江蘇省常州市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)

檢測(cè)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的。

1.已知4B=(5,5),力(2,3),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()

A.(8,7)B.(—2,—2)C.(7,8)D.(2,2)

2.已知cosx=p則cos2x的值為()

A_2_Bc-

,25-t.5D?套

3.已知向量元=(久一5,7)/=(居一2),則“無(wú)=7”是“益1b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4已知同=2,b=(73,3),N在右上的投影向量為則為與書(shū)的夾角為()

A

A-T57r

C洞要D-z

5.設(shè)a=2"啜,b=—sinl0°4-^-coslO0,c=上等紋，則有(

1—tan42022)

A.b<c<aB.a<b<cC.c<b<aD.a<c<b

6.已知cos(a-7)+sina=^y/~3,則sin(a-")的值是(

656

2

A^3等4_4

A--—B.c?

7.已知圓O的半徑為13,PQ和MN是圓O的兩條動(dòng)弦，若|麗|=10,|而|

的最大值是()

A.17

B.20

C.34

D.48

8.已知函數(shù)/(%)=2sinx+3cosx在％=w處取得最大值,則cos2(p=(

A3/13

A.-----7

13B?察

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)

的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.下列化簡(jiǎn)正確的是（）

11

A.cos82°sin52°—sin82°cos52°=-B.sml5°sm30°sm75°=-

24

Ctan48°+tan72°_/-2

D.cos215°-sin215°=—

?l-tan480tan7202

10.下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（）

A.^a-c=b-cMc0,則方=3

B.在△4BC中，若而=：適+[就，則點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)

C.己知五，石均為非零向量，若叵+固=何—石則

D.在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，若嵩+^=A1萬(wàn)，則前是瓦?在加上的投影向量

11.如圖，“六芒星”是由兩個(gè)全等正三角形組成，中心重合于點(diǎn)O且三組對(duì)邊分別平行，點(diǎn)A,

B是“六芒星”（如圖）的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），若加=+y礪,

則x+y的取值可能是（）

圖2六芒星

B.1C.5D.9

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知s,0+cos0=[且上"半，則cos20的值是.

13.平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD邊中點(diǎn)，布=2品，點(diǎn)M在線段EF（不包括端點(diǎn)）上，若前=

xAB+yAD,則工+白的最小值為

xy

14.已知函數(shù)/（x）=sin2y+1sinto%-|（a>>0,xGR）,若/（x）在區(qū)間（兀,2兀）內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，3的取

值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題13分）

已知］<a<n,sina—

(1)分別求tcma,s譏(a+g)的值；

(2)若角0終邊上一點(diǎn)P(7,l),求tan(2a+0)的值.

16.(本小題15分)

如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B,E,F分別為AC,AD的三等分點(diǎn)，且分

別靠近A,D兩點(diǎn)，設(shè)荏=灑AC^b.

(2)證明：B,E,F三點(diǎn)共線.

17.(本小題15分)

如圖,在菱形ABCD中，4B=4,4BAD=6(r,E,F分別是邊AB,BC上的點(diǎn)，且荏=EB,BF=3FC,

連接ED、AF,交點(diǎn)為G.

(1)設(shè)方=t方，求t的值；

(2)求NEGF的余弦值.

18.(本小題15分)

如圖，有一塊扇形草地OMN,已知半徑為R,乙MON=3現(xiàn)要在其中圈出一塊矩形場(chǎng)地ABCD

作為兒童樂(lè)園使用，其中點(diǎn)A、B在弧MN上，且線段AB平行于線段MN

(1)若點(diǎn)A為弧MN的一個(gè)三等分點(diǎn)，求矩形ABCD的面積S；

(2)當(dāng)A在何處時(shí)，矩形ABCD的面積S最大？最大值為多少？

0

19.(本小題19分)

已知86[0,兀),向量五=(cos8,s譏8),b=(1,0),P2,P3是坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)，使得西=

2[函—0?西)田，西=2[西一(京西)向.

