空間向量與立體幾何高頻考點(diǎn)歸納練

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考模擬預(yù)測

一、單選題

1.已知A3為圓錐尸。的底面直徑，0為底面圓心，正三角形ACD內(nèi)接于O,若尸A=6,圓錐的側(cè)

面積為12缶，則以與所成角的余弦值為（）

A.—B.占C.@D.克

6453

2.已知棱長為6#的正四面體與一個球相交，球與正四面體的每個面所在平面的交線都為一個面積

為9兀的圓，則該球的表面積為（）

A.48兀B.72兀C.9671D.128兀

3.底面半徑為3的圓錐被平行底面的平面所截，截去一個底面半徑為1、高為1的圓錐，所得圓臺

的體積為（）

2638

A.—7TB.—兀C.13兀D.26兀

33

4.象牙鏤雕套球又稱“同心球”，制作相當(dāng)繁復(fù)，工藝要求極高.據(jù)《格古要論》記載，早在宋代就已

出現(xiàn)3層套球，時稱“鬼工球”.某象牙鏤雕套球的直徑為12cm,其表面的圓形孔的直徑均為4cm,記

其中兩個圓形孔的圓心為。K。2,如圖所示，若O02=6cm,則圓。?與圓。,所在平面的夾角的正弦值

為（）

5.一個圓錐被平行于底面的平面所截，上下兩個幾何體的側(cè)面積之比為1:1,則上下兩個幾何體的體

積之比為（）

A.1:8B.1:7C.1:272D.1：僅應(yīng)-1）

6.一個密閉的長方體盒子高為4,底面是邊長為2的正方形，盒內(nèi)有一個半徑為1的小球，若將盒

子任意翻動，則小球不能到達(dá)區(qū)域的體積是（）

IQ8

A.16—4JIB.16------7iC.16—71D.16—2兀

33

7.折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史.如圖所示的某折扇扇面可視為一個圓

臺的側(cè)面展開圖，該扇面的面積為150兀元，若該圓臺上、下底面半徑分別為5,10,則該圓臺的體積

為（）

C.875扃D.875扃

3

8.已知正方體的棱長為1,點(diǎn)尸在正方體的內(nèi)切球表面上運(yùn)動，且滿足2P〃平面

ABC],則AP的最小值為（）

A.逅B.走C.且D.如

6622

9.在三棱錐P-ABC中，VABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，且BC=2&，PA=PB=5

點(diǎn)尸在底面ABC內(nèi)的射影E在VABC的外部，且尸E=石，則該三棱錐外接球的表面積為（）

49K49兀-50?！?0兀

A.-----B.-----C.D.

9339

二、多選題

10.如圖，在四面體RWC中，PABsPBC,ZAP5=30°,PA±AB,ABLBC,AB=1,D,E,F

分別為棱尸APB,PC上的動點(diǎn)，則（）

C.CE+DE的最小值為2D.二面角B4—c的余弦值為叵

14

11.如圖，四棱錐S-ABCD的外接球球心為點(diǎn)O,且底面"CD為正方形，川，平面

488,48="5。=2耳.若點(diǎn)加為5￡＞上靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P,。分別為線段SC與平面

上的點(diǎn)，則PM+PQ最小時，下列說法正確的是（）

s

M

I.--...........

A.OMLSC

B.點(diǎn)尸為線段SC的中點(diǎn)

C.平面MP。截四棱錐S-ABCD所得的截面是直角梯形

D.三棱錐S-40。的體積為逅

3

12.六氟化硫（SF6）分子結(jié)構(gòu)為正八面體（可看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一

起的幾何體）.如圖，正八面體E-ABCD-b的棱長為。，下列說法中正確的有（）

A.異面直線AE與8尸所成的角為45°

B.此八面體的外接球與內(nèi)切球的體積之比為3石

C.若點(diǎn)P為棱上的動點(diǎn)，則AP+CP的最小值為26a

D.若點(diǎn)。為四邊形ABCD的中心，點(diǎn)。為此八面體表面上動點(diǎn)，且=則動點(diǎn)。的軌跡

長度為亞頌

3

三、填空題

13.已知圓錐的母線長為2,其側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為.

