數(shù)學(xué)試卷

命題人：試題分值：150分考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.已知命題°：DxeR,-X2+4X+3>0,則命題P的否定為（）

A.GR，—X?+4x+3W0B.VxeK,—尤,+4無(wú)+3<0

C.3xeR,-x2+4A+3<0D.HxeR,-x2+4x+3<0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定求得結(jié)果.

【詳解】根據(jù)命題的否定，任意變存在，范圍不變，結(jié)論相反,

則命題P的否定為“玉eR,-X2+4X+3<0,5.

故選：C.

2.下列各組函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（）

B.安加可與

A.y=———與'一］

■+1

r21x1.1

C.y=二與y=xD.，=二與丁=1

.Xx

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)相同函數(shù)的定義，依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】A：函數(shù)y=￡±±=x（f+D=x和y=x的定義域?yàn)镽,解析式一樣，故A符合題意;

x2+lx2+l

B：函數(shù)y=J（無(wú)-1）2=|九一1|與y=*_l的定義域?yàn)镽,解析式不一樣，故B不符合題意；

2

C：函數(shù)y=±=x的定義域?yàn)椋?0｝,y=x的定義域?yàn)镽,解析式一樣，故C不符合題意;

X

D：函數(shù)y=W=±l的定義域?yàn)椋麃VX/。｝,丁=1的定義域?yàn)镽,解析式不一樣，故D不符合題意.

X

故選：A

b

3.“a>b”是“一<1”的()

a

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)充分必要條件的定義分別判斷即可.

b

【詳解】解：。>0時(shí)，由一<1,解得：a>b,

a

。<0時(shí)，解得：a<Z>,不是必要條件，

b

反之，>6也推不出一<1,比如a=01=—1,不是充分條件,

a

b

故“。>6”是“一<1”的既不充分也不必要條件.

a

故選：D.

4.若a>b,d>c,且,則()

A.b<a<c<dB.b<c<a<d

C.c<d<b<aD.b<c<d<a

【答案】B

【解析】

【分析】解一元二次不等式，求出6<c<a,d>a或d<b,結(jié)合d>c,得到正確答案.

【詳解】因?yàn)樗?<c<。，

又因?yàn)?d-a)(d—〃)>0,所以d>a或d<-

因?yàn)閐>c,所以d<Z?不合要求，所以d>a,

綜上：b<c<a<d.

故選：B

5.己知集合4=<xx=2左+』,左eZ>,B=<xx+,keZ>,則()

3J[3

A.A^BB.AB=0C.A=BD.A^B

【答案】A

【解析】

【分析】由集合A,8中的元素特征判斷可得.

【詳解】A=<xx=2k+—,k>=<xx=6-+1,左ez>,

3J〔3

當(dāng)上eZ時(shí)，2左+1表示2的整數(shù)倍與1的和，6左+1表示6的整數(shù)倍與1的和，

故此6,

故選：A

6.不等式ox?+c>。的解集為｛可―2<x<l｝,則函數(shù)y="2-桁+c的圖象大致為()

【解析】

【分析】根據(jù)題意，可得方程or?—法+c=。的兩個(gè)根為為=-2和x=l,且a<0,結(jié)合二次方程根與系

數(shù)的關(guān)系得到。、b.c的關(guān)系，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】因?yàn)閍x2-bx+c>0的解集為｛x\-2<x<1｝,

所以方程ax?一區(qū)+°=0的兩根分別為一2和1,且QVO,

1-2+1，，%

則《變形可得｛c

/c、［cc——2〃，

(—2)x1=—,I

Ia

故函數(shù)y=雙2-Zzx+c=ar2+ar—勿=a(x+2)(x—l)的圖象開口向下，

且與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,。)和(―2,0),故A選項(xiàng)的圖象符合.

故選：A

7.關(guān)于x的不等式f—(l+2a)x+2a<。的解集中恰有2個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A同-2<〃<-1或3v〃K4}B.{4-24或3K”44}

“1、3]f1,3'

C.\a—\<a<——或一D.<a—\<a<——或一

22J22

【答案】C

【解析】

【分析】分類討論。=工，a〉工與?！础谷N情況下原不等式的解集，結(jié)合題意可得該整數(shù)，列不等式即

222

可得到。的取值范圍.

