熱點(diǎn)專(zhuān)題3-3利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

近5年考情(2020-2024)

考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求

2024年甲卷(文)，第20(1),5分高考中，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單

2024年北京卷，第20(1),5分調(diào)性為重要考點(diǎn)?？忌枵莆?/p>

導(dǎo)數(shù)定義、性質(zhì)及求導(dǎo)方法，

2023年I卷第第19(1),5分

通過(guò)導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)

2023年乙卷(文)，第20(2),7分

區(qū)間。此考點(diǎn)強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)

(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

2023年乙卷(理)第16題，5分單調(diào)性的直接聯(lián)系，要求考生(2)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

能準(zhǔn)確求解導(dǎo)數(shù)并據(jù)此分析(3)含參函數(shù)單調(diào)性討論

2022年新高考H卷，第6題,5分

函數(shù)在特定區(qū)間的單調(diào)性。備

2022年甲卷第12題，5分

考時(shí)，應(yīng)注重基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固

與解題技巧的提升，通過(guò)大量

2021年浙江卷第7題，5分

練習(xí)增強(qiáng)實(shí)際應(yīng)用能力。

【題型1】求單調(diào)區(qū)間或討論單調(diào)性(不含參)

【題型2】函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系

【題型3】含參函數(shù)在某區(qū)間上遞增或遞減，求參數(shù)范圍

【題型4】含參函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)范圍

【題型5】含參函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間或減區(qū)間，求參數(shù)范圍

【題型6］最多有1個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)單調(diào)性分析

【題型7】最多有2個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)單調(diào)性分析(可因式分解)

【題型8】最多有2個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)單調(diào)性分析(不可因式分解)

【題型1】求單調(diào)區(qū)間或討論單調(diào)性(不含參)

基礎(chǔ)知識(shí)

判斷函數(shù)y=/(x)的單調(diào)性的步驟:

第1步，確定函數(shù)的定義域;

第2步，求出導(dǎo)數(shù)求x)的零點(diǎn);

第3步，用/(x)的零點(diǎn)將式x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出〃尤)在各區(qū)間上的正負(fù),由此得

出函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性.

注意：若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個(gè)，則這些單調(diào)區(qū)間用“和”或“，”隔開(kāi).

1.(2024?四川成都?三模)已知函數(shù)/'⑺是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f^)=x(l-lnx),

則當(dāng)x<0時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

InX

2.函數(shù)y=—的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.1一B.(e,+oo)C.D.(0,e)

3.已知函數(shù)=1)—Inx,判斷了⑺的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；

4.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=x-lnx-..判斷函數(shù)的單調(diào)性.

【鞏固練習(xí)1】函數(shù)y=工的嚴(yán)格遞減區(qū)間是.

x-2

【鞏固練習(xí)2】函數(shù)/(元)=:尤2-mx的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(-1,1)B.(0,1)C.(l,+oo)D.(0,2)

【鞏固練習(xí)3X2024?四川巴中?一模)已知奇函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),若當(dāng)x<0時(shí)〃尤)=尤2-幺,

且/''(T)=0.則/(x)的單調(diào)增區(qū)間為.

【鞏固練習(xí)4】(2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/'(x)=(x-2e2)lnx-or-2e2(aeR).若a=l,討

論“X)的單調(diào)性;

【鞏固練習(xí)5】(2024?湖南邵陽(yáng)?三模)己知函數(shù)〃司=變手土g(awR),若a=2,求的

單調(diào)區(qū)間.

【鞏固練習(xí)6】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)討論函數(shù)/(x)的

單調(diào)性.

【題型2】函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖像之間的關(guān)系

基礎(chǔ)知識(shí)

原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系，原函數(shù)/（X）單調(diào)遞增o導(dǎo)函數(shù)/（X）20（導(dǎo)函

數(shù)等于0,只在端點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿(mǎn)足/'（x）＞0）；原函數(shù)單調(diào)遞減o導(dǎo)函數(shù)/'（x）W0（導(dǎo)函數(shù)等

于0,只在端點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿(mǎn)足/（不）＜0）.

導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值與函數(shù)值變化的關(guān)系

一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較快,這時(shí)

函數(shù)的圖象就比較"陵直''（向上或向下）；反之，函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得較慢,函數(shù)的圖象就比較''壬

緩”.