14.臺球是球類運(yùn)動項目之一，是運(yùn)動員在臺球桌上，用一根長的球桿，按照一定的規(guī)則，通過擊打

白色主球，使目標(biāo)球入袋的一項體育休閑項目.如圖，三角架內(nèi)有15個大小相同的球，且球與球，球

與三角架均相切.若三角架為邊長是34.2cm的等邊三角形，則球的半徑為cm.（取道=1.7）

15.已知正四棱錐P-ABCD的所有棱長均為4,點(diǎn)E為尸3中點(diǎn)，點(diǎn)P在尸C上，F(xiàn)C=3PF,點(diǎn)、G為

AD中點(diǎn)，則平面EFG截正四棱錐P—ABCD所得的截面周長為.

16.圖1所示幾何體是一個星形正多面體，稱為星形十二面體，是由6對（12個）平行五角星面組成

的，每對平行五角星面角度關(guān)系如圖2所示.一個星形十二面體有個星芒（凸起的正五棱

錐），將所有的星芒沿其底面削去后所得幾何體和星形十二面體的表面積之比是.（參考

數(shù)據(jù)：tan218=1一還）

5

17.如圖，三棱柱ABC-A耳G的所有棱長都為2,44C=60。，”是AA的中點(diǎn)，Aq±BM.

（1）證明：平面ACGA_L平面ABC；

（2）求C用與平面AB耳4所成角的正弦值.

18.如圖，在三棱柱中，平面48耳A，平面ABC，平面。8月6，平面ABC.

⑴求證：24,平面ABC；

(2)若ABLBC,AB=1,BC=CG=2,求二面角。一人臺一。1的余弦值.

19.如圖，四棱錐尸-ABCD的底面為矩形，是邊長為2的等邊三角形，BCf，點(diǎn)、E為CD

的中點(diǎn)，點(diǎn)M為PE上一點(diǎn)(與點(diǎn)尸,“不重合)，且

(1)記平面24￡)門平面尸3。=/,求證：ADI-

(2)求證：平面PCD1,平面ABCD；

⑶若直線AM與平面3DW所成的角為30。，求AM的長.

20.如圖①，已知正方形ABC。的邊長為4,瓦尸分別為AD,3c的中點(diǎn)，沿所將四邊形EFCD折起,

如圖②，使二面角A-EF-C的大小為60。，M在線段A3上，直線板與直線E4的交點(diǎn)為。.

⑴若M為A3的中點(diǎn)，證明：平面EMC；

(2)當(dāng)40=1時，求直線OE與平面EMC所成角的余弦值.

參考答案

1.A

先求出圓錐的底面半徑和8。，過點(diǎn)A作AE〃即交。O的延長線于點(diǎn)E,44E為以與8。所成角,

由余弦定理求解即可.

設(shè)圓錐的底面半徑為「，母線長為/,

因為PA=6,所以/=PA=6,

所以S=nrl=6無廠=12071,所以廠=2夜，

所以O(shè)A=O3=OC=OD=20，又正三角形ACD內(nèi)接于。，

Ar1

所以2r=4&'=."，解得:AC=2面,所以AC=CO=AD=2",

sin60

所以8。=>jAB2-AD2=J卜可-僅佝2=272,

過點(diǎn)A作AE//3D交DO的延長線于點(diǎn)E,BD=AE=2近,

所以與3。所成角即為PA與AE所成角或其補(bǔ)角，

所以NR4E為叢與所成角，PA=PE=6,

由余弦定理可得：cos/PAE-PA-PJ62+（20）-62二也.

2PAAE262及6

故選：A.

根據(jù)正弦定理可得外接圓半徑，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可得四面體的高，即可根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合勾股定

理求解半徑得解.

由對稱性，可知球心與正四面體重心重合，

由于球與正四面體的每個面所在平面的交線都為一個面積為9兀的圓，故每個面的交線為半徑為3的

圓.

設(shè)球心為0,"為△BCD的中心，則AB=6"，故==6及，故AH=JAB?_㈤=]2

2sin60

L-^A-BCDISBCDHA

n~1=—HA=3

設(shè)球心到任意面的距離為h,則由等體積法可得4SACD4

§x4SACD

故連接球心與任意面中心，則連線長為3,且連線垂直該面，再連交線圓上一點(diǎn)與球心（即為球的半

徑），由勾股定理得球的半徑為3底，則表面積為4兀.卜及了=72兀.

故選：B.

3.A

根據(jù)相似可得原圓錐的高，進(jìn)而利用圓錐的體積公式即可求解.

由已知，設(shè)原圓錐的高為〃，則:=:，所以/i=3,

h3

1jr1

因為%、圓錐=-Jtxl2xl=-,除圓錐=-jrx32x3=97t,

所以%怡=97r'=m兀.

