華附南海實驗高中高二年級

2024?2025學(xué)年度第二學(xué)期第一階段考試

數(shù)學(xué)

一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的)

1.已知集合L>,L>,則A()

A.(0,3)B.(0,2)C.(-2,3)D.(-2,0)

【答案】B

【解析】

【分析】明確集合A,再根據(jù)交集的運(yùn)算求交集即可.

【詳解】由x2<4=—2<x<2,所以A=(—2,2),

所以A5=(0,2).

故選：B

2.復(fù)數(shù)z=C-的共軌復(fù)數(shù)為()

i+1

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.

L

【詳解】由題意得，z=7-\—-=l-i,

z=l+i?

故選：B.

3.平面向量G=(1,2),Z?=(-3,4),則4在6上的投影為()

D.y/5

【答案】A

【解析】

【分析】依題意由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及投影向量定義計算可得結(jié)果.

詳解】根據(jù)題意可知〃心=—3+2x4=5,

a-bba-b11/0人(34]

a在6上的投影77為3,4)=「《，二1

故選：A

4.在等差數(shù)列｛a?｝中，若%=3,a1%=8，則該數(shù)列公差為(

A.；B.1C.2D-4

【答案】D

【解析】

【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.

【詳解】等差數(shù)列｛4｝中，設(shè)公差為d,

2

則01a5=(g—2d)(q+2d)=9—4-d=8,

故d=±L

2

故選：D

5.已知/'(x)=2,則lim"x)"x+2&)=()

…。Ax

A.l4B.—1C.1D.4

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義運(yùn)算求解.

【詳解】因為r(x)=2,則1"(%+￡)_〃耳=2,

ioAx

訴”r/(x)T(x+2Ax)/(x+2Ax)-/(x)

所以lim——------------------二-2lim------------------二-4.

——0Ax――02Ax

故選：A.

6.曲線y=Y—x+1在點(1,1)處的切線方程為()

A.y=2x-lB.y=-2x+lC.y=x-lD.y=-x+l

【答案】A

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，利用點斜式求切線方程.

【詳解】y-x3-x+1,

y'—3%2—1

k=y'[^=2,得切線的斜率為2,

所以曲線y=/（%）在點（U）處的切線方程為y-1=2（x-l）,

即y=2x-l,

故選：A.

7.已知數(shù)列｛4｝的前"項和滿足S“=〃2,記數(shù)列的前"項和為（,”eN*.則4=（）

[44+1J

48510

A.-B.-C.—D.—

991111

【答案】c

【解析】

【分析】先求出數(shù)列｛4｝的通項公式為4=2"-1,利用裂項相消法求出4.

【詳解】數(shù)列｛6,｝的前〃項和S“滿足S"=〃2,

所以，當(dāng)”=1時，=Sj=1;

2

當(dāng)“22時，an=Sn—Sn_｝=H-（?-1）"=2n-1.

經(jīng)檢驗，an=2〃-1對n=\也成立.

所以=2〃一1.

、1_11_____

所以a,4+i（2n-l）（2n+l）212"-12n+1J

1r,111111111A5

52（3355779911J11

故選：C

8.某農(nóng)村合作社引進(jìn)先進(jìn)技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達(dá)到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單

位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2024年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按

照計劃該公司從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為（）

(參考數(shù)據(jù):1.39-10.6,1.310—13.8,1.3"a17.9)

A.964萬元B.2980萬元C.3940萬元D.5170萬元

【答案】C

【解析】

【分析】該公司從2024年起的每年銷售額依次排成一列可得數(shù)列由凡M=1.34-3求出通項，再

結(jié)合數(shù)列求和即可得解.

