC=（AB?+BC，=aJ/+1，CE=VEF2+FC2=b^k2+l-推出△ACEsA^CF,根據(jù)相似三角

形的性質得到NC4E=/CBFZCAE+ZCBE=90°,于是得到/EB尸=90。；

AFAC

②根據(jù)相似三角形的性質得到NC4E=NCB產(chǎn)，—,推出/仍尸=90。，設3c=a,FC=b,得到

BFBC

33

AB=-aEF=小根據(jù)勾股定理即可得到結論；

4f4

（3）首先根據(jù)ND鉆二30。，可得NABC=180。-45。=135。，在△ABC中，根據(jù)勾股定理可求得

AB\BC\AC?之間的關系，EF\FC\EC?之間的關系；然后根據(jù)相似三角形判定的方法，判斷出

AACEs^BCF,即可用6表示出跖的值；最后判斷出尸=90。，在RtAB所中，根據(jù)勾股定理，判

斷出a,b,c三者之間滿足的等量關系即可.

【詳解】（1）解：：四邊形A8CD和四邊形跖CG均為正方形，

：.—=—=y[2,ZACB=ZECF=45°,

BCCF

：.ZACE=NBCF,

^CAE^/^CBF,

:./CAE=NCBF,

???ZC4E+ZCBE=90°,

JZCBF^ZABE=90°,

：.ZEBF=90°；

故答案為：90°；

ADFF

（2）解：①若黑=蕓，（1）中的結論還成立;

BCFC

證明：如圖2,連接B尸,

圖2

ABEF

:——=—,ZABC=ZEFC=90°

BCFCf

...AABCs八EFC,

：.ZACB=ZECF,

ARFF

設絲=M=左，BC=a,FC=b,

BCFC

AB=ka，EF=kb，

AC=y]AB2+BC2=a>Jk2+l,CE=4EF2+FC1=4/r+l,

?ACAES△CBF,

VZCAE=ZCBFfZC4E+ZCBE=90°,

???NCBE+/CBF=90°,

：.ZEBF=90°；

②??,VAESACBF,

：.ZCAE=ZCBF,—,

BFBC

又「ZC4E+ZCBE=90°,

/CBE+/CBF=90°,

：.ZEBF=90°,

設BC=a,FC=b,

ABEF_3

3c?———，

BCFC4

33

/.AB=-a,EF=—b,

44

：.AC=^AB2+BC2=-a,CE=^EF2+FC2=-b,

44

.AEAC5

??而一法一"

,/AE=2,

??一，

BF4

???DRZr7=—8,

圖3

:四邊形ABC。為菱形,

AB^BC,設AB=BC=x,

；NCBH=ZDAB=30°,：.BH=—,CH=-x,

22

AC1=AH'+CH-=2+@尤2,

2

AB2:BC2:AC2=1:1:(2+A/3),

同理可得政2:尸C?:EC?=1:1:（2+代），

c2

EF2=-----尸=----廣,

2+62+V3

在AACE和ABCF中，生EC

BCFC

???四邊形ABCQ和四邊形跖CG均為菱形，ZDAB=ZGEF=30°,

：.ZDCB=ZGCF=30°,

：.ZACB=ZECF=15°,

：.ZACE=ZBCF=15°-ZBCE,

???^CAE^CBF,

.AE2AC2

=2+A/3，NCAE=NCBF,

*BF7-BC7

XVAE=b,

金-上

.?DBrE?—-/——1—f

2+V32+V3

；NCAE=NCBF,NC4E+NC5石=90。，

??/CBE+/CBF=90°,

??ZEBF=90°,

9-EF2=BE2+BF2

即a,b,，三者之間滿足的等量關系是：（2+^）a2+b2=c2.

2.（2022?浙江寧波??？既＃净A鞏固】

(1)如圖①，在四邊形ABCD中，AD//BC,ZACD=/B,求證：AABCSADCI；

(2)【嘗試應用】如圖②，在平行四邊形ABC。中，點E在上，，血)與NC互補，BE=2,EC=4,

求AE的長;

(3)【拓展提高】如圖③，在菱形ABCD中，E為其內(nèi)部一點，—4￡D與NC互補，點P在8上，EF//AD,

且AD=2￡F,AE=3,CF=1,求DE的長.

