江蘇省無錫市天一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月

考數(shù)學(xué)試題

一、單選題（本大題共8小題）

1.下列關(guān)于空間幾何體的論述，正確的是（）

A.有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B.有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺

C.連接圓柱上下底面圓周上任意兩點的線段是圓柱的母線

D.存在三棱錐，其四個面都是直角三角形

2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（-1,2）,則iz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（）

A.（-2,-1）B.（-1,-2）C.（2,1）D.（1,2）

3.已知平面向量■和6滿足同=2同=2,.在4方向上的投影向量為->2，則4

在，方向上的投影向量為（）

JT

5.已知。是的外心，AOAB=2,ZACB=-,則的外接圓半徑R=

4

（）

A.[B.V2C.2D.2A/2

6.已知梯形ABCD是直角梯形，按照斜二測畫法畫出它的直觀圖A'B'CD，

（如圖2所示），其中A'D'=2,B'C=4,A'B'=1,則直角梯形DC邊的長度

是

7.如圖，圓錐底面半徑為3,母線E4=12,AB=^AP,一只螞蟻從/點出發(fā)，沿

圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)8點，最短路線長度為（）

8.圣?索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是每一位到哈爾濱旅游的游客拍照打卡

的必到景點.其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美.小明同學(xué)為

了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物力8高為

（156-15）m,在它們之間的地面上的點〃（8,M,，三點共線）處測得樓頂小教

堂頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂/處測得塔頂。的仰角為30。，則小明估算

索菲亞教堂的高度為（）

D.20V3m

二、多選題（本大題共3小題）

9.己知復(fù)數(shù)4/2，下列說法正確的是（）

A.若聞=|引,則z；=z；B.|Z]Z'=㈤㈤

C.若歸上內(nèi)，則Z]>Z2D.[Z]+Z2同Zil+閭

10.已知4=(3,-1),&=(1,-2),則正確的有)

A.a-b=5B.與值方向相反的單位向量是

SV-io----回...

gio，10

C」與石的夾角町D./在5上的投影向量是（君「2君）

IT

11.已知銳角VA3C三個內(nèi)角A,3,C的對應(yīng)邊分別為“,b,c,且/C=§,6=2,則

下列結(jié)論正確的是（）

A.-8的取值范圍為弓，》

62

B.麗?配的最小值為

C.VABC的面積最大值為2石

D.2cosA+acosB的值可能為3

三、填空題（本大題共3小題）

12.如圖所示，三棱臺ABC-AEC'的體積為7,沿平面4BC截去三棱

AB=2AB''

錐A，_ABC，則剩余的部分幾何體的體積為.

13.已知VABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C,C=—,求sin?A+sin?B+sinAsin3

的值_____________.

14.在VABC中，M是邊BC的中點，N是線段的中點.設(shè)初=6，AC=b，若

NA=g,VA3C的面積為石，則當(dāng)|就|=_______.時，說.而取得最小值.

6

四、解答題（本大題共5小題）

15.已知復(fù)數(shù)Z=l+2i

（1）若復(fù)數(shù)4是方程z2+a.z+b=0的一個復(fù)數(shù)根，求實數(shù)a,6的值;

⑵若復(fù)數(shù)Z2滿足a=1-求閭.

Z2Z1

16.已知a,b,c分別為VA3C三個內(nèi)角A,3,C的對邊，向量

m=(。,6+。)，萬=(若sinC+cosC,l),m-n—2[b+c).

⑴求A；

(2)若c=2g,麗7=2詬,AM=2.求VA3C的面積.

17.在直角梯形A3CD中，AB//CD,ZDAB=900，AB=2AD=2DC=4,點/是

邊上的中點.

(1)若點E滿足詼=2配，且訪=幾通+〃而，求幾+〃的值；

(2)若點尸是線段"上的動點(含端點)，求Q.9的取值范圍.

18.養(yǎng)殖戶承包一片靠岸水域，如圖。4,。8為直岸線，OA=2km,O3=3km,

7T

ZAOB=p該承包水域的水面邊界是某圓的一段弧A8，過弧AB上一點尸按線段

2兀

叢和PB修建養(yǎng)殖網(wǎng)箱，已知=

(1)求岸線上點A與點8之間的直線距離；

(2)如果線段可上的網(wǎng)箱每千米可獲得2萬元的經(jīng)濟(jì)收益，線段加上的網(wǎng)箱每千

米可獲得4萬元的經(jīng)濟(jì)收益.記鋁=6,設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益為＞萬

元，求y的取值范圍.