【詳解】該公司從2024年起的每年銷售額依次排成一列可得數(shù)列｛4｝,〃eN*,〃<10,

依題意，當(dāng)〃€叱,〃<9時，。,+]=1.3%—3,即見+1—10=1.3(4—10),

因此數(shù)列｛%T0｝是首項為90,公比為1.3的等比數(shù)列，4-10=90x1.3"、即a,=90X1.3“T+10,

則q+g++Qo=9°；"；；)+10x10^300x(13.8-1)+100=3940,

所以從2024年到2033年該產(chǎn)品的銷售總額約為3940萬元.

故選：C

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分)

9.已知函數(shù)〃尤)的導(dǎo)函數(shù)為了'(￡),/'(X)的部分圖象如圖所示，則()

A./(%)在(%,X2)上單調(diào)遞增B.7(%)在(42，尤3)上單調(diào)遞減

C.X]是〃尤)的極小值點D.%是/(力的極小值點

【答案】AC

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值點之間的關(guān)系逐項判斷即可.

【詳解】對于A選項，由圖象可知，當(dāng)玉時，/，(x)>0,則函數(shù)/(%)在,9)上單調(diào)遞增，A

對；

對于B選項，當(dāng)乙<x<X3時，/,(x)>0,則函數(shù)“X)在(9,工)上單調(diào)遞增，B錯；

對于C選項，當(dāng)》<石時，/,(%)<0,此時函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)<X<13時，r(x)>o,此時函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，

所以，毛是〃％)的極小值點，C對；

對于D選項，當(dāng)藥<%<%3時，/，(%)>0,此時函數(shù)“X)單調(diào)遞增，

所以，/不是函數(shù)了(%)的極小值點，D錯.

故選：AC.

10.已知S”是數(shù)列｛4｝的前〃項和，若勾=1,?！?]=3S",則下列結(jié)論中正確的有()

A.%~12

B.數(shù)列￡｝是等比數(shù)列

C.=3-4"-2

D.數(shù)列｛log's”｝的前〃項和為S；T)

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)a,"1=3S”,勾=1代入〃=1得%=3,再代入〃=2求得的，即可判斷選項A；根據(jù)an+l=35,,

與4+i=S〃+i-S”可得數(shù)列｛S?｝是首項為1,公比為4的等比數(shù)列，即可判斷選項B；由選項B可求出數(shù)

列⑸｝的通項公式，根據(jù)a”與5”即可求出數(shù)列｛叫的通項公式，進(jìn)而判斷選項C；根據(jù)數(shù)列⑸｝的通項

公式可得數(shù)列｛log4S〃｝是首項為0,公差為1的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式即可判斷選項D.

【詳解】因為4+1=3S〃,％=1,所以當(dāng)”=1時，4=3S]=3%=3；

當(dāng)“=2時，g=3S2=3(4+/)=12.故選項A正確.

因為an+l=3Sn,即Sn+l-Sn=3Sn,所以Sn+1=4Sn.

因為H=q=l,所以數(shù)列｛S,,｝是首項為1,公比為4的等比數(shù)列.故選項B正確.

由選項B知,S“=4?T,所以4+i=3-4"T,即當(dāng)〃22時，?！?3?4"-2

l,n=l

當(dāng)〃=1時，。1=1不滿足上式，所以故選項C錯誤

3-4n-2,n>2

由S“=4-知log4S“=〃—l,所以數(shù)列｛log,Sj是首項為0,公差為1的等差數(shù)列,

所以數(shù)列｛log's'｝的前〃項和為M0；"T)=”；T),故選項D正確.

故選：ABD.

11.已知函數(shù)/⑴=9+雙卜小區(qū))，則下列說法正確的是()

A.當(dāng)a=0時，f(%)>—

e

B.當(dāng)。=1時，直線y=2x與函數(shù)7(%)的圖象相切

C.若函數(shù)八%)在區(qū)間［0,也)上單調(diào)遞增，貝la21

D.若在區(qū)間［0』上/(九)《尤2恒成立，則。的最大值為1—e

【答案】ABD

【解析】

【分析】對于A,求導(dǎo)函數(shù)后根據(jù)單調(diào)性即可得出結(jié)果；對于B,求導(dǎo)后將尤=0代入求出切線斜率，繼而

求得切線方程;對于C,即f\x)2。在［0,+0上恒成立，分離參數(shù)求解即可；對于D,分為x=0和xe(0,

1］兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)％=0時，/(x)<%2恒成立;當(dāng)xe(0,1］時，/(x)<%2恒成立等價于xex+ax<jc

恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可.