⑴若8=5Pi的坐標(biāo)為(20,21),求西;

(2)若"與，|西|=6,求|西|的最大值；

(3)若存在ae[0,兀)，使得當(dāng)西=(cosa,sMa)時(shí)，△P1P2P3為等邊三角形，求。的所有可能值.

答案和解析

1.【正確答案】C

解：???麗=礪一夜=話一(2,3)=(5,5),

0B=(7,8),

8(7,8).

故選：C.

根據(jù)荏=話-示即可求出向量曲的坐標(biāo)，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo).

本題考查了向量減法的幾何意義，向量坐標(biāo)的加法和減法運(yùn)算，起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量坐標(biāo)和該向量

終點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【正確答案】D

解：Vcosx=p

47

???cos2x-2cos2x-1=2x(-)2—1=—.

故選：D.

由已知直接利用二倍角的余弦求解.

本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

3.【正確答案】A

【分析】

本題考查充分不必要條件的判斷，空間向量垂直的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)充分不必要條件的定義判斷即可.

解：若x=7,則N=2X7+7x(—2)=0,即N，灰

若五1b,則x(x-5)-14=0,

即(久一7)(久+2)=0,

解得x=7或久-2.

故“久=7”是“五1%”的充分不必要條件.

故選：A.

4.【正確答案】D

【分析】

本題考查平面向量數(shù)量積性質(zhì)及運(yùn)算、向量夾角算法，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

設(shè)為與另的夾角為。，由心在右上的投影向量為同cos。?高=g反再結(jié)合已知可解決此題.

解：設(shè),與石的夾角為仇

由日在3上的投影向量為國(guó)cos。-4=1b,

故選D.

5.【正確答案】C

解：由于a=2tan］。=-0。,b=—sinl0°+1cosl0°=sin(30°+10°)=sin40°,c=

1-tanz2022

Il+cosl40°Il—cos40°.n八。

由于tan40°>sin40°>sin20°f

故a>b>c.

故選：C.

直接利用倍角公式的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，倍角公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

6.【正確答案】D

角々刀牛：???cos(Ca——兀、)+Isi.na=—Ccosa+I-3si.na—4V~3

6225

1/3.4

???-cosaH1-----sina=

225

57r5TT57r1V-34

???sin(a———)=sinacos——cosasin—=—(—cosa+——sina)

666225

故選：D.

利用兩角和公式展開(kāi)后求得］osa+亨s譏a的值，進(jìn)而兩角差的正弦公式展開(kāi)，把(cosa+亨sina

的值代入求得答案.

本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)和誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)求值.考查了考生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)

綜合掌握，屬于基礎(chǔ)題.

7.【正確答案】C

解：已知圓。的半徑為13,PQ和MN是圓0的兩條動(dòng)弦，且|所|=

M

\MN\=24,

設(shè)O是圓的圓心，連接MO,OP,ON,作PQ1OE,MN1OD,垂足分別為E,D,

則E,D分別是QP,MN的中點(diǎn)，

由勾股定理得OE=7132-52=12,OD=V132-122=5,

又由+QN^OM-OP+ON-OQ

=(0M+ON)~(OP+OQ)=2(OD-OE),

故|兩+而|=2\OD-OE\<2(|0D|+|麗I)=34,當(dāng)爐,前反向時(shí)等號(hào)成立，

所以|兩+麗|的最大值是34.

故選：C.

利用向量的線性運(yùn)算、絕對(duì)值三角不等式、垂徑定理等知識(shí)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

本題考查了垂徑定理，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及絕對(duì)值三角不等式，屬中檔題.

8.【正確答案】D

解：已知函數(shù)/'(%)=2sinx+3cosx,

則f(久)=V13sin(x+a),其中tana=|,

當(dāng)x+a=2/OT+],keZ時(shí)，函數(shù)/'(x)取最大值，

即9=久=2/OT+]—a,k&Z,

mic/c、csirra-cos^atan^a—15

貝Ucos2(p=eosin—2a)=—cos2a=-----廠=—---=——

*'7sin2a+cos2atan2a+l13

故選：D.