19.定義：若非零向量弧'=(a,6),函數(shù)“X)的解析式滿足〃x)=asinx+bcosx,

則稱“X)為麗的伴隨函數(shù)，而為“X)的伴隨向量.

⑴若向量兩為函數(shù)/(x)=2sin[x+。+4"尤-鼻的伴隨向量，求同|；

(2)若函數(shù)/(力為向量的=(若,-1)的伴隨函數(shù)，在VABC中，BC=2y/3,

/(A)=l,且cosBcosC=-l,求AB+AC的值；

8

⑶若函數(shù)”X)為向量加=(2,1)的伴隨函數(shù)，關(guān)于X的方程

〃尤)=?7+2cos25-2四cosx|在[0,2兀]上有且僅有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)0的

取值范圍.

參考答案

1.【答案】D

【詳解】對于A,如圖1,利用兩個底面全等的斜棱柱拼接而成的幾何體滿足A中

條件，但該幾何體不是棱柱，A錯誤；

圖1

對于B,如圖2,利用兩個上底面全等，下底面相似的棱臺拼接而成的幾何體滿足

B中條件，

但該幾何體不是棱臺，B錯誤；

對于C,連接圓柱上下底面圓周上任意兩點，只有連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時才是母線,

C錯誤；

對于D,如圖3,在正方體ABCD-ABIGA中，連接加＞,4綜用，

因為四_L平面ABC。，平面ABC￡）,

所以3耳J.AB,BBJBD,所以4耳區(qū)4,3。為直角三角形.

又平面AB3W，4民424平面42月4，

所以A。，AB,ADLAB,,所以^DAB^DAB,為直角三角形.

所以三棱錐耳-A2D的四個面都是直角三角形，D正確.

故選D.

圖3

2.【答案】A

【詳解】因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（-1,2）,所以z=-l+2i,

所以iz=i(-l+2i)=—2—i,則iz在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(-2,-1).

故選A.

3.【答案】D

【詳解】向量錄和最滿足同=2同=2,由1在1方向上的投影向量為-廣

6,e?~-1-

可得可公一丁2,解得［.￡=_1,

所以E在■方向上的投影向量為寸

一,間

故選D.

4.【答案】C

【詳解】試題分析：由已知可得選項C繞對稱軸旋轉(zhuǎn)才能形成充滿氣的車輪內(nèi)胎,

故選C.

考點：空間幾何體.

5.【答案】B

1—.

【詳解】。是的外心，則而在而上的投影向量為

-----?-----?1-----

所以==2,解得|AB|=2,

40

由正弦定理2R=「；=20,:.R=E，

sinC

故選B.

6.【答案】B

【詳解】由圖形可知

AD=2,BC=4,AB=2,ZABC^9Q°CD=^22+(4-2)2=2y/2.故選B.

7.【答案】C

【分析】把圓錐側(cè)面沿母線上4剪開，展在同一平面內(nèi)，再利用兩點間距離最短求

出結(jié)果.

【詳解】把圓錐側(cè)面沿母線序剪開，展在同一平面內(nèi)得扇形⑷次，連接如

7T

貝!J126=271x3,角軍得8=5，

在RtZkR43中，PB=^PA'=4,則=+B4?="+12?=4版,

所以一只螞蟻從4點出發(fā)，沿圓錐側(cè)面繞行一周，到達(dá)8點，最短路線長度為

4^/10.

故選C.

8.【答案】C

【詳解】由題意知：牙C4M=45,邪1MC=1O5，貝U邪1CM=3O，

ABAB

在RtAABM中，AM=

sinZAMBsin15°

在“CM中'由正弦定理得就CM

~sin45°

AMsin45。ASsin45。

所以CM=

sin30°sin15。?sin30。

且sin15°=sin(45°—30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=顯乂顯一顯△=巡一亞

v722224

在RtADCM中，

(155/3-15)x^x

AB-sin45°?sin60°

CD=CMsin60。=—=30A/3(m).

sin15°.sin30°A/6-V21

----X—

4-------2

故選C.

