河南省新鄉(xiāng)、駐馬店市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3

月模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合/={xeN忖<16},2={m-2叫，則中所含元素的個數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

2.復(fù)數(shù)z滿足2z+3l=5-2i，則三的虛部為（）

A.-2B.2C.2iD.-2i

3.已知工是單位向量，且卜百，2+工在工上的投影向量為;工，則￡與工的夾角為（）

兀Tt_712兀

A.-B.—C.—D.—

6433

4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{%}的前〃項(xiàng)和為S〃，a2a4=A,S4=5S2f則出+&的值為

()

A.5B.10C.9D.6

_sina

5.若,tan2a=-------，則tana=()

cosa-2

A.叵B.叵D.f

C.V15

155

6.己知正三棱錐底面邊長為26，且其側(cè)面積是底面積的3倍，則此正三棱錐的體積為（）

「276

A.273BD.276

-￥3

7.若雙曲線￡與雙曲線的漸近線相同，則稱雙曲線C］與雙曲線為“共漸雙曲線”.設(shè)M

22

為雙曲線G：會-齊=1（°>0*>0）右支上一點(diǎn)，4尸分別為雙曲線G的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，

22

△M/尸為等邊三角形，雙曲線。與雙曲線。2：與-1=為“共漸雙曲線”，且

mn

雙曲線G的焦距為16,則雙曲線G的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）

8.已知函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镽,存在常數(shù)t。>o）,使得對任意xeR,都有/（X+。=-/（x）,

試卷第1頁，共4頁

當(dāng)xe[O,0時，/(x)=若/⑺在區(qū)間（3,4）上單調(diào)遞減，貝I"的最小值為（

888

--C2-

A.9B.3D.5

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.隨機(jī)變量X?3（10,0.5）,則E（X）=5

B.隨機(jī)變量X?5（10,0.5）,則當(dāng)X=5時概率最大

C.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，“至少有一個紅球”與“至少有一個

白球”是互斥事件

D.袋中裝有2個紅球和2個白球，這些球除顏色外完全相同，從中一次性摸出2個球,

則摸到紅球的個數(shù)服從超幾何分布

10.已知圓左-1『=1+左2,則下列說法正確的是（）

A.若圓加■與x軸相切，貝蜂=0

B.若直線V=x平分圓W的周長，則左=-1

c.圓w的圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為好

5

D.圓M與圓（X—左丁+/=左2可能外切

11.已知數(shù)列｛g｝滿足：工是數(shù)列｛與｝的前〃項(xiàng)和，“=山（：""），下列命題正確

的是（）

A.0用<ln但<%B.數(shù)列也｝是遞減數(shù)列

n

C.S2025T>In2025>82024D.In2<ftn<ln3

三、填空題

12.’的展開式中X,的系數(shù)為.

13.函數(shù)了=e-'+x,尤e[0,2]的最大值是.

UUUULUUU.UULL

14.在V/8C中，8c=2,/C=2AB,M是VN8C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且/M=4AB+(1-X)/C,

試卷第2頁，共4頁

IULIUULIIUUUUULUUUUUl

若存在點(diǎn)必，使上自闖?，則?.同最?大值為

四、解答題

15.丫/5。的內(nèi)角43（所對的邊分別為0,4。，點(diǎn)。是丫/3。的外接圓的圓心，”4五，

b-6,sinC+cosC=41-

（1）求該外接圓。的面積；

⑵求而?瓦；1.

16.已知相關(guān)變量x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，擬用①y=a+而，②>=e〃+，（其中

均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）兩個模型擬合，令〃,=力匕=111%。=1,2,--,12）,計(jì)算得

如下數(shù)據(jù)：

「年銷售額W億元

80-.

75-:

70-*°

65-,

60-J°

中61‘52'02’53b年研發(fā)1金X/億元

121212

￡(占-于2

XyS(x-J)-可(匕-")

7=1i=lZ=1

206677020014

121212

E(一)2

UV￡(%-寸一力)(％-9)

1=1Z=1Z=1

4604.2031250000.30821500

⑴設(shè)｛%｝和｛%｝的相關(guān)系數(shù)為?。?｝和｛匕｝的相關(guān)系數(shù)為4,請從相關(guān)系數(shù)的角度，選擇

一個擬合程度更好的模型；

（2）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立〉關(guān)于x的回歸方程.（系數(shù)精確到0.01）

12

2（項(xiàng)一可（打一了）

附：①相關(guān)系數(shù)廠=i=l,回歸直線$=a+6x中斜率和截距的最小二

-y)2

試卷第3頁，共4頁

12

,za一可(匕一力_

乘估計(jì)公式分別為族=上，----------，a=y-bx;②308=4x77.

