搶分秘籍07相似三角形中的常見(jiàn)的基本模型

題型概覽

目錄

【解密中考】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】相似模型之“N”字模型【題型二】相似模型之“X”字模型

【題型三】相似模型之“NX”字模型【題型四】相似模型之“母子型”模型

【題型五】相似模型之一線三等角模型【題型六】相似模型之手拉手模型

【題型七】相似模型之半角模型【題型八】相似模型之對(duì)角互補(bǔ)模型

解空中考

考情分析：相似三角形中的常見(jiàn)的基本模型綜合題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考

內(nèi)容。每年都有一些考生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，“A”“X”“母子”“一線三等角”等模型高頻，多與線段比例、面積、動(dòng)點(diǎn)結(jié)

合，是相似判定與性質(zhì)核心載體。

2.從題型角度看，選擇填空考基礎(chǔ)模型識(shí)別，解答題常以幾何綜合、動(dòng)點(diǎn)探究形式出現(xiàn)，側(cè)重證明相

似及求邊長(zhǎng)、比例、面積，分值8分左右，著實(shí)不少！

備考策略：熟記模型特征及對(duì)應(yīng)結(jié)論，多練含動(dòng)態(tài)、復(fù)合圖形的綜合題，注意分類討論對(duì)應(yīng)關(guān)系,

強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想（復(fù)雜一基本模型）與計(jì)算準(zhǔn)確性。

6題型特訓(xùn)提分

【題型一】相似模型之Z”字模型

【例1】（2025?山東濱州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在△4BC中，點(diǎn)。、￡分別在邊/8、AC±,且?！辍˙C,若

=

S"DES四邊形OBCE，貝U4E:AC=.

【答案】6:2

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)芍本€平行同位角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，證明得（=[3=1*],即可得出答

2S^ABC卜/CJ

案.解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和性質(zhì).

【詳解】解：丁S“DE=S四邊形OBCE,

.S/\ADES叢ADE'—DE_J_

^AABCS^ADE+S四邊形3DCEADE+^AADE2

-DE//BC,

???/ADE=/ABC,ZAED=ZACB,

??.△ADE?AABC,

,,2S*〔"廣

.??W￡=也或W￡=一正（負(fù)值不符合題意，舍去）,

AC2AC2

即4E:/C=收:2.

故答案為：V2:2.

翅技巧

7，，字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾

這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似。

①“N”字模型②反””字模型③同向雙叱4”字模型④內(nèi)接矩形模型

A

圖3

AD

①“4,字模型條件:如圖1,DE//BC；結(jié)論:AADEsAABCo--——-——。

ABACBC

ADAEDE

證明：?.?。￡〃5。，:?/ADE=NABC,NAED=/ACB,：.AADE^AABC：.—=—=—。

fABACBC

②反字模型條件：如圖2,NAED=/B；結(jié)論：AADEsAACBO——=一=——。

ACABBC

L3AADAEDE

證明:???//￡Z）=N5,AZA=ZA,（公共角）:,AADEs”CB,：.—=一=—。

ACABBC

③同向雙””字模型條件：如圖3,EF//BC；

結(jié)論：△AEFsLABC,/^AEG^^ABD,想GFsLADC0跑=的=坦。

BDCDAD

證明：尸〃3C,/.ZAEF=AABC,/AFE=NACB,：.AAEF^/\ABC,

4DAEDE

同理可證：AAEGs^ABD,AAGF^AADC,：.—=一=—=

ABACBC

④內(nèi)接矩形模型條件：如圖4,AABC的內(nèi)接矩形。斯G的邊斯在2C邊上，D、G分別在AB、4c邊

上，且結(jié)論：AADGsAABC,AADN^AABM,AAGN^/\ACM<^DG_=AN_=AN_o

BCABAM

證明:：DEFG是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,：.AADG^^ABC,

同理可證：AADN^AABM,AAGNs叢ACM,:..=里二處。

BCABAM

彳兩萬(wàn)jR萬(wàn)62M湖北武雙二稹又如囪丁二雙杯可的脛藤等藤康前:一工萬(wàn)二;1575GI；一而1%嬴二一狂百加一

工成正方形EFGH零件，使正方形的一邊在8C邊上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在N8,AC±,則這個(gè)正方形零

件的邊長(zhǎng)是cm.

