有界閉區(qū)間上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)分析綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u22365有界閉區(qū)間上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)分析綜述 [7]設(shè)在有界區(qū)域上函數(shù)連續(xù)，且對任意，任意，時，存在，則函數(shù)在上有界。證：函數(shù)定義如下：當(dāng)時，成立。當(dāng)時，成立，，。另一方面，在中任意地取兩個趨于點列、，即。如果，那么，，存在。從而可得．所以，的定義有意義。下證函數(shù)的連續(xù)性：即在區(qū)域上任取一點，當(dāng)時，有1.當(dāng)時，趨于。令趨于無窮，，那么。所以有。2.當(dāng)時，在上任意取點列，使得，構(gòu)造另一個點列，讓滿足：，。其中點列的取法是：當(dāng)時，令。當(dāng)時，一定能在D上找到一點列，其中趨近于，并且成立。即存在，，，。這時令，由于屬于區(qū)域，所以有、，由于屬于區(qū)域，可得，極限存在。即成立。根據(jù)以上的定義可得：。因此函數(shù)是連續(xù)的。有界閉區(qū)域緊致，所以在區(qū)域上有界。從而在上有界。并且在區(qū)域上，成立，所以在區(qū)域上函數(shù)有界。最值定理引理2.2.1設(shè)在有界區(qū)域上函數(shù)連續(xù)，若為緊集，則函數(shù)為緊集。證：任取，則。因為為緊集，根據(jù)致密性定理，存在子列滿足。由的連續(xù)性和海涅定理得：。所以函數(shù)為緊集。定理2.2.2設(shè)在有界區(qū)域上函數(shù)連續(xù)，若為緊集，則函數(shù)在內(nèi)能取得最小值和最大值。證：由引理2.2.1的證明過程可知，函數(shù)為緊集。設(shè)的上、下確界分別為。由上確界的定義得對于任意小的，一定有對應(yīng)存在的，使得因為為緊集，根據(jù)致密性定理可知：存在子列滿足。由函數(shù)的連續(xù)性和海涅定理以及上式易知：。定理2.2.3如果一有界區(qū)域，函數(shù)定義在其上并且連續(xù)，對任意的，點列，同時收斂到時，成立，那么在區(qū)域內(nèi)函數(shù)可以取到最值。證：先證函數(shù)存在下界。利用反證法：假設(shè)函數(shù)沒有下界，那么一定會有點列含于區(qū)域，同時成立。因為點列含于區(qū)域，所以它必有界，所以一定有一個子序列是收斂的，而且收斂到，且。如果，那么，這和結(jié)論相矛盾。如果，那么，這和結(jié)論相矛盾。所以函數(shù)一定有下界。假設(shè)是的下確界，顯然可得：存在點屬于，使得。否則，取區(qū)域上任意一點，都會有不等式成立。那么設(shè)。定義：則連續(xù)(證明方法與定理2.2.1證明過程相似)。由于函數(shù)取不得下確界，那么在上一定有點列，滿足。又由于點列是有界的，所以一定有一個子序列是收斂的，且滿足收斂于，，因為在區(qū)域上是連續(xù)的，因此。由于，根據(jù)函數(shù)的定義，可知。這和結(jié)論相矛盾。因此可知在上，函數(shù)可取到最小值。定理2.2.4如果一有界區(qū)域，函數(shù)定義在其上并且連續(xù)，對任意的，點列，同時收斂到時，成立，那么在區(qū)域內(nèi)函數(shù)可以取到最值。證明：令，則，根據(jù)定理2.2.3可知，在區(qū)域內(nèi)能取得最小值，因此在區(qū)域內(nèi)能取得最大值。零點存在性定理定理2.2.5設(shè)有一道路連通區(qū)域，函數(shù)定義在區(qū)域上并且連續(xù)，設(shè)區(qū)域上存在兩點和，和異號，那么在區(qū)域內(nèi)，一定有一條道路連接點和點，而且會存在一點。證明：由于是一道路連通區(qū)域，所以區(qū)域內(nèi)一定有一條連接點和點的道路，設(shè)因為函數(shù)連續(xù)，根據(jù)復(fù)合映射的性質(zhì)可得，也是連續(xù)映射，記映射（函數(shù)），那么一定有。根據(jù)一函數(shù)的定理，在區(qū)間上，一定有，滿足。即令。證畢。介值性定理定理2.2.6設(shè)在有界區(qū)域上函數(shù)是連續(xù)的，若為內(nèi)任意兩點，且，那么對于任意滿足不等式的實數(shù)，一定存在點，使得成立。證：令，則在區(qū)域上是連續(xù)的，而且成立，根據(jù)零點存在性定理，在區(qū)域必存在點，使得等式，成立，即。一致連續(xù)性定理定理2.2.7設(shè)在有界區(qū)域上函數(shù)連續(xù)，若為緊集，則函數(shù)在上一致連續(xù)。證：假設(shè)在上不一致連續(xù)，則存在，對于任意小的，對應(yīng)存在的，，當(dāng)，有。由于為緊集，因此在中存在收斂子列，并設(shè)。，，因此，。由函數(shù)的連續(xù)性和海涅定理可得：。這與矛盾，所以在上一致連續(xù)。多元函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用例2.3.1設(shè)，為連續(xù)映射。如果中的點列滿足，且，證明。證：由在連續(xù)，，，成立。又由于，對于上述，存在，當(dāng)時成立，于是當(dāng)時成立。所以，。例2.3.2設(shè)是有界開區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，當(dāng)時，，且對任意和。求證：存在，使得對任意有。證：在有界閉集上，連續(xù)函數(shù)取得最大值和最小值。注意。因此。，，故，有。又因為在點連續(xù)，。所以以上不等式對任意成立。例2.3.3設(shè)是有界開區(qū)域上的一致連續(xù)函數(shù)，證明：可以將連續(xù)延拓到的邊界上，即存在定義在上的連續(xù)函數(shù)，使得。證：由于在有界開區(qū)域上的一致連續(xù)，，，。設(shè)，任取點列為Cauchy點列，對于上述，存在，當(dāng)時成立，于是，所以是基本點列，故一定收斂。記該極限為。在中令，。對于，存在點列中某項，滿足。于是，，所以，，