之(七-可2

Z=1

17.已知函數(shù)/(x)=xe*-1■(尤+仔

⑴若a=2,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0J(0))處的切線方程；

(2)試討論/⑺的單調(diào)性.

18.如圖，圓臺下底面圓。的直徑為4S,C是圓Q上異于A、8的點(diǎn)，P、陽■是圓臺上

底面圓儀上的兩點(diǎn)，N是8C的中點(diǎn)，PA=AC=PC=BC=2,PB=2五.

(1)證明：平面尸NC.

(2)求四面體H3C的外接球的表面積；

(3)求直線兒W與平面PAC所成角的正弦值的最大值.

22

19.已知橢圓C:三+方=1(°>6>0)的右焦點(diǎn)為尸(1,0),右頂點(diǎn)為A,直線/：x=2與x軸

交于點(diǎn)可，且/司.

(1)求橢圓C的方程.

(2)設(shè)點(diǎn)B為直線/：x=2上的動點(diǎn)，過8作C的兩條切線，分別交V軸于點(diǎn)尸,。.

①證明：直線8P,5尸,2。的斜率成等差數(shù)列.

②設(shè)eN經(jīng)過及尸，。三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)8,使得NPAQ=90。？若存在，求忸M|；若不存在,

請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

《河南省新鄉(xiāng)、駐馬店市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月模擬考試數(shù)學(xué)試卷》參

考答案

題號12345678910

答案BADACDCDABDBCD

題號11

答案AD

1.B

【分析】通過解不等式求得42,進(jìn)而得/C8即可得答案.

【詳解】/=卜€(wěn)M一4＜》＜4}={0,1,2,3},B={x\x＜2\,

={0,1,2}

故選：B.

2.A

【分析】設(shè)z=x+yi（x/eR）,則Z=x7i,利用復(fù)數(shù)的加法以及復(fù)數(shù)相等可求出x、夕的

值，可得出復(fù)數(shù)》即可得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)2=工+貝卜,”11）,則1=

所以，2z+37=2（x+ji）+3（x-yi）=5x-yi=5-2i,

f5x=5__

所以/解得x=l，＞=2,故z=l-2i，即復(fù)數(shù)z的虛部為-2.

[-y=-2

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)投影向量的定義，求得H=-g,又由卜百，求得同=1,即可由夾角公

式求得夾角.

【詳解】若Z+工在工上的投影向量為:e,即匕盧,”矛，

2Id

由H=l,則有口+q.工=；,gpa-e+e=1,可得a.e=—；,

又由k-司二6,

則有[-。）=e-le-a+a=1+1+tz=3,解可得：,卜1,

答案第1頁，共15頁

八e1

設(shè)a與e的夾角為。，則。。$0=即［=-5，

2兀

又由兀，貝1。=3-；

故選：D

4.A

【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為明根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，列方程求解即可.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q,且《＞0,

當(dāng)q=l時，不符合題意，故"N1,

又因?yàn)閍2a4=4,$4=5邑，

「24A

axq=4,

所以卜(1一力_即qq—2

-51+夕2=5

\-q\-q

1

a,———

解得<2,所以出+%=1+4=5,

4=2

故選：A

5.C

【分析】利用切化弦，再利用二倍角公式化簡，最后可求解余弦值，然后再求正切值即可.

-n、一八sin2a2sinacosasina

【詳解】由tan2a=—―=-—.——-=------

cos2a2cosa-Icosa-

又因?yàn)镮E,,I),所以sinawO得：

2cosa1c2,321I

---------=--------=>2cos。-4cosa-2cosa—Incosa=—,

2cosa-Icosa-2----------------------------------------4

故選：C.

6.D

【分析】設(shè)頂點(diǎn)P在底面的射影點(diǎn)為“，延長S交45于點(diǎn)則"為45的中點(diǎn)，連接

答案第2頁，共15頁

9,根據(jù)題意求出CM、9的長，可求出PH的長，再利用錐體的體積公式可求得該正

三棱錐的體積.