故選：A.

4.C

由球的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合余弦定理即可求解;

記該象牙鏤雕套球的球心為。，圓。］與圓。2所在平面的夾角即為（或其補(bǔ)角），

22

OO}=OO2=V6-2=4A/2.

br/八OO：+OO；—7

所以儂/?！恪?=2。?！?

16,

23A/23

所以sin/qOR=^/1-cos^OtOO2=

16

故選：C

5.D

由圓錐側(cè)面積公式及體積公式即可求解.

根據(jù)定義知上、下兩個幾何體分別為小圓錐和圓臺，設(shè)小圓錐的高為用,底面半徑為所以母線長

為病可

原圓錐的高為心底面半徑為「，所以母線長為獷彳

由小圓錐的側(cè)面積為：跖V，大圓錐的側(cè)面積為：戶，

上下兩個幾何體的側(cè)面積之比為1：1,

所以叫W彳+不=4,又由相似易得:二=左

rh

所以得￡=;,即九：九=1:血，

所以小圓錐和原圓錐的體積比^——=’廠，

%/720

3

所以小圓錐和圓臺的體積之比為1：（2虛-1）.

故選：D.

6.B

根據(jù)空間想象得出小球不能達(dá)到的空間，利用空間幾何體的體積公式計算即可.

小球在長方體盒子自由滾動當(dāng)與長方體三面相切時，

即在正方體的8個頂點(diǎn)處的單位立方體空間內(nèi)，

不能達(dá)至IJ的空間為8、[13一9*金*兀、13]=8—萼，

此后當(dāng)小球移動時與長方體的側(cè)面兩面相切，

其不能達(dá)到的空間為以長方體的側(cè)棱中間長為2的棱為棱柱減去底面半徑為1的圓柱的四分之一體積

（這樣的空間有四個），體積為4X112X2-：X7IXFX2]=8-2TI,

4無10

故小球達(dá)不到的空間體積為：V=8-y+8-27t=16-y7t.

故選：B

7.C

根據(jù)已知分別求出上下底面面積，最后由圓臺的體積計算公式.

々=5,4=10,圓臺的側(cè)面積為1507r=亦（/+幻/=兀（5+10）/,母線長/=10.

圓臺的高/z=J102—52=5』,

22

則圓臺上下底面面積為工=7rx5=25n,52=7rxl0=100n,

由圓臺的體積計算公式可得：V=：（S[++S2）x/z=1x17571x=咨國.

故選：C.

根據(jù)平面DAC//平面ABG可得點(diǎn)P的軌跡是平面，AC與正方體內(nèi)切球的交線，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置

關(guān)系可求得AP的最小值.

由題意得，正方體內(nèi)切球的球心為正方體的中心，記為點(diǎn)。，內(nèi)切球半徑r=g.

■:ADJIBG，AD[<z平面ABC-8(7]匚平面48(7],

A。//平面同理可得AC//平面A^G，

???AR,ACu平面RAC,ADXAC=A,平面^AC//平面人86，

?.?。田〃平面48^,；.〃/匚平面口4(7,故點(diǎn)P的軌跡是平面RAC與正方體內(nèi)切球的交線，此交

如圖，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1,O,O),C(O,1,O),R(0,0,1),

AAC=(-1,1,0),9=(-1,0』)，AO=[m]

r/、AC-n=-x+y=0

設(shè)平面RAC的法向量為〃=(x,y,z),貝l]',

ADX-n=-x+z=0

令尤=1,則y=z=l,故”=(1,1,1),

???點(diǎn)。到平面D.AC的距離為U一1，

H一6一6

.??圓?！康陌霃綖閝=V7匚?=屑_囹=

"?！?加力=宿Y）2=導(dǎo)

??.AP的最小值為逅-"=".

366

9.B

由題設(shè)，知AB=AC=2且AB1AC,FE_L底面A3C,

若。是A3的中點(diǎn)，而PA=P8=6，則尸口=2,且尸_D_LAB,

而ABu底面ABC,則尸EJ_AB,PDcPE=2都在平面PZ把內(nèi)，則A5_L平面PDE,

由DEu平面PDE,則AB_LDE,又。Eu底面A5C,則OE//AC,

由「￡=百，則DE=Jr。，一PE?=1，即。E=；AC,

由點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影E在VABC的外部，則E在A3邊的外側(cè)，如下圖，