【詳解】由九2—(1+2。)九+2〃<?？傻?x—1)(%—2〃)<。,

當(dāng)a=5時(shí)，(％-1)(X-2〃)=(九一I)?20,即原不等式無(wú)解，不滿足題意；

當(dāng)?！倒r(shí)，原不等式解得l<x<2a,由于解集中恰有2個(gè)整數(shù)，所以該整數(shù)解為2和3,因此可得

2

3

3<2a<4,即一<aV2；

2

當(dāng)〃〈工時(shí)，原不等式解得2avx<l,由于解集中恰有2個(gè)整數(shù)，所以該整數(shù)解為-1和0,因此由數(shù)軸法

2

可得—2V2Q<—1,即—1Va<—；

2

1313

綜上：—l?a<——或一<a?2,所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍為{〃|—10。<——或一<〃V2}.

2222

故選：C.

8.已知國(guó)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，集合A={xeZ[0<[x]<3},

3=卜卜2+國(guó)(》2+2%+4=0},且AC6RB=0,則集合8的子集個(gè)數(shù)為().

A.4B.8C.16D.32

【答案】C

【解析】

【分析】由新定義及集合的概念可化簡(jiǎn)集合A={1,2},再由4門(13)=0可知分類討論1,2

的歸屬，從而得到集合3的元素個(gè)數(shù)，由此利用子集個(gè)數(shù)公式即可求得集合3的子集的個(gè)數(shù).

【詳解】由題設(shè)可知，A={xeZ|0<[x]<3}={!,2},

又因?yàn)锳c(%5)=0,所以

而3=卜|1+奴)(工2+2x+b)=01,

因?yàn)閅+ax=0的解為％=0或%=，％2+2x+Z?=0的兩根%，W滿足%+%2=-2，

所以1,2分屬方程/+依=0與％2+2x+Z?=0的根，

°cfl2+lx(2=0[a=-l

若1是/+依=0的根，2是X2+2x+Z?=0的根，則有49,解得《，

22+2x2+6=0/?=-8

LI

代入x2+ax-。與％2+21+/?=0，解得x=0或x=l與x=2或x=Y，

故5={0,1,2,-4}；

[22+2x(2=0\a--l

若2是V+o的根，1是/+2%+/?=。的根，則有〈，解得〈，

l2+2xl+/?=0b=-3

LI

代入x2+ax=。與x?+2x+Z?=0，解得x=0或x=2與x=l或x=-3,

故3={0,1,2,-3}；

所以不管1,2如何歸屬方程/+依=0與尤2+2%+b=o,集合3總是有4個(gè)元素，

故由子集個(gè)數(shù)公式可得集合B的子集的個(gè)數(shù)為24=16.

故選：C

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選得0分.

9.已知非空集合A5,C都是R的子集，滿足AnC=0,則()

A.AB=AB.Ac(\C)=A

C.BfC=BD.Bc(aC)=_B

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義及性質(zhì)判斷各選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,由可得A5=A,故A正確；

對(duì)于B,由AcC=0,可得A「\C,從而Ac(\C)=A,故B正確；

對(duì)于C、D,結(jié)合與AcC=0,可知3C=0,又3=所以8八(第。)=8,故C

錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD.

尤+2,尤<—1

10.已知函數(shù)/（x）=2,,c，下列關(guān)于函數(shù)/（X）的結(jié)論正確的是（）

x+1,-1<x<2

A./（幻的定義域是RB.的值域是（F,5）

C.若/（x）=3,則x=0D./（%）的圖象與直線y=2有一個(gè)交點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、由函數(shù)值求自變量、函數(shù)圖象等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答

案.

【詳解】A選項(xiàng)，/（%）的定義域是（—8,2）,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，當(dāng)了工一1時(shí)，x+2<l,

當(dāng)一1〈元<2時(shí)，0<%2<4,1<%2+1<5,

所以/（幻的值域是（-8,5）,所以B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)的分析可知，若/（幻=3,

—1<%<2_

則2,c，解得X=行，所以C選項(xiàng)正確

x+1=3

D選項(xiàng)，畫出了（九）的圖象如下圖所示，由圖可知，D選項(xiàng)正確.

