專題08幾何中的面積問題

I鬻餐概述

面積問題是壓軸題中?？嫉膯栴}，不僅在幾何壓軸題中，在函數(shù)壓軸題中考查的頻率也很高。幾何壓軸

題中的面積問題往往比較抽象，并不是簡單幾何圖形的面積，通常情況下，我們需要對所求的幾何圖形面

積進行轉化為我們熟悉的可求的類型。在幾何壓軸題中的面積考查主要表現(xiàn)為兩個方面：一是求某個幾何

圖形的面；二是求變化中的幾何圖形面積的最值。

一、求某個幾何圖形面積的類型，常用的方法：

1.添加輔助線：通常包括做出三角形的高，割補法構造三角形等。

2.圖形變換的方式對所求圖形進行轉化，例如通過平移、旋轉等變化，把復雜圖形轉化為三角形等。

3.可以利用三角形全等，對圖形進行轉化。

4.利用相似三角形的面積之比等于相似比，構建方程進行求解。

二、求變化中的幾何圖形的面積問題：

(1)方程與函數(shù)的方法：通常需要設出未知數(shù)無，并用尤表示出求面積所必需的邊長和高，構建方程求出未

知數(shù)，或構建函數(shù)，利用函數(shù)的性質求得面積的最值。

(2)幾何的方法：一般情況下，在求變化中幾何圖形的面積的最值時，需要我們找準變化的量，討論變化

的量的臨界值，例如：在求變化三角形的面積最值時，如果底邊長一定，而底邊上的高在不斷的變化，我

們就要根據(jù)高線變化的規(guī)律，尋找高的最大值或者最小值的情況，從而求得面積的最小值。

真題精析

例孽1

(2022?浙江衢州?統(tǒng)考中考真題)如圖，在菱形ABC。中，AB=5,為對角線.點E是邊AB延長線上的任

備用圖I備用圖2

⑴求證：ND3G=90°.

(2)若皮)=6,DG=2GE.

①求菱形ABC。的面積.

②求tan/B￡＞E的值.

(3)若助=M，當/D4B的大小發(fā)生變化時(0。＜//1鉆＜180。)，在AE上找一點T,使GT為定值，說明

理由并求出ET的值.

(1)由菱形的性質可證得/CBO=/ABO=:NABC,由BG平分/CBE交。E于點G,得到NC8G=

ZEBG=^ZCBE,進一步即可得到答案；

(2)①連接4C交30于點04柩。0。中，0C=《CD?—OD?=招-3?=4，求得4。=8,由菱形的面積

公式可得答案；②由3G〃4C,得到器=黑=：,DH=HG,DG=2DH,又由OG=2GE,得到EG=

DH=HG,則里=！，再證明△CDHS/XAEH,CH=-AC=-,OH^OC~CH^4~-=-,利用正切

EH23333

的定義得到答案；

(3)過點G作GT〃BC,交AE于點￡△BGEs/vlHE,得A3=3E=5,則EG=GH,再證△DOH^/XDBG,

得DH=GH=EG,由△EGTs/\EZM得包=旦=工，GT=9,為定值，即可得到ET的值.

ADEA33

【答案與解析】

【答案】(1)見解析

…4

⑵①24,②g

(3)ET=y,理由見解析

【詳解】(1)證明：?.?四邊形A3C。是菱形，

：.BC=DC,AB//CD,

：.ABDC=ZCBD,NBDC=ZABD,

：.ZCBD=ZABD=；ZABC,

,：BG平分NCBE交DE于點、G,

：.ZCBG=ZEBG=|ZCBE,

：.ZCBD+ZCBG^^(NABC+NCBE)=1xl80°=90°,

，ND5G=90。；

(2)解：①如圖1,連接AC交6。于點O,

???四邊形A5CD是菱形，BD=69

：.OD=^BD=39ACLBD,

：.NDOC=9。。,

在也△DOC中，oc=Jee?_o02=正_32=4,

：.AC=2OC=8,

'S菱形MCD=gACx50=〈x8x6=24，

即菱形ABGD的面積是24.