12

【答案】y

【知識(shí)點(diǎn)】三線合一、根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，三線合一性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與

判定是解題的關(guān)鍵.

作/OJ_8C于。，得到8O=CO=；8C=3cni,則/0=J/)一如=4,證明

AAEFSDBC,則匹=㈣，—,AE=-EF,BE=-EH^~EF,貝ij=NE+E8="跖，即

EHAOEFBC64412

“12

EF=—.

5

【詳解】解：如圖所示，作于。，

A

E/\F

BHOGC

vAB=AC=5cm,BC=6cm

/.BO=CO=—BC=3cm

2

AO=VAB2—BO1-4，

?;NB=NB,ZBHE=ZBOA=90°,

:△EHBsAAOB,

.BE_BA_5

,?商一益y

55

:.BE=-EH=-EF,

44

???四邊形斯是正方形，

:.EF\\BC,

ZAEF=/ABC,

又?./=//,

FAEFS小ABC,

.AB_5

,EF-5C-6?

AE=-EF,

6

25

/.AB=AE+EB=——EF=5,

12

12

故答案為：—.

【變式1］（24-25九年級(jí)匕安徽亳州?階段練習(xí)）（1）如圖1,在△45。中，E是AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡作5。

的平行線交NC于點(diǎn)尸，點(diǎn)。是8c上任意一點(diǎn)，連接/。交￡/于點(diǎn)G,求證：笆=絲；

FG1DF

⑵如圖2,在（1）的條件下，連接BF,DF,若不，且如必恰好將"々三等分'求它的

值.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

3

【知識(shí)點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

FGAGGFAGFGGF

⑴由EG〃BD得“EG?！髅笏栽L=而，同理可得而=而，故岸=笠，即得答案;

BDCD

(2)先證明ZkB尸,得到=――=——>沒(méi)BD=m,求出8C,的值，即可求得答案.

BFBCFC

【詳解】解：（1）"EGHBD,

:AAEGS^ABD,

.EGAG

,?訪一而‘

同理△ZGbsaZ。。，

.GFAG

一而一茄’

,EGGF

…茄一面‘

,EG_BD

'~GF~'CD；

(2)?:FE,必恰好將乙4尸。三等分,

/.ZAFE=ZBFE=ZBFD,

?：EF\\BC,

ZAFE=NBCF,

/.ZBFD=/BCF,

???ZFBD=NCBF,

:./\BFD^ABCF,

BDBF_DF

~BFSC-7c

FGBD1

由⑴知而=~CD~2

設(shè)加，貝?。?)=2加，BC=BD+CD=3m,

BDBF

由倚，BF=BD-BC=m-3m=3m,

BFBC

BF=V3m(負(fù)值舍去)，

DFBF乖1m.百

FC-BC_3m

【變式2】（2025?黑龍江佳木斯?一模）如圖，在RS/OB中，4408=90。，0/和08的長(zhǎng)分別是方程

/_7丫+12=0的兩個(gè)根（。/＜。2）,以O(shè)為原點(diǎn)，。2所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)尸從點(diǎn)

8出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，以相同的速度向點(diǎn)。勻速運(yùn)

動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)。后又立即按原速返回，當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)。也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接尸0,設(shè)點(diǎn)尸、。的運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為/秒，△，尸。的面積為s.請(qǐng)結(jié)合圖象信息解答下列問(wèn)題：

⑴求線段的長(zhǎng)；

⑵求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶是否存在/的值，使△/尸。為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出/的值：若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】⑴5

一2

--『+210<三3)

⑵S=<5

|z2-yf+12(3<Z<5)

157

⑶當(dāng)仁/或彳時(shí)，△/P0為直角三角形.

82

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程、列二次函數(shù)關(guān)系式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定與

性質(zhì)綜合

【分析】(1)先解方程，可得。/=3,0B=4,再利用勾股定理求解即可；

4

(2)如圖，過(guò)尸作PCLQ4于C,證明A/PCSA/B。，可得尸c=-y+4,再分兩種情況列函數(shù)解析式即

可；

(3)如圖，當(dāng)0<區(qū)3,NN0P=90。時(shí)，則尸0〃。2,可得A/QPS“OB,求解:"；當(dāng)乙4尸。=90。

8

25

時(shí)，證明△/尸。求解：t=(不符合題意，舍去)當(dāng)3<￡<5時(shí)，此時(shí)44尸。=90。，證明

8

7

△APQSAAOB,可得，=1；從而可得答案.

