第20講立體幾何中的軌跡問題6類

【題型一】由動(dòng)點(diǎn)保持平行性求軌跡

【典例分析】

如圖，在邊長(zhǎng)為。的正方體A8C￡）-48ICLDI中，E、F、G、H、N分別是CCi、G》、。。卜CD、8c的中

點(diǎn)，M在四邊形EFGH邊上及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若MN〃面AB。，則點(diǎn)M軌跡的長(zhǎng)度是（）

A.&aB.y/2aC.且D.叵

22

【變式演練】

1.在三棱臺(tái)A#G-A8C中，點(diǎn)。在4片上，且4M/BD,點(diǎn)"是三角形A4G內(nèi)（含邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

且有平面3D0//平面AACG,則動(dòng)點(diǎn)股的軌跡是（）

A.三角形A4G邊界的一部分B.一個(gè)點(diǎn)

C.線段的一部分D.圓的一部分

2.己知正方體A8CD-44cs的棱長(zhǎng)為2,E、尸分別是棱A4、4〃的中點(diǎn)，點(diǎn)尸為底面ABCD內(nèi)（包括

邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線RP與平面正F無(wú)公共點(diǎn)，則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.V2+1B.75C.72+—D.y/6

2

3.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A4Gs中，點(diǎn)￡,尸分別是棱G2，耳G的中點(diǎn)，尸是上底面44G2內(nèi)一

點(diǎn)（含邊界），若AP//平面BOER則P點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)為（）

A.1B.aC.2D.2A/2

【題型二】動(dòng)點(diǎn)保持垂直性求軌跡

【典例分析】

在正方體ABC。-A4G2中，。是正方形4BCG內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，AQL8G，則。點(diǎn)的軌跡是（）

A.點(diǎn)與B.線段BCC.線段用GD.平面用BCG

【變式演練】

1.在正方體A88-4AGR中，點(diǎn)尸在側(cè)面BCG片及其邊界上運(yùn)動(dòng)，且保持APL8D,,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為

A.線段C4B.線段BG

C.2月的中點(diǎn)與CG的中點(diǎn)連成的線段D.3C的中點(diǎn)與百a的中點(diǎn)連成的線段

2.在棱長(zhǎng)為I的正方體中，M,N分別為BQ,4G的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，

且滿足MP^av.給出下列說(shuō)法：

①點(diǎn)P可以是棱8用的中點(diǎn)；

②線段的最大值為:；

③點(diǎn)P的軌跡是正方形；

④點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為2+6.

2

其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)是

3.如圖，在正方體ABCD-A4G2中，E是棱CG的中點(diǎn)，F(xiàn)是側(cè)面BCQB）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且A/與平面RAE

的垂線垂直，則下列說(shuō)法不正確的是（）

A.A/與2E不可能平行

B.A尸與仍是異面直線

C.點(diǎn)尸的軌跡是一條線段

D.三棱錐產(chǎn)-AB?的體積為定值

【題型三】由動(dòng)點(diǎn)保持等距（或者定距）求軌跡

【典例分析】

已知正方體ABCD-481C1O1的棱長(zhǎng)為1,尸為底面ABC。內(nèi)一點(diǎn)，若尸到棱CD,45距離相等的點(diǎn)，則

點(diǎn)尸的軌跡是（）

3

A.直線B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

【變式演練】

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面上4〃為正三角形，底面ABC。為正方形，側(cè)面外底面ABC。，M

為正方形ABCZ）內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足MP=MC.則點(diǎn)”在正方形ABC。內(nèi)的軌跡為（）

B.

D.

