研究生數(shù)學(xué)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在3.設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A$的行列式的值為（）A.-2B.2C.10D.-104.若向量組$\vec{a}=(1,1,1)$，$\vec=(1,2,3)$線性相關(guān)，則$k=$（）（已知$\vec=k\vec{a}$）A.1B.2C.3D.45.微分方程$y'=y$的通解是（）A.$y=C$B.$y=Cx$C.$y=Ce^x$D.$y=C\sinx$6.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，則$\int_{a}^f(x)dx$與$\int_{a}^f(t)dt$（）A.相等B.互為相反數(shù)C.不確定D.僅當(dāng)$a=b$時相等7.設(shè)$z=x^2+y^2$，則$\frac{\partialz}{\partialx}=$（）A.$2x$B.$2y$C.$x^2$D.$y^2$8.已知隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(0,1)$，則$P(X\leq0)=$（）A.0.25B.0.5C.0.75D.19.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}x^n$的收斂半徑是（）A.0B.1C.+∞D(zhuǎn).210.設(shè)$f(x)$是周期為$2\pi$的函數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式中$a_0$的值為（）A.$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$B.$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$C.$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$D.0二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)可導(dǎo)的有（）A.$y=|x|$B.$y=x^3$C.$y=\lnx$D.$y=\sqrt{x}$2.下列哪些是矩陣的初等變換（）A.交換兩行B.某一行乘以非零常數(shù)C.某一行加上另一行的倍數(shù)D.交換兩列3.向量組線性相關(guān)的判定方法有（）A.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.向量組的秩小于向量組向量的個數(shù)C.向量組構(gòu)成的矩陣行列式為0（向量個數(shù)與維數(shù)相等時）D.向量組中存在零向量4.下列積分中，哪些是廣義積分（）A.$\int_{0}^{1}\frac{1}{x}dx$B.$\int_{1}^{2}\lnxdx$C.$\int_{-\infty}^{0}e^xdx$D.$\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx$5.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微的充分條件有（）A.偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partialz}{\partialy}$在點$(x_0,y_0)$處連續(xù)B.函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的全增量$\Deltaz$可表示為$A\Deltax+B\Deltay+o(\rho)$（$\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}$）C.偏導(dǎo)數(shù)$\frac{\partialz}{\partialx}$，$\frac{\partialz}{\partialy}$在點$(x_0,y_0)$處存在D.函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處連續(xù)6.下列關(guān)于正態(tài)分布的說法正確的是（）A.正態(tài)分布是對稱分布B.正態(tài)分布的均值決定其位置C.正態(tài)分布的方差決定其形狀D.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均值為0，方差為17.下列哪些是冪級數(shù)的性質(zhì)（）A.冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對收斂B.冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)C.冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可積D.兩個冪級數(shù)可以在它們共同的收斂區(qū)間內(nèi)相加、相減、相乘8.下列屬于常微分方程的是（）A.$y'+2y=0$B.$\frac{\partial^2z}{\partialx^2}+\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=0$C.$y''-3y'+2y=x$D.$\intydx=x^2+C$9.對于行列式，以下性質(zhì)正確的有（）A.交換行列式的兩行（列），行列式的值變號B.行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式外面C.若行列式某一行（列）的元素都是兩個數(shù)之和，則此行列式等于兩個行列式之和D.把行列式某一行（列）的倍數(shù)加到另一行（列），行列式的值不變10.設(shè)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積，則下列說法正確的是（）A.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$B.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$（$k$為常數(shù)）C.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$D.若$f(x)\geq0$在$[a,b]$上成立，則$\int_{a}^f(x)dx\geq0$三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處可導(dǎo)，則$f(x)$在點$x_0$處一定連續(xù)。（）2.方陣$A$可逆的充要條件是$|A|\neq0$。（）3.若向量組$\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3$線性相關(guān)，則$\vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3,\vec{a}_4$也線性相關(guān)。（）4.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的記號無關(guān)。（）5.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，則函數(shù)在該點可微。（）6.任何一個隨機(jī)變量都有概率密度函數(shù)。（）7.冪級數(shù)$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$在其收斂區(qū)間端點處一定收斂。（）8.一階線性非齊次微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$的通解是對應(yīng)的齊次方程通解與非齊次方程的一個特解之和。（）9.若矩陣$A$與矩陣$B$等價，則$A$與$B$的秩相等。（）10.若$f(x)$是偶函數(shù)，則$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的極值點與極值。答案：對$f(x)$求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$，即$3x(x-2)=0$，解得$x=0$，$x=2$。$f''(x)=6x-6$，$f''(0)=-6\lt0$，所以$x=0$是極大值點，極大值$f(0)=1$；$f''(2)=6\gt0$，$x=2$是極小值點，極小值$f(2)=-3$。2.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求其逆矩陣$A^{-1}$。答案：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$。伴隨矩陣$adj(A)=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$，則$A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。3.計算定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$。答案：根據(jù)定積分基本公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)$，則$\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_0^1=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}$。4.簡述隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義。答案：對于離散型隨機(jī)變量$X$，若其概率分布為$P(X=x_i)=p_i$，$i=1,2,\cdots$，則數(shù)學(xué)期望$E(X)=\sum_{i}x_ip_i$；對于連續(xù)型隨機(jī)變量$X$，概率密度函數(shù)為$f(x)$，則$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系。答案：對于線性方程組$Ax=b$（$A$為系數(shù)矩陣），設(shè)$r(A)$為$A$的秩，$r(A|b)$為增廣矩陣的秩。當(dāng)$r(A)=r(A|b)=n$（$n$為未知數(shù)個數(shù)）時，方程組有唯一解；當(dāng)$r(A)=r(A|b)\ltn$時，有無數(shù)解；當(dāng)$r(A)\neqr(A|b)$時，方程組無解。2.談?wù)劧嘣瘮?shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分之間的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：函數(shù)可微則偏導(dǎo)數(shù)存在，且全微分$dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy$。區(qū)別：偏導(dǎo)數(shù)存在只是可微的必要條件，不是充分條件。偏導(dǎo)數(shù)只考慮函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率，全微分考慮函數(shù)在各個方向的微小變化。3.闡述冪級數(shù)在近似計算中的應(yīng)用。答案：冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可表示一個函數(shù)。在近似計算中，可選取冪級數(shù)的前若干項來近似代替函數(shù)進(jìn)行計算。如計算函數(shù)值、積分值等，取的項數(shù)越多，近似程度越高，能有效簡化復(fù)雜函數(shù)的計算。4.舉例說明正態(tài)分布在實際生活中的應(yīng)用。答案：比如學(xué)生考試成績，很多情況下近似服從正態(tài)分布，可據(jù)此分析成績分布情況，制定合理分?jǐn)?shù)線；在產(chǎn)品質(zhì)量控制中，零件