專(zhuān)題12二次函數(shù)

考情聚焦

課標(biāo)要求考點(diǎn)考向

1.會(huì)用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)的圖象，通過(guò)圖象了解二次函考向一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

數(shù)的性質(zhì)；用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y考向二二次函數(shù)的圖象與系數(shù)

=a(x—h)?+k的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂?shù)年P(guān)系

二次函

點(diǎn)坐標(biāo)，說(shuō)出圖象的開(kāi)口方向，畫(huà)出圖象的對(duì)稱軸，并能解

數(shù)考向三二次函數(shù)的最值

決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題；

考向四待定系數(shù)法求二次函數(shù)

2.會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.結(jié)合

的解析式

具體情況體會(huì)二次函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定二次函

考向五二次函數(shù)圖象的平移

數(shù)的表達(dá)式；會(huì)利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達(dá)式.

3.通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，體會(huì)二次函數(shù)的意義；會(huì)用配考向一二次函數(shù)與一元二次方

方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達(dá)式化為y=a(x—h)?+k二次函程

的形式，并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，說(shuō)出圖象數(shù)的應(yīng)考向二二次函數(shù)與不等式

的開(kāi)口方向，畫(huà)出圖象的對(duì)稱軸，并能解決實(shí)際問(wèn)題.用

考向三實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)

4.能運(yùn)用二次函數(shù)的知識(shí)解決綜合型問(wèn)題.

,真題透視,

考點(diǎn)一二次函數(shù)

A考向一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

解題技巧/易錯(cuò)易混

1.二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①函數(shù)的關(guān)系式是整式；②自變量的最高次數(shù)是2；③二次項(xiàng)系數(shù)不

等于零.

2.一般式，頂點(diǎn)式，交點(diǎn)式是二次函數(shù)常見(jiàn)的表達(dá)式，它們之間可以互相轉(zhuǎn)化.

3.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與

拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).

4.二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于某條直線對(duì)稱的曲線，叫做拋物線，該直線叫做拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與

拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn).

1.（2024?廣東?中考真題）若點(diǎn)（0,%）?,%），（2,%）都在二次函數(shù)y=Y的圖象上，則（）

A.%>%>%B.y2m3<：.%>%>%D.%>%>%

2.（2024?西藏?中考真題）如圖，已知二次函數(shù)尸爾+桁+8”。）的圖象與x軸相交于點(diǎn)4（-3,0）,3（1,0）,

則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

①abc<0

②36+2c>0

③對(duì)任意實(shí)數(shù)加，a-6均成立

④若點(diǎn)（<%）,^―2）在拋物線上，則%<%

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

3.（2024?四川?中考真題）二次函數(shù)丁=加+法+《。>0）的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①c<0；②

-=>0；③當(dāng)T<x<3時(shí)，y<0.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

2a

A.①②B.①③C.②③D.①②③

4.（2024?福建?中考真題）已知二次函數(shù)y=V—2依+a（aw0）的圖象經(jīng)過(guò)3（3〃,為）兩點(diǎn)，則

下列判斷正確的是（）

A,可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)。，使得力>。B.無(wú)論實(shí)數(shù)“取什么值，都有力>“

C.可以找到一個(gè)實(shí)數(shù)。，使得為<。D.無(wú)論實(shí)數(shù)。取什么值，都有丫2<。

5.（2024?新疆?中考真題）如圖，拋物線y=g--4x+6與y軸交于點(diǎn)A,與x軸交于點(diǎn)8,線段CD在拋物

線的對(duì)稱軸上移動(dòng)（點(diǎn)C在點(diǎn)。下方），且CD=3.當(dāng)AD+3c的值最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

6.（2024?上海?中考真題）對(duì)于一個(gè)二次函數(shù)y=a（x-咽？+左（。彳0）中存在一點(diǎn)尸（二了）,使得

x'-m=y'-k^0,則稱2忖-討為該拋物線的"開(kāi)口大小"，那么拋物線y=-g無(wú)?+:無(wú)+3"開(kāi)口大小"

為.

7.（2024?安徽?中考真題）已知拋物線丫=-犬+云（b為常數(shù)）的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)比拋物線y=—f+2x的頂點(diǎn)

橫坐標(biāo)大1.

（1）求b的值；

（2）點(diǎn)4（工,%）在拋物線y=-f+2兀上，點(diǎn)8（%+/,乂+/7）在拋物線>=-爐+云上.

（0）若h=3f,且占NO,r>0,求人的值；

（0）若％="1,求h的最大值.