②如圖2,連接AC,分別交60、DE于點0、H9

???四邊形A5CD是菱形，

：.ACLBD,

VZDBG=90°

：.BG±BDf

：.BG//AC9

.PHDO1

??—―，

DGBD2

：.DH=HG9DG=2DH9

,:DG=2GE,

：.EG=DH=HG,

.DH\

^~EH~29

■:ABHCD,

：.ZDCH=EAH,NCDH=NAEH,

：.ACDH^AAEH9

.CHPH_1

*'AH--2*

：.CH=-AC=-,

33

84

A0H=OC-CH=4一—=一，

33

/.tanZBZ)E=-=-；

OD9

10

(3)如圖3,過點G作GT〃5C交AE于點T,此時￡T=3.

理由如下：由題(1)可知，當NZM5的大小發(fā)生變化時，始終有BGI/AC,

：.ABGE^AAHE9

?EGBE

??一，

GHAB

?:AB=BE=5,

：.EG=GHf

同理可得，ADOHs/\DBG,

?PHDO

??謝一茄’

,:BO=DO,

：.DH=GH=EG,

■:GTHBC,

：.GT//AD9

:AEGTS/\EDA,

.GTEGET_1

??茄—訪一鬲一葭

VAZ)=AB=5,

.,.GT=|,為定值，

此時ET=1AE=1(AB+BE).

333

皿與翻

此題主要考查了相似三角形的判定和性質、菱形的性質、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似

三角形的判定和性質是解題的關鍵.

例年2

(2022?山東東營?統(tǒng)考中考真題)AABC和△A"均為等邊三角形，點E、。分別從點A,8同時出發(fā)，以

相同的速度沿AB、3C運動，運動到點8、C停止.

(1)如圖1,當點E、。分別與點A、8重合時，請判斷：線段CD、砂的數(shù)量關系是，位置關

系是;

⑵如圖2,當點E、。不與點A,8重合時，(1)中的結論是否依然成立？若成立，請給予證明；若不成立,

請說明理由；

(3)當點。運動到什么位置時，四邊形CEED的面積是“IBC面積的一半，請直接寫出答案；此時，四邊形

跖是哪種特殊四邊形？請在備用圖中畫出圖形并給予證明.

型輻

(1)根據(jù)AABC和尸均為等邊三角形，得至I」A尸=40,AB=BC,ZFAD=ZABC=60°,根據(jù)E、D分

別與點4、8重合，得至IJAB=A￡>,EF=AF,CD=BC,ZFAD=ZFAB,推出CZ)=EF,CD//EF,

(2)連接BF,根據(jù)NE4JD=NA4C=60。，推出NB45=NZMC,根據(jù)AF=AD,AB=AC,推出△AFB^/^ADC,

得至!|/43尸=/4。。=60°,BF=CD,根據(jù)AE=3。，推出5E=CZ),得至！|BF=5E,推出△8尸E是等邊三角形，

得到BF=EF,NFE5=60。，推出CD=EF,CD//EFi

(3)過點E作EG_LBC于點G,設△A3c的邊長為%4。=瓦根據(jù)AB=BC,BZ>=a)=1fiC=BD=AE,

推出AE=BE=1AB,根據(jù)A5=AC,推出AO_L3C,得至！JEG〃A。，推出△EBGs/XABO,推出

笆=空=1得到皮=\AD=\h,根據(jù)CZ)=E尸，CD//EF,推出四邊形CE")是平行四邊形，推

ADAB222

出ScEFDnCO-EGulat/znUa/iMjSvMc,根據(jù)E尸=30,EF//BD,推出四邊形尸是平行四邊形,

乙乙乙乙乙

根據(jù)3尸=石尸，推出是菱形.

［答案與解析】

【答案】⑴CD=EF,CD//EF

(2)CD=EF,CD//EF,成立，理由見解析

(3)點￡)運動到BC的中點時，口BDEF是菱形,證明見解析

【詳解】(1)：AABC和△AD/均為等邊三角形，

：.AF=AD,AB=BC,ZFAD=ZABC=60°,

當點E、。分別與點4、3重合時，AB=AD,EF=AF,CD=BC,ZFAD=ZFAB,

：.CD=EF,CD//EF；

故答案為：CD=EF,CD//EF；

(2)CD=EF,CD//EF,成立.