11.已知。>0,>>0,。5+2（。+》）=14,則下列正確的是（）

33

A.ab的最大值為n-6點(diǎn)B.3+E的最小值為J5

a+2b+2

C.（。+1）〃最大值為8D.2a+/?的最大值為6

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)基本不等式對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】依題意，a>0,b>0,ab+2(a+b)=14,

A選項(xiàng)，ab+2(^a+b^=14->ab+2x2yfab,

(VoFy+4^-14<0,解得0<施<-2+3應(yīng)，

當(dāng)且僅當(dāng)[而+2(?)=14,即2+3行時(shí)等號(hào)成立，

所以0<ab<(—2+3&J=22—12近，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，〃/?+2(〃+〃)=14,〃/?+4+2(a+b)=(Q+2)(/?+2)=18,

〃

___3__1___3__—3.___+_2__+__/?_+__2__

〃+2/?+2(〃+2)他+2)

>|x2j（a+2）.°+2）=|xV18=V2,

當(dāng)且僅當(dāng)。+2=人+2,〃=人=—2+30時(shí)等號(hào)成立，所以B選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng),14=a/?+2(a+b)=%b(2a+2)+/?+2aW+Z?+2a，

整理得他+2a『+120+2a)—lO82O,(b+2a+18)(b+2a-6)>0,b+2a>6,

當(dāng)且僅當(dāng)人=2。+2=4時(shí)等號(hào)成立，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

C選項(xiàng)，1^-ab+2^a+b^=ab+b+2a+b-b[a+\)+2a+b,

由D選項(xiàng)的分析可知：b（a+l）=14—（2a+6）W14—6=8,所以C選項(xiàng)正確.

故選：BC

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：“一正，二定，三相

等”.（1）“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之

積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不

等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)

生錯(cuò)誤的地方，注意多次運(yùn)用不等式，等號(hào)成立條件是否一致.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知集合人={%|%>1},B={x\x>a],若AuB,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】(f,l]

【解析】

【分析】在數(shù)軸上畫出兩個(gè)集合對(duì)應(yīng)的范圍，利用8可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】如圖，在數(shù)軸表示43,因?yàn)楣蔭Wl,填(—8司.

aOx

【點(diǎn)睛】含參數(shù)的集合之間的包含關(guān)系，應(yīng)借助于數(shù)軸、韋恩圖等幾何工具直觀地討論參數(shù)的取值范圍,

解決此類問(wèn)題時(shí)，還應(yīng)注意區(qū)間端點(diǎn)處的值是否可取.

13.函數(shù)y(x)=^+J匚1的定義域是.

X

【答案】(Y,O)D(°，1]

【解析】

【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；

,、1?[1-X?0

【詳解】解：因?yàn)?(x)=—+JT二，所以1c，解得XW1且XWO,

\'X["0

故函數(shù)的定義域?yàn)?f,o)u(o』；

故答案為：(f,O)u(O』

14.定義集合尸=｛x[a<x<Z?｝的“長(zhǎng)度，是》一。，其中a,Z?eR.已如集合“=｛x|〃z〈xW"7+；｝,

N=(x\n-^<x<n],且跖N都是集合｛x|1<%<2｝的子集，則集合McN的“長(zhǎng)度”的最小值是

；若根=[,集合MuN的“長(zhǎng)度”大于|,則〃的取值范圍是.

【答案】①.-1##0.1②.「小8歷17、〉([9/]-

【解析】

【分析】空1：根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度定義得到關(guān)于加，〃的不等式組，再分類討論即可；空2：代入根=1得到

〔6171,再根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度大于士3，得到關(guān)于〃的不等式組，解出即可.

[51。J5

13

【詳解】集合M={x|機(jī)<%<加+5},A^={x|n--<x<n},且M,N都是集合{x11?2}的子集,

m>1

—3n—N18

由<1，可得1K加《一，由<5,可得一

m+—<22

2n<2'

要使MeN的“長(zhǎng)度”最小，只有當(dāng)加取最小值、〃取最大或加取最大、〃取最小時(shí)才成立.

=2,MnA^=L||<x<|'"長(zhǎng)度*于談

當(dāng)加=1,n

,38?任8，“長(zhǎng)度為

當(dāng)根二一〃二一

2555210

故集合McN的“長(zhǎng)度”的最小值是工；

10

若機(jī)=1,M=|x|

要使集合MuN的“長(zhǎng)度”大于士，故〃一-g或〃>g+|，

5

1r1QQ817

即"〈布或又J"。，故

1055510u?2?