A考向二二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系

解題技巧/易錯(cuò)易混

二次函數(shù)圖象的特征與a,b,c的關(guān)系

字母的符號(hào)圖象的特征

a>0開(kāi)口向上

a

a<0開(kāi)口向下

b=0對(duì)稱軸為y軸

bab>0（a與b同號(hào)）對(duì)稱軸在y軸左側(cè)

ab<0（a與b異號(hào)）對(duì)稱軸在y軸右側(cè)

c=0經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

cc>0與y軸正半軸相交

c<0與y軸負(fù)半軸相交

8.（2024?湖北?中考真題）拋物線y=af+6x+c的頂點(diǎn)為（-1,-2）,拋物線與V軸的交點(diǎn)位于x軸上方.以

下結(jié)論正確的是（）

A.a<0B.c<0C.a-b+c=-2D.b1—4ac=0

9.（2024?陜西?中考真題）已知一個(gè)二次函數(shù)y=ox2+bx+c的自變量尤與函數(shù)〉的幾組對(duì)應(yīng)值如下表,

X-4-2035

y-24-80-3-15

則下列關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的結(jié)論正確的是（）

A.圖象的開(kāi)口向上B.當(dāng)x>0時(shí)，y的值隨x的值增大而增大

C.圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限D(zhuǎn).圖象的對(duì)稱軸是直線x=l

10.（2024?四川廣元?中考真題）如圖，已知拋物線安加+版+c過(guò)點(diǎn)C（0,-2）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為

X1,%,且一1cxi<0,2<x2<3,則下列結(jié)論：

①a-b+c<0；

②方程/+6尤+c+2=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（3）a+b>0；

④；

⑤62_4a>4片.其中正確的結(jié)論有（）

A考向三二次函數(shù)的最值

11.（2024?山東日照?中考真題）已知二次函數(shù)>=依2+/+°（。片（））圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)

過(guò)點(diǎn)對(duì)稱軸為直線x=2.對(duì)于下列結(jié)論：①曲c<0；②a+c=b；③多項(xiàng)式依?+6x+c可因式

分解為（尤+1）（》-5）；④當(dāng)機(jī)>-9。時(shí)，關(guān)于尤的方程62+桁+°=〃7無(wú)實(shí)數(shù)根.其中正確的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

12.（2024?四川眉山?中考真題）定義運(yùn)算：°箕6=（。+力）（?！?）,例如4<8）3=（4+2x3）（4—3）,則函數(shù)

y=（x+l）<8）2的最小值為（）

A.-21B.-9C.-7D.-5

13.（2024?四川樂(lè)山?中考真題）已知二次函數(shù)當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)取得最大值；當(dāng)

x=i時(shí)，函數(shù)取得最小值，貝h的取值范圍是（）

A.Q<t<2B.0<Z<4C.2<?<4D.t>2

14.（2024?四川?中考真題）在完成勞動(dòng)課布置的“青椽生長(zhǎng)狀態(tài)觀察”的實(shí)踐作業(yè)時(shí)，需要測(cè)量青株穗長(zhǎng).同

學(xué)們查閱資料得知：由于受儀器精度和觀察誤差影響，w次測(cè)量會(huì)得到w個(gè)數(shù)據(jù)4,%，…，如果。與

各個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的差的平方和最小，就將?作為測(cè)量結(jié)果的最佳近似值.若5名同學(xué)對(duì)某株青程的穗長(zhǎng)測(cè)量

得到的數(shù)據(jù)分別是：5.9,6.0,6.0,6.3,6.3（單位：cm）,則這株青株穗長(zhǎng)的最佳近似值為cm.

15.（2024,廣西?中考真題）課堂上，數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們圍繞關(guān)于x的二次函數(shù)y=d+2"+”3的最值

問(wèn)題展開(kāi)探究.

【經(jīng)典回顧】二次函數(shù)求最值的方法.

（1）老師給出。=-1,求二次函數(shù)y=f+2辦+。-3的最小值.

①請(qǐng)你寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

②求當(dāng)x取何值時(shí)，函數(shù)y有最小值，并寫(xiě)出此時(shí)的y值；

【舉一反三】老師給出更多。的值，同學(xué)們即求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)在x取何值時(shí)，y的最小值.記錄結(jié)果，并整

理成下表：

a-4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*為②的計(jì)算結(jié)果.

【探究發(fā)現(xiàn)】老師："請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)，觀察表格，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn)."

甲同學(xué)："我發(fā)現(xiàn)，老師給了。值后，我們只要取x=就能得到y(tǒng)的最小值."