【詳解】在正三棱錐尸-中，設(shè)頂點(diǎn)尸在底面的射影點(diǎn)為則以為正V/8C的中心，

延長CH交于點(diǎn)則“為N5的中點(diǎn)，連接尸

因?yàn)檎齎N3C的邊長為，/為48的中點(diǎn)，則"±AB,

因?yàn)镽4=PB,貝!]PA/_L4B,

則CM=ylAC2-AM2=J12-3=3，

SAABC=；AB-CM=；x2也義3=3出,

由題意可知，正三棱錐的側(cè)面積為為=3S△"B=3S.C，則S.B=S.小，

即1/3.尸"=LN8.CM,故尸M=CM=3,

22

因?yàn)镠為正VNBC的中心，貝！|Afff=1CM=1,

3

因?yàn)榭?_L平面48C,MHu平面/3C,則

所以，PH=4PM1-MH-=V32-l2=2A/2?

因此，該三棱錐的體積為VP_ABC=1S%c?PH=gx3^x2^=2&.

故選：D.

7.C

【分析】由題意，結(jié)合雙曲線定義,可得|=|E4|=a+c,|MN|=3a+c,,結(jié)合cosAMFN=J,

可得c=4a,即得漸近線，進(jìn)而可得〃?=J瓦，結(jié)合焦距即可求解.

【詳解】

答案第3頁，共15頁

y/

由題意：|九神|=|￡4|=a+c,

設(shè)N為雙曲線的左焦點(diǎn)，由雙曲線的定義|州|-|必1=2。，^\MN\=3a+c,

.十(4+C#+4/一(3〃+c/1

由于cosAMFN=--------------：-工--—二—,

2-2C-(6Z+C)2

化為/-3*-4/=0,故(c-4a)(c+a)=0,

則c=4a,進(jìn)而可得6=y/l5a,

故雙曲線。的漸近線方程為y=±V15X,

因此C2的漸近線方程為y=±VHx,即〃7=?,

由于焦距為2,加2+〃2=16，解得加==2,

故。2的方程為上-工=1.

604

故選：C

8.D

【分析】由已知條件得出函數(shù)的周期為2t,再根據(jù)給定區(qū)間解析式得出函數(shù)單調(diào)區(qū)間，再

列出不等式，求解即可得力的最小值

【詳解】???存在常數(shù)十＞0)，使得對任意xeR,都有/(x+/)=-f(x),

二函數(shù)的周期是21

當(dāng)xe[0,。時，f(x)=xW，且/(x+"=-/(x)

-X,0KxK5,

x—t,一<x<%,

2

即〃x)=，

3t

x,t<x<——,

2

3tc

t—x.—<x<2t

2

答案第4頁，共15頁

函數(shù)在［o,j和序2d單調(diào)遞減，在空和上單調(diào)遞增，

.,?當(dāng)x20時，函數(shù)/(x)在區(qū)間［-/++￡N*)上單調(diào)遞減,

工

4^-18

Z7=1,—</<2

5

4<—+2nt

2

故選：D

9.ABD

【分析】利用二項(xiàng)分布期望公式計(jì)算判斷A；利用二項(xiàng)分布概率公式，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性

質(zhì)判斷B；利用互斥事件的定義判斷C；利用超幾何分布的定義判斷D.

【詳解】對于A,隨機(jī)變量X?2(10,0.5),貝Ij￡CT)=10x0.5=5,A正確；

對于B,隨機(jī)變量X?8(10,0.5),則「(萬=左)=*0、0.5以0.51°”=0.51吧：()，

keN,A-<10,由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)X=5時，尸(X=A?)最大，B正確；

對于C,“至少有一個紅球”與“至少有一個白球”的事件可以同時發(fā)生，

即取出的兩球?yàn)橐患t一白的事件，因此它們不互斥，C錯誤；

C，C2—i

對于D,設(shè)摸出紅球的個數(shù)為，，則尸(X=i)=0-0,1,2),符合超幾何分布，D正確.

故選：ABD

10.BCD

【分析】對于A,根據(jù)直線與圓相切條件列方程，求方程解判斷；對于B,根據(jù)圓心在直線

上，列方程求解判斷；對于C,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得距離函數(shù)，求函數(shù)最小值判斷；對于

D,根據(jù)兩圓外切條件列方程，用方程的解判斷.