【詳解】對于A,當(dāng)a=0時，/(x)=xe*,/'(x)=(x+l)e*,

當(dāng)xe(—oo,—l)時，f'(x)<0,當(dāng)xe(—l,+oo)時，f'(x)>0,

函數(shù)/(%)在(-8,-1)上單調(diào)遞減，在(-1,y)上單調(diào)遞增，

???丁(尤)礴=/(-I)=一，，故選項A正確；

e

對于B,當(dāng)a=l時，/(x)=xex+x,fr(x)=(x+I)ex+1,

.?./'(0)=2,所以函數(shù)/(%)在(0,0)處的切線方程為y=2x,故選項B正確;

對于C,(尤)=(九+l)e"+。，若函數(shù)/(%)在區(qū)間［0，+8)上單調(diào)遞增,

則r(x)=(X+l)e'+。20區(qū)間［0,+8)上恒成立，

即(x+l)e，在［0,+刃)上恒成立，

令8(%)=-(》+1)1,x>0,

則8'0)=-(>+2)^<0,，函數(shù)8(%)在［0,+℃)上單調(diào)遞減，

???g(x)a=g(0)=-l，...。二―1，故選項C錯誤；

對于D,當(dāng)尤=0時，/(》)<必恒成立，此時oeR；

當(dāng)xe(0,1］時，/(好<必恒成立等價于狀"+依《爐恒成立，

即aKx—eX恒成立，設(shè)〃(x)=x-e*,0<x<l,

則〃'(x)=1—e，<0在xe(0,1］上恒成立，

〃(x)=x-e"在xe(0,1］上單調(diào)遞減，

；/(x)min=力(1)=1—e,:.a<l-e,

綜上所述aWl-e,故選項D正確.

故選：ABD

【點睛】方法點睛：對于函數(shù)恒成立或者有解求參的問題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函

數(shù)最值問題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個函數(shù)，使得一個函數(shù)

恒大于或小于另一個函數(shù).

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.等差數(shù)列｛a.｝中，若為+“5+%=30,貝1］6+%的值為.

【答案】20

【解析】

【分析】應(yīng)用等差數(shù)列項的性質(zhì)計算求解.

【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列，又因為%+%+%=3%=30,即%=1。，

則q+。9=2%=20.

故答案為：20.

13.己知函數(shù)/(x)=x—±則不等式/“2+3)+/(—2/+/—1)>0的解集為.

【答案】(-1,2)

【解析】

【分析】先證明函數(shù)/(九)為奇函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(%)在(0,+8)上的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)化

簡不等式，解不等式可得結(jié)論.

【詳解】因為/(X)=X-當(dāng)，定義域為(—8,0)。(0,+8),定義域關(guān)于原點對稱，

4

X/(-%)=-%+-=-/(%),所以/(x)為奇函數(shù).

x

由/(r+3)+/(_2/+/_1)>0,

得了(產(chǎn)+3)>―/(—2/+/_1),即+

又r+3>0，2/一/+1=2。-口+->0，

I4J8

4

且/■'(力=1+=>0,所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以一+3>2/T+1，解得一1</<2,

所以不等式的解集為(—1,2).

故答案為：(—1,2).

14.令"％)=%2,對拋物線y=持續(xù)實施下面“牛頓切線法”的步驟：

在點(1,1)處作拋物線的切線交x軸于(七,0)；

在點(％J(xj)處作拋物線的切線，交X軸于(々，°)；

在點(%2,/(%2))處作拋物線的切線，交X軸于(七，0)；

得到一個數(shù)列｛%?｝,則/的值為；數(shù)列｛七｝的前n項和sn=.