5.「（元）是函數(shù)/（尤）的導(dǎo)函數(shù)，y=r（x）的圖象如圖所示，則＞=/（》）的圖象最有可能是下列選

項(xiàng)中的（）

6.函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，y=/（尤）為函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)，則不等式葉⑺＞0的解集

A.(-oo,-3)u(-l,0)u(1,+oo)B.(-oo,-3)u(-1,0)D(0,1)

C.(-3,-l)u(l,+?)D.(-3,-l)u(O,l)

【鞏固練習(xí)1］已知函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)（（x）的圖象如圖所示，那么對(duì)于函數(shù)y=/（x）,下

列說(shuō)法正確的是（）

A.在(-雙-1)上單調(diào)遞增B.在。,+力)上單調(diào)遞減

C.在尤=1處取得最大值D.在x=2處取得極大值

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)y=/(x)(xeR)的圖象如圖所示，則不等式#'(*)>0的解集為().

A.[o,g]“2,+oo)

B.b叫嗚,2,

C.(f0)U,，2)

D.(-1,0)U(1,3)

【鞏固練習(xí)3】已知函數(shù)y=/(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，函數(shù)y=r(x)的圖象如圖所示，則

函數(shù)y=/(x)圖象是()

【鞏固練習(xí)4】y=/'(x)的圖象如圖所示，則y=/(x)的圖象最有可能是()

【鞏固練習(xí)5】(多選)己知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽且導(dǎo)函數(shù)為f(x),如圖是函數(shù)y=/(x)的圖象,

則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)Ax)的減區(qū)間是(-2,0),(2,收)

B.函數(shù)/(X)的減區(qū)間是(-8,-2),(2,+8)

C.x=-2是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)

D.x=2是函數(shù)/(%)的極小值點(diǎn)

【題型3】含參函數(shù)在某區(qū)間上遞增或遞減，求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識(shí)

已知函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

①若/(X)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有了'(x)恒成立(但不恒等于0)；反之，要滿(mǎn)

足/'(x)>0,才能得出/(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；

②若/(x)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有了'(x)W0恒成立(但不恒等于0)；反之，要滿(mǎn)

是/(x)<0,才能得出/(幻在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.

7.(23-24高三.江蘇南京.期末)已知函數(shù)/(司=$3一%2+依+i在區(qū)間［o,2］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。

的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

8.（23-24高三上.江蘇淮安?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=2d-liu,若〃尤）在區(qū)間（2m,機(jī)+1）上單調(diào)

遞增，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

9.（2024?陜西西安?三模）若函數(shù)=f—依+lnx在區(qū)間（l,e）上單調(diào)遞增，則。的取值范圍

是（）

A.[3,+oo)B.(—oo,3]C.〔3,e~+1]D.口,e~—1]

【鞏固練習(xí)1］（2023年新課標(biāo)全國(guó)H卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)〃x）=ae￡-lnx在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞

增，則。的最小值為（）.

A.修B.eC.e-1D.e-2

【鞏固練習(xí)2】（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)ae（0,1）,若函數(shù)〃x）=優(yōu)+（1+a），在（0,+力

上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)3］己知函數(shù)〃月=；尤3+_|尤2+X+］在（_力,0）,（3,+co）上為增函數(shù)，在（1,2）上為減

函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

102105

A.一AB.C.(-oo,-2]

32

【鞏固練習(xí)4】（23-24高三上?山東青島?期末）若函數(shù)/（x4e'+a/T在g+8）上單調(diào)遞增，貝°°

的取值范圍是.

【題型4】含參函數(shù)在某區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識(shí)

已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn)，通常用分離變量法求解參變量范圍.

10.若函數(shù)〃了）=丘-/加在區(qū)間（L”）單調(diào)遞增，則％的取值范圍是_；若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,”）內(nèi)

不單調(diào)，則上的取值范圍是

11.(23-24高三上.山東濟(jì)南.階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2x-asinx在R上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)

m的取值范圍是.