乙同學(xué)："我發(fā)現(xiàn)，y的最小值隨。值的變化而變化，當(dāng)a由小變大時(shí)，y的最小值先增大后減小，所以我猜

想y的最小值中存在最大值

（2）請(qǐng)結(jié)合函數(shù)解析式y(tǒng)=/+2以+。-3,解釋甲同學(xué)的說(shuō)法是否合理？

（3）你認(rèn)為乙同學(xué)的猜想是否正確？若正確，請(qǐng)求出此最大值；若不正確，說(shuō)明理由.

A考向四待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

16.（2024?貴州?中考真題）如圖，二次函數(shù)，=依2+法+。的部分圖象與無(wú)軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-3,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,4）,則下列說(shuō)法正確的是（）

A.二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=l

B.二次函數(shù)圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2

C.當(dāng)x<-1時(shí)，y隨x的增大而減小

D.二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是3

17.（2024?遼寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=0^+法+3與x與相交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)、

8的坐標(biāo)為（3,0）,若點(diǎn)C（2,3）在拋物線上，則A3的長(zhǎng)為.

18.（2024?西藏?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=加+樂(lè)+3（4*0）與x軸交于4（一1,0）,5（3,0）

兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線/.

⑵如圖（甲）,設(shè)點(diǎn)C關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,在直線/上是否存在一點(diǎn)P,使E4-PD有最大值？若

存在，求出PA-PD的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

2

⑶如圖（乙），設(shè)點(diǎn)M為拋物線上一點(diǎn)，連接MC,過(guò)點(diǎn)M作交直線/于點(diǎn)N.若tan/MCN=],

求點(diǎn)M的坐標(biāo).

19.（2024?湖北?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=--+法+3與％軸交于點(diǎn)A（T,0）和點(diǎn)2,與

y軸交于點(diǎn)C.

⑵如圖，M是第一象限拋物線上的點(diǎn)，ZMAB=ZACO,求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；

⑶將此拋物線沿水平方向平移，得到的新拋物線記為L(zhǎng)L與y軸交于點(diǎn)N.設(shè)L的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為“，NC的

長(zhǎng)為d.

①求d關(guān)于"的函數(shù)解析式；

②L與x軸圍成的區(qū)域記為U,U與45c內(nèi)部重合的區(qū)域（不令邊界）記為W.當(dāng)d隨”的增大而增大,

且W內(nèi)恰好有兩個(gè)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出w的取值范圍.

20.（2024?吉林?中考真題）小明利用一次函數(shù)和二次函數(shù)知識(shí)，設(shè)計(jì)了一個(gè)計(jì)算程序，其程序框圖如圖⑴

所示，輸入x的值為-2時(shí)，輸出y的值為1；輸入尤的值為2時(shí)，輸出y的值為3；輸入尤的值為3時(shí)，輸

出y的值為6.

開(kāi)始

（ffil）（圖2）

⑴直接寫(xiě)出匕a,6的值.

（2）小明在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出了關(guān)于x的函數(shù)圖像，如圖（2）.

0.當(dāng)y隨x的增大而增大時(shí)，求x的取值范圍.

國(guó).若關(guān)于x的方程q元2+6X+3T=0（,為實(shí)數(shù)），在0<x<4時(shí)無(wú)解求f的取值范圍.

回.若在函數(shù)圖像上有點(diǎn)P,Q（P與。不重合）.P的橫坐標(biāo)為孫。的橫坐標(biāo)為-m+1.小明對(duì)尸，。之

間（含P,。兩點(diǎn)）的圖像進(jìn)行研究，當(dāng)圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值與最小值均不隨機(jī)的變化而變化，直接寫(xiě)

出m的取值范圍.

A考向五二次函數(shù)圖象的平移

21.（2024?江蘇南通?中考真題）將拋物線y=x2+2x-l向右平移3個(gè)單位后得到新拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（—4,-1）B.（—4,2）C.（2,1）D.（2,-2）

22.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）將拋物線y=/+2尤向下平移2個(gè)單位后，所得新拋物線的頂點(diǎn)式為（）

A.y=（x+l）2-3B.y=（尤+廳_2C.y=（x-l）2-3D.y-（A：-1）"-2

23.（2024?江蘇連云港?中考真題）已知拋物線y=（a、b、c是常數(shù)，a<0）的頂點(diǎn)為（1,2）.小

炸同學(xué)得出以下結(jié)論：①人<0；②當(dāng)x>l時(shí)'隨x的增大而減??；③若加+6x+c=0的一個(gè)根為3,

貝|］。=一；;④拋物線丫=62+2是由拋物線yuaf+bx+c向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到

的.其中一定正確的是（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

24.（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=彳2-2版-4經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,〃2）.