【詳解】(1)解：■-X2-7X+12=0,

(x-3)(x-4)=0,

解得：再=3,x2=4,

OA和OB的長(zhǎng)分別是方程X2-7X+12=0的兩個(gè)根（以<OB）,

OA=3,OB=4,

-ZAOB=90°,

AB=V32+42=5；

(2)解：如圖，過(guò)尸作尸C_LCM于C,

yjk

zk

???ZAOB=90°,

:.PC//OB,

???小APCS^ABO,

APPC

,?商一布‘

5-tPC

=，

54

4

PC=——1+4,

.??當(dāng)0<，K3時(shí)，AQ=t,

ii<4A?

2

,?.S=-AQ-PC=-t^\--t+4\=--t+2t;

當(dāng)3</<5時(shí)，AQ=6-t,

+2^(O</<3)

2.

-t——/+12(3</<5)

1557

(3)解：如圖，當(dāng)0<￡W3,NZ0尸=90。時(shí)，則尸?！?8,

斗

△AQPSAAOB,

t5—t

5一虧’

解得：/弋

O

AP_AQ

,?刀一下'

5—tt

——，

35

25

解得：1=（不符合題意，舍去）；

O

當(dāng)3</<5時(shí)，此時(shí)44尸0=90。，

AAPQ=AAOB=90°,AQAP=ABAO,

；.AAPQS“OB,

AP_AQ

,?而一方’

5—t6一，

35

7

解得：；

同理可得：N4Q尸=90。時(shí)不符合題意，舍去；

157

綜上：當(dāng)￡=彳或彳時(shí)，△4P0為直角三角形.

o2

【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，列二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，清晰的分

類討論是解本題的關(guān)鍵.

【題型二】相似模型之字模型（“8”字模型）

【例1】（2025?湖南張家界?一模）如圖，線段48與8相交于點(diǎn)P,AP=5,CP=3,BP=10,

DP=6.求證：AAPCs^BPD.

AC

DB

【答案】見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例及其夾角相等判定相似

【分析】本題考查了相似三角形的判定，由兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且?jiàn)A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，可得

結(jié)論，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：?.?4P=5,CP=3,BP=10,DP=6,

,AP_5_1CP_3_1

一而一歷一,’DP-6"2,

APCP

BP~DP

又；NAPC=Z.BPD,

AAPCsABPD.

技I巧

“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)

三角形相似.

①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型

條件：如圖1,AB//CD；結(jié)論：AAOB^/\COD^>—=—^—

CDOCOD

?ABOAOB

證明:ZA=ZC,ZB=ZD,：.AAOB^/^COD,：.—=—=—。

CDOCOD

②反“8”字模型

條件：如圖2,/4=/D；結(jié)論：AAOB^ADOC^>—=—^—o

CDODOC

r4BOAOB

證明=/.ZAOB=ZDOC,（對(duì)頂角）：.^AOB^/\DOC,：.—=—=—。

CDODOC

③平行雙“8”字模型

條件：如圖3,AB//CD-,結(jié)論：9=些=理。

DFCFCD

證明；./A=/D,ZAEO=ZDFO,：.AAEO^/\DFO,

同理可證：ABEOsACFO,AABO^>/\DCO,，里=里=坐。

DFCFCD

④斜雙“8”字模型

條件：如圖4,Z1=Z2；結(jié)論：AAOD^/\BOC,AAOB^AZ）OC<^z3=Z4o

證明：：/l=N2,//OD=N8OC（對(duì)頂角），：.AAOD^/\BOC,：.AO:BO=DO:CO,BPAO:DO=BO:CO；

（對(duì)頂角），：.AAOB^/\DOC,；./3=/4。

彳而京7565［硬面茜妾二穰屋茹甌一在短孩君麗用「萬(wàn)莫7萬(wàn)的市瓦一連接d瓦一空對(duì)鬲蔻訪手點(diǎn)……

F.若/。=6,則空的值為.

