安徽省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期

3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.

3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡

上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題

的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效.

4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊(cè)，選擇性必修第二冊(cè).

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知函數(shù)/（x）=co&x—l,則lim/（兀+’）_"兀）=（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】B

【解析】因?yàn)?（x）=cosx—l,

所以/'（%）=-sinx,

所以4111/（兀+‘）-""=''（兀）=-sinn=0.

故選：B.

2.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S"，若［0=1，則與=（）

19

A.—B.10C.19D.38

2

【答案】C

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛。“｝是等差數(shù)列，

所以=19（。；頡）=19=19%）=19.

故選：C.

3.下列求導(dǎo)的運(yùn)算正確的是（）

1

B.呵x

\2Jxln2

1

C.=(/+3%2)eD.(ln(4x+l))=

4x+l

【答案】C

【解析】對(duì)于A,=1+二=1±^,故A錯(cuò)誤;

Vx)xx

/\

1]

對(duì)于B,log^xi]___dn2，故B錯(cuò)誤;

I2)xln—

2

對(duì)于c,(x3e-v)=3x2-ex+%3-ex=(x3+3x2)ex,故C正確;

/\，[4

對(duì)于D,(ln(4x+l))=4x-----二------,故D錯(cuò)誤.

''"4%+14%+1

故選：C

117

4.已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列｛4｝滿足%4=77，見(jiàn)+“5=二，貝1J4o=()

6432

11

A.----B.C.512D.1024

1024512

【答案】A

1…1「17

【解析】在等比數(shù)列｛4｝中,〃2。4---，所以=---，又4+〃5=---，"1>“5，

646432

解得a=—,a=—

x2532

設(shè)｛4｝的公比為小

1

貝內(nèi)4=幺=正’解得

%

因?yàn)椋?。“｝單調(diào)遞減，所以qng.Go=?i/

故選：A

5.已知點(diǎn)P是拋物線C：V=4x上任意一點(diǎn)，若點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為4,到

直線〃2：2x—y+3=0的距離為4,則4+4的最小值是(

A.1+邁「3

B.75亞

55

【答案】B

【解析】拋物線C:9=4x的焦點(diǎn)為尸(1,0),準(zhǔn)線方程為x=—1,

過(guò)點(diǎn)尸作EE_L機(jī)，交直線機(jī)于點(diǎn)E,

由拋物線的定義可知，4=|PF|,

/、I?12—0+31I—

所以當(dāng)尸在線段防上時(shí)，4+4取得最小值，(4+4).=仁目=^~1=卮

m，"V5

故選：B.

6.在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,3),5(0,—l),點(diǎn)尸滿足|PA|=2|PB|,則面積的最

大值是()

81632

A.2B.—C.—D.—

333

【答案】C

【解析】設(shè)點(diǎn)P(x,y),因?yàn)閨P4|=2|PB|,所以Jj+(y—3)2=2j4+(y+l)2,

整理得x2+(y+g］吟，

所以點(diǎn)尸的軌跡是以1o,-g］為圓心，以|為半徑的圓，

Q

所以點(diǎn)尸到直線AB的最大距離4^=-，

所以△總面積的最大值為s=卻4mx=gx4義|=g.

故選：C.

7.己知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(%)滿足且/(%)+/'(%)＜0,則不等式/(x+1)

e

〉-4的解集是()

e

A.(2,+co)B.(-co,2)C,(0,+co)D.(-oo,0)

【答案】D

【解析】令g(x)=exf(x),則g'(x)=e*"(x)+/'(x)］＜0,所以g(x)在R上單調(diào)遞減,

因g(l)=e7(l)=l,所以不等式/(x+l)＞」可變?yōu)楫a(chǎn)"(》+1)〉1,即

e

g(x+l)>g⑴，

所以X+1<1,即尤<0,所以不等式/'(x+l)〉」的解集為(—8,0).

e

故選：D.