⑴若根=1,則6=,通過(guò)配方可以將其化成頂點(diǎn)式為；

（2）已知點(diǎn)（西,%）,（%2，%）在拋物線上，其中占<%.若%>0且2占+2%W5,比較％與%的大小關(guān)系，并說(shuō)

明理由；

（3）若6=0,將拋物線向上平移4個(gè)單位得到的新拋物線與直線丫=履+：交于A,8兩點(diǎn)，直線與y軸交于

點(diǎn)C,點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)￡連接AF,CT.求證：CF=gcE.

25.（2024?上海?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平移拋物線>=；/后得到的新拋物線經(jīng)過(guò)

和8（5,0）.

Q*

⑴求平移后新拋物線的表達(dá)式；

（2）直線x="，（相>0）與新拋物線交于點(diǎn)P,與原拋物線交于點(diǎn)Q.

①如果PQ小于3,求相的取值范圍；

②記點(diǎn)尸在原拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為產(chǎn)，如果四邊形P8PQ有一組對(duì)邊平行，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

26.（2024?山東?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系x0y中，點(diǎn)P（2,-3）在二次函數(shù)y=G?+6x-3（a>0）的圖像

上，記該二次函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為直線犬=機(jī).

⑴求”的值；

⑵若點(diǎn)Q（〃T）在>=62+法-3的圖像上，將該二次函數(shù)的圖像向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的二次函

數(shù)的圖像.當(dāng)0WxV4時(shí)，求新的二次函數(shù)的最大值與最小值的和；

⑶設(shè)>=加+法一3的圖像與x軸交點(diǎn)為（和0）,伍,0）（藥<當(dāng)）.若4〈尤2f<6,求。的取值范圍.

考點(diǎn)二二次函數(shù)的應(yīng)用

A考向一二次函數(shù)與一元二次方程

解題技巧/易錯(cuò)易混

1.二次函數(shù)y二ax?+bx+c（aWO）,當(dāng)y=0時(shí)，就變成了一元二次方程ax?+bx+c=O（aWO）.

2.ax2+bx+c=O（a=0）的解是拋物線y=ax?+bx+c（aHO）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

3.（1）b2-4ac〉0=方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）b2-4ac=0=方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)；

（3）b2-4ac〈00方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

27.（2024?內(nèi)蒙古?中考真題）下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)有（）

①二次函數(shù)、=加+笈+。（。>0）的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，見(jiàn)"是關(guān)于x的元二次方程

辦2+法+c—無(wú)=0（0<左<1）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，九<”,貝（］一|<〃7<〃<2恒成立.

②在半徑為「的。中，弦AB,?；ハ啻怪庇邳c(diǎn)P,當(dāng)OP=,然時(shí)，則AB2+CD2=8,一4/.

③VABC為平面直角坐標(biāo)系中的等腰直角三角形且/ABC=90。，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)8的坐標(biāo)為（0,5）,

點(diǎn)C是反比例函數(shù)、=與％#0）的圖象上一點(diǎn)，則左=±30.

④已知矩形的一組鄰邊長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2—2（a+l）x+〃-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且矩形的周長(zhǎng)值

與面積值相等，則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)是4布.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

28.（2024?山東泰安?中考真題）如圖所示是二次函數(shù)丁=加+云+《叱0）的部分圖象，該函數(shù)圖象的對(duì)稱

軸是直線x=l,圖象與丫軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2,則下列結(jié)論：①2a+6=0；②方程辦2+6無(wú)+c=o一定有

一個(gè)根在-2和-1之間：③方程加+6無(wú)+c-：=0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④6-°<2.其中，正確結(jié)

論的個(gè)數(shù)有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

29.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ar2+bx+c（a#0）與x軸交于A、B

兩點(diǎn)，A（-3,0）,3（1,0）,與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)在-3~-2之間，根據(jù)圖象判斷以下結(jié)論：①必c?>0；②

的一個(gè)交點(diǎn)O,"）0/。），則加=萬(wàn).其中正確的結(jié)論是（

yt

A.①②④B.①③④c.①②③D.①②③④

30.（2024?吉林長(zhǎng)春中考真題）若拋物線y=/-x+c（c是常數(shù)）與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，則c的取值范圍是

A考向二二次函數(shù)與不等式

31.（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，二次函數(shù),=加+法+2（”0）的圖象與x軸交于（-1,0）,（加0）,