【答案】(1)見解析

⑵2百

(3)6-72

【分析】(1)由AD〃BC,可得NACB=NC4。，再利用NB=NACE>,即可得出AABCSAOG4；

(2)根據(jù)兩組角相等可求得△ABEs△￡)陽，可得AE=BE.AP，進而可求得AE的值;

(3)延長在交AB于G,則四邊形AGED是平行四邊形，AD=Gb,由AD=2E尸得AD=GF=2EF=2GE,

,/八口AEADDEf口AD2口DEADr-

由⑵可信.AABESADEA,瓦=瓦=疝可侍W9=GESD=^,即n施=次=應，

AD=0AE=30，根據(jù)菱形ABC。得A2=CD=AD=3&，則AG=OF=3點-1，即可求解.

【詳解】(1)證明：：AD//BC,

：.ZACB=ZCAD,

又：ZB=ZACD,

*,?△ASC*s4℃4；

(2)解：：四邊形ABC。是平行四邊形,

AAD//BC,AB//CD,AD=BC,

ZDAE=ZAEB,ZC+ZB=180°,

VZAED+ZC=180°,

:.ZAED=ZB,

AABE^ADEA，

.BEAE

??一,

AEAD

AE2=BE-AD，

"：BE=2,EC=4,

：.AD^BC=6,

AE2=BEAD=2x6=l2,

AE=2y/3；

(3)解：延長尸E交AB于G,

:四邊形ABCD是菱形，

?.AB//CD,AB=CD=AD,

?/EF//AD,

四邊形AGED是平行四邊形,

/.AD=GF,AG=DF,

?/AD=2EF,

：.AD=GF=2EF=2GE,

AD

?.C?CFrzS_-----

2

由(2)可得.AABEsADEA,

.AEADDE

*GE-AE-AG，

74f)2

AE2=GEAD=——

2

AD=^AE=^,3*半=億

AB=CD=AD=30，

AG=DF=3及一\，

DE=0,

3應-1

DE=6-0.

3（2022?山東濟南?統(tǒng)考模擬預測）（1）【問題情境】如圖1,四邊形ABCD是正方形，點E是AD邊上的

一個動點，以CE為邊在CE的右側作正方形CEFG,連接。G、BE,則0G與BE的數(shù)量關系是

(2)【類比探究】如圖2,四邊形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,點E是邊上的一個動點，以CE為

邊在CE的右側作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,連接￡>G、BE.判斷線段DG與的有怎樣的數(shù)量關系和

位置關系，并說明理由；

(3)【拓展提升】如圖3,在(2)的條件下，連接BG,則23G+3E的最小值為.

【答案】(1)DG=BE；(2)DG=^BE,DG±BE.理由見解析；(3)4M

【分析】(1)通過證明aOCG/△BCE(SAS)全等，得到2X7=延；

C'C'1

(2)通過證明△DCGsABCE得到——=—=一，NBEC=NDGC,延長BE、GO相交于點”.可以證明

BECE2

DG.LBE；

(3)作于N,GM,5c交3c的延長線于首先證明點G的運動軌跡是線段MG,將25G+5E

的最小值轉化為求2（5G+DG）的最小值.

【詳解】解：DG=BE,

理由：

??,正方形ABCO,

/.CD=CB,ZBCD=90。,

??,正方形￡CGP,

：.CG=CE,/ECG=90。,

；?/ECG=/BCD=90。,

:?/DCG=/BCE,

在△DCG和3CE中，

CD=CB

<NDCG=/BCE,

CG=CE

???ADCG^ABCE(SAS),

???DG=BE；

(2)解：DG=-BE,DGLBE.

2

理由如下：延長5E、GD相交于點H.

???矩形ECG/、矩形ABC。,

???/ECG=/BCD=90。，

：./DCG=/BCE,

VCD:CB=2:4=1:2,CG:CE=1:2,

：.CD:CB=CG:CE,

■:/DCG=/BCE,

：.△DCSABCE,

.DG_CG

/BEC=/DGC,

**BE-CE-2

/.DG=-BE,

2

???矩形石CGb,

：.ZFEC=ZFGC=ZF=90°,

：.ZHEF+ZBEC=1SO°-ZFEC=9O0,/FGH+ZDGC=9伊，

???/〃=〃=90。，

DG±BE；

(3)解：作RV_L5C于N,GM_L5c交5c的延長線于M.

