大學(xué)高數(shù)試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.函數(shù)\(y=x^2\)在點\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.44.\(\intxdx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(x+C\)5.曲線\(y=x^3\)的拐點是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((-1,-1)\)D.無拐點6.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{3}x^3\)D.\(x\)7.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x\)=（）A.\(e\)B.1C.\(\infty\)D.08.函數(shù)\(y=\lnx\)的導(dǎo)數(shù)是（）A.\(\frac{1}{x}\)B.\(x\)C.\(-\frac{1}{x}\)D.\(\lnx\)9.\(\int_{0}^{1}xdx\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.2D.010.已知\(y=\sin2x\)，則\(y^\prime\)=（）A.\(\cos2x\)B.\(2\cos2x\)C.\(-\cos2x\)D.\(-2\cos2x\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=x+1\)2.以下極限存在的有（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim\limits_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的充要條件有（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點連續(xù)4.下列積分計算正確的有（）A.\(\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C\)B.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)5.曲線\(y=f(x)\)的駐點可能是（）A.極值點B.拐點C.最值點D.零點6.以下哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)7.函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足羅爾定理的條件有（）A.在\([a,b]\)上連續(xù)B.在\((a,b)\)內(nèi)可導(dǎo)C.\(f(a)=f(b)\)D.\(f(x)\)單調(diào)遞增8.下列說法正確的有（）A.可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)B.連續(xù)函數(shù)一定可導(dǎo)C.可微函數(shù)一定可導(dǎo)D.可導(dǎo)函數(shù)一定可微9.計算定積分\(\int_{a}^f(x)dx\)的方法有（）A.牛頓-萊布尼茨公式B.換元積分法C.分部積分法D.定義法10.若函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)處的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)可能是（）A.極大值點B.極小值點C.拐點橫坐標(biāo)D.駐點三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x^2}\)與\(y=x\)是同一個函數(shù)。（）2.\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0\)。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上單調(diào)遞增。（）4.若\(f(x)\)在\(x_0\)處不可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定不連續(xù)。（）5.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)。（）6.函數(shù)\(y=\cosx\)的周期是\(2\pi\)。（）7.曲線\(y=x^4\)沒有拐點。（）8.若\(F^\prime(x)=f(x)\)，則\(\intf(x)dx=F(x)\)。（）9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上是凹函數(shù)。（）10.\(\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+5\)的單調(diào)區(qū)間。答案：對\(y\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime\gt0\)，解得\(x\lt0\)或\(x\gt2\)，此為單調(diào)遞增區(qū)間；令\(y^\prime\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.計算\(\intxe^xdx\)。答案：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。根據(jù)分部積分公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，可得\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C\)。3.求\(\lim\limits_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}\)。答案：對分子因式分解，\(x^2-1=(x+1)(x-1)\)，則原式\(=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1}(x+1)\)，將\(x=1\)代入得\(2\)。4.求函數(shù)\(y=\ln(1+x^2)\)的導(dǎo)數(shù)。答案：令\(u=1+x^2\)，則\(y=\lnu\)。先對\(y\)關(guān)于\(u\)求導(dǎo)得\(y^\prime_u=\frac{1}{u}\)，再對\(u\)關(guān)于\(x\)求導(dǎo)得\(u^\prime_x=2x\)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則\(y^\prime_x=y^\prime_u\cdotu^\prime_x=\frac{2x}{1+x^2}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的漸近線情況。答案：垂直漸近線：令分母\(x-1=0\)，得\(x=1\)，所以\(x=1\)是垂直漸近線。水平漸近線：\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0\)，所以\(y=0\)是水平漸近線。2.試討論函數(shù)\(f(x)\)在某點可導(dǎo)、連續(xù)、可微之間的關(guān)系。答案：可微與可導(dǎo)等價，即可微?可導(dǎo)?？蓪?dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)。即可導(dǎo)是連續(xù)的充分條件，連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件。3.討論定積分與不定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答案：聯(lián)系：定積分計算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式將兩者相連。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)族，結(jié)果含常