8.鄭國(guó)渠是秦王贏政命鄭國(guó)修建的著名水利工程，先人用智慧和勤勞修筑了一道道堅(jiān)固的

堤壩.如圖是一道堤壩的示意圖，堤壩斜面與底面的交線記為/,點(diǎn)A,B分別在堤壩斜面

與地面上，過(guò)點(diǎn)A,B分別作直線/的垂線，垂足分別為C,。，若AC=3,8=4,50=2,

二面角A—/—5的大小為120。，則AB=()

【答案】D

【解析】因AB=AC+O)+DB，

^\AB\2=\AC+CD+DB\2=\AC\2+\CD\2+\DB\^+2ACCD

+2CDDB+2ACDB

=32+42+22+0+0+2X3X2XCOS60°=35，

所以|而|=后.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

22

9.已知曲線C:-------=1,則下列結(jié)論正確的是()

m+1m—3

A.當(dāng)相￡(—1,3)時(shí)，曲線。表示橢圓

B.當(dāng)〃2d(-00,-1)U(3,+8)時(shí)，曲線C表示雙曲線

C.曲線C可能表示兩條直線

D.曲線C不可能表示拋物線

【答案】BD

m+1>0

【解析】若曲線。表示橢圓，則3-機(jī)〉0,解得加￡(-M)U(L3),故A錯(cuò)誤；

加+1w3-機(jī)

若曲線C表示雙曲線，貝|J(〃7+1)(〃L3)>。，解得〃ZG(—8,—1)U(3,+8),故B正確;

曲線C不可能表示兩條直線，故c錯(cuò)誤；

無(wú)論相取何值，曲線C都不可能表示拋物線，故D正確.

故選：BD.

10.已知函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(%)的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)y=/(x)的圖象在x=—1的切線的斜率為0

B.函數(shù)y=/(x)在(1,2)上單調(diào)遞減

C.%=-1是函數(shù)、=/(尤)的極小值點(diǎn)

D./(2)是函數(shù)y=/(x)的極大值

【答案】AD

【解析】由圖可知/'(-1)=0,所以函數(shù)y=/(x)的圖象在X=—1的切線的斜率為0,故

A正確；

由圖可知xe(1,2)時(shí)，f'(x)>0,所以函數(shù)y=/(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

由圖可知"(一”,2)時(shí)，/'(%”0,所以函數(shù)丁=/。)在(—8,2)上單調(diào)遞增，%=—1不

是函數(shù)y=/(x)的極小值點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

由?選項(xiàng)可知函數(shù)丁=/(￡)在(-(?,2)上單調(diào)遞增，由圖可知xe(2,+<?)時(shí)，f'(x)<0,

所以函數(shù)V=/(尤)在(2,+8)上單調(diào)遞減，

故x=2是函數(shù)y=/(x)的極大值點(diǎn)，/(2)是函數(shù)y=/(x)的極大值，故D正確.

故選：AD.

11.將小個(gè)數(shù)排成〃行〃列的一個(gè)數(shù)陣，如：

%』q,2“1,3???%,"

出,1。2,2〃2,3?..。2.”

“3,1〃3,2%,3?.?%"

氏」%,2%,3.an,n

該數(shù)陣第一列的n個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以d為公差的等差數(shù)列，每一行的〃個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)

成以d為公比的等比數(shù)列(其中d〉0).已知見(jiàn)I=&4+1，記這1個(gè)數(shù)的和為

S,則下列說(shuō)法正確的有（）

A.d=2B.%7=512

C.a.j=(2z-l)x27-1D.S="2(2”—1)

【答案】ACD

【解析】因?yàn)閍i,i=L%j=%4+l，所以1+4d—d3+1<解得d=2Cd—0,d——2舍去)，

故A正確；

66

%」=%」+2x4=1+2x4=9,a51=a5j-2=9x2=576,故B錯(cuò)誤；

7-17-1

aiA=+2(z-l)=1+2(z-l)=2z-l,atj=a”x2=(2z-l)x2,故C正確；

aaa+a

s=(?i,i+q,2+q,3+.,,+q,，J+(々2,1+%+i.?,+42,”)+,,?+(q，」+n,i+?,3+,1,n.n

?3(1—2\5(1—2")1—2")(l+2I)c

1-21-21-21-22IJ

?CT，

故D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

X2

12.函數(shù)/(x)=21nx+］的圖象在x=l處的切線方程是.

【答案】6x-2y-5=0

12

【解析】由已知，得了(1)=個(gè)尸(%)=_+1,所以析”)=3,

2x

所以所求切線方程為y-g=3(x—1),即6x—2y—5=0.

故答案為：6x-2y-5=0.

13.已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”,若(2"一=(2〃+l)%(neN+),%=1,則

§50=------------------

【答案】2500

【解析】因?yàn)?2"-1)%=(2"+加,,

所以苧L=m(〃eN+),所以數(shù)列［善、］是常數(shù)列，

2n+l2n-V7

因?yàn)?-4—=1,所以

2n-l2x1-1

萌”?(1+99)x50

所以工。=-----------=2500.

