第26講軌跡求法8類

【題型一】直接法求軌跡

【典例分析】

設(shè)點A(-括,0),B(50),M為動點，已知直線A"與直線的斜率之積為定值g,點M的軌跡是()

A.y-y2=l(y*0)B,y-x2=l(y^0)

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C.\_y2=l(yw0)D.q_f=l(yw0)

【變式演練】

1.若兩定點A，3的距離為3,動點M滿足|上回=則M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為()

A."B.2萬C.3兀D.47r

2.已知點尸(0,1),直線/:y=-1,尸為平面上的動點，過點P作直線/的垂線，垂足為。，且QP?Qb=FPP。,

則動點尸的軌跡C的方程為(

A.x2=4yB.y2=3x

C.x2=2yD.y2=4x

3.已知頌4,0),N(l,0),若動點P滿足質(zhì)?宓=6|屆|.(1)求動點P的軌跡C的方程;

【題型二】相關(guān)點代入法

【典例分析】

己知△/6C的頂點3(-30),C(LO),頂點A在拋物線y=Y上運動，求△ABC的重心G的軌跡方程.

【變式演練】

1.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F.

(1)點A、尸滿足AP=-2FA.當點A在拋物線C上運動時,求動點P的軌跡方程；

2.已知圓G：x2+V=r2(r>0)與直線/o：y=；x+g遙相切，點A為圓G上一動點，AN，x軸于點N,且

動點M滿足OM+2AM=(2亞-2)ON,設(shè)動點M的軌跡為曲線C.

(1)求動點M的軌跡曲線C的方程；

3.設(shè)網(wǎng)1,0),〃點在x軸上，尸點在y軸上，且疝=2訪，PMLPF,當點尸在y軸上運動時，求點N的軌

跡方程.

【題型三】定義法

【典例分析】

己知動圓M過定點P(—4,0),且與圓C：丁+/-8工=0相外切，求動圓圓心M的軌跡方程.

【變式演練】

1、已知兩個定圓07:伉+2)2+/=1,和02仇-2產(chǎn)+舊=4,它們的半徑分別是1和2,.動圓M與圓01內(nèi)切，

又與圓。2外切，求動圓圓心M的軌跡方程，

2、己知點直線=點3是直線/上動點，若過5垂直于y軸的直線與線段8歹的垂直

平分線交于點加，則點"的軌跡是()

A、雙曲線B、拋物線C、橢圓D、圓

\22

3.已知點0a〉)滿足條件x+l1)+y+

(I)求點P的軌跡C的方程;

【題型四】交軌法

【典例分析】

XY

如圖，橢圓C。：/+記=1(〃>">。，a,6為常數(shù))，動圓G：f+y2,

6</]<。。點4,4分別為。0的左，右頂點，G與Co相交于4B,C,〃四點。

(I)求直線AA與直線43交點M的軌跡方程；

【變式演練】

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XJ-1

1.已知是橢圓“2盧中垂直于長軸的動弦，A、8是橢圓長軸的兩個端點，求直線MA和N5的

交點P的軌跡方程。

22_2

2.由圓外一定點Q(a,b)向圓*+>=「做割線，交圓周于A、B兩點，求弦AB中點的軌跡

【題型五】參數(shù)法

【典例分析】

J/1

X------=1

如圖3所示，過雙曲線C：3的左焦點F作直線1與雙曲線交于P、Q,以O(shè)P、0Q為

鄰邊作平行四邊形OPMQ,求點M的軌跡方程。

【變式演練】

1.已知拋物線y2=4px(p>0),。為頂點，A、B為拋物線上的兩動點，且滿足OALOB,如果OMLAB于

M點，求點M的軌跡方程.

2

2.在平面直角坐標系xOy中，拋物線>=%上異于坐標原點0的兩不同動點A、B滿足(1)

求AAOB得重心G(即三角形三條中線的交點)的軌跡方程;

3

3.設(shè)M是橢圓124上的一點，p、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點、x軸的對稱點，N為橢圓C上

異于M的另一點，且MNLMQ,QN與PT的交點為E,當M沿橢圓C運動時，求動點E的軌跡方程.

【題型六】立體幾何中的軌跡

本方法可參考立體幾何專題對應(yīng)的軌跡題型和方法總結(jié)

【典例分析】

已知正方體ABCD-A4G2的棱長為0,定點M在棱A3上（但不在端點A,8上），點尸是平面A5CD內(nèi)

的動點，且點尸到直線4R的距離與點尸到點〃的距離的平方差為二,則點尸的軌跡所在曲線為（）

A,直線B.圓C.雙曲線D.拋物線

【變式演練】

1.如圖，在正方體ABCD-AgCQ中，E是棱CG的中點，尸是側(cè)面4BCG上的動點，并且A尸〃平面AER,

則動點歹的軌跡是（）

C.拋物線D.線段

2.在棱長為6的正方體ABC。-44Gs中，點M是線段BC的中點，p是正方體￡>CCQ|（包括邊界）上運

動,且滿足NAPD=NMPC,則P點的軌跡周長為.