817

故答案為：—心?

105?10

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分理解區(qū)間長(zhǎng)度的定義，再根據(jù)交并集的含義得到不等式組，結(jié)合分

類討論的思想即可.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

2x-1

15已知R為全集,集合A=刈0dxeR,集合5={乂〃一14%?〃+1).

(1)求集合A；

(2)若3門a4=8,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)A={x|-1<%<2}

(2){a[a<-2或a>3}

【解析】

(x-2)(x+l)<0

【分析】(1)將分式不等式化為'八7，解出解集，得到集合4

x+1w0

(2)由(1)得到條4，根據(jù)=B得到5=從而列出不等式，求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

2r-12x-lx-2

因?yàn)?----<1,即--------1<0,即<0,

x+1x+1x+1

(x-2)(x+l)<0

所以解得：-l<x<2,

%+1w0

故A={%|—1<%<2}；

【小問(wèn)2詳解】

由(1)得：A=|x|—1<%<21,

因?yàn)?所以5=條人，

又5=卜|〃-1?]?〃+1},

因?yàn)镼—1VQ+1,故5W0,

則。+1?-1或1一1>2,

解得：a<—2或。>3,

綜上：實(shí)數(shù)。的取值范圍為{《aK—2或a>3}.

16.已知集合4=卜卜2-5x-6<。],3={%帆+1<%<2〃2-1}且370.

(1)若“命題夕HxeA,xeB”是真命題，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

(2)若s：xe3是充分不必要條件，求實(shí)數(shù)〃z的取值范圍.

【答案】⑴{m\2<m<5]

(2)|m\2<m<

【解析】

【分析】(1)由命題pUxeAx是真命題，可知AB^0,又B豐0,可得加的取值范圍；

(2)由s:xe3是A的充分不必要條件，得3是A的真子集，又B手0,可得加的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)樗?加一l>m+lnm>2

命題,：￡A]￡6是真命題，可知A3w0,

因?yàn)锳={x|-l<x<6},B=^x\m+1<x,

m>2

yy/，.*.2<m<5,

—1<m+1<6

故機(jī)的取值范圍是｛〃?」2<〃z<5｝.

【小問(wèn)2詳解】

若s5是/:XGA的充分不必要條件，得3是A的真子集，B^0,

2m-1>m+1

7

m+l>-l,解得2<加4一，

2

2m—1<6

故加的取值范圍是|2<機(jī)《：｝.

17.己知4c>0,且a+26+3c=4.

（1）證明：3+3°）-+（°+3°），+（°+2'）-小&.

a+2b2b+3ca+3c

1

（2）若2b=3c,求-----------1—--的最小值.

2a+12b+33c+3

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）利用基本不等式可得?+3。）一+口+2（26+3c）,^a+3cy+2b+3c>2（a

a+2b''2b+3c'

（“+2”）-+43cN2（a+2。）,求和即可證明;

a+3c

11a

(2)原不等式可化為——+-----2,且（2a+1）+4（%+3）=利用基

2a+12b+33c+32a+12b+3

本不等式可求得」------J1+—^的最小值.

2a+12b+33c+3

【小問(wèn)1詳解】

（2"3c）2"。）?

+a+2bN2J?（a+2b）=2（2"3c），①

a+2ba+2b

（a+3c］

+2b+3c>■@b+3c）=2（a+3c）②

2b+3c

（a+2bf

+a+3c2.（a+3c）=2（a+2b）③

a+3。

①+②+③得3+3C）2+（。+3c）2+（。+2?2+？g+2"3。"4（。+26+3c）,

a+2b2b+3ca+3c

即（2人+3c）-+（。+3。）一+（。+2”廣?2（a+26+3c）=8,

a+2b2b+3ca+3c

4

當(dāng)且僅當(dāng)a=26=3。=—時(shí)，等號(hào)成立.