故答案為：2500.

22

14.己知雙曲線C:三—斗=1(?！?,6〉0)的左、右焦點(diǎn)分別為耳，鳥(niǎo)，過(guò)點(diǎn)片的直線/

與雙曲線C的右支和左支分別交于點(diǎn)A,B,若AAG工的面積為人2,且AAK耳的面積

是片心面積的2倍，則雙曲線C的離心率為.

【答案】岳

【解析】因?yàn)殚|閭2=|A片「+|A8「―2,片M^cosN片Ag,

所以4c2=(|肺］—|A閭F+21納慎用a-cosN耳小)

=4a2+4|A^||A^|sin2幺產(chǎn),

即|4耳||4閭=/耳?鳥(niǎo),

sm——-——-

2

因?yàn)樾?2=:M用|4用sinN斗蝸

b2

1b-2sin^^cosW2

—X-------------------—b

2.2^FAF22-ZEAF,

sm——X-——2-tan——-——='

22

所以tan——!——-=1,所以——!——^=一，即/44月=一,

2242

設(shè)忸耳|=加,忸閭=2。+加，由△加；耳的面積是譙面積的2倍，得|A4|=2加,

則|AB|=zn,|A/s|=Im—la,

在△A3K中，|45『+|”「=|和「，

所以根*+(2nz-2a)2=(2a+m)~,解得m=3。，

所以|AfJ=6a,1=4a,

因?yàn)閨A<+|A閭2=|草才，

所以(6〃)2+(4〃)2=(2C)2,得C=?,

即e=-=,

a

所以雙曲線C的離心率為9.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.己知G)G:—2x—4y+4=0與。x2++6x+2y+a=0只有~■條公切

線/,且公切點(diǎn)為點(diǎn)尸是/上異于點(diǎn)M的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作0G的另一條切線，切點(diǎn)為

(1)求a的值及直線/的方程；

(2)若AaMN是等腰直角三角形，求直線PN的方程.

解：(1)0G可化為(x—Ip+(y—2)2=1,圓心G(L2),半徑弓=1,

可化為(x+3y+(y+l)2=10—。，圓心C?(—3,—1),半徑&.

因?yàn)?G與0。2只有一條公切線，所以兩圓內(nèi)切，|。1。21=卜—修，即

5=|y/10-a-11,解得a=-26.

兩圓相減，得公切線/的方程為8x+6y—30=0,即4x+3y—15=0.

(2)由題意，得|PM|=|PN|,若是等腰直角三角形，

所以NMPN=90。，檄kpMkpN=<,

43

由(1)可知直線的斜率勺”=—-,所以直線PN的斜率kpL—.

34

設(shè)直線PN的方程為3x-4y+2=0,

所以點(diǎn)G到直線PN的距離d=13-：+刈=1,解得；I=0或；I=10.

所以直線PN的方程為3x—4y=0或3x—4y+10=0.

,、2a

16.已知數(shù)列｛??｝滿足an+l=,%=2.

(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)求數(shù)列《,的前n項(xiàng)和Sn.

24。“+421

解：⑴因?yàn)閝=2,4+1所以，0,---=一+—

4+44+12?！癮n2

所以一二+2=2(11)

一+—

an+l2\an2)

11

11+萬(wàn)

因?yàn)橐?7=lwO,所以華一二2,

421|1

冊(cè)2

所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

[an2J

111_2

所以一+j=2"T,即1_2H-1.

a.22--

nn

(2)因?yàn)閠一=n-2--,

a?2

所以S=lx2°+2x21+3x22+---+/2-2n-1-f-+-+-+

(2222)

_.123nn(n+1)

22224

令(=1X20+2X21+3X22+——+〃?2"T,

27；,=1X21+2X22+3X23+L+n-2n,

1_o,,

兩式相減，得-T“=l+2+22+---+2"-1-n-2"=^y-n-2"=(l-n)-2"-l.

所以7；=5-1)2+1,

所以S,=S-1>2"—次士D+l.

4

19

17.已知函數(shù)/(x)=]X—(Q+1)元+alnx(a>0).

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)若求證：對(duì)\/菁,九2￡(°，十0°)且玉。冗2，都有"一/('2)+〃>0.

4x,-x2

1

解：(1)因?yàn)?(x)二,必9一(〃+i)x+Mn%，

定義域?yàn)?0,+8)，

所以/(x)=x-(tz+l)+-=X-)x+a=(xT)(x—a).