證明：

連接BF,

'：ZFAD=ZBAC=6d°,

二ZFAD-ZBAD=ZBAC-ZBAD,

即NE4B=NZMC,

"：AF=AD,AB=AC,

：.AAFB^AADC(SAS),

AZABF=ZACD=6Q°,BF=CD,

'：AE=BD,

：.BE=CD,

:.BF=BE,

...△3尸E是等邊三角形，

：.BF=EF,ZFEB=60°,

：.CD=EF,BC//EF,

即CD//EF,

：.CD=EF,CD//EFi

(3)如圖，當點。運動到3c的中點時，四邊形CEFD的面積是面積的一半，此時，四邊形3。跖

是菱形.

證明：

過點E作EGLSC于點G,設AA3C的邊長為a,AD=h,

"：AB=BC,BD=CD=3BC=BD=AE,

：.AE=BE=^AB,

'：AB=AC,

：.AD±BC,

J.EG//AD,

:.AEBGSAABD,

.EGBE1

??一—?

ADAB2

：.EG=；助=

由(2)知，CD=EF,CD//EF,

:.四邊形CEFD是平行四邊形，

??S四邊形CEFD=CD，===

此時，EF=BD,EF//BD,

???四邊形BDEF是平行四邊形，

'：BF=EF,

:.口BDEF是菱形.

A

總結與點撥

本題主要考查了等邊三角形判定與性質，全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，相似三角

形的判定與性質，菱形的判定，解決問題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定

和性質，平行四邊形判定和性質，相似三角形的判定和性質，菱形的判定.

例年3

(2022?四川綿陽?統(tǒng)考中考真題)如圖，平行四邊形A3C。中，DB=,AB=4,AO=2,動點E,尸同

時從A點出發(fā)，點E沿著A—0T8的路線勻速運動，點廠沿著。的路線勻速運動，當點E,尸相

遇時停止運動.

2

(1)如圖1,設點E的速度為1個單位每秒，點尸的速度為4個單位每秒，當運動時間為§秒時，設CE與

DF交于點P,求線段EP與CP長度的比值；

(2)如圖2,設點E的速度為1個單位每秒，點尸的速度為有個單位每秒，運動時間為x秒，//所的面積

為》求y關于x的函數(shù)解析式，并指出當尤為何值時，y的值最大，最大值為多少？

(3)如圖3,X在線段上且M為。尸的中點，當點、E、尸分別在線段A。、A8上運動時，探

究點E、尸在什么位置能使并說明理由.

聊甌

⑴延長。尸交C3的延長線于點G,先證得AAFD~ABFG，可得￡=當，根據(jù)題意可得AF=|,AE=|,

FBBG33

可得到CG=3,再證明△PDEs/\PGC,即可求解；

(2)分三種情況討論：當0夕02時，E點在4。上，耳點在A3上；當2WxW逑時，￡點在5。上，F(xiàn)

3

點在AB上；當逑4尤42班時，點E、F均在8。上，即可求解；

3

(3)當E尸〃50時，能使EM=HM.理由：連接根據(jù)直角三角形的性質，即可求解.

【答案與解析】

【答案】⑴黑吃

|x2（0<x<2）

(2)y關于x的函數(shù)解析式為產(chǎn)------X?-X?----X2<x<—；當x=4二時,y的最大值為2+,6；

4223J33

6+2\/3-X--<X<2A/3

(3)當E尸〃3。時，能使理由見解析

【詳解】(1)解：如圖，延長。尸交的延長線于點G,

圖1

V四邊形ABCD是平行四邊形，

ACG//AD,

：.AAFD~ABFG,

.AFAD

??一，

FBBG

__2

???點E的速度為1個單位每秒，點方的速度為4個單位每秒，運動時間為§秒,

82

.?AF=—,AE=—,

33

VAB=4,AD=29

44

:?BF=—,ED=-

339

8

.?二2

?虧BG'

3

：.BG=1,

:.CG=3,

CG//AD,

MPDEsAPGC,

?EP_ED

??一，

PCGC

.EP_4

??=；

PC9

(2)解：根據(jù)題意得：當O0E2時，E點在4D上，尸點在AB上,此時AE=x,AF=^

,:DB=2?,43=4,40=2,

:.AD2+BD2=AB2,

.?.△ABO是直角三角形，

..AD_1

?A8一2，

二ZABZ)=30°,

：.ZA=60°,

如圖，過點E作交于

y=—xAFxEH=-xy/3xx—^-x=—x2;