若E在的另一側(cè)，則E必與BC的中點(diǎn)尸重合，不合題設(shè)，

由題意，該三棱錐外接球的球心0在過BC的中點(diǎn)廠垂直于平面ABC的直線上，

P

根據(jù)幾何關(guān)系有OB=OP,則BF-+OF2=EF-+(PE-OF?,

所以（應(yīng)＞+。產(chǎn)=2?+（道-OF）?,可得。尸=治，

(BF2+OF2=EF2+(PE+OF)20t,2+。下？=4+(3+0?)?不成立)，

所以，外接球半徑乙則，=2+0尸=后，故其表面積4兀產(chǎn)==-

故選：B

10.BC

先由線面垂直的判定定理證明5。_L平面再由棱錐的體積公式可得B正確；由線面垂直的判定

定理得到以，平面A5C,從而得到二面角的平面角，再由幾何關(guān)系計算可得D錯誤；將側(cè)面尸3c翻

折至點(diǎn)C與平面R4B共面，分別得到AE+EF的最小值為M和CE+DE的最小值為卬，由解三角

形即得A錯誤，C正確.

對于B,因為PA±AB,所以

又AB_L3C,ABcPB=B,平面R4B,所以3CJ_平面R4B.

PAPB2

因為NAPN=30。，AB=1,所以P4=g,PB=2,BC

AD￡>C7二

]]21

所以四面體R4JBC的體積為ix^xlx石x國=§,故B正確；

對于D,由3C_L平面B4u平面B4B,得3C_LR4,

又B4_LAB,ABcBC=B,A2,BCu平面ABC,所以PA_L平面ABC,

又ACu平面ABC,則P4LAC,所以NA4c為二面角3—R4-C的平面角,

2---------------

因為BC=[|,ABA.BC,所以AC=A/AB2+BC2=

所以COS/BAC=K^「程，故D錯誤;

AC

對于A、C,將側(cè)面P8C翻折至點(diǎn)C與平面R4B共面，如圖所示,

過點(diǎn)A作A耳，PC于點(diǎn)F,,過點(diǎn)C作CD,±PA于點(diǎn)Dt,

則AE+EF的最小值為A耳=APsinZAPC=73sin60°=1,CE+DE的最小值為

4

CD=PCsinNAPC=sin60°=2故A錯誤，C正確.

故選：BC.

11.AC

對于A,連接AC,如下圖:

s

M

B*--------------X

因為&4_L平面A3CD,且BC,CD,ACu平面A3C￡),

所以&4_LAC,SArBC,SA1CD,

因為在正方形A5CD中，BC±AB,且ABSA=A,

所以3c，平面因為SBu平面5AB,所以3C_LS3,

同理可得COLDS,

因為5c為Rt.&4B,RtSAC,RtSW的斜邊，

所以留的中點(diǎn)到AB,C,D,S的距離都等于SC的一半，

則球心。就是5c的中點(diǎn)，如下圖：

在正方形ABCZ)中，AC=0AB=正,

在RtZ\&4C中，SATSC-AC、5

在Rt-SAD中，SD=dsA+AD2=3,

則SO」SC=GSM=-SD=2,

23

由白馬=/，則易知SOMSDC,則/SOM=NSZ)C=90,

故A正確；

對于B,由Qe平面必18,則當(dāng)尸Q1平面5AB時，尸。最短，

因為3CL平面&4B,所以尸Q//BC,

因為尸eSC,且SC,2Cu平面SBC,所以PQu平面SBC,

將￡>,M繞SC旋轉(zhuǎn)到，”的位置，使得，M'e平面SBC,

在平面SBC中，過V作MNUS3,垂足為N',如下圖：

易知RM=RI，，CD=CD',由圖可知MA+PQZMM,

在正方形ABCD中，由A8=若，則8C=C￡>=g,

Be1

在RtASBC中，sinNBSC=----=—,則X,BSC=30,

SC2

易知Rt_S3c三Rt_S"C,所以/BSD'=60,SB=SD',

211

在RtSMN'中，SN'=SM'cosZBSD'=-SD'-=-SB,

323

易知P為SC的三等分點(diǎn)，如下圖：

故B錯誤；

對于C,由B可知PQ//3C,易知PQ//AD,

在，SW中，過M作交SA于N,連接NQ,如下圖:

因為3C_L平面S4B,所以尸。/平面

因為QNu平面&4S,所以尸QLQN,故C正確;

對于D,由題意可作圖如下：

s

由C易知MN，平面必LB,由卷=；,則1理=:，

SB3bBSA3

在RtAS3c中，SBASC-BC?=3,

因為SA_L平面ABC￡>,45u平面ABCD,所以&4_LAB,

22,

在Rt.SAB中，SA=A/SB—AB=^6SSAB=-,SA-AB=~~~,

所以三棱錐的體積故錯誤.

s-AM。V=-3-MN-SSA0=^9~,D

故選：AC.

