河北省石家莊市七縣2024-2025學(xué)年高二(下)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.書架上有3本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的物理書，圖書管理員從中任取2本，則不同的取法種數(shù)為()

A.7B.12C.21D.42

2.隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，若P(X=0)=3P(X=1),則P(X=1)=()

3.二項(xiàng)式(2乂-白K的展開式中常數(shù)項(xiàng)為()

A.160B.-160C.60D.-60

4.有3名男生和3名女生去影院觀影，他們買了同一排相連的6個(gè)座位，若3名女生必須相鄰，則不同的坐法

有()

A.24種B.48種C.96種D.144種

5.函數(shù)/(%)=靖一x-2的極小值點(diǎn)為()

A.-2B.-1C.0D.1

6.從5人中選擇4人去4B,C三地調(diào)研，一個(gè)地方安排2人另外兩個(gè)地方各安排1人的安排方法共有()

A.35種B.75種C.120種D.180種

7.已知函數(shù)=x3-mx+6)x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為()

A.(-co,9]B.[9,+oo)C.(—oo,9)D.(9,+8)

8.已知函數(shù)/(X)=/一刀,過點(diǎn)(—2,a)可向曲線y=/Q)引3條切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-3,5)D.(-5,3)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.滿足不等式A"1一n<7的九的值為()

A.3B.4C.5D.6

10.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為

X234

p0.30.4m

若y=3X-2,貝)

A.E(X)=3B.D(X)=0.8C.E(Y)=9D.D(Y)=5.4

11.給出定義：若函數(shù)f（x）在。上可導(dǎo)，即尸（X）存在，且導(dǎo)函數(shù)（（X）在。上也可導(dǎo)，則稱/（X）在。上存在二

階導(dǎo)函數(shù)，記尸⑺=（尸（久））'.若尸'（久）>。在D上恒成立，則稱〃乃在。上是“下凸函數(shù)”.下列函數(shù)中在定

義域上是“下凸函數(shù)”的是（）

A./（%）=x2—4x+3B.g（x）—logix

2

C.h（x）=x2+2cosxD.<p（x）=x2lnx

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面的高度h（單位：爪）與起跳后的時(shí)間

t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h（t）=-5t2+5t+11,則該運(yùn)動(dòng)員在t=2s時(shí)的瞬時(shí)速度為m/s.

232025

13.若（2久-1）2025=%+aiX+a2x+a3x+…+a2025x（xGR）,則|a（）|+|at|+|a2|+?--+|a202sl

的值被4除的余數(shù)為.

14.一質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)每次只能向左或向右跳動(dòng)1個(gè)單位，且第1次向左跳動(dòng).若前一次向左跳動(dòng)，則后一次向

左跳動(dòng)的概率為今若前一次向右跳動(dòng)，則后一次向左跳動(dòng)的概率為今記第n次向左跳動(dòng)的概率為pn,則

P3=；ld=lPi=-

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目.

（1）若任意選擇三門課程，求不同的選法總數(shù)；

（2）若物理和歷史不能同時(shí)選，求不同的選法總數(shù).

16.（本小題15分）

已知函數(shù)/（X）=-x3+mx2+6x-4的圖象在點(diǎn)（2,/（2））處的切線與直線12x+y-2=0平行.

（1）求ni的值；

（2）求函數(shù)/（x）在區(qū)間［-4,2］上的極值與最值.

17.（本小題15分）

在一個(gè)不透明的箱子里有8個(gè)大小相同的小球，其中5個(gè)黑球，3個(gè)紅球，從中不放回地依次摸出3個(gè)小球.

（1）求前兩次摸出的球均為黑球的概率；

（2）記X表示摸出的小球中紅球的數(shù)量，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

18.（本小題17分）

科技特長(zhǎng)生是經(jīng)過教育廳、教育局發(fā)文，有正式定義的、享有特殊招生政策的學(xué)生群體，簡(jiǎn)言之，就是得

到特定比賽或競(jìng)賽獎(jiǎng)項(xiàng)的學(xué)生，可認(rèn)定為科技特長(zhǎng)生.目前科技特長(zhǎng)生認(rèn)證中認(rèn)可度高的賽事主要分為四大

類，第一是科技創(chuàng)新類，第二是機(jī)器人類，第三是信息學(xué)類，第四是航模類.現(xiàn)將兩個(gè)班的科技特長(zhǎng)生報(bào)名

表分別裝進(jìn)兩個(gè)檔案袋，第一個(gè)檔案袋內(nèi)有5份男生檔案和3份女生檔案，第二個(gè)檔案袋內(nèi)有2份男生檔案

和4份女生檔案.

(1)若從第一個(gè)檔案袋中隨機(jī)依次取出2人的檔案，每次取出的檔案不再放回.

