遼寧省沈陽市2024-2025學(xué)年七年級下學(xué)期數(shù)學(xué)診斷試題

（第一、第二章）

一、單選題

i.氣凝膠是一種具有納米多孔結(jié)構(gòu)的新型材料，質(zhì)量輕、隔熱能力強(qiáng)，可應(yīng)用于航天、軍工、

建筑等領(lǐng)域，氣凝膠顆粒尺寸通常小于0Q0000002m.數(shù)據(jù)“0.00000002m，，用科學(xué)記數(shù)法表

示為（）

-8-877

A2xl0mB0.2xl0mc0.2x10mD2xWm

【正確答案】A

【分析】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為axl（T",其中1,忖＜10,n為

由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定.

［詳解］解：0.00000002m=2x10-8m,

故選：A.

2.下列運(yùn)算正確的是（）

236

A.-2/B,八/=/°Ga）'?"D（?）=?

【正確答案】D

【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)暴的除法，積的乘方，塞的乘方，根據(jù)合并同類項(xiàng)，同

底數(shù)嘉的除法，積的乘方，幕的乘方運(yùn)算法則逐一判斷即可求解，熟練掌握其運(yùn)算法則是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：A、x2+x2=2x2,原選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、原選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、（2。）=4”,原選項(xiàng)運(yùn)算錯(cuò)誤，不符合題意；

D、（1）="6,原選項(xiàng)運(yùn)算正確，符合題意；

故選：D.

3.如圖，圖中陰影部分是由兩個(gè)正方形組成.若兩個(gè)正方形面積的和與周長的和分別為

20、24,則圖中空白部分的面積共等于（）

B.18C.16D.14

【正確答案】C

【分析】本題考查完全平方公式的變形.設(shè)大正方形的邊長為x,小正方形的邊長為y,根據(jù)題

意得:4x+4y=24,/+/=20,然后得出2孫=16即可.

【詳解】解：設(shè)大正方形的邊長為x,小正方形的邊長為y,

根據(jù)題意得：4x+4y=24,丁+;?=20,

:.x+y=6

?/x2+y2=（x+y）2-2xy=20

/.2xy=16

:空白部分的面積為2孫，

二空白部分的面積共等于16,

故選：C.

4.已知GT）。**"）不含x的一次項(xiàng)，則a的值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

【正確答案】D

【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.先根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法

則展開，再根據(jù)不含x的一次項(xiàng)，得到。-2=°,即可求出a的值.

(X—1)(2X+Q)=2/+QX—2X—Q=2x2+(Q—2)X—〃

【詳解】解:

若不含*的一次項(xiàng),

則”2=0,

解得：a=2,

故選：D.

5.如圖，4B,C。四點(diǎn)在直線/上，點(diǎn)M在直線/外，MC11,若M4=5cm,

〃B=4cm,MC=2cm,則點(diǎn)M到直線/的距離是（）

Q4cmD.5cm

【正確答案】A

【分析】本題考查了點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的定義即可求解，理解定義是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：???MC,/,MC=2cm,

???點(diǎn)河到直線/的距離是2cm,

故選：A.

6.已知N2是N1的余角，且/1=15。，則N2的補(bǔ)角等于（）

A.⑵。B.口5。CM。D.95°

【正確答案】C

【分析】本題主要考查了互余角關(guān)系、互補(bǔ)角關(guān)系，會用互為余角、互為補(bǔ)角求解是解題的關(guān)

鍵.

先利用互余求出N2,再求出N2的補(bǔ)角.

【詳解】解：??,知N2是N1的余角，且—1=15。，

?.?N2=90°—Nl=90°—15°=75°，

...N2的補(bǔ)角=180?！狽2=180?！?5。=105°.

故選：C.

7.如圖，小菲同學(xué)的周末作業(yè)被調(diào)皮的弟弟給撕掉了一個(gè)角，作業(yè)上的問題變成了一個(gè)不全的

題目.根據(jù)小菲同學(xué)記錄的內(nèi)容，可得到被除式應(yīng)該為()

X-i-(-5xy)=2x+y

-10x2y+5xy2-10x~y-5xy2XQx1y-Sxy1

ApQD.

10x2y+5xy2

【正確答案】B

【分析】本題主要考查了整式乘除運(yùn)算，熟練掌握多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式乘法運(yùn)算法則，是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)被除式=除式x商，求出結(jié)果即可.