其中2<玉<3.結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：

①a6>0；@a-b=-2；

③當(dāng)%>i時(shí)，y隨工的增大而減小；

④關(guān)于X的一元二次方程依2+bx+2=0（aw0）的另一個(gè)根是-:；

⑤6的取值范圍為l<b<g,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D,5

A考向三實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)

32.（2024?山東濟(jì)南?中考真題）如圖1,VABC是等邊三角形，點(diǎn)。在邊上，BD=2,動(dòng)點(diǎn)尸以每秒1

個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)8出發(fā)，沿折線勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后停止，連接DP.設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間

為t（s）,OP?為、.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸沿go勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，y與/的函數(shù)圖象如圖2所示.有以下四個(gè)結(jié)論：

①AB=3；

②當(dāng)r=5時(shí)，y=l;

③當(dāng)4W/W6時(shí)，1<^<3;

④動(dòng)點(diǎn)尸沿BC-C4勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)時(shí)刻4,4（%<4）分別對(duì)應(yīng)％和%,若4+芍=6,則%>必.其中

正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A,①②③B.①②C③④D.①②④

圖1

33.（2024?天津?中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度力（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間?（單

位：S）之間的關(guān)系式是/i=30r-5/（0WK6）.有下列結(jié)論：

①小球從拋出到落地需要6s;

②小球運(yùn)動(dòng)中的高度可以是30m;

③小球運(yùn)動(dòng)2s時(shí)的高度小于運(yùn)動(dòng)5s時(shí)的高度.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

7

34.（2024,廣西?中考真題）如圖，壯壯同學(xué)投擲實(shí)心球，出手（點(diǎn)P處）的高度OP是—m,出手后實(shí)心

4

球沿一段拋物線運(yùn)行，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，水平距離是5m,高度是4m.若實(shí)心球落地點(diǎn)為M則3/=m.

35.（2024?甘肅?中考真題）如圖1為一汽車(chē)停車(chē)棚，其棚頂?shù)臋M截面可以看作是拋物線的一部分，如圖2

是棚頂?shù)呢Q直高度y（單位：m）與距離停車(chē)棚支柱AO的水平距離X（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系

>=-0.02/+0.3；1+1.6的圖象，點(diǎn)*6268）在圖象上.若一輛箱式貨車(chē)需在停車(chē)棚下避雨，貨車(chē)截面看作

長(zhǎng)CD=4m,高DE=1.8m的矩形，則可判定貨車(chē)完全停到車(chē)棚內(nèi)（填"能"或"不能"）.

圖1

36.（2024湖北?中考真題）如圖，某校勞動(dòng)實(shí)踐基地用總長(zhǎng)為80m的柵欄，圍成一塊一邊靠墻的矩形實(shí)驗(yàn)

田，墻長(zhǎng)為42m.柵欄在安裝過(guò)程中不重疊、無(wú)損耗，設(shè)矩形實(shí)驗(yàn)田與墻垂直的一邊長(zhǎng)為x（單位：m）,與

墻平行的一邊長(zhǎng)為y（單位：m）,面積為S（單位：m2）.

<--------42m-------->

墻

X實(shí)驗(yàn)田X

y

（1）直接寫(xiě)出y與尤，S與x之間的函數(shù)解析式（不要求寫(xiě)x的取值范圍）；

⑵矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S能達(dá)到750m②嗎？如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶當(dāng)尤的值是多少時(shí)，矩形實(shí)驗(yàn)田的面積S最大？最大面積是多少？

37.（2024?青海?中考真題）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，有一斜坡從點(diǎn)。處拋出一個(gè)小球，落

到點(diǎn)處.小球在空中所經(jīng)過(guò)的路線是拋物線＞=-/+法的一部分.

（1）求拋物線的解析式；

（2）求拋物線最高點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶斜坡上點(diǎn)8處有一棵樹(shù)，點(diǎn)8是。4的三等分點(diǎn)，小球恰好越過(guò)樹(shù)的頂端C,求這棵樹(shù)的高度.