12.BD

利用等角定理即可判斷A,再利用內(nèi)切圓和外接圓的性質(zhì)求的白，麻，可判斷B,利用展開圖可得最

小值為菱形的對角線可判斷C,由=￡可得軌跡為正八面體與半徑為|■的球的交線，可求出其一

個面的長度，再由對稱性可求出軌跡的總長.

對于A,由正八面體的結(jié)構(gòu)特征可得，BFDE,所以異面直線AE與所成的角為60。，A錯誤;

對于B,根據(jù)對稱性易得其外接球與內(nèi)切球的球心為其中心，所以除=*八3,內(nèi)切球切點(diǎn)在

面的中線EG上，

a-yIla

由等面積法可得G=；~~/==器"

且在四邊形EGFH中,則

心6

22

E

對于C,因為A-班-C的展開圖為一個角為60。的菱形，對角線AC即為AP+PC的最小值，此時

AC=6a，C錯誤；

對于D,因為。到各棱的距離都等于1,則點(diǎn)Q在各面的軌跡恰好為各個面的內(nèi)切圓,記其半徑為％,

因為ADE為等邊三角形，

所以d品二盤'所以在一個面的軌跡長度為2口,=2兀盤=字,

所以在八個面內(nèi)的軌跡長度之和為述河，D正確.

3

故選：BD

13.叵

3

由條件求解底面半徑和圓錐的高，即可求得圓錐的體積.

設(shè)底面半徑為r,由題意可知2萬廠=萬><2,解得：r=l,

圓錐的高％=萬#=6，

所以圓錐的體積丫=叵.

33

故答案為：巫

3

14.3

根據(jù)球與球、球與三角架均相切這些特征構(gòu)建平面圖形，利用平面幾何中直線與圓相切并結(jié)合等邊三

角形得到球的半徑與三角架邊長之間的關(guān)系，即可求得半徑.

可構(gòu)建如圖所示的平面圖形,

A、B

設(shè)球的半徑為『，則3七="，

34.2

所以AC=8r+26廠=34.2,解得

8+2指

故答案為：3.

15.4+2夜+2君

延長FE與CB的延長線交于點(diǎn)H,連接用與AB交于點(diǎn)L,延長形與C。的延長線交于點(diǎn)M,連接

FM與PD交于點(diǎn)、N,則平面EFG截正四棱錐尸-ABCD所得的截面為五邊形血GV,即可求解.

延長FE與CB的延長線交于點(diǎn)連接龍與AB交于點(diǎn)L,延長"7與C。的延長線交于點(diǎn)“，連接

FM與PD交于點(diǎn)N,

則平面MG截正四棱錐所得的截面為五邊形血GV,

如圖所示：

易知|皮|=|NG|=2,|LG|=2&,

閥=回|=PF|2+1P￡|2-21PF|?|PE\COS60=^l+4-2xlx2x1=73,

所以五邊形FELGV的周長為4+2忘+2石.

故答案為：4+2^+2A/3

16.121:V5

結(jié)合圖形可判斷出星芒的個數(shù)；將每個正五棱錐沿著側(cè)面展開與底面在同一個平面上，形成一個正五

角星，計算出正五棱錐側(cè)面積和底面積之比即可.

由圖可知，每個星形十二面體有12個星芒，

將每個正五棱錐沿著側(cè)面展開與底面在同一個平面上，形成一個正五角星，

則這個正五角星的五個頂點(diǎn)在圓。上，連接。4,則。4垂直平分BC,設(shè)Q4c3C=E,

正五棱錐的側(cè)面積等于5S“BC，底面積等于5sMBC，

正五邊形的每個內(nèi)角為=108,則ZABC=NACB=72,故NBAC=36,

則NO8C=NOCB=；xl08=54,所以，ZBOE=36,NBAE=18,

RFTY!

設(shè)3E=根，則一=tanl8,貝！JAE=--------,

AEtan18

BFTV

—=tan36,貝!JOE=—

OEtan36

所以，將所有的星芒沿其底面削去后所得幾何體和星形十二面體的表面積之比為

m

2

60SAC)BC_S^OBC_BC-OE_OE_tan35_tan18_tan18_1-tan18_45

605AAscSAAgcBC?AEAEmtan362tanl825

tan181-tan218

故答案為：12；1:石.