F

圖3

ZFNC=ZCMG=ZECG=90°,

???ZFCN+Z.GCM=ZFCN+/CEN=90°,

???/GCM=/CEN,

???/\ECN^Z\CGM,

.ECEN0

CGCM

*.?EN=AB=2,

：.CM=lf

：.點G的運動軌跡是直線MG,

作點。關于直線MG的對稱點G',連接BG交MG于G,此時5G+GD的值最小，最小值為BG,

由（2）知，DG=、BE,

，BE=2DG,

：.2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）,

：.23G+3E的最小值就是2（BG+Z）G）的最小值.

BG=J展+6。=2曬，

23G+3E的最小值為4加，

故答案為：4M.

4.（2022.江蘇蘇州??？家荒＃纠斫飧拍睢?/p>

定義：如果三角形有兩個內(nèi)角的差為90。，那么這樣的三角形叫做“準直角三角形”.

（1）己知△ABC是“準直角三角形"，且NC>90。.

①若ZA=60。，則ZB=°；

②若NA=40。，貝|N3=°；

【鞏固新知】

(2)如圖①，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AB=6,BC=2,點。在AC邊上，若是“準直角三角形”,

求。的長；

圖①

【解決問題】

(3)如圖②，在四邊形A3CD中，CD=CB,ZABD=ZBCD,AB=5,BD=8,且"LBC是"準直角三角形”,

求△BCD的面積.

圖②

【答案】⑴①15；②10或25

⑵co=3或日

(3)△BCD的面積為48或24

【分析】(1)①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；

②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；

(2)根據(jù)題意可分為①當N&M-"BA=90。時，過點。作D"LAB于結合勾股定理求解;

②NaM-NA=90。，結合相似三角形的判定和性質求解即可；

(3)過點C作CF_L3D于尸，CE1AB,交的延長線于E,設NASD=NBCD=2x,

根據(jù)CF_L3D和CE/AB可得CE=CF,即可證明RtABCE9RtABC尸，可得BE=BF=4,進而分情況討

論求解：當/ABC-NACB=90。時和當NABC—NBAC=90。.

【詳解】(1)①當NC—NA=90。時，則NC=150。，

?.ZB=180°-ZC-ZA=-30°(不合題意舍去)，

當NC—NB=90°,則NC=NB+90°,

?/ZA+ZB+ZC=180°,

2ZB=30°,

ZB=15°,

綜上所述：ZB=15°,

故答案為：15；

②當/C-NA=90。時，則/C=130。，

ZB=180°-ZC-ZA=10°,

當NC—々=90°,則NC=NB+90°,

,?ZA+ZB+ZC=180°,

?.2ZB=50°,

ZB=25°,

綜上所述：N3=10?；?5。，

故答案為：10或25；

(2)當/直必—“衣4=90。時，如圖①，過點。作于

B

圖①

在Rt^ABC中，ZACB=90°,BC=2,AB=6,

???AC=dAB2-BC2=后-2?=4五，

ZBDA-ZDBA=90°,ABDA=NDBC+ZC=ZDBC+90°,

???NDBA=NDBC,

又?；DH上AB,DCLBC,

：.DH=DC,

sinA出BC_1

AD~AB~3

：.DH=-AD=DC,

3

??.Z)C=-AC=V2,

4

當NBZM—NA=90。時，

VZBZM-ZA=90°,ZBDA=ZDBC+NC=ZDBC+90。,

:?ZA=/DBC,

又,:zc=zc,

:.Z\BCDsAACB,

.BCCD

??—f

ACBC

2CD

：.CD=—,

2

綜上所述：CD=五或叵;

2

(3)如圖②，過點。作CF,5。于凡CE1AB,交的延長線于區(qū)

圖②

設ZABD=ZBCD=2x,

■:BC=CD,CF工BD,

：.ZCBD=ZCBE=90°-BF=DF=4,

又"：CFLBD,CE±AB,

：.CE=CF,

又???BC=BC,

在RSBCE和Rt^BCF中，

{CE=CF

\BC=BC"