2224

.,.當x>0時，y隨x的增大而增大,

此時當x=2時，y有最大值3；

當2VxV拽時，E點在BO上，F(xiàn)點在AB上,

3

如圖，過點E作交于N,過點。作交于M,則EN〃OM,

:.BE=243+2-x,

在出AABO中，DM=ADsinA=^,AM=1,

'：EN//DM,

:ABENs^BDM,

.ENBE

,?DM-BD'

.EN_2+2s/3-x

"y/3~2y/3

：.EN=l+#

2

y=-xAFxEN=-x(5/3x)x(l+^3-—x)=--x2+――-x，

-22242

此時該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=抬+1,

.?.當2WxV還時，y隨x的增大而增大，

3

此時當尤=時，y有最大值2+=6；

33

當逋時，點E、F均在上，

3

過點E作EQLA5交于。，過點F作交于尸，過點。作于點M,

'：AB=4,AD=2,

:.BE=2+-x+2,DF=4+6,

■:PF//DM,

:.△BFPs/\BDM,

.BFPFy/3x-4PF

''BDDM'2>/3-G，

二PF=—x-2,

2

VEQ!/DM,

:.ABEQs叢BDM,

.BEEQM2A/3+2-XEQ

BDDM273V3

:.EQ=6+l-g尤，

-[x+2)=6+26-(1+療

:.y=-xABx(EQ-PF)=-x4x(V3+l

-22

此時y隨x的增大而減小，

此時當X=平時，y有最大值2+g石

#(。=三2)

一旦2+二+與(2MxM述]

綜上所述：y關于x的函數(shù)解析式為尸'

42213J

6+2班-%-/J述WXW2G

,17

當了=孚時，y最大值為2+：6；

(3)解：當E歹〃8。時，能使M.理由如下：

連接OH,如圖，

/。

AHFB

AH=-HB,AB=4,

3

:AH=1,

由(2)得：此時AHLAB,

???拉是。尸的中點，

：.HM=DM=MFf

YEF〃BD,BDLAD,

：.EF±ADf

：.EM=DM=FM,

，儂與譴

本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質，平行線的性質，直角三角形的性質，分類討論，數(shù)

形結合是解題的關鍵.

睛孤膜理題

1.(2022?廣東江門??？家荒?點E為正方形ABCD的邊CD上一動點，直線AE與3D相交于點尸，與3c的

延長線相交于點G.

圖①圖②

(1)如圖①，若正方形的邊長為2,設￡>E=x,△DEG的面積為，，求，與x的函數(shù)關系;

(2)如圖②，求證：是AECG的外接圓的切線；

(3)如果把正方形ABCQ換成是矩形或菱形，(2)的結論是否是否仍然成立？

2.(2022?山東青島?山東省青島第二十六中學?？级?問題提出:已知任意三角形的兩邊及夾角，求三角

形的面積.

問題探究：為了解決上述問題，我們先由特殊到一般來進行探究.

探究一：如圖1,在AABC中，ZABC=90°,AC=b,BC=a,，/C=Za,求AABC的面積.

在RtZkABC中，ZABC=90°,

.AB

sin<7=---

AC

.\AB=b?sma.

SMBC=；BC*AB=ga*bsina.

探究二：如圖2,AABC中，AB=AC^b,BC=a,NB=Na,求AABC的面積（用含。、b、a代數(shù)式

表示），寫出探究過程.

探究三：如圖3,AABC中，AB=b,BC=a,NB=Na,求AABC的面積（用。、b、a表示）寫出探究

過程.

問題解決：己知任意三角形的兩邊及夾角，求三角形的面積方法是：（用文字敘述）.

問題應用：如圖4,已知平行四邊形ABCD中，AB=b,BC=a,NB=a,求平行四邊形ABC。的面積（用

a、b、a表示）寫出解題過程.

問題拓廣：如圖5所示，利用你所探究的結論直接寫出任意四邊形的面積（用。、b、c、d、a、夕表示）,

其中AB=b,BC=c,CD=d,AD=a,AA=a,NC=￡.

3.（2022?寧夏銀川??？家荒＃┤鐖D，AB,AC分別是。。的直徑和弦，半徑OE/AC于點￡）.過點A作。O

的切線與OE的延長線交于點尸，PC,A3的延長線交于點

⑴求證：PC是。。的切線；

（2）若尸C=2AD,AB=10,求圖中陰影部分的面積.

4.（2022.四川南充.模擬預測）如圖，有兩塊量角器完全