【詳解】解：被除式應(yīng)該為：

(2x+y)-(-5xy)=-10x2y-5xy2

故選：B.

8.如圖為一個(gè)彎折的鐵絲，4BC=a,工人師傅對該鐵絲進(jìn)一步加工，在C處進(jìn)行第二次彎

折，最終保證彎折后的部分與48保持平行，那么彎折后形成的N3C￡>=()

Q900-aD.a或180°—a

【正確答案】D

【分析】本題主要考查平行的性質(zhì)，熟練掌握平行的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)平行的性質(zhì)進(jìn)行推

理即可.

【詳解】解：根據(jù)平行線的性質(zhì)，當(dāng)點(diǎn)。在0點(diǎn)左側(cè)時(shí)，NBCD=a,

當(dāng)點(diǎn)。在C點(diǎn)右側(cè)時(shí)，N8CX>=180?！猘,

故選：D.

9.如圖，下列推理不正確的是（）

AZA+ZADC=180°.AB||CD

B...AD//BC,Z3=Z4

c.VZ1=Z2,AD//BCDAB//CD,NABC+ZC=180°

【正確答案】B

【分析】本題考查平行線的知識，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定和性質(zhì)，進(jìn)行解答，即可.

【詳解】解：A>■■^A+ZADC=180°,,AB\\CD^同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，正確；

B..：AD\\BC,...Z1-Z2,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，錯(cuò)誤；

C>vZl=Z2,：AD\\BC^內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，正確;

..AB\\CD,Z^5C+ZC=180°,兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，正確;

故選：B.

10.將一副三角板按如圖所示方式擺放在一張對邊平行的長方形紙片上，其中含30°角的直角三

角板的斜邊與紙片一邊貼合，含45°角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)與含30°角的直角三角板的直角

頂點(diǎn)重合，且兩個(gè)直角三角板的一條直角邊貼合，而含45°角的直角三角板的另一個(gè)頂點(diǎn)恰好落

在紙片的另一邊上，那么N1的度數(shù)是（）

A.10°B,15°C,30°D,45。

【正確答案】B

【分析】本題考查三角板中角度的計(jì)算，平行線的性質(zhì)，過點(diǎn)、E作EF〃AB,進(jìn)而得到

跖"8,根據(jù)平行線的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)￡作^？〃力臺，由題意，得：

NHEG=45°,ZEGD=30°,AB//CD

?.?EF//A/BCD，

./HEF=Zl,ZFEG=ZEGD

,.,AHEG=ZHEF+ZGEF=Zl+ZEGD，

...N1=ZHEG-ZEGD=15°.

故選B.

二、填空題

11.數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活.下列各選項(xiàng)中能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象有

___________個(gè).

起

跳

線

①測量跳遠(yuǎn)成績②木板上彈墨線③彎曲河道改直④兩釘子固定木條

【正確答案】1

【分析】本題考查了垂線段最短，線段的性質(zhì)，根據(jù)垂線段最短，線段的性質(zhì)分別判斷即可.熟

記垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①測量跳遠(yuǎn)成績是求腳后跟到起跳線的距離，數(shù)學(xué)常識為垂線段最短，故該選項(xiàng)

符合題意；

②木板上彈墨線，能彈出一條筆直的墨線，數(shù)學(xué)常識為兩點(diǎn)確定一條直線，故該選項(xiàng)不符合題

后、；

③彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數(shù)學(xué)常識為兩點(diǎn)之間，線段最短，故該選項(xiàng)不符合題意;

④彎曲河道改直，就能夠縮短路程，數(shù)學(xué)常識為兩點(diǎn)之間，線段最短，故該選項(xiàng)不符合題意;

故能用“垂線段最短”來解釋的現(xiàn)象有1個(gè),

故1.

12若(一7加+4)(4〃+3)=16〃2—49加~則A=

【正確答案】①.4n②.7m

【分析】根據(jù)平方差公式的特點(diǎn)進(jìn)行解答即可.

【詳解】解泊16"-49/=（4〃+7加）（4〃-7加），

「?即可得A=4n,B=7m,

故4n,7m.

本題考查了平方差公式，熟知/+〃=伍+⑦①一人）是解本題的關(guān)鍵.

13.如圖，AB//CD,直線M分別交/8、CD于點(diǎn)、E、F,EG平分=39。,

則22的度數(shù)為.