38.（2024?廣東?中考真題）廣東省全力實(shí)施"百縣千鎮(zhèn)萬(wàn)村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居

全國(guó)首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷(xiāo)歐美.某果商以每噸2萬(wàn)元的價(jià)格收購(gòu)早熟荔枝，銷(xiāo)往國(guó)外.若按每噸5萬(wàn)

元出售，平均每天可售出100噸.市場(chǎng)調(diào)查反映：如果每噸降價(jià)1萬(wàn)元，每天銷(xiāo)售量相應(yīng)增加50噸.該果

商如何定價(jià)才能使每天的"利潤(rùn)"或"銷(xiāo)售收入"最大？并求出其最大值.（題中"元"為人民幣）

39.（2024?天津?中考真題）將一個(gè)平行四邊形紙片Q45C放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。（0,0）,點(diǎn)A（3,0）,

點(diǎn)B,C在第一象限，且OC=2,/AOC=60

（1）填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)8的坐標(biāo)為；

（2）若尸為大軸的正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作直線無(wú)軸，沿直線/折疊該紙片，折疊后點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O'落在

x軸的正半軸上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'.設(shè)=t.

①如圖②，若直線/與邊CB相交于點(diǎn)。，當(dāng)折疊后四邊形尸O'CQ與.JQ4BC重疊部分為五邊形時(shí)，O'C'與

A3相交于點(diǎn)E,試用含有/的式子表示線段BE的長(zhǎng)，并直接寫(xiě)出f的取值范圍；

②設(shè)折疊后重疊部分的面積為S,當(dāng)（94/4號(hào)11時(shí)，求S的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.

（2）糖果銷(xiāo)售單價(jià)定為多少元時(shí)，所獲日銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

⑶若超市決定每銷(xiāo)售一盒糖果向兒童福利院贈(zèng)送一件價(jià)值為機(jī)元的禮品，贈(zèng)送禮品后，為確保該種糖果日

銷(xiāo)售獲得的最大利潤(rùn)為392元，求m的值.

41.（2024?河南?中考真題）從地面豎直向上發(fā)射的物體離地面的高度/z（m）滿足關(guān)系式〃=-5產(chǎn)+卬，其中

心）是物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，%（m/s）是物體被發(fā)射時(shí)的速度.社團(tuán)活動(dòng)時(shí)，科學(xué)小組在實(shí)驗(yàn)樓前從地面豎直向

上發(fā)射小球.

⑴小球被發(fā)射后s時(shí)離地面的高度最大（用含％的式子表示）.

⑵若小球離地面的最大高度為20m,求小球被發(fā)射時(shí)的速度.

⑶按（2）中的速度發(fā)射小球，小球離地面的高度有兩次與實(shí)驗(yàn)樓的高度相同.小明說(shuō)："這兩次間隔的時(shí)

間為3s.”已知實(shí)驗(yàn)樓高15m,請(qǐng)判斷他的說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.

42.（2024?新疆?中考真題）某公司銷(xiāo)售一批產(chǎn)品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷(xiāo)售量在0.4噸至3.5噸之間時(shí)，

銷(xiāo)售額%（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售量無(wú)（噸）的函數(shù)解析式為M=5x；成本力（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售量無(wú)（噸）的函數(shù)圖象

（1）求出成本%關(guān)于銷(xiāo)售量x的函數(shù)解析式；

⑵當(dāng)成本最低時(shí)，銷(xiāo)售產(chǎn)品所獲利潤(rùn)是多少？

⑶當(dāng)銷(xiāo)售量是多少噸時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？（注：利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-成本）

43.（2024?陜西?中考真題）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索4與纜索4均呈拋物線型,

橋塔40與橋塔BC均垂直于橋面，如圖所示，以。為原點(diǎn)，以直線FT為x軸，以橋塔40所在直線為y

軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

?r/in

已知：纜索乙所在拋物線與纜索4所在拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，橋塔40與橋塔BC之間的距離OC=100m,

A（9=BC=17m,纜索右的最低點(diǎn)尸到的距離尸￡>=2m（橋塔的粗細(xì)忽略不計(jì)）

⑴求纜索右所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E在纜索4上，EF±FF',且EF=2.6m,FO<OD,求R?的長(zhǎng).

44.（2024?山西?中考真題）大棚經(jīng)濟(jì)"金鑰匙"，激活鄉(xiāng)村產(chǎn)業(yè)振興新引擎.劉叔叔計(jì)劃在自家菜地修建一

個(gè)蔬菜大棚，圖1是其橫截面的示意圖，其中A3,CO為兩段垂直于地面的墻體，兩段墻體之間的水平距離

為9米，大棚的頂部用拋物線形鋁合金骨架作支撐.已知骨架的一端固定在離地面3.5米的墻體A處，另一

端固定在墻體。處，骨架最高點(diǎn)P到墻體A8的水平距離為2米，且點(diǎn)P離地面的高度為3.75米.

ffil圖2

數(shù)學(xué)建模

（1）在圖1中，以8為原點(diǎn)，水平直線為x軸，A8所在直線為》軸，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)大棚頂

部骨架上某處離地面的高度為V（米），該處離墻體A3的水平距離為X（米），求y與X之間的函數(shù)關(guān)系

式；

問(wèn)題解決

（2）為了大棚頂部更加穩(wěn)固，劉叔叔計(jì)劃在棚頂安裝"丁"字形鋁合金支架，如圖2所示，支架可以看成是

由線段AE,尸G組成，其中點(diǎn)E,尸在頂棚拋物線形骨架上，F(xiàn)GLAE于點(diǎn)G.為不影響耕作，將點(diǎn)E到

地面的距離定為1.5米.