【答案】①.g##0.5②.1—1.

【解析】

【分析】根據(jù)定義，求出/(%)在(U)處的切線即可得到X1,根據(jù)牛頓切線法定義，

%+i=七一#再化簡得出了=(工］,求和計算即可.

f(G"\2)

【詳解】由于/'（x）=2x,所以/‘⑴=2,切線方程為y=2（x—1）+1=2%-1,

令2%—1=0,得％=所以

在點（z，/（z））處的切線方程為y=/（X〃）+,

因為該切線交無軸于點（%”+1，0），

故答案為：1—13]

四、解答題（共5小題，第15題13分，第16、17題每題15分，第18、19題每題17分，共

77分.解答需寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）

15.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項和為％$3=28,且34=2。1+。3,公比#1.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）令優(yōu)=（一1）"+】?%,求也｝的前n項和Tn.

n+1

【答案】（1）an=2

⑵—BT+百

〃33

【解析】

【分析】（1）由3。2=2%+。3求得4=2,再由邑=28求得4=4,即可求解;

（2）結(jié)合（1）得出也｝通項公式，進(jìn)而得出也｝為等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式計算即可求解.

【小問1詳解】

由3a2—2q+%得，—3q+2=(q—l)(q—2)=0,解得q=1(舍)或4=2,

由S3=28得，%+%+%=/+2%+4q=7q=28,解得q=4,

所以a"=qq"T=4x2"T=2'"i.

【小問2詳解】

2=(-1)向。=(-1)向2*(-2-，

所以也“｝是以4為首項，-2為公比的等比數(shù)歹U,

4

所以北=H----

1-(-2)33

3

16.已知函數(shù)/(x)=—x2-6ax+b\nx+2a2(a,bGR)

(1)若/(%)的圖象在點⑴)處的切線方程為4x-2y-1=。，求。與b的值;

(2)若/(%)在x=l處有極值--,求〃與人的直

2

【答案】(1)a=0,Z>=—1或a=3,b=17

(2)a=2,b=9

【解析】

【分析】(1)由函數(shù)解析式求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，由函數(shù)解析式求得切點，根據(jù)切線方程，建立方

程組，可得答案；

(2)由函數(shù)解析式求導(dǎo)，根據(jù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)解析式，建立方程組，可得答案.

【小問1詳解】

3b

因為/(%)=—f-6ax+blnx+2a2,所以f'(x)=3x-6a+—,

2x

所以=：—6a+2a2,/'(I)=3—6a+b，

因為切線方程為4x-2y-l=0,

3,3

y(l)=--6a+2a2a=0a=3

所以《2解得

b=-l[〃=17

f'(X)=3-6a+b=2

所以a=0,Z?=—1或a=3,b=17.

【小問2詳解】

函數(shù)/a)在％=i處有極值-9

2

35

f'(I)—3-6a+b—0S.f(l)=--6a+2a2=解得a=1,b=3或a=2,/?=9

當(dāng)a=l,匕=3時，/'(x)=3x—6+3=3?！?)-20恒成立,此時函數(shù)無極值點，

XX

當(dāng)a=2/=9時，/'(X)=3x—12+2=3(x-D(x-3),此時1是極值點,滿足題意，

XX

所以a=2力=9.

17.如圖，在三棱錐P—ABC中，ABLBC,PA=PB=PC=AC=4,。為AC中點.

(1)證明：POL平面ABC；

(2)若點〃在棱3c上，BM=^MC,且A3=BC,求二面角M—Bl-C的大小.

【答案】(1)證明見解析

(2)30°

【解析】

【分析】(1)證得POLAC和POLO8,然后根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的夾角坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

解：(1)證明：因為叢=尸。，且。為AC中點，所以POJ_AC,

因為且。為AC中點，所以O(shè)B=LAC=2,因為上4=PC=AC=4,且。為AC中點,

2

所以PO=26，因為尸5=4，OB=2,PO=2731所以P3?=PO?+03?，所以POJ_OB,

OB[AC=O,所以POJ_平面ABC.