3

【小問(wèn)2詳解】

由26=3。，得。+4Z?=4,即。=4一4人，

匚?11a114—4b11—4b—6+10

2a+12b+33c+32cl+12b+32b+32a+12b+32b+3

19c

--------1-----------2

2。+12b+3

由a+40=4,得2a+8〃=8,得（2a+l）+4（2）+3）=21,即3［（2a+1）+4（2人+3）］=1,

19119）（）］4（26+3）+9（2a+1）

所以----1----=-------1----+l+426+3V37+

2a+l2b+32H2i?+l2b+32cl+12b+3

4（2Z?+3）9（2a+l）7

>—［37+2

212a+12Z?+33

11a71

所以--------1------的--最小值為——2二—,

2〃+12Z?+33c+333

當(dāng)且僅當(dāng)4（26+3）=9（2a+l）,即時(shí)，等號(hào)成立.

2〃+12b+34

18.LED燈具有節(jié)能環(huán)保的作用，且使用壽命長(zhǎng).經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，可知生產(chǎn)某種LED燈需投入的年固定成

本為4萬(wàn)元每生產(chǎn)x萬(wàn)件該產(chǎn)品，需另投入變動(dòng)成本W(wǎng)（%）萬(wàn)元,在年產(chǎn)量不足6萬(wàn)件時(shí)，W（x）=gx2+x,

在年產(chǎn)量不小于6萬(wàn)件時(shí)，W（x）=7x+—-39.每件產(chǎn)品售價(jià)為6元.假設(shè)該產(chǎn)品每年的銷量等于當(dāng)

年的產(chǎn)量.

(1)寫出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式.(注：年利潤(rùn)=年銷售收入一固定成本

一變動(dòng)成本)

(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？

1

--x9+5x-4,0<%<6,

【答案】(1)L(x)=<

35。+1°°

,x>6.

IX

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為15萬(wàn)元.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)“年利潤(rùn)=年銷售收入一固定成本一變動(dòng)成本"，分0<x<6和尤之6即可求出L(x)的解

析式；

(2)根據(jù)二次函數(shù)和基本不等式分別求出工。)在0<無(wú)<6和尤之6時(shí)的最大值，比較即可得到答案.

小問(wèn)1詳解】

:每件產(chǎn)品售價(jià)為6元，x萬(wàn)件產(chǎn)品的銷售收入為6x萬(wàn)元，

依題意得，當(dāng)0<x<6時(shí)，L(x)=6x-f1-x2+xj-4=-^-x2+5x-4,

當(dāng)xN6時(shí)，A（x）=6x-f7x+^^-39j-4=35-fx+

1

——x9+5%一4,0<%<6,

L（x）=<

35—x+一

,x>6.

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)0<%<6時(shí)，=——(X—5)+—,當(dāng)x=5時(shí)，L(x)取得最大值；

當(dāng)x?6時(shí)，L(x)=35—[x+?)<35—2^7^=35—20=15,當(dāng)且僅當(dāng)％=一，即％=10時(shí),

L(x)取得最大值⑸

17

?.?一<15,.,.當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為15萬(wàn)元.

2

19.問(wèn)題：正實(shí)數(shù)a,b滿足a+8=1,求工+2的最小值.其中一種解法是：-+|=|-+1|(a+^)=l+-

abab\ab)a

r\1r\

+手+2>3+2點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)」=；且。+3=1時(shí)，即。=&一1且b=2—夜時(shí)取等號(hào).學(xué)習(xí)上述解法

bab

并解決下列問(wèn)題：

23

(1)若正實(shí)數(shù)%,y滿足％+丁=1,求一+一的最小值；

xy

22

(2)若實(shí)數(shù)mb,x,y滿足。一三二1,求證：a1-b1<(x-y)2；

ab

(3)求代數(shù)式J3m—5——2的最小值,并求出使得M最小的根的值.

【答案】⑴5+276

(2)證明見(jiàn)解析(3)切=上時(shí)，M取得最小值好.

63

【解析】

【分析】(1)利用“1”的代換湊配出積為定值，從而求得和的最小值；

(2)利用已知，/_/=(。2—/,xi=+/—("+噌1),然后由基本不

abab

Z.2222

等式進(jìn)行放縮：*+孫I，再利用不等式的性質(zhì)得出大小.并得出等號(hào)成立的條件.

22

,____?2二一匕=1

(3)令苫=技二？，y=后/,構(gòu)造――二=1,即以爐一3y2=1,即11一,然后利用(2)

a"b~~

的結(jié)論可得.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)閤>0,y>O,x+y=l,

所以2+3=(%+3)(2+3)=5+圍+苴25+2戶>