2.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體ASCD-AB'C'D中，E、P分別是A。、AD的中點(diǎn)，長(zhǎng)為2的線段的

一個(gè)端點(diǎn)M在線段E尸上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)N在底面A右，C77上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)P的軌跡（曲面）

與正方體（各個(gè)面）所圍成的幾何體的體積為（）

3.四棱錐P-。48c中，底面。48c是正方形，。尸_LOA,OA=OP=a.。是棱OP上的一動(dòng)點(diǎn)，E是正方

形048c內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，的中點(diǎn)為。，當(dāng)。E=a時(shí)，。的軌跡是球面的一部分，其表面積為3%，則。的值

是（）

A.2百B.2A/6C.3</6D.6

4

【題型四】由動(dòng)點(diǎn)保持等角（或定角）求軌跡

【典例分析】

正方體ABCA-ABCQi中，M,N分別為A3,4耳的中點(diǎn)，尸是邊上的一個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），。是

平面q上一動(dòng)點(diǎn)，滿足直線肱V與直線4V夾角與直線MN與直線NQ的夾角相等，則點(diǎn)。所在軌跡

為（）

C.拋物線D.拋物線或雙曲線

【變式演練】

L如圖，斜線段A3與平面a所成的角為60。，8為斜足，平面a上的動(dòng)點(diǎn)尸滿足NR4B=3O。，則點(diǎn)尸的軌

跡是（）

A,直線B.拋物線

C.橢圓D.雙曲線的一支

2.如圖所示，ABC。-A4G〃為長(zhǎng)方體，且A8=BC=2,4A=4,點(diǎn)尸為平面44GB上一動(dòng)點(diǎn)，若

NPBG=NBC/,則P點(diǎn)的軌跡為（）

5

C.雙曲線D.圓

3.在長(zhǎng)方體中，AB=AD=6,9=2,〃為棱8c的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸滿足NAPD=NCRW,

則點(diǎn)P的軌跡與長(zhǎng)方體的側(cè)面DCGQ的交線長(zhǎng)等于.

【題型五】投影求軌跡

【典例分析】

1822年，比利時(shí)數(shù)學(xué)家。外力e/應(yīng)利用圓錐曲線的兩個(gè)內(nèi)切球，證明了用一個(gè)平面去截圓錐，可以得到橢圓

（其中兩球與截面的切點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)了橢圓截線定義與軌跡定義的統(tǒng)一性.在生活中，有一個(gè)

常見的現(xiàn)象：用手電筒斜照地面上的籃球，留下的影子會(huì)形成橢圓.這是由于光線形成的圓錐被地面所截

產(chǎn)生了橢圓的截面.如圖，在地面的某個(gè)占A1正上方有一個(gè)點(diǎn)光源，將小球放置在地面，使得A4與小球相

切.若AA=5,小球半徑為2,則小球在地面的影子形成的橢圓的離心率為（）

2

D.

5

6

【變式演練】

1.如圖，已知水平地面上有一半徑為3的球,球心為。，在平行光線的照射下，其投影的邊緣軌跡為橢圓C.如

圖，橢圓中心為。，球與地面的接觸點(diǎn)為E,。匠=4.若光線與地面所成角為。，橢圓的離心率e=.

【題型六】翻折與動(dòng)點(diǎn)求軌跡（難點(diǎn)）

【典例分析】

如圖，將四邊形中，AADC沿著AC翻折到AQC,則翻折過程中線段03中點(diǎn)M的軌跡是（）

A.橢圓的一段B.拋物線的一段

C.雙曲線的一段D.一段圓弧

【變式演練】

1.已知△A8C的邊長(zhǎng)都為2,在邊A8上任取一點(diǎn)。，沿CD將ABC。折起，使平面平面ACD.在

平面8CO內(nèi)過點(diǎn)B作平面AC。，垂足為P,那么隨著點(diǎn)。的變化，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

.n2%

A-6C.—D.71

-73

2.如圖，等腰梯形ABC。中，ABUCD,A5=2,AD=BC=lf沿著AC把八48折起至△ACR,

7

使2在平面A3C上的射影恰好落在A5上.當(dāng)邊長(zhǎng)8變化時(shí)，點(diǎn)2的軌跡長(zhǎng)度為（)

n

D.