①點(diǎn)E的坐標(biāo)為,AE的長(zhǎng)為；

②請(qǐng)你計(jì)算做一個(gè)"丁"字形支架所需鋁合金材料的最大長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)：舊?4.12）

45.（2024?江西?中考真題）如圖，一小球從斜坡。點(diǎn)以一定的方向彈出球的飛行路線可以用二次函數(shù)

丁=0^+法（。＜0）刻畫(huà)，斜坡可以用一次函數(shù)y=刻畫(huà)，小球飛行的水平距離x（米）與小球飛行的高度

獷/米

，小球斜也＞

/

。x/米

⑴①機(jī)=,n=；

②小球的落點(diǎn)是A,求點(diǎn)A的坐標(biāo).

⑵小球飛行高度y（米）與飛行時(shí)間才（秒）滿足關(guān)系y=-5/+vt.

①小球飛行的最大高度為米；

②求n的值.

新題特訓(xùn)

一、單選題

1.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）下列關(guān)于函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）

A.任何函數(shù)都與x軸有交點(diǎn)B.一次函數(shù)，二次函數(shù)都與y軸有交點(diǎn)

C.反比例函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為（0,0）D.原點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上

2.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于二次函數(shù)y=（x-3）2-1,以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.開(kāi)口向上B.對(duì)稱軸為直線x=-3

C.有最小值-ID.與y軸交點(diǎn)為（0,8）

3.（2024?河南?三模）如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形A8CD中，點(diǎn)尸是AD邊上不與端點(diǎn)重合的一動(dòng)點(diǎn),

連接BP、過(guò)點(diǎn)尸作尸8尸交正方形外角的平分線。尸于點(diǎn)。，則有關(guān)一如。面積的說(shuō)法正確的為（）.

A.有最大值為JB.有最小值為。C.有最大值為!D.有最小值為:

OOoo

4.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）新定義：>=“（％-加）2+左與丫=6（%-〃2）2+左（°6#0）被稱為“同族二次函數(shù)"，若

y=2（尤-l^+l和y=（a+2）d+S—4）x+8是同族二次函數(shù)，則二次函數(shù)>=加+6x+2024的開(kāi)口方向和最

值為（）

A.開(kāi)口向上，最小值為2018B.開(kāi)口向下，最大值為2018

C.開(kāi)口向上，最小值為2019D.開(kāi)口向下，最大值為2019

5.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知開(kāi)口向下的拋物線丫=以：2+法+c與x軸交于點(diǎn)（6,0）,對(duì)稱軸為直

線％=2.則下列結(jié)論正確的有（）

①abc<0；③方程c/+灰+q=0的兩個(gè)根為％=《，尤2=-］；④拋物線上有兩點(diǎn)P（*i，yi）

26

和。（久2，、2），若玉<2<%且網(wǎng)+%>4,則

A.5個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)

6.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知關(guān)于x的二次函數(shù)丁=加_4辦+3/-6,當(dāng)尤<0時(shí)，V隨式的增大而減小.且

當(dāng)-1VXW4時(shí)，y有最大值2.則4的值為（）

88

A.—B.1C.—1D.—

33

7.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）如圖是拋物線>=-（尤+1）2+根的部分圖象，其頂點(diǎn)為M,與y軸交于點(diǎn)（0,3）,

與無(wú)軸的一個(gè)交點(diǎn)為A,連接MO,MA.以下結(jié)論：①拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（—2,3）；②〃2=3；③S.MA=4;

④當(dāng)x=-3+就時(shí)，y>0.其中正確的是（）（填序號(hào)）

A.①④B.①③④C.①②④D.①②③

8.（2024?天津?模擬預(yù)測(cè)）利用長(zhǎng)為12m的墻和40m長(zhǎng)的籬笆來(lái)圍成一個(gè)矩形苗圃園，若平行于墻的一邊長(zhǎng)

不小于6m,有下列結(jié)論：

（1）垂直于墻的一邊長(zhǎng)可以為15；

⑵矩形苗圃園的最小面積是102m2,最大面積是ZOOn?；

（3）垂直于墻的一邊長(zhǎng)有兩個(gè)不同的值滿足矩形苗圃園面積為128mz.