【小問2詳解】

解：因為45=5。，且。為AC中點，所以AC_LOB,從而08,OC,OP兩兩垂直，

如圖，建立以。為原點，以08,OC,0P分別為x,V,z軸的空間直角坐標(biāo)系，

易知A(0,—2,0),尸(0,0,2?C(0,2,0),5(2,0,0),

11—42

設(shè)M(jc,y,z),由=即3M=—MC,可求得M(—,—,0),

2233

所以PA=(O,—2,—2回尸”=(號,-2回

n-PA-0

不妨設(shè)平面PA"的一個法向量為〃=(x,y,z),則<

n-PM=0

-2j-2>/3z=0

即《42r，

-X+-)—2A/3Z=0

[33

令z=l，貝！y=-A/3,所以"=(2括,-百,1),

取平面PAC的一個法向量為m=(1,0,0)，

m-n20

所以cos<m,n>=

\m^n\M~~2~

所以二面角M-P4-C的大小為30°.

(1)證明：數(shù)列愕為等差數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)設(shè)么=(〃+1"",記數(shù)列｛〃｝的前〃項和為S”.

3n-2

(i)求S”；

(ii)若V〃eN*，S“<〃z3"i成立，求加的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析，4=(3〃—2>2"

(2)(i)=〃2+i(ii)—,+e

(27)

【解析】

【分析】(1)等式兩邊同時除以2"+i可證數(shù)列為等差列，利用等差數(shù)列通項公式求數(shù)列｛4｝的通項公式即

可；

(2)(i)由錯位相減法求和即可；(ii)構(gòu)造數(shù)列｛g｝,由不等式組求數(shù)列｛c〃｝的最值大即可.

【小問1詳解】

因為a.=24+3-2用,即爵喙=3,

所以數(shù)列樣｝是以為■=：!為首項，3為公差等差數(shù)列.

所以墨=1+3(〃-1)=3"—2,

所以q=(3〃—2)?2".

【小問2詳解】

(i)由(1)知果+=3〃一2,

所以4=(3〃-2)2",

所以d=等粵=("+1)2"，

所以S“=2-2i+3-22+4"++“-2"T+("+1)2,

2S?=2-22+3-23+4-24++?-2"+(ra+l)-2,,+1,

所以一S“=22+2?+23++2"—

=2'+22+23++2”—(〃+1>2"+2

2(1—2")

=12一("+1),2'用+2=—2+2"+i—("+1)?2'"1+2=—"?2"+'

所以S"=〃-2叫

(ii)因為V”eN*,S“<"3"+i,

所以<m,

不妨設(shè)｛c“｝的第〃項取得最大值,

所以｛c“｝的最大值為C2=c3=—,

所以〃2〉竺，即機(jī)的取值范圍是(￡,+8.

27(27

19.已知函數(shù)/(x)=lnx-ox.

(1)討論了(%)的單調(diào)性；

(2)若〃龍)只有一個零點，求。的取值范圍；

(3)設(shè)g(x)=eAi+^(x),若g(%”0恒成立，求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)aW0或a='

e

(3)aG(-co,l]

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)后根據(jù)。的范圍分類討論即可求解；

Inx

(2)設(shè)g(x)=—,x>0,由題意得g(x)=a只有一個根,由導(dǎo)數(shù)得出g(x)的單調(diào)性進(jìn)而畫出簡圖，

X

數(shù)形結(jié)合即可求解；

(3)當(dāng)aWl時，g(x)=e，i+xlnx-ax2Ne'i+xlnx-x2,設(shè)G(%)二----FInx-x,x>0,根據(jù)導(dǎo)

X

數(shù)進(jìn)而得出G(X