17.(1)證明見解析

(1)取AC的中點(diǎn)。，得到。M//A。，證得再由利用線面垂直的判定定

理，證得AC1，平面5OM,得到結(jié)合ACLQ5,證得平面4?。小，進(jìn)而證得平面

(2)連接A。，證得4。，平面A3C,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面人5旦4的

一個法向量為〃=(1,-括」)和向量C4=(6,0,6)，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

(1)證明：取AC的中點(diǎn)0,連接OB,OM，4C,

因為M是AA的中點(diǎn)，所以。M//AC，

又因為三棱柱ABC-A4C的所有棱長都是2,

所以四邊形ACGA為菱形，所以AG，AC,所以AG^OM，

因為AC]_LBM,且OMBM=M,u平面,所以AC；J■平面,

又因為O3u平面BOM,所以AG^OB,

在等邊VABC中，因為。為AC的中點(diǎn)，所以ACLO3,

又因為ACcA￡=A,且AC,AC】u平面ACC】A，所以03,平面ACC0,

因為QBu平面ABC,所以平面ACGA，平面ABC.

（2）解：連接A0,因為三棱柱ABC-Aqq的所有棱長都為2,且NAAC=60。,

可得△A4C為等邊三角形，且。為AC的中點(diǎn)，所以AQLAC,

由（1）知：平面ACG4J■平面A3C,平面ACG4平面ABC=AC,

且4。＜=平面ACGA，所以A。，平面ABC,

所以。2,0C,0A兩兩垂直，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。氏。。，。4所在的直線分別為X軸，y軸和z軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則0(0,0,0),B莊,0,0),4(0,—1,0),A(0,0,6),G(0,2,g),c(o,1,0),

所以AB=(/,1,0),A4,=(0,1,也),

n?AB=sfix+y=0

設(shè)平面AS耳A的法向量為〃二（元,y,z）,則＜

n-AAX=y+近z=0

取犬=1,可得y=-若,z=l,所以孔=（1，一6,1）,

因為M=CB+CG=（后,—1,0）+（0,1,5=（瓜0,73）,

設(shè)CBt與平面ABB}At所成的角為6,則sin0=卜。5卜,Cfi"=

所以CB、與平面ABB,A,所成的角的正弦值為乎.

18.（1）證明見解析

⑵典.

6

（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面ABBH，進(jìn)而可得。E,瓦"同理得耳，即可利用

線面垂直的判定求解，

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，即可利用法向量的夾角求解.

(1)如圖，取。為VABC內(nèi)一點(diǎn)，作OELAB,交A3于點(diǎn)E,作ObLBC,交BC于點(diǎn)、F.

因為平面ABAA_L平面ABC且平面ABB】A「平面ABC=AB,OEu平面ABC,

所以O(shè)EJ_平面ABBiA.

因為B4u平面

所以O(shè)ELB耳，同理得。尸1.84.

因為OEcO尸=O,且0E,。尸u平面ABC,

所以8用_L平面ABC.

(2)因為3C,BA,Bq兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

由題意，得3（0,0，。），C（2,0,0）,4（0,1,2）,G（2,0,2）,

則3c=（2,0,0）,網(wǎng)=（O，L2），3cl=（2,0,2）,AG=（2,-l,0）.

.BC—2x—0

設(shè)平面ABC的法向量為m=a，x，zj,貝"r'

m-B\=%+2zi=0,

令1-I,則％=2,=0,所以m=（0,2,-1）.

n?BC[=2X2+2Z2=0,

設(shè)平面ABC的法向量為九=（x2,y2,z2）,則＜

n?AG=2X2-y2=0,

令無2=1，貝!1%=2,Z2=-l,所以”=

m'n\5V30

設(shè)二面角C-AB-G的平面角為6,則由圖可得cose=|cosnt，T=

|戊卜同A/5x766

故二面角c-43-G的余弦值為典.

6

19.(1)證明見解析

(2)證明見解析

（3）AAf=2

(1)因為底面ABCZ)為矩形,

所以AD〃BC.

又因為面RBC,BCu面P8C,

所以AD〃面P8C.

又因為ADu面PAD,面PADc面PBC=/,

所以AOI.

(2)因為三角形尸CD是等邊三角形，且E是DC的中點(diǎn)，

所以PEJ_CD.

AnAR-

如圖1,連接AE,在矩形A5CD中