首先利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)

算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【正確答案】CD

解：???cos82°sin52°-sin82°cos52°=sin8°sin52°-cos80cos52°=一cos(8°+52°)=-g,故A

不對(duì)；

vsinl5-sin30°sin75°=L譏15°cosl5°=-sin30°=工，故B不對(duì);

248

tan48*an72：=1加(48。+72°)=tanl200=一tan60°=一73,故C正確;

1—tan48tan72

vcos215°—sin215°=cos30°=噂，故D正確,

故選：CD.

由題意利用兩角和差的三角公式，誘導(dǎo)公式、二倍角公式，求出結(jié)果.

本題主要考查兩角和差的三角公式，誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

10.【正確答案】BCD

一A

解：對(duì)于A選項(xiàng)：設(shè)N=(1,0),6=(0,1)7=(1,1),yN

則3?E=九乙且表46,但力大由故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；/I

對(duì)于B選項(xiàng)：在△ABC中，若詬=g荏+［前，B乙-------古------

因?yàn)辂?刀+而，且詬=g荏+g尼，

所以荏+麗=工荏+工前今工荏+麗=工前今工荏+麗^-(BC-BA)=-^C+-AB,

222222、722

所以麗=1同，即點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)：已知優(yōu)石均為非零向量，若叵+引=|五一囪，

則回+開(kāi)=|五一112n方2+2,不+石2=五2T2蒼.J+12n五,石=0,

所以故C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)：在△力BC中，D為BC的中點(diǎn)，若得+儡=說(shuō)，

因?yàn)楹嶟S分別表示與相前同方向的單位向量，

由向量加法可得點(diǎn)y+備是以A為起點(diǎn)，點(diǎn)p卷對(duì)應(yīng)線段為鄰邊的菱形的對(duì)角線對(duì)應(yīng)的向量，即

AAD,

同時(shí)也在NB4C的平分線上，

由菱形的對(duì)角線互相垂直可得AD1BC,

所以而是瓦5在爐上的投影向量，故D選項(xiàng)正確.

故選：BCD.

舉反例可得A錯(cuò)誤；由向量的加法和圖形關(guān)系可得B正確；等式平方后得到五%=0,可得C正

確；由單位向量，向量加法，投影向量的概念可得D正確.

本題考查了平面向量的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【正確答案】BC

解：如圖,

設(shè)=而=%,求比+y的最大值，只需考慮圖中6個(gè)頂點(diǎn)的向量即可，討論如下:

(1)若點(diǎn)P在A點(diǎn)處，:函=灑二3y)=(l,O)；

(2)若點(diǎn)P在B點(diǎn)處,?.?云=赤+而=另+3市(X,y)=(3,1)；

(3)若點(diǎn)P在C點(diǎn)處，■.-0C=0F+FC=b+2a，■■(%,y)=(2,1)；

(4)若點(diǎn)P在D點(diǎn)處，?.?麗=赤+屋+前=石+訝+(石+2砂=3方+2樂(lè)Q,y)=(3,2)；

(5)若點(diǎn)P在E點(diǎn)處，?.?麗=況+即=3+濟(jì)(x,y)=(l,l)；

(6)若點(diǎn)P在F點(diǎn)處，?.?麗=石，［(x,y)=(0,1).

x+y的最大值為3+2=5.

根據(jù)其對(duì)稱性，可知久+y的最小值為-5.

故x+y的取值范圍是［—5,5］,

觀察選項(xiàng)，選項(xiàng)B、C均符合題意.

故選：BC.

根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，得出求x+y的最大值時(shí)，只需考慮圖中6個(gè)頂點(diǎn)的向量即可,

分別求出即得結(jié)論.根據(jù)其對(duì)稱性，可知x+y的最小值.

本題考查了平面向量的加法運(yùn)算及其幾何意義問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形解

答問(wèn)題.