6

3.已知矩形ABCD中，AB=1,AE=亞,如圖，將ZWE沿著BE進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)A與點(diǎn)S重合，若點(diǎn)S

在平面BCOE上的射影在四邊形3cDE內(nèi)部（包含邊界），則動(dòng)點(diǎn)S的軌跡長(zhǎng)度是（）

【課后練習(xí)】

1.（多選題）（海南省?？谑斜本煼洞髮W(xué)?？诟綄賹W(xué)校12月月考）如圖，已知正方體ABC。-A4GR的

棱長(zhǎng)為2,加1,。2的中點(diǎn)，N為正方形所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若N到直線8與與直線OC的距離相等，則N的軌跡為拋物線

B.若MN=2,則A1N的中點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為萬(wàn)

C.若與A3所成的角為60。，則N的軌跡為雙曲線

D.若與平面ABCD所成的角為60°,則N的軌跡為橢圓

8

2.（多選題）（廣東省六校高三上學(xué)期第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）如圖的正方體ABC。-AgGR中，棱長(zhǎng)為2,

點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)廠在正方體表面上運(yùn)動(dòng).以下命題正確的有（）

A.側(cè)面CDAG上不存在點(diǎn)尸，使得

B.點(diǎn)。到面\BE的距離與點(diǎn)G到面ABE的距離之比為g

C.若點(diǎn)廠滿足4尸〃平面ABE,則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為2石

D.若點(diǎn)廠到點(diǎn)A的距離為孥，則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為26兀

3.（多選題）（全國(guó)著名重點(diǎn)中學(xué)領(lǐng)航高考沖刺試卷（六））如圖，在正方體AB。-45GA中，E為"A的

中點(diǎn)，點(diǎn)廠在線段4s上運(yùn)動(dòng)，G為底面ABC。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.QF1CB,

B.若尸G//C?,則點(diǎn)G在線段AC上

C.當(dāng)點(diǎn)P從A向R運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐的體積由小變大

D.若G",GE與底面ABC。所成角相等，則動(dòng)點(diǎn)G的軌跡為圓的一部分

4.（吉林省梅河口市第五中學(xué)第一次月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體A3。-ABCQI中，M,N分別為A4,

CG的中點(diǎn)，。為底面的中心，點(diǎn)尸在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足NP1.M0,則下列說(shuō)法正確的

是（）

9

DiCl

B.線段NP的最大值為克

A.點(diǎn)尸可以是棱8月的中點(diǎn)

2

C.點(diǎn)P的軌跡是平行四邊形D.點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為1+加

5.（廣東省深圳市平岡高級(jí)中學(xué)高三上學(xué)期9月第一次月考）如圖所示，在棱長(zhǎng)為。的正方體ABCZJ-AiBiCbDi

中，E是棱。A的中點(diǎn)，尸是側(cè)面CDDiCi上的動(dòng)點(diǎn)，且81P〃平面48E,則尸在側(cè)面COAG上的軌跡

的長(zhǎng)度是（）

A.aB.-C.缶D.叵

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6.（湖南省永州市高三上學(xué)期第一次適應(yīng)性考試）已知在三棱錐S-ABC中，。為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E在

△S3C（含邊界位置）內(nèi)，則滿足DE〃平面&4C的點(diǎn)E的軌跡為（）

A.線段SB,BC的中點(diǎn)連接而成的線段

B.線段S3的中點(diǎn)與線段BC靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)連接而成的線段

C.線段BC的中點(diǎn)與線段SB靠近點(diǎn)8的三等分點(diǎn)連接而成的線段

D.線段3C靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)與線段SB靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)連接而成的線段

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7.（遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)上學(xué)期聯(lián)考）已知正六棱柱A8S）所-A4GB耳片的棱長(zhǎng)均為后，點(diǎn)p在棱網(wǎng)上運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)。在底面ABCDE尸內(nèi)運(yùn)動(dòng)，PQ=y[2,R為尸。的中點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)R的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面

圍成的較小部分的體積為（）

6■兀

R6■兀冊(cè)兀血兀

~7A18~vT

8.四棱錐尸-OABC中，底面