(i)求取出的這2人的檔案中有女生檔案的概率；

(ii)求在取出的這2人的檔案中有女生的條件下，第2次取出的檔案是女生的概率；

(2)若先從第一個(gè)檔案袋中隨機(jī)取出一人的檔案放入第二個(gè)檔案袋中，再?gòu)牡诙€(gè)檔案袋中隨機(jī)取出一人

的檔案，求從第二個(gè)檔案中取出的檔案是女生的概率.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/'(x)=kx—lnx(kGR).

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)k=l時(shí)，若g(x)=/(x+l)—a存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑶證明：(1+9)(1+[)(1+(1+。)<(卅小eN*).

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，圖書管理員從7本書中任取2本，是組合問題，

有第=21種取法.

故選：C.

根據(jù)題意，分析可得該問題為組合問題，由組合數(shù)公式計(jì)算可得答案.

本題考查排列組合的應(yīng)用，注意排列數(shù)、組合數(shù)公式的不同，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：P(X=0)=3P(X=1),P(X=0)+P(X=1)=1,解得P(X=1)=i

q

故選：c.

根據(jù)已知條件，結(jié)合兩點(diǎn)分布概率和為1,即可求解.

本題主要考查兩點(diǎn)分布的定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了根式與暴的運(yùn)算法則的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

利用二項(xiàng)式(2%-盍)6展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中常數(shù)項(xiàng)即可.

【解答】

解：二項(xiàng)式(2%-套)6的展開式的通項(xiàng)公式為

Tr+1=*3尸.(一?=Cr?26-r.(_1)r.4鞏

令6-5丁=0,解得r=4；

??.該二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)為琮-26T.(_1)4=60

故選C.

4.【答案】D

【解析】解：有3名男生和3名女生去影院觀影，他們買了同一排相連的6個(gè)座位，若3名女生必須相鄰,

先把3名女生看成一個(gè)整體，有a=6種排法，

再把這個(gè)整體與另外3名男生排列，有鍍=24種排法，

則不同的坐法有6x24=144種坐法.

故選：D.

先利用捆綁法將3名女生看成一個(gè)整體，再將女生整體和3名男生一起排列.

本題主要考查排列問題，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由題意可知/(?的定義域?yàn)榉睬?'(?=峭-1,

令f'(x)=0,可得x=0,

當(dāng)％<0時(shí)，f'(x)<0,f(久)單調(diào)遞減，

當(dāng)%>0時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

所以x=。是/(%)的極小值點(diǎn).

故選：C.

對(duì)f(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/(久)的單調(diào)性，進(jìn)而可得函數(shù)的極值點(diǎn).

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：從5人中選擇4人去4B,C三地調(diào)研，一個(gè)地方安排2人另外兩個(gè)地方各安排1人,

則先選4人，有5種選法，

再將4人分為1,1,2三組，共有瑪=6種分法，

再分到三個(gè)地方，有出=6種分法，

則共有5X6X6=180種分法.

故選：D.

根據(jù)題意可先選4人，再進(jìn)行分組即可.

本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

7.【答案】A

【解析】解:因?yàn)楹瘮?shù)/'(久)=*—根久+6仇久在定義域(0,+00)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以/'(%)=3/—m+|>0,

所以3久2+《2m在久e(0,+8)恒成立，所以(3/2m'

設(shè)t(x)=3x2+^(x>0),t'(x)=6%-^=6(^9，

f

所以無€(0,1),t(x)<0,t(%)單調(diào)遞減；%E(l,+oo)ft'(x)>0,t(%)單調(diào)遞增；

所以1(%)而7t=t(l)=3+6=9,

所以m<9.

故選：A.

先求導(dǎo)函數(shù)，再應(yīng)用單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)大于等于0,再構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)最小值，列不等式求參數(shù)范圍即可.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：因?yàn)?。)=爐一》,所以/(K)=3/—1,

設(shè)過點(diǎn)(一2,a)的切線切曲線于點(diǎn)(t,[3一t),

所以切線方程為y-(t3-t)=(3t2-l)(x—t),又其過(—2,a),

所以a—(t3—t)=(3t2—1)(—2—t),

所以a=-2t3-6t2+2,根據(jù)題意可知該關(guān)于t的方程有3解，

設(shè)g(t)=—2t3—6t2+2,則g'(t)=-6t2-12t=-6t(t+2),

所以當(dāng)te(—8,—2)時(shí)，g'(t)<。，g(t)單調(diào)遞減；

當(dāng)te(—2,0)時(shí)，“(t)>0,g(t)單調(diào)遞增；

當(dāng)t6(0,+8)時(shí)，g'(t)<0,g(t)單調(diào)遞減;

所以g(t)的極小值為g(-2)=-6,g(t)的極大值為g(0)=2,

所以a￡(—6,2).