12.【正確答案】一,

【分析】

把題設(shè)等式兩邊平方利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式求得s譏2。的值，進(jìn)而利用。的范

圍確定2。的范圍，最后利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cos2。的值.

本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式的化簡(jiǎn)求值.在利用同角三角函數(shù)的基本

關(guān)系時(shí)，一定要注意角度范圍，進(jìn)而判定出三角函數(shù)的正負(fù).

解：vsinO+cos3=

???兩邊平方，得sin2。+2sin3cos3+cos20=城,

即1+siyi2.0——.

25

,24

SITI2,3=———■.

__________7

cos29=—VI-sin229.

故-《

13.【正確答案】2+C

【分析】

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的加法運(yùn)算和減法運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，主要

考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用向量的線性運(yùn)算，向量的加法運(yùn)算和減法運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果.

解：設(shè)前=入而(0<入<1),

由題意知：=CF-CE=-^AB+^AD.

2

AM=AB+JE+~EM^AB+-AD+XEF

—?2—>入—>入—>入—>2入—>

=ZB+-AD+-AD--AB=(1--)AB+(-+-}AD

由于彳標(biāo)=xAB+yAD,

(.入_

11——x

所以《2A,整理得3y+2x=4；

匕+w=y

所以工+2=(￥+4(*2)=?+工+,+；22XB+2=2+C,當(dāng)且僅當(dāng)y=2%時(shí)，久=；

xy42xy4xy222

時(shí)，等號(hào)成立；

故答案為2+

14.【正確答案】(0,5U[i1]

o4o

解：/(%)=sin2,—+^-sincox—=-(1—COSB%)+-sina)x—g=乎s譏(3%—-),

，22222224

由f(x)=0，可得sin(a)x—^)=0,

解得x=~1~~±￡(%2兀),

??.3g(|.i)UUU-=(1.i)U(|,+oo),

,."(%)在區(qū)間(兀,2兀)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，

115

3e(。即u

故(0，pu[p1]

廳kjl:十三

函數(shù)/(%)=—sin(a)x--),由/(%)=0,可得s譏(3%—巴)=0,解得％=——-2即可

2443

得出

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

15.【正確答案】解：⑴兀，sina=二cosa=—百=7^?^=—■!，

sma4

tana

cosa3

7Tn7T413734-373

sin(a+—)=sinacos—+cosasin—=—x—+(——)x

3352i5，—-io-

2tana_24

(2)若角0終邊上一點(diǎn)P(7,l),則tanp=tan2a=2—

1—tana7

tan2a+tanp__

tan(2a+/?)==/■

l-tan2a-tanp

本題考查了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，和三角恒等變換的相關(guān)知識(shí)(1)由］<a<7F,s譏a=3可直接求

出cosa,利用tcma=e竺可得結(jié)果

(2)由點(diǎn)尸(7,1)的坐標(biāo)可得tanp=利用tcma求出tan2a,最后由tan(2a+S)=：；：；￡：：%

可得結(jié)果

16.【正確答案】解：(l)Zk4BC中，AB=a,AC=b,

.'.^C=AC-AB=b-a,

AD=AB+BD

一1一

=AB+-BC

4

=+—(b—五)

=-a+-b,

44

BE=~BA^AE

一1一

=-AB+-AC

=—a+

(2)證明：BE=-a+^b,

BF=BA+~AF

一2一

=-AB+-AD

-23_1-

=-a+-(-a+-6)

=一綱+色/(一方+須，

???~BF=-BE,

2

???加與南共線，且直線BF與直線BE有公共點(diǎn)B,

■-B,E,F三點(diǎn)共線.

本題考查平面向量的線性表示與共線定理的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)平面向量的三角形合成法則，用而、前表示出向量近、而和屁即可；

(2)用2、3表示出向量麗、BF,證明前與泰共線，從而證明B,E,F三點(diǎn)共線.