其中正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè).

A.0B.1C.2D.3

9.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）已知租＞”＞0,若關(guān)于x的方程*2一2%-〃=0的解為石，無(wú)2（為〈尤2）,關(guān)于了的方

程爐-2尤-相=0的解為三，三（三＜三）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.xx<x2<x3<x4B.xl<x3<x4<x2

C.x3<x[<x2<x4D.x3<x4<xr<x2

10.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，根據(jù)坐標(biāo)系中所繪制的圖象及相關(guān)數(shù)據(jù)可知該拋物線的解析式為（）

B.y=x2+2x-3

D.y=2x2-4x-3

二、填空題

11.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)二次函數(shù)，符合頂點(diǎn)在第二象限，對(duì)稱軸左側(cè)上升，交,軸于正半

軸_______

12.（2024?山西?模擬預(yù)測(cè)）實(shí)驗(yàn)中學(xué)某物理興趣小組的同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)飲水機(jī)模型，其電路連接示意圖

如圖甲所示，經(jīng)過(guò)對(duì)工作電路進(jìn)行研究：將變阻器R的滑片從一端滑到另一端，保持固定電阻片不變，繪

制出變阻器R消耗的電功率尸隨電流/變化的關(guān)系圖象（如圖乙）.該圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條拋物線的一部

分，則變阻器R消耗的電功率尸最大為W.

13.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)、=加+法+。（分0）的圖象如圖所示有下列結(jié)論.①/一4團(tuán)>0；

②Mc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0；⑤（a+cfck.其中，正確結(jié)論的是.

14.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=k-6ox+6（a<0）交x軸于點(diǎn)A,D,

交'軸于點(diǎn)作平行四邊形ABCD,邊8C交拋物線于點(diǎn)E,連接DE,若△DCE的面積是12,貝心的

15.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)丫=分2-6分+c（a>0）的圖象過(guò)4（一1,%）,以3,%），（5,%）,

。（7,%）四個(gè)點(diǎn)，則%，%，%，%大小關(guān)系為.

16.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）拋物線、=依2+"+1（。<。），對(duì)稱軸為x=-l.下列說(shuō)法.?①一元二次方程

o?+法+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②對(duì)任意的實(shí)數(shù)見(jiàn)不等式。（加_1）+6（機(jī)+1）<。恒成立；③拋物

線y=依2+6x+l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一2,1）;④若S.m+n+2>0,貝U+勿〃>+5”.正確的有（填

序號(hào)）.

17.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）若a,人是關(guān)于龍的方程Y_2如+（〃7-2）2=0的兩實(shí)數(shù)根,4（a,0）,3（0力）則AB

之間距離的最小值為.

18.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB=2,CA±CB,BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到8。.DEIAB,垂

足為E,點(diǎn)M在線段BC上，MN，AB垂定為N,。為A3中點(diǎn)，當(dāng)8E取得最大值時(shí)，’的面積的最大值

為.

三、解答題

19,（2024?北京?模擬預(yù)測(cè)）已知a,6,c均為正整數(shù)，y=ar2+bx+c交x軸于A。％。），3（”,0）兩點(diǎn)，其中

m<n,A,3至原點(diǎn)的距離均小于1.

（1）比較：m_0；n_Q

（2）求a+6+c的最小值，并給出一組符合要求的”,瓦c

20.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）如圖，二次函數(shù)丫=加-4依+3a（a<0）的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在

點(diǎn)8左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C,且03=0C.

（1）求二次函數(shù)的解析式.

（2）平移該二次函數(shù)的圖象，使平移后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（s加+2）（〃止0）,若當(dāng)-14X42時(shí)函

數(shù)的最大值為7,求優(yōu)的值.

21.（2024?廣東?模擬預(yù)測(cè)）科學(xué)研究表明：一般情況下，在一節(jié)45min的課堂中，學(xué)生的注意力隨教師講

課的時(shí)間變化而變化.經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析，在0WxW8時(shí)，學(xué)生的注意力呈直線上升，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)

間x（min）滿足關(guān)系，=2尤+68;8min以后，學(xué)生的注意力指數(shù)y與時(shí)間x（min）的圖象呈拋物線形，到第

16min時(shí)學(xué)生的注意力指數(shù)y達(dá)到最大值92,