：.RtABCERtABCF(HL),

BE=BF=4,

當ZABC-ZACB=90°時，

又?:ZABC-ZAEC=NBCE,

:.ZBCA=ZBCEf

—ACA35

由（2）可知：---=---=—,

CEBE4

設AC=5a,CE=4a,貝ljAE=3a=9,

??a=3,

:.CE=n=CF,

，％S=；X12X8=48,

當ZABC-ABAC=90°,

又,?ZABC-ZAEC=NBCE,

：.ZBAC=NBCE,

又：NE=NE=90。,

&BCESACAE,

.CE_BE

"~AE~'CE'

，CE=6,

S'BC。=gx6x8=24,

綜上所述：△BCD的面積為48或24.

5.（2022?福建福州?福建省福州教育學院附屬中學?？寄M預測）問題發(fā)現(xiàn).

⑴如圖①，RMABC中，ZC=90°,AC=3,804,點尸是AB邊上任意一點，則CP的最小值為.

(2)如圖②，矩形ABCD中，AB=3,3C=4,點M、點N分別在B。、BC上，求CM+ACV的最小值.

(3)如圖③，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點E是A3邊上一點，且AE=2,點/是BC邊上的任意一點,

把右3防沿斯翻折，點8的對應點為G,連接AG、CG,四邊形AGCD的面積是否存在最小值，若存在,

求這個最小值及此時期的長度.若不存在，請說明理由.

【答案】(1)要12

96

(2)—

25

(3)存在，最小值為BF=3

【分析】(1)根據(jù)點到直線的距離最小，再用三角形的面積即可得出結論;

(2)先根據(jù)軸對稱確定出點/和N的位置，再利用面積求出CP,進而求出CE,最后用三角函數(shù)即可求

出CA/+MN的最小值；

(3)先確定出EG,AC時，四邊形AGCD的面積最小，再用銳角三角函數(shù)求出點G到AC的距離，最后用

面積之和即可得出結論，再用相似三角形得出的比例式求出CF即可求出8F.

【詳解】(1)如圖①，過點C作CP,AB于P,根據(jù)點到直線的距離垂線段最小，此時CP最小，

在MAASC中，AC=3,3C=4,根據(jù)勾股定理得，AB^y/AC2+BC2-5-

,/-ACxBC=-ABxCP

22

.ACBC12

AB5

1?

故答案為了；

(2)如圖②，作出點C關于8。的對稱點E,連接CE交8。于點尸,

過點E作EN1BC于N,交3D于連接CM,此時CM+MN=EN最小;

.-.ZBCD=90°,CD=AB=5,根據(jù)勾股定理得，BD=5,

?.?CE_LBD,

.\-BDxCF=-BC?CD

22f

…BCxCD12

/.CF=---------=——,

BD5

24

由對稱得，CE=2CF=—,

CF3

在Rt^BCF中，cos/BCF=——=-,

BC5

4

sin^BCF=-,

5

24496

在Rt^CEN中，EN=CEsinNBCE=—?—=—；

5525

96

即：CM+MN的最小值為一；

(3)存在.

如圖3,

圖3

,?,四邊形ABCQ是矩形,

:.CD=AB=3,AD=BC=4,ZABC=ZD=90°,

根據(jù)勾股定理得，AC=5,

???AB=3,AE=2,

二?點尸在5c上的任何位置時，點G始終在AC的下方，

設點G到AC的距離為心

,S四邊形AGCD二SAACD+S?ACGr\xCD~^~ACx/?x4x3+°x5x/?-〃+6,

.?.要四邊形AGC￡＞的面積最小，即：〃最小，

???點G是以點E為圓心，BE=1為半徑的圓上在矩形ABCD內(nèi)部的一部分點,

,EGJ.AC時，〃最小，

由折疊知NEGF=NABC=90°,

延長EG交AC于"，則EH_LAC,

BC4

在RtAABC中，sin/BAC==—

AC5

EH4

Rt/\AEH中，AE-2,sinN^BA.C-----——,

AE5

48

:.EH=-AE=-

55f

Q3

/.h=EH-EG=——1二一，

55

05,-53,15

，

二?S四邊形AGS最小=h+6=2><5+6=T

過點尸作五K,AC于K,

??,EHIFG,EH工AC,

二.四邊