故選：B.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點(diǎn)斜式方程，求解方程有解問題，從而可得解.

本題考查函數(shù)的切線問題，屬中檔題.

9.【答案】AB

【解析】解：??,4久1-n<7,

(n—l)(n—2)—n<7,且?guī)住?>2,

整理得4-4n-5<0,且n—122,

解得3Wn<5.

???n€N*,二般的值為3,4.

故選：AB.

推導(dǎo)出二(n—1)(九一2)—幾<7,且n-122,n&N*,由此能求出n的值.

本題考查排列數(shù)的運(yùn)算，考查排列數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】AD

【解析】解：根據(jù)題意可得0.3+0.4+6=1,所以m=0.3,

所以E(X)=2x0.3+3x0.4+4x0.3=3,所以4選項(xiàng)正確；

所以。(X)=(2-3)2x0.3+(3-3)2x0.4+(4-3)2x0.3=0.6,所以8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

又丫=3X-2,

所以E(Y)=3E(X)-2=3x3-2=7,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D(Y)=9D(X)=5.4.所以D選項(xiàng)正確.

故選：AD.

根據(jù)期望方差的定義與性質(zhì)，即可求解.

本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求解，屬基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABC

【解析】解：/(x)=x2-4%+3,

則f(x)定義域?yàn)镽,f(x)=2x-4,f"(x)=2>0,故A正確.

Ag(x)定義域?yàn)?0,+8),g'(x)=$|=-焉，g"(x)=［蒞故B正確?

C./i(x)定義域?yàn)镽,h!(x)=2x-2sinx,h."(x')=2—2cosx>0,故C正確.

D.<p(x)—x2lnx,

11

則9(x)定義域?yàn)?0,+oo),9'(久)=2xlnx+x2--=2xlnx+x,cp"(x)=2lnx+2x--+1=2lnx+3,

3

當(dāng)時(shí)，(p"(x)<0,故O錯(cuò)誤.

故選：ABC.

利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算導(dǎo)函數(shù)與二階導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題目所給定義可確定選項(xiàng).

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】15

【解析】解：h(t)=一5t2+5t+11,

貝W)=-10t+5,

故h'(2)=-10X2+5=15m/s.

故答案為：15.

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查瞬時(shí)變化率的求解，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】3

232025

【解析】解：(2%—1)2025=a0+arx+a2x+a3x+—I-a2025x(xeR),

2025

令尤=-1，得a0—^+a2—a3+—I-a2024—a2025=-3,

因?yàn)?r+1=Go25(2x)2°25-『(_l)r,

所以當(dāng)r為奇數(shù)時(shí)，展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，即a2k<0（k6N）,

當(dāng)r為偶數(shù)時(shí)，展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為正，即。2女+1>O（k€N）,

aa2025

所以|a（）|+la/+\a2\+—F1a20251=~Co—a-^+a2—a3+a2024一2025）=3,

202420232022

又32025=（4—1）2025=以02542025_c^0254+^0254-C^0254+…+C荊襲4-1,

故|的|+\a2\+|a3|H----1-ICI2025I被4除余3.

故答案為：3.

利用賦值法，可得系數(shù)之和，根據(jù)二項(xiàng)式定理可得展開式，可得系數(shù)的正負(fù)，從而可得系數(shù)絕對(duì)值之和,

結(jié)合二項(xiàng)式定理，可得答案.

本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

14.【答案】畿+以—朱—護(hù)

【解析】解:由題意，得Pl=1,P2,

1.11,214

X+X=>

P3=3P2+5（1-P2）=35329

_

由PTI+1=jPn+1(1Vn)=_3Pn+}

111-2

設(shè)Pw+l+t=-4(Pn+t)，則-t-4t=5，t=~r

???數(shù)列品-為是首項(xiàng)為機(jī)公比為一熱等比數(shù)歹!J,

???Pn-|=^X(-1)n-1-Pn=3+*扔T，

n

vn3,y[l-(-1)]24,324,

；?￡之】歷=771+]_(1)=而+'九一而14)”?

故答案為：去;舒+力象令.

利用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件4恰好發(fā)生k次概率計(jì)算公式、等比數(shù)列性質(zhì)求解.

本題考查概率與數(shù)列的綜合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，抽象概括能力，推理論證能力，解決問題能

力，是中檔題.

15.【答案】第=35種;

30種.

【解析】解：（1）若任意選擇三門課程,

則不同的選法總數(shù)為的=35種；

（2）若物理和歷史不能同時(shí)選，

則不同的選法總數(shù)為0-盤=30種.

(1)結(jié)合排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題求解即可；

(2)結(jié)合排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題求解即可.

本題考查了排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】m--|；

極小值為-14,極大值為-g,最大值為12,最小值為-14.