3.如圖，正方體ABCD-48CD中，〃為BC邊的中點，點P在底面AQC77和側(cè)面CDDC上運動并且

使ZM4C=Zfi4。，那么點P的軌跡是（）

4

A.兩段圓弧B.兩段橢圓弧

C.兩段雙曲線弧D.兩段拋物線弧

【題型七】向量與軌跡

【典例分析】

已知O,A,8為平面上三點，若=沆.潴=2,動點尸和實數(shù)〃滿足OP=XO4+〃O8,

1<2<2,2W〃W4,則動點P軌跡的測度是.（注：當動點的軌跡是曲線時，其測度指其長度；

當動點的軌跡是平面區(qū)域時，其測度指該區(qū)域面積.）

【變式演練】

1.已知E為平面內(nèi)一定點且=平面內(nèi)的動點P滿足：存在實數(shù)彳使卜0尸+（1-2）0?=：,若點

P的軌跡為平面圖形S,貝”的面積為.

2.如圖,2是AC的中點，8E=208,尸是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點，且。尸=xOA+yOB（x,yeR）,

則下列結(jié)論正確的是（）

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A.當尸在C點時，x=-l,y=2

B.當x=0時，JG[2,3]

C.若x+＞為定值1,則在平面直角坐標系中，點尸的軌跡是一條線段

D.當尸是線段CE的中點時，x=-1,j=（

3.已知。是..ABC所在平面內(nèi)一點，以下說法正確的是（）

（\AB\-ABIACI-ACY、

A.若動點尸滿足OP=OA+X1-+JXeR）,則尸點的軌跡一定通過-ABC的重心.

sinCsmB

AOABAOACCOCACOCB

B.若點。滿足|人T|'/一二.，則點。是..ABC的垂心.

\AB\\AC\CA\CB\

c.若。為,.ABC的外心，S.OA+OB+OC=OM，則M是，.ABC的內(nèi)心.

D.^（OA+OB）AB=（OB+OC）BC=0,則點O為，ABC的外心

【題型八】復數(shù)中的軌跡（新高考）

【典例分析】

己知復平面內(nèi)A點對應(yīng)的復數(shù)為2+i,8點對應(yīng)的復數(shù)為l-i,z=x+（y-2）i（x,yeR）.若目=1,在z的

軌跡上任取一點C,求ABC的面積取值范圍.

【變式演練】

L若復數(shù)z滿足|z-l+i|=3,則復數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡圍成圖形的面積等于（）

A.3B.9C.6兀D.9兀

2.已知復數(shù)z滿足|z+i|+|z—i卜2,則z的軌跡為（）

A.線段B,直線

C.橢圓D.橢圓的一部分

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3.設(shè)非零復數(shù)Z。是復平面上一定點，4為復平面上的動點，其軌跡方程|Z「Z0|=|ZJ,Z為復平面上另一個

動點滿足zz=-i,則z在復平面上的軌跡形狀是（）

A.雙曲線B.圓C.一條直線D.拋物線

【課后練習】

1.（上海市徐匯區(qū)上學期期末）設(shè)”是定直線/的法向量，定點A在直線/上，定點B在直線/外，P為一動

點，若點尸滿足四包=1尸0，則動點尸的軌跡為（）

\n\

A.直線B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

AZ?人「

2.已知。是所在平面內(nèi)的一定點，動點P滿足。尸=。4+幾--"w（0,+8）,則動點尸的軌

{\AB\\AC\J

跡一定通過ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

3.（山東省濰坊市上學期高中學科核心素養(yǎng)測評）已知兩定點動點.與P、

。的距離之比期=彳（％>0且4—1）,那么點〃的軌跡是阿波羅尼斯圓，若其方程為Y+y2=4,則彳+加

的值為（）

A.—8B.-4C.0D.4

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4.（福建省福州高級中學上學期期中）已知橢圓二+當=1（°泌>0）的兩個焦點分別為人，F(xiàn)2,設(shè)尸為橢

ab

圓上一動點，角NF'PF。的外角平分線所在直線為I,過點仍做I的垂線，垂足為S,當點P在橢圓上運動時，

點S的軌跡所圍成的圖形的面積為：（）

A.a?B.4/C.兀a1'D.ATTO2

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5.（湖南省郴州市9月月考）試運用類似上面的解法解下列問題：求函數(shù)y=：+smx的值域.

2-cosx

6.（新疆克拉瑪依市高三第三次模擬檢測數(shù)學（理）試題）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定

點A,8距離之比為常數(shù)彳（九＞°且義工1）的點的軌跡是一個圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.

根據(jù)以上信息，解決下面的問題：

如圖，在長方體中，ABuZADuZAAuG,點E在棱AB上，BE=2AE,動點尸滿足

8尸=6尸況若點尸在平面A8CC內(nèi)運動，則點尸所形成的阿氏圓的半徑為；若點尸在長方體

內(nèi)部運動，尸為棱GA的中點，〃為CP的中點，則點M到平面4c尸的距離的最小值為

J/I（yII1—|2x+3y+3]

7.（四川省綿陽市綿陽第一中學上學期期中數(shù)學試題）滿足''岳的點p