9.【答案】BD

【詳解】對于A,設(shè)4=l+2i，z=2+i,顯然閔=團(tuán)，但

z；=(l+2i)2=-3+4iwz；=3+4i,故A錯誤；

對于B,設(shè)4=a+歷，z2=c+di,貝!|z/?=(a+歷)(c+H)=ac-bd+(ad+6c)i,

所以上義2]=yj(ac-bd)2+(^ad+bc)2=y/a2c2+a2d2+b2c2+b~d2,

|zj|z2|='Ja2+b2-yjc2+d2=y/a2^+a2d2+b2c2+b2d2,

所以2兇=團(tuán)區(qū)],故B正確；

對于C,因為兩個虛數(shù)的?？梢员容^大小，而兩個虛數(shù)不能比較大小，所以C錯

誤；

對于D,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)向量兩，復(fù)數(shù)z?對應(yīng)

向量區(qū)，

忖+z4為西和區(qū)為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的對角線的長度，

所以卜1+22歸團(tuán)+"|,故D正確.

故選BD.

10.【答案】AC

【詳解】對于A,a-5=3xl+(-l)x(-2)=5,故A正確;

a（3,-1）（3廂廂）

對于B,與日方向同向的單位向量是口=]#=[〒，-記J,所以相反的單位向

且3710師）+6D@、n

事為?記-‘7鼠'故B錯灰；

對于c,cos0,*W=7/后=孝，又〈詞=[°，兀],所以a與5的夾角為全

故C正確；

aybb5（1,-2）

對于D,△在B上的投影向量是=慟?壞方?飛‘（12）,故D錯誤.

故選AC.

11.【答案】AD

TT

【詳解】對于A,因為VABC為銳角三角形，且NC=\,

所以人中/人./!*,?,解得4卷,鼻，

同理可得2，,父，則/的取值范圍為（葭），故A正確,

Vo2J62

_22—「2+41

對于B,由余弦定理得cosC="+"°，即^—=L

2ab4〃2

則a1-c1-2a=-A,而BABC=|BA|-|BC|-cosB,

a2+c2-b2a2+c2-4a2+c2+a2-c2-2a

=(7?〃?=/_a,

lac22

a2

2由正弦定理得百，

令f{a}=a-afsinAsinB

2、

2sin|-7t-BcosB+—sinB

則2sinA(32J=五+1

a=---

sinBsinBsi、nBtanB

7171

因為Be，所以tanBe,+a?，得至（Ja<1,4）,

6'2

7

則c=4，而sinBegj,得到ce(6,2⑹,

由二次函數(shù)性質(zhì)得了⑷在（L4）上單調(diào)遞增，則”a）>〃l）=0,

即麗?團(tuán)的最小值不為故B錯誤，

對于C,由三角形面積公式得248c=gabsinC=￥ae[?,2若

則VABC的面積最大值不為2后，故C錯誤，

對于D,因為Z?=2,所以2cosA+〃cos5=Z?cosA+acos5,

y...,b1+C1-a2a2+C1-b1/c

m因為Z?cosA+QCOSBD=b----------------Fa----------------=ceIv3,2v3I

2bc2ac''

而6<3<2g,所以2cosA+ocosB的值可能為3,故D正確.

故選AD.

12.【答案】3

【詳解】設(shè)AHB'C'的面積為S,三棱臺ABC-A9C的高為力,

易知△ABCsAAEC',且AB=2A'B'，則SMBC=4S,

則V^ABC-A'B'C=g(S+4S+4S^S)h=：Sh=7,可得%=3,

14

匕ri，-/A1DBCC=3~^S-h=3-Sh=4,

所以，沿平面A5C截去三棱錐d-A^C，

則剩余的部分幾何體的體積為V三棱臺ABC—-VA.ABC=7-4=3.