【解析】解：(1)依題意，f(x')=-3x2+2mx+6,

所以((2)=4m-6.

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的圖象在點(diǎn)(2,/(2))處的切線與直線12x+y-2=0平行，

所以r(2)=-12,BP4m-6=-12,

解得m=-|.

(2)由(1),得/(%)—X3--%2+6%—4,/'(%)=-3/—3%+6,

令((%)=。，解得％=-2,或％=1,

當(dāng)一4<%<一2時(shí)，令廣(%)<0,解得一4<%<一2或1<%V2,令/'(%)>0,解得一2<%<1,

則函數(shù)人%)在(-4,-2),(1,2)上單調(diào)遞減，在(-2,1)上單調(diào)遞增，

因此，當(dāng)久=-2時(shí)，/(%)有極小值，且極小值為-14,當(dāng)x=l時(shí)，/(%)有極大值，且極大值為一去

又f(一4)=12,f(2)=-6,所以函數(shù)/(久)在區(qū)間［-4,2］上的最大值為12,最小值為一14.

(1)由導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)在(2,1(2))切線的斜率，由直線平行得到m的值；

(2)將ni的值代入原函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0,求得極值點(diǎn).然后求出函數(shù)的極值和端點(diǎn)的函數(shù)

值，從而得到函數(shù)的極值和最值.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值及最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題.

17.【答案】備

分布列見解析，E(X)=1.

【解析】解：(1)記前兩次摸出的球均為黑球?yàn)槭录?則p(a)=當(dāng)="；

(2)X的取值有0,1,2,3,

P(x=o)W=Q(x=i)=等=捺

P(X=2)=警=||,P(X=3)=m=2,

LgLgJu

故X的分布列為:

X0123

515151

P

28285656

所以E(X)=0X￡+1X|1+2X^+3X*=!

(1)記前兩次摸出的球均為黑球?yàn)槭录,代入概率公式即可求解；

(2)X的取值有0,1,2,3,求出各自對(duì)應(yīng)的概率即可求解.

本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計(jì)算，屬于中檔題.

18.【答案】解：(l)(i)設(shè)事件4為“取出的2人的檔案中有女生檔案”，

則I為“取出的2人的檔案中沒有女生檔案”.

第一個(gè)檔案袋內(nèi)有5份男生檔案和3份女生檔案，總共8份檔案.

第一次取到男生檔案的概率為|,因?yàn)椴环呕?，此時(shí)剩下7份檔案，

其中男生有4份，所以第二次取到男生檔案的概率為方

則P⑷=|x?亮.

一

.?/(4)=1一204)=1-24=蔣9.

(ii)求在取出的這2人的檔案中有女生的條件下，第2次取出的檔案是女生的概率

設(shè)事件8為“第2次取出的檔案是女生”，事件4為“取出的2人的檔案中有女生檔案”.

根據(jù)條件概率公式P(B|4)=需.

計(jì)算P(4B),即取出的2人檔案中有女生且第2次取出的是女生的概率.

分兩種情況：第一種情況，第一次取男生第二次取女生，概率為|義,=登；

第二種情況，第一次取女生第二次取女生，概率為(X弓=焉.

O/Zo

n/n、1533

■1,P(4AB)=葩+而=§.

3

…、、3147

.?了(4)=五9，"0的44)=P昕(4B)=*8=/豆=五.

(2)設(shè)事件C為“從第二個(gè)檔案中取出的檔案是女生”.

分兩種情況：

若從第一個(gè)檔案袋中取出的是男生檔案，概率為今

此時(shí)第二個(gè)檔案袋中有3份男生檔案和4份女生檔案，共7份檔案，

那么從第二個(gè)檔案袋中取出女生檔案的概率為意這種情況下的概率為得x3=￡.

若從第一個(gè)檔案袋中取出的是女生檔案，概率為1，

此時(shí)第二個(gè)檔案袋中有2份男生檔案和5份女生檔案，共7份檔案，

那么從第二個(gè)檔案袋中取出女生檔案的概率為今這種情況下的概率為［=

???從第二個(gè)檔案中取出的檔案是女生的概率為：

5155

P?=m+*一

【解析】(l)(i)先求出沒有女生檔案的概率，再用1減去這個(gè)概率得到有女生檔案的概率；(ii)分類討論，

結(jié)合條件概率公式計(jì)算即可；

(2)要分從第一個(gè)檔案袋取出的是男生檔案和女生檔案兩種情況來計(jì)算概率，再求和即可.

本題考查條件概率、全概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

19.【答案】答案見解析；

［1,+8)；

證明見解析.

【解析】解：(1)/(%)的定義域?yàn)?0,+8),/(%)=攵一；二片，

當(dāng)k40時(shí)，因］>0,所以/'(%)<0恒成立，即/(%)在(0