【正確答案】102?；?02度

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和角

平分線的定義.根據(jù)48〃。?？傻?4￡6=/1=39。，由EG平分//斯可得

NAEF=2/AEG=78°,最后根據(jù)平角的定義求解.

【詳解】解：CD,

?.?Zl=NAEG=39°，

又???EG平分NAEF,

,.,NAEF=2ZAEG=2x39°=78°，

,.,Z2=180°-ZAEF=180°-78°=102°，

故102。.

14.用簡便方法計(jì)算2025?—4050x2024+20242的結(jié)果是.

【正確答案】1

【分析】本題考查了完全平方公式，先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，再求出答案即可.

【詳解】解：20252-4050x2024+20242

=20252-2x2025x2024-20242

=(2025—2024)2

=12

=1.

故1.

15.一種路燈的示意圖如圖所示，其底部支架45與吊線/G平行，燈桿與底部支架N8所

成銳角a=14。.頂部支架￡尸與燈桿所成銳角,=43。，則EE與月G所成銳角的度數(shù)為

【正確答案】57°##57度

【分析】本題考查了平行線判定和性質(zhì)，平行公理的推論.過點(diǎn)、E作EH〃AB,可得

AB//EHFG,即得N8E8=Na=14°,NFEH+NEFG=180。,根據(jù)N，=43°求出

NFEH即可.

【詳解】解：過點(diǎn)、E作EH〃4B,

.?.AB//FG,

,.?AB//EHFG，

.ZBEH=a=14°NFEH+NEFG=180°

?〃=43。，

,.?ZF￡H=180o-43°-14o=123°，

,.,ZEFG=1800-ZFEH=180°-123°=57°，

...EF與FG所成銳角的度數(shù)為為57°,

故57。.

三、解答題

16.計(jì)算：

(1)已知10優(yōu)=3,10〃=2,求IO"。，的值.

(3)

（4）（加―〃+3）（加+”—3）

27

【正確答案】（1）4

（2）2

（3）7a6

2

（4）加2-n+6n-9

【分析】(1)先利用同底數(shù)基除法的逆運(yùn)算和塞的乘方的逆運(yùn)算恒等變形，再將10n'=3,

1°”=2代入求解即可得到答案；

(2)先計(jì)算乘方運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)塞運(yùn)算，再由積的乘方的逆運(yùn)算恒等變形后求解即可得到答

案；

(3)先計(jì)算積的乘方運(yùn)算、累的乘方運(yùn)算及同底數(shù)塞的乘法運(yùn)算，再合并同類項(xiàng)即可得到答案;

(4)先將(加—"3)("+”3)恒等變形為[吁(〃一3)][機(jī)+(〃一3)],再由平方差公式及完

全平方差公式展開即可得到答案.

【小問1詳解】

解：?.—，10"=2,

103i_10j(l°W_3127

10-訶-西-級-彳

【小問2詳解】

=2x1

=2；

【小問3詳解】

解：(一3/)_2/./

=9a6-2a6

=1a*.

【小問4詳解】

(m-n+3)(m+九-3)

解:

-\jn-(n-3)][m+(n-3)]

=m2-(n-iy

=nr_(〃2-6"+9)

-m~-/J+6/2-9

本題考查綜合計(jì)算，涉及同底數(shù)塞的乘法運(yùn)算、同底數(shù)幕除法的逆運(yùn)算、幕的乘方運(yùn)算及其逆運(yùn)

算、乘方運(yùn)算、負(fù)整數(shù)指數(shù)辱運(yùn)算、積的乘方運(yùn)算及其逆運(yùn)算、合并同類項(xiàng)、平方差公式及完全

平方差公式等知識，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵.

17.先化簡，再求值：已知a、b滿足6—。=一2°25,求代數(shù)式:

+-2b0-a)]+4b

的值.

【正確答案】"b,2025

【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，先根據(jù)平方差公式，完全平方公式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)

式的計(jì)算法則去括號，然后合并同類項(xiàng)，再根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的計(jì)算法則化簡，最后利用整

體代入法求解即可.

(a+b^(a-/?)-(?-by-2b(b-a^+4b

【詳解】解:

=[(a?-b2)-(a2-lab+b~2b1++4b

=(a2-b2-a2+2ab-b2-2b2+2ab)+4b

=(4ab-4b2)+4b

=a-b,

..b—a=-2025

...a—6=2025,即原式=2025

18.如圖，是6x6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)為格點(diǎn)，線段46的兩個(gè)端點(diǎn)及點(diǎn)C均

在格點(diǎn)上.