3

13.【答案】-/0.75

4

【詳解】由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab

(

由正弦定理'i7=—h^=-7c-=2r(r為外接圓的半徑)，

smAsinBsinC

CLhc

得sinA=——,sinB=——,sinC=——,

2r2r2r

r.24.2naba2+b2+abc2/.小23

貝mUismA+sinB+sinAsin—+—+—x—=---------------=--=(sinC)=一

\2r)\2r)2r2r4r24/'74

14.【答案】2

【詳解】又是邊5C的中點，N是線段前1的中點，

貝I］說=（（通+蔗）=：（萬+B）,AN

--1--1----.1—,1(1—.1—A31-

所以AN=—A3+—AM=-AB+--AB+-AC\=-a+-b,

2222122J44

IT

如圖所示，VABC中，ZA=-,

6

所以VABC的面積為5.=；畫乂碼＞^吟=；同同=6,

所以國,=46,

所以磁.硒3萬2+3廬+（無5

=同xW|xcos￡

"區(qū)工|胴+、4島且=2X3X4』+3=6,

V881111228

當(dāng)且僅當(dāng)陷=6忖=2百時取等號，

所以赤?麗的最小值為6,

所以此時=AB=2,A=—,

6

所以BC2=AC2+AB2-2AC-AB-cos-=12+4-2x2y/3x2x—=4,

62

所以|成|=2.

15.【答案】⑴a=-2,6=5；

（2）i

【詳解】（1）z；=（l+2i）2=—3+4i

z；+a，Z]+b=a+b—3+（2a+4）i=0

a+0-3=0

,所以。=—2,b=5

2a+4=0

16.【答案】（1）A=]

⑵手

【詳解】（1）因為慶?為=2（b+c）,所以J5asinC+QCOsC=Z?+c,

所以J§sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC,

所以V3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，

所以^sinAsinC=sinC（cosA+l）,

Ce（0,TT）,sinC0/.^/3sinA—cosA=1,即2sin^A--^j=1,

A（f\\4兀/兀5KI,,.7171.71

又Aw（0,兀），Aw一"，2，A--=—,即nrIA=；.

6166J663

（2）BM=2MC，所以翔-福=2國-西，

——?1—?2—?

:.AM=-AB+-AC,

33

\AM\2=（-AB+-AC\=-AB2+-AC2+-AB-AC,

（33J999

又AB=c=2y/3,AC=b,AM=2,§P|W|=2,

:.4=-（2^）2+-b2+-b-2辰os-,

9993

:.b2+y/3b-6=0:.b=yf3^b=-2^（舍）,

」bcsinA=空

故s

22

17.【答案】（D-1;

⑵卜力

【分析】（1）利用向量的加減運算法則，以通，而為基底表示出而得出的取

值可得結(jié)論；

（2）法1：建立平面直角坐標(biāo)系利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得出衣.麗的取值范

圍；

法2：利用極化恒等式得出行.麗=聞/_1，即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）如下圖所示：

—.——1—.1—1.1(1—.-5--1—.

所以所=EC+CF=—OC+—C2=—A2+—|-AB-AD\=—AB-—AD,

3262(2)122

51.EF=AAB+juAD,可得44,〃=-g

所以;1+〃=」；

12

(2)法1：以點A為坐標(biāo)原點，分別以AB為x軸，AD為/軸建立平面直角坐標(biāo)

則A（0,0）,D（0,2）,3（4,0）,C（2,2）,則尸（3,1）,

由點P是線段AF上的動點（含端點），可令Q=f前

所以Q=fIF=（3f,。，則麗=福_蒞=（3/J_2）,

所以Q?9=10/-2r,te[0,i],

由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng);日1時取得最小值-記1；

當(dāng)1=1時取得最大值8；

----------r11

可得APDPe--,8

法2：取AD中點作MG_LAF垂足為G,如下圖所示:

則A?-DP=PA-PD=（W+M）（W+W）=W2+W-（AM+W）+M-MD

---->2——-2?2

=PM-MA=PM-1

顯然當(dāng)點P位于點尸時，取到最大值3,當(dāng)點尸位于點G時，取到最小值

可得行?麗W-2,8

18.【答案】⑴近千米

⑵（2夕,4⑺

【詳解】（1）在VAOB中，由余弦定理，得

AB=^OA2+OB2-2xOAxOBxcosy=^22+32-2x2x3x1=77

即岸線上點/與點8之間的直線距離為近千米.

(2)在ABIB中，設(shè)NPAB=e,

依=gsind=^^sind（0<6〈三]

33I3），

2

設(shè)兩段網(wǎng)箱獲得的經(jīng)濟(jì)總收益為y萬元，則

兀"ine

y=2PA+4PB=

333

=(二71一e1+2sin6>3

cos6+—sin。

332/

??.ee[%）?,.。+會償，3，,y=4夕sin[+^]e（2幣,4幣）

故y的取值范圍為（26,4夕）.

19.【答案】⑴2百

⑵回

⑶（1,2。