【詳解】對于A,圓初的圓心為(左,2左+1),半徑為J1+后2,因?yàn)閳A〃■與x軸相切，

|2人+=解得：4=0或左=-：,故A錯誤；

對于B,因?yàn)橹本€〉=x平分圓M的周長，所以圓M的圓心在直線上，24+1=左，解得：上=-1,

故B正確；

對于C,圓M的圓心到原點(diǎn)的距離4=1左2+(21+1)2=/1+42+，所以當(dāng)左=-|時，

最小值為止，故C正確；

5

答案第5頁，共15頁

對于D,圓(無的圓心為化0),半徑為冏，故圓河與圓(x-4+V=r外切

的條件為附+JiIF=|2"l|,解得左=0(舍去)或左=-1,故D正確.

故選：BCD.

11.AD

【分析】選項(xiàng)A.設(shè)/■(x)=ln(l+x)-x,(x>0),求出其導(dǎo)函數(shù)得出其單調(diào)性，可得In膽<%,

n

設(shè)g(x)=ln(l+x)-二7G>0),求出其導(dǎo)函數(shù)，得出其單調(diào)性，可得a“M<ln"L從而

可判斷A；選項(xiàng)B.設(shè)Mx)=xln(l+gj,求出其導(dǎo)數(shù)，借助于選項(xiàng)A中構(gòu)造的函數(shù)結(jié)論，可

得其單調(diào)性，從而可判斷B；選項(xiàng)C.由邑⑼-1-昆OK=電021T可判斷C；選項(xiàng)D：由選項(xiàng)

B證明結(jié)果數(shù)列｛勿｝是遞增數(shù)列，所以6.N々=ln2,由選項(xiàng)A中得到的結(jié)論

111(1+無)<工,(%>0)可得111[1+,]<’,從而可判斷選項(xiàng)D.

InJn

【詳解】由題意+則+

n

anIJ

設(shè)/(x)=ln(l+x)-x,(x>0),則設(shè)(x)=」—-1=-^<0,

1+x1+x

所以/(X)在(o,+8)上的單調(diào)遞減,所以〃x)<〃0)=0,即ln(l+x)<x,(x>o),

當(dāng)％=，時，可得ln[l+—]<—,即Injln■—]<，

nVnJn\nJ

]]x

設(shè)g(x)=m(i+x)-七仆>。)，貝"g'(x)=m一際=際>°，

所以g(x)在(0,+8)上的單調(diào)遞增,所以g(x)>g(o)=o,

]_

^Lx=~,可得hJl+工)一代二出八+口--1—>o,gpinf1+-L—

nvn)J_+1nJ1+n\nJn+\

n

所以lnjl+「j>一二=%+「所以選項(xiàng)A正確.

Injn+1

設(shè)〃(%)=1111(1+「|,貝=+yl=ln^-^———,

Vxjx1+xvxJx1+x

1

由上g(x)>0在(0,+8)上恒成立，則g[；)=ln￥-->0，

答案第6頁，共15頁

1I1

所以〃(x)=ln二r-一二>0在(O,+e)上恒成立，所以〃(%)在(0,+司上單調(diào)遞增.

所以數(shù)列｛2｝是遞增數(shù)列，故選項(xiàng)B錯誤.

由邑必T-邑。24=%。25T=/-1<0,所以S2025T<3所以選項(xiàng)C不正確.

由數(shù)列也｝是遞增數(shù)列，所以4N4=ln2,

由上ln(l+尤)<x,(尤>0),則ln(ln—|<—,所以"■Injln—|<n'—=1,

<nJn\nJn

所以2<l<ln3,故選項(xiàng)D正確.

故選：AD

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與函數(shù)單調(diào)性相結(jié)合的應(yīng)用，考查數(shù)列單調(diào)性，解答本題

的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征和不等式的形式構(gòu)造函數(shù)/(x)=ln(l+x)-尤，(尤>0),

g(x)=ln(l+x)-士■,(x>0),以及"x)=xln(l+!|,通過求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)

性得到數(shù)列不等式、單調(diào)性和范圍.

12.-10

【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令》的幕指數(shù)等于7,求丁的值，即可求得系數(shù).

r2rr

［詳解］心=C；PF［-|J=(一2丫C5x'°--,

令10-2r-r=7,貝!Jr=1,

所以(-2)，C=-10.

故答案為：-10

13.e

【分析】利用求導(dǎo)來研究函數(shù)的單調(diào)性，從而可求閉區(qū)間上的最大值.