(1)過點(diǎn)C作幺8的平行線跖.

(2)過C點(diǎn)作線段4B的垂線，交48于H.

(3)點(diǎn)D是線段幺5與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，連結(jié)8,CB,比較線段CH,C5的大小:

,理由是

【正確答案】(1)見詳解(2)見詳解

(3)CH<CD<CB.垂線段最短

【分析】此題考查了作圖-平行線；作圖-垂線；線段的長短比較;

(1)根據(jù)作圖-平行線結(jié)合題意畫圖即可求解；

(2)根據(jù)作圖-垂線結(jié)合題意畫圖即可求解；

(3)根據(jù)線段的比較結(jié)合題意填空即可求解.

【小問1詳解】

解：如圖所示，E尸即為所求；

【小問2詳解】

解：如圖所示，CH即為所求;

故CH<CD<CB；垂線段最短.

19.如圖，N1=NACB,42=N3,求證：NBDC+NDGF=180。.

【正確答案】見解析

【分析】若證NBDC+NDGF=180。，則可證GF、CD兩直線平行，利用圖形結(jié)合已知條件能證

明.

【詳解】解：,./1=NACB,

.-.DEHBC,

.-.Z2=ZDCF.

,??z2=z3,

.*.z3=zDCF,

.-.CDIIFG,

.-.ZBDC+ZDGF=18O°.

20.從邊長為。的正方形中剪掉一個(gè)邊長為小的正方形（如圖1）,然后將剩余部分拼成一個(gè)長方

形（如圖2）,

圖2

（1）上述操作能驗(yàn)證的等式是一；（請選擇正確的一個(gè)）

a1-2ab+b2=(a-byf

A.

a1-b2=(a+b^(a-b^

B.

a2+ab=a(a+b)

C.

（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下題:

已知,一4/=12,x+2y=4,求x-2y的值.

【正確答案】（1）B（2）3

【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，運(yùn)用平方差公式計(jì)算，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是

正確解答的關(guān)鍵.

（1）分別用代數(shù)式表示圖1、圖2陰影部分的面積即可；

（2）令6=2了，根據(jù)（1）中的公式得到1—4/=（x+2y）（x—2了），再將

Y—4/=12,x+2y=4代入計(jì)算，即得答案.

【小問1詳解】

解：圖1陰影部分可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即力一^,拼成的圖2是長為。+6,寬為

”6的長方形，因此面積為（"'）（"以

a~—b=（a+-臺）

故選：B.

【小問2詳解】

解：根據(jù)（1）,令。=》，b=2y,

則--4y2=(x+2y)(x-2y),

當(dāng)工2_4,2=］2x+2y=4時(shí)］2=4(x—2y)

x-2y=3

21.［問題情境］

在綜合實(shí)踐課上，老師組織班上的同學(xué)開展了探究兩角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動，如圖1,己知

直線45〃CD,點(diǎn)￡、G分別為直線48、。上的點(diǎn)，點(diǎn)E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接

EF、GF

(1)當(dāng)/尸=60。時(shí)，求證：ZAEF+AFGC=60°;

［拓展探究］

(2)如圖2點(diǎn)0、。分別是直線0。上的點(diǎn)，且NPFQ=NEFG=9。。，直線MN〃FG，

交尸。于點(diǎn)K,“智勝小組，，探究NEKN與N尸尸￡之間的數(shù)量關(guān)系.請寫出它們的關(guān)系，并說明

理由.

【正確答案】(1)證明過程見詳解

(2)NFKN=NPFE,理由見詳解

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)如圖所示，過點(diǎn)、F作FH〃4B,可得AB〃BHCD,由平行線的性質(zhì)得到

NAEF=ZEFH,ZHFG=NFGC,根據(jù)ZEFH+ZFGH=ZEFG=60°,即可求解；

⑵沒NFKM=NNKQ=X,則/質(zhì)▽=180。_/曲=180。_》，根據(jù)平行線的性質(zhì),

角的和差關(guān)系得到NPFE=ZPFQ+NEFK=180°—x,由此即可求解.