17.【正確答案】解：(1)AE^EB,BF=3FC,

：.AG=tAF=t(AB+BF)=tAB+^AD,

???E,G,D三點(diǎn)共線，

???存在入，使得刀=AAE+(1-A)AD=+(1-A)AD,

3t2，解得1

-=1-A11

(4

(2)在4ABF中，NB=120°,AB=4,BF=3,由余弦定理得，AF2=i6+9-2x4x3x(p=%，人?=

,,,t人、.、e16+4—2x2x4x-Q

在八ADE中，皿E=6。。，力。=4,AE=2,由余弦定理得，?，，DE=

>>>a>1>,1--->2R---->2q>>

AF-DE={AB+^-AD)?^AB-AD)=^-AB--AD一=8-12-5=-9,

42248

喬癥_36ym

???cosZ-EGF=_9_

\AF\\DE\~l~37l~3~37

J24'-J4

(1)根據(jù)條件可得出E=t荏+?而，庶=;面+(1-入)前，然后根據(jù)平面向量基本定理即可

4Z

求出t的值;

(2)根據(jù)條件及余弦定理即可求出AF,DE的長(zhǎng)度，根據(jù)而?屁=(短+3而)?《布-而)進(jìn)行

數(shù)量積的運(yùn)算即可求出萬(wàn)?尻的值，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出cosAEGF的值.

本題考查了余弦定理，三點(diǎn)共線的充要條件，數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量夾角的余弦公式，

向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

18.【正確答案】解：(1)如圖，作。48于點(diǎn)H,交線段

CD于點(diǎn)E,連接OA、0B,

乙AOB=

6

TTJT

?..AB=2Rsin三,OH=Reos三,

1212

°E=DE=加=Rsi咤,

EH=0H-OE=R(cos-^~sin^),

cTT71rTt一1_

S=AB-EH=R2(2sin—cos------2sin2—)=----------R2

、12121272

(2)設(shè)NHOB=8(0<8<]),

則AB=2Rsin^,OH=Reos%OE=^AB=Re*,

??.EH=OH-OE=R(cos]一s嗚),

S=AB-EH=7?2(2sm|cos|-2sin21)=7?2[<2sm(0+^)-1],

v0<6><-,

2

???e+W=5即e時(shí)，sm>1x=(Hi)R2,此時(shí)A在弧MN的四等分點(diǎn)處.

(1)作。HlAB于點(diǎn)H,交線段CD于點(diǎn)E,連接OA、OB,求出AB,EH,可得矩形ABCD的

面積S；

(2)設(shè)乙4。8=8(0<8<“，求出AB,EH,可得矩形ABCD的面積S,再求最大值.

本題考查扇形的面積公式，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，比較基礎(chǔ).

19.【正確答案】解：(1)若]=p則五=(cos^sin^)=(0,1),

則西=2[西-(a-西)司=2{(20,21)-[(0,1)-(20,21)](0,1)}=2[(20,21)-(0,21)]=

(40,0),

所以西=2[西-(隹西麗=2{(40,0)-[(1,0)-(40,0)](1,0)}=(0,0)；

(2)因?yàn)閨西|=6,不妨設(shè)西=6(cosa,s譏a),

由向量N=(cos。,sin。),

得閑=2[函>一(a-阻)可

=2[6(cosa,si?ia)—6cos(a—e)(cos6,si7i6)]

=12(sinOsin(O—a^cosdsin(a—6)

所以西=2\0P^-(b-西)向

=2[12(^sinOsin^O—a),cosOs譏(a—6)—12sin0sin{0—a)(1,0)]

=24(0,cos6si7i(a—3),

若。=~3f貝IcosB=—I，sin3=4，

貝川。尸；|=12|sm(a—y)|=121s譏(a+1)],

所以，當(dāng)|s譏(a+“|=1時(shí)，|西|取最大值12；

(3)麗=2\OP[-(a?OP^)a]

=2[(cosa,sina)—(cosacosd+sinasinO){cosO^inO)}

=2(sin0sm(0—oc),cos0sin(a—9),

西=2麗-6西)同

=2[2(sm0sin(0—a),c