【詳解】由求導(dǎo)可得：j/=_e~+l,令了=_y，+1=0,解得x=l,

當(dāng)xe［0,l］時，了=_』-*+1<0,當(dāng)xe［l,2］時，/=

所以函數(shù)〉=3-，+工在［0』上遞減，在［1,2］上遞增，

由于當(dāng)x=0時，y=e,當(dāng)x=2時，y=—+2<e,

e

所以可知函數(shù)y=e「，+x最大值為e,

答案第7頁，共15頁

故答案為：e.

【分析】先根據(jù)刀？=幾次+。-肛就判斷出點(diǎn)M的軌跡，再結(jié)合4C=2/2建立合適的坐

標(biāo)系，求出17反|的最大值.

【詳解】已知而=2在+。-⑷就，變形可得益7-就=雙方-就)，即麗^彳赤.

根據(jù)向量共線定理可知，G江與在共線，所以點(diǎn)W在直線8c上.

以3C在直線為X軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.

設(shè)3(-1,0),C(1,O),A(x,y).

因?yàn)?C=2/5,根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得：7(^-l)2+v2=A/(X+1)2+/-

兩邊同時平方展開并化簡得：3x2+10x+3r+3=0,

配方可得：(X+g)2+/=T，

所以點(diǎn)A的軌跡是以(一右50)為圓心，§4為半徑的圓.

因?yàn)榇嬖邳c(diǎn)M。，使|而121M所以|西|為點(diǎn)A到直線8c的距離的最小值.

由點(diǎn)A的軌跡可知，圓心(一右0)到直線BC(x軸)的距離為0,圓的半徑為所以

一，4

的最大值為圓的半徑

15.(I)IOTI

(2)8

【分析】(1)由已知條件求得角C,再由正弦定理求得外接圓的半徑，從而求得外接圓得面

積.

(2)取3c的中點(diǎn)。，連接OD,AD,則ODLBC,再由向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

答案第8頁，共15頁

【詳解】⑴由sinC+cosC=V2,得0sin(C+：J=￡,

所以C+彳=f,所以C=J,

424

22

由余弦定理。2=tz+ft-2bccosC得

c2=32+36-2X4A/2X6X—=20,

2

C

?n_2^1-?歷—

由正弦定理得sin。-6，所以尺=而，

T

所以圓O的面積5=n尺2=10兀.

(2)取5c的中點(diǎn)。，連接OD,AD,則ODL3C,

所以就?就=（赤+西?就=而就+而前;=而瓦:

=^(AB+AC)-{AC-AB)=^b2-c2]

由余弦定理c?=a2+b2-2bccosC得

c?=32+36-2X4A/^X6X"=20,

2

所以加.就=g(36_20)=8.

16.(1)模型>=不加的擬合程度更好

(2)y=eM2x+3M

【分析】（1）由題意計(jì)算相關(guān)系數(shù)，比較它們的大小即可判斷;

（2）先建立v關(guān)于x的線性回歸方程，再轉(zhuǎn)化為y關(guān)于x的回歸方程;

【詳解】（1）由題意進(jìn)行數(shù)據(jù)分析:

Z(%-丁乂%-貞)

，=12150021500-43

4=F12120.86,

、區(qū)(％切比&-琦73125000x20025000-萬

Vz=li=l

答案第9頁，共15頁

12

^(x,.-x)(v,.-F)

/14_上0.91

上1J12

茂(匕-7)2j770x0.30877x0.211

i=li=l

則同＜上|，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型y=e2加的擬合程度更好.

(2)先建立v關(guān)于x的線性回歸方程.

由>=Q^x+t,得Iny=，+4%，即v=/+Ax.

12

^(x,.-x)(v,.-v)

14

由于彳=、-----------0.018

￡(均一寸770

2=1

Z=v-Ax=4.20-0.018x20=3.84

所以v關(guān)于x的線性回歸方程為C=0.02x+3.84,

002x+3M

所以In/=0.02x+3.84,則尸e.

17.(l)x+y+l=0.

⑵見解析

【分析】(1)先求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求出切線方

程；

(2)先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出.

【詳解】(1)當(dāng)a=2,“X)=xe*-(x+ly,

所以尸(x)=e，+xex-2(x+l)=(x+l)(e”-2),

所以/'(0)=-1,又/'(0)=7,

所以曲線y=/(x)在點(diǎn)(oJ(o))處的切線方程為y+1=f,

即x+y+l=0.