XXX

當(dāng)Ovavl時(shí)，令/''(x)>0,得Ovxva或x>l,令/'(%)v。，得

所以函數(shù)/(x)在(0,〃)上單調(diào)遞增，在3J)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

當(dāng)。=1時(shí)，r(x)=0匚t20恒成立，所以函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

X

當(dāng)。>1時(shí)，令/'(x)>0,得0cx<1或x>a,令/'(x)<0,得l<x<a,

所以函數(shù)/(%)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,。)上單調(diào)遞減，在3+?)上單調(diào)遞增.

(2)不妨設(shè)為<%，則占一%2<0，要證對(duì)v%,%e(0,+°o),

RP/H+〃>u,

%-x2

只需證/(%)一/(%)<一。(不一42)，即需證/(%)+叫</(x2)+ar2.

構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)+ax=-^x2-x+alnx,則要證g(xj<g(%2)，

需證函數(shù)g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，

因?yàn)間'(x)=x—l+3226—l〉2j』—l=0,

xV4

所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)成立，

x

所以當(dāng)。〉工時(shí)，對(duì)\/石,為e(0,+oo)且石力羽，都有“"J~f(2)+a>Q

4-一七一/

、一r42}(461)

18.已知橢圓C中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為無(wú)軸與y軸，且C經(jīng)過(guò)點(diǎn)L飛-,-T-,—

(1)求C標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若尸是C的右焦點(diǎn)，過(guò)E作兩條互相垂直的直線4,4，直線乙與C交于A,8兩

點(diǎn)，直線4與C交于。，E兩點(diǎn).求四邊形ADBE面積的取值范圍.

解：(1)設(shè)C的方程為m/+期2=],

/-1,1

2m=—

將點(diǎn)1,代入，得3]解得，2

220

7\—m+—n=l,n=l.

[24

無(wú)2

所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+>2=1.

2-

(2)由(1)可知，a=\[2,,b=1,c=1,

當(dāng)直線人的斜率為o,直線4的斜率不存在時(shí)，|A4=2J5,QE|=JL

當(dāng)直線4的斜率不存在，直線，2的斜率為o時(shí)，|A31=3,|。石|=2點(diǎn),

所以四邊形AD3E的面積S=工|A3IIDE|=Lx2后X0=2.

22

當(dāng)直線4,4的斜率存在且不為o時(shí)，設(shè)直線\的方程為

丁=左。-1),人(石，,),5(%2，%)，

y=k(x-l),

聯(lián)立《x22得(1+2左2)為2一4左2%+2左2—2=0,

丁,=，

由題意得A〉0,%+々=2/-：

121+2421-1+242

2[X242―220(42+1)

所以|AB|=J1+左之-x|=A/1+k1

2Xl+2k2~~~l+2k2

,2行價(jià)+1)

同理DE=---J-I,

112+k2

四邊形ADBE的面積

4伏2+11

(1+2左2)(2+左2)

。4〃4

s=---------------=--------------

令”左2+1(/>1),貝U(2Z-l)(Z+l)_J_+l+2

所以當(dāng)』=工，即左=±1時(shí)，Smin=—,所以g<S<2.

t299

19.在平面直角坐標(biāo)系O-孫中，任何一條直線都可以用依+外+c=0(其中a,dceR,

02+1+〃#0)表示，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)方向，我們可以確定一條直線，例如：已知點(diǎn)

P(2,3)在直線/上，0=(2,1)是直線/的一個(gè)方向向量，則直線/上任意一點(diǎn)。(尤,y)滿足

而//G,化簡(jiǎn)得直線I的方程為％-2y+4=0.而在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中.任何一個(gè)

222

平面的方程都可以表示成依+by+cz+d=0(其中a,b,c,deR,Ma+ZJ+C^0)，

類似的，在空間中，給定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)平面的法向量也可以確定一個(gè)平面.

(1)若點(diǎn)F(l,0,0),G(2,l,l),H(0,2,0),求平面FGH的方程；

(2)求證：4=(0力,<?)是平面依+勿+。2+。=0(?2+//+02力0)的一個(gè)法向量；

(3)已知某平行六面體鉆。。一4月￡。1，平面A531A的方程為2x—y+2z+l=0,

平面BCC[Bi經(jīng)過(guò)點(diǎn)R(0,1,2),S(l,l,3),7(2,2,4),平面4的方程為"一3y+2近-3=0,

求平面ABB^與平面ACQA夾角的余弦值.

解：⑴W=(1,1,1),FH=(-1