【詳解】解：（1）證明：如圖所示，過點(diǎn)、F作FH〃4B,

.?.AB//CD,

,.?AB//FHCD，

?.?/AEF=4EFH,ZHFG=ZFGC，

.?"EFH+NFGH=ZEFG=60°,

ZAEF+ZFGC=60°.

(2)/FKN=/PFE,理由如下，

設(shè)ZFKM=ZNKQ=x

,.,NFKN=180°—NFKM=180°—x，

.?.MN//FG,

,.,ZFKM=ZGFK=x，

.?.ZPFQ=NEFG=90°9

?.?ZEFK=NEFG-ZGFK=90°-x，

,ZPFE=ZPFQ+ZEFK=180°-x

?.?ZFKN=/PFE?

22.【背景閱讀】在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)?？梢岳脠D形的面積關(guān)系理解代數(shù)公式，使抽象的

數(shù)量關(guān)系直觀化.

【問題解決】

(1)填空：根據(jù)圖1所示圖形的面積關(guān)系，可以寫出的一個(gè)乘法公式是;

(2)如果圖2中陰影部分的面積為25,一個(gè)小長方形的面積為14,求6的值;

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,有兩個(gè)正方形A,B,現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得到圖甲，將A,B并列放置后構(gòu)造

新的正方形得到圖乙.設(shè)正方形A的邊長為x.正方形B的邊長為y(x〉〉〉°),且圖甲和圖

乙中陰影部分的面積分別為4和30.現(xiàn)將三個(gè)正方形A和兩個(gè)正方形B如圖丙擺放，求圖丙中

陰影部分的面積.

(4)G-300)(200—x)=1996時(shí),求(2x-5007的值.

【正確答案】⑴("+')=4+2"+/；⑵a+A=9；⑶76；(4)2016

【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵.

(1)從“整體”和“部分”兩個(gè)方面分別用代數(shù)式表示圖1的面積即可；

⑵根據(jù)圖2可得("+A)=("6)+4叫再將(口-人)=25,仍=14代入計(jì)算即可；

(3)由圖甲和乙中陰影部分的面積分別為4和30得到(x—了)=4,孫=15,求得x—>=2,

X+N=8,再根據(jù)S陰影部分=^2-y2+4初代入計(jì)算即可；

(4)根據(jù)("+A)=("')+4仍求解即可.

【詳解】解：(1)圖1中大正方形的邊長為6，因此面積為("+’),

拼成圖1的四個(gè)部分的面積和為/+2必+〃,

所以有("+')—Q2+2ab+b2

故("6)2—Q2+2ab+廿

（2）圖2中，大正方形的邊長為。+6,因此面積為（"+'）,

陰影部分是邊長為a的正方形，因此面積為（°一"），四個(gè)空白長方形的面積和為4碗,

(a+by=(a-+4ab

所以有

???圖2中陰影部分的面積為25,一個(gè)小長方形的面積為14,

.("')=25ab=14

.(a+城=25+56=81

...a>6〉0

?..a+b=9；

（3）?.?圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為4和30,即（X—?。?/p>

夕

(X+4—%2_2_2Xy_30

(x+yJ=(%-y)2+4xy=4+60=64xv=15

t.x>y>0

.x-y=2x+y=8

(22

...s圖丙陰影部分=2x+yy-3x-2y

=4x2+4xy+y2-3x2-2y2

=x2-y2+4xy

=G+y)(x_y)+4肛

=8x2+60

=16+60

=76.

(4)設(shè)a=x—300,b=200—x

由⑵知，(。+4=("4+4必，

(2x-500)2=[(x-300)-(200-x)]2

=[(x-300)+(200-X)]2-4(X-300)(200-x)

=(-100)2-4x1996

=2016.

23.已知，4B〃DE,點(diǎn)、c在4B上方,連接8。、CD

（1）如圖1,若448c=145°,ZEDC=U6°t求NBC。的度數(shù)；

（2）如圖2,過點(diǎn)?作WB。交的延長線于點(diǎn)F,寫出/4sC和NE之間的數(shù)量關(guān)系;

（3）如圖3,在（2）的條件下，NCED的平分線尸G交C。于點(diǎn)G,連接G8并延長至點(diǎn)H,

若BH平分N4BC,求NBGQ—NCG尸的值.

【正確答案】⑴48=29。

（2）ZABC-ZF^90°

（3）NBGD—/CGF=45。

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，垂線，解答的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，分