(2)因?yàn)椤▁)=xe=5x+l『，

所以/'(x)-qX+xe"-”(x+1)=(x+l)(e”一。).

當(dāng)a?0時，ex-a>0令/'(工)〉。，得%>-1,

令廣(“<0,得x<—1,

答案第10頁，共15頁

所以/'(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)a>0時，令/"'(無)=0,解得x=-l或x=lna.

當(dāng)0=1時，r(x)>o,所以/'(x)在(-8,+8)上單調(diào)遞增.

e

當(dāng)時，In(2>-1,令/解得x<—l或x〉lna,

e

令/'(X)<。，解得-l<x<lna,

所以/(x)在(-。，-1)和(ln〃,+e)上單調(diào)遞增，在(-1,Ino)上單調(diào)遞減.

當(dāng)。時，］na<-l,令解得x<ln〃或%>-1,

e

令/'(x)<0，解得lna〈x<T,

所以/(x)在(-e,ln〃)和(-1,+。)上單調(diào)遞增，在(Ino,-1)上單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)aVO時，/(x)在1)上單調(diào)遞減，在(-1,+。)上單調(diào)遞增，

當(dāng)0」時，/(X)在(-8,+⑹上單調(diào)遞增，

e

當(dāng)時,/(無)在(-《7廠1)和(111%+8)上單調(diào)遞增,在(-1,Ina)上單調(diào)遞減,

e

當(dāng)0<a<!時，/(x)在(-8,lna)和(-1,+8)上單調(diào)遞增，在(Ina,-1)上單調(diào)遞減.

e

18.(1)證明見解析

⑵一

y/1—^3

()-2

【分析】(1)推導(dǎo)出BCLPC,BCVAC,利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

(2)將三棱錐8-/C尸補(bǔ)成正三棱柱/尸。-跖8,設(shè)正△4PC的中心為點(diǎn)正所的

中心為0,則。H的中點(diǎn)為外接球球心，計(jì)算出正外接圓的半徑，可得出外接球的

半徑為AG=dA*GH2，再結(jié)合球體表面積公式可得出結(jié)果；

(3)以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA.CS所在直線分別為x、>軸，過點(diǎn)C作垂直于底面的垂線

為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)/卜利用空間向量法結(jié)合基本不等式可求得

直線MN與平面PAC所成角的正弦值的最大值.

【詳解】(1)因?yàn)槭珻=2,PB=20，所以，BC2+PC2=PB2,所以，BCLPC,

答案第11頁，共15頁

因?yàn)镹8為圓。1的一條直徑，C是圓上異于A、B的點(diǎn)，則BCJ./C,

因?yàn)?C_LNC,PC、/Cu平面尸/C,PCcAC=C,故8C_L平面尸NC.

(2)因?yàn)锽C_L平面尸/C,且AP/C為正三角形，

將三棱錐B-ACP補(bǔ)成正三棱柱APC-EFB,

設(shè)正△4PC的中心為點(diǎn)H,正48跖的中心為0,則。H的中點(diǎn)為外接球球心,

AC_2_2^

△ZPC的外接圓半徑為=1"^=耳=口—，GH=-BC=\,

2sin-心,2

3

所以，外接球的半徑為ZG=JZG2+G〃2=

因此，四面體PABC的外接球的表面積為4TfAG2=4nx-=—.

33

(3)因?yàn)?C1■平面P4C,AC±BC,

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,所在直線分別為x、y軸，過點(diǎn)C作垂直于底面的垂線為z軸,

建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則尸(1,0,6)、O2(1,1,V3),2V(0,l,0),

設(shè)點(diǎn)"6),連接尸MO2,

因?yàn)镸Q|=|尸O』=l,所以，(x-l)2+(y-l)2=l,NM=(x,y-\,^y

易知平面尸/C的一個法向量為方=(01,0),

設(shè)直線"N與平面P/C所成的角為。，

答案第12頁，共15頁

\NM-m\|-l|

則sinQ=~L=',y1=

1M4網(wǎng)7^+(y-l)2+3

不妨設(shè)＞—l=sina,x-1=coscr，

.|sin6z|_/sin2a_11-cos2a

人J(1+cosaJ+sin2a+3v5+2cos?v5+2cos?

r】t—5

設(shè)￡=5+2cosaE[3,7],則cosa=-----,

V10-2V21V7-V3

=---------------=------------,

22

當(dāng)且僅當(dāng)％=,(3G