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)/(x)=(lT)lnx+?在(1,+8)上不單調(diào)，則。的取值范圍是()

A.(0,+oo)B.(-oo,0)C.[0,+oo)D,(^?,0]

【鞏固練習(xí)2】若函數(shù)〃耳=；-■|/+以+1在區(qū)間(1,4)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

九21

【鞏固練習(xí)3](2024?寧夏銀川?三模)若函數(shù)/(九)='-Inx在區(qū)間(狼加+§)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)

機(jī)的取值范圍為()

22

A.0<m<—B.—<m<\

33

2

C.—<m<1D.m>l

3

【鞏固練習(xí)4】(23-24高三上?福建三明?期中)已知函數(shù)〃耳=以2-4依-山1，則/(尤)在(1,3)上不

單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是()

A.〃￡1一B.ciGI—,+C0Ic.〃￡1一D.〃￡[一,%

【題型5】含參函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間或減區(qū)間，求參數(shù)范圍

基礎(chǔ)知識(shí)

存在增區(qū)間或減區(qū)間可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)大于或小于零的相關(guān)不等式有解問(wèn)題

12.若函數(shù)/(x)=(x-〃2)2+lnx在區(qū)間(1,2)上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是

13.(23-24高三上?福建泉州?階段練習(xí))若函數(shù)刈力=原-3內(nèi)2-2》在［1,4］上存在單調(diào)遞增區(qū)間,

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.［-l,+oo)B.(-l,+oo)C.卜8,一］D.\8,一\)

【鞏固練習(xí)1】若函數(shù)g(x)=ln尤+；/一。一1)尤存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.［3,+oo)B.(3,+oo)

C.(-oo,3)D.(-oo,3］

【鞏固練習(xí)2］若函數(shù)/(元)=lnx-g62_2x存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

；，1)內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

【鞏固練習(xí)3］若函數(shù)/(x)=lnx+G；2_2在區(qū)間

是()

A.(-co,-2)B.C.(-2,+co)D.(-8,+oo)

【鞏固練習(xí)4】若函數(shù)/(x)=d+時(shí)/在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則機(jī)的取值范圍

是_______

【題型6］最多有1個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)單調(diào)性分析

基礎(chǔ)知識(shí)

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟

(1)確定函數(shù)/(X)的定義域；

(2)求出導(dǎo)數(shù)/'(X)的零點(diǎn)；

(3)先討論零點(diǎn)無(wú)意義或不在定義域內(nèi)的情況，此時(shí)廣(x)的正負(fù)是確定的，即/(x)單調(diào)

(4)當(dāng)零點(diǎn)在定義域內(nèi)時(shí)，用廣(x)的零點(diǎn)將〃x)的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間，列表給出廣(x)在

各區(qū)間上的正負(fù)，由此得出函數(shù)，=/(尤)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；

14.(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)/(x)=a(x-1)-lnx+1.(1)求無(wú))的單調(diào)區(qū)間.

15.(2023?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)〃x)=a(e*+a)-尤.⑴討論的單調(diào)性;

16.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃無(wú))=x-lnx-《.判斷函數(shù)的單調(diào)性.

【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)〃x)=q+lnx-l,aeR.討論函數(shù)/⑴的單調(diào)性;

X

【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)/(x)=ox-21nx.討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

【鞏固練習(xí)3】(2024?陜西渭南?二模)已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)—如，其中〃zeR.討論〃尤)的

單調(diào)性;

【鞏固練習(xí)4】（2024?山東棗莊?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=e，-/-x,/'（尤）為/（x）的導(dǎo)數(shù)，討論了'（尤）

的單調(diào)性;

【鞏固練習(xí)5]（2024?浙江寧波?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=e*-依-1.討論/（X）的單調(diào)性;

【題型7】最多有2個(gè)極值點(diǎn)的函數(shù)單調(diào)性分析（可因式分解）

基礎(chǔ)知識(shí)

這類(lèi)題型最多需要討論五種情況，具體步驟如下：

第一步：求/（x）的定義域

第二步：求出/'（幻，通分

第三步：令廣（x）=0,因式分解求出其2個(gè)根，一個(gè)含參一個(gè)不含參

第四步：先討論含參的根不在定義域內(nèi)或無(wú)意義的情況，此時(shí)/（x）只有一個(gè)極值點(diǎn)

第五步：論含參的根在定義域內(nèi)，分3種情況討論兩個(gè)根之間的大小關(guān)系，令（。）＞0,解出x的

取值范圍，得函數(shù)的增區(qū)間；令/'(x)<0,解出x的取值范圍，得函數(shù)的減區(qū)間.

注意：若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個(gè)，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“U”、“或”連接，而應(yīng)

用“和隔開(kāi).

17.已知函數(shù)"X)=；f+(1-a)x-aInx(aeR).討論函數(shù)的單調(diào)性；

18.已知函數(shù)〃尤)=辦-：-(。+1)111彳(。/0)