【答案】|

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，得到A￡Z?SAC時(shí)是解題的關(guān)鍵.

由矩形得到NO〃C8,則AEDESACB//,再由線段關(guān)系，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可.

【詳解】解：???四邊形是矩形，AD=6,

AD=CB=6,AD//CB,

???E是4。的中點(diǎn)，

：.ED=-AD=3,

2

-ED//CB,

.—EDFs八CBF,

EFED

e，CF-5C~6-2?

EF1

/，CE-3

故答案為：—

【變式1](2025?天津紅橋?一模)如圖，線段45,CD相交于點(diǎn)E,若/E=10,CE=6,BE=5,

DE=3.

⑴求證：AC//DB；

(2)若BD=CE,求4C的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)AC=12

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)平行線判定與性質(zhì)證明、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練利用相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)判斷即可解答；

(2)利用相似三角形的性質(zhì)，即可解答.

ApCF

【詳解】(1)解：./——=—=2,NAEC=/BED,

BEDE

\AC//DB；

(2)解：根據(jù)(1)中AAECS^BED,

?口ACCE

可得——=——

BDDE

???BD=CE,

AC6

?.?一_，

63

可得4C=12.

【變式2](2025?安徽池州?一模)如圖，在矩形4BCO中，點(diǎn)E在4D邊上，連接CE,交對(duì)角線2。于點(diǎn)

F,且4E=CE.

⑴若408=35。，求ZDCE的度數(shù);

⑵若所=1,C尸=4,求?！甑拈L(zhǎng)；

⑶若DE=DF,求大二的值.

Cr

【答案】⑴/DCE=20°

⑵DE的長(zhǎng)為g

⑶王32

CF

【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】（1）如圖，連接/C,交對(duì)角線50于點(diǎn)。，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到04=0。，ZADC=9Q°,貝U

ZCAD=ZADB=35°,由等邊對(duì)等角得到NEC/=NE4C=35。，由三角形外角的性質(zhì)得到ZDEC=70。，根

據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求解；

EFED

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AEEDSACE8,—=—，則8C=4OE,設(shè)。E=x,則8C=/O=4x,

CrnC

AE=CE=EF+CF=1+4=5,所以。E=ND-NE=4x-5,由止匕歹！J式求解即可；

（3）設(shè)DE=DF=a,CE=AE=b,由矩形的性質(zhì)，結(jié)合題意得到4DE尸=NO氏￡=NBA7=NBC尸，

BC=BF=AD=a+b,BD=BF+DF=BF+DE=a+b+a=2a+b,在RtABC。中，由勾股定理得

BD2-BC2=CD2,在RtZsCDE中，由勾股定理得EC?-ED?=。加，整理得〃_2仍-4/=0,所以

Z）=（l±V5）a,即BE=a+6=（2+V^）a,由（2）知AEFDsKFB,可得

而:/二—二可二7-二v，由此即可求解.

【詳解】（1）解：如圖，連接/c,交對(duì)角線3。于點(diǎn)。，

???四邊形/BCD是矩形,

/.OA=OD,ZADC=90°,

.?.ZCAD=ZADB=35°,

vAE=CE,

??.ZECA=ZEAC=35°,

???/DEC=70°,

ADCE=90°-/DEC=90°-70°=20°.

(2)解：???四邊形/BCD是矩形，

AD〃BC,

ZEDF=AFBC,ZDEF=ZFCB,

△EFDSKFB,

EFED

~CF~^C"

跖=1,C尸=4,

第嚕T即3—,

設(shè)DE=x,貝!JBC=AD=4x,

-AE=CE=EF+CF=1^4=5,

DE=4D-AE=4x-5,

即x=4x-5,

解得x=；，

??.DE的長(zhǎng)為g.

(3)解：設(shè)DE=DF=a,CE=AE=b,

???四邊形/BCD是矩形，

ZCDE=/BCD=90°,AD//BC,

；"DEF=/FCB,

VDE=DF,

???ZDEF=/DFE,

???ZDFE=/BFC,

.?./DEF=ZDFE=ZBFC=ZBCF,

BC=BF=AD=a+b,BD=BF+DF=BF+DE=a+b+a=2a+b,

在RtABCZ)中，由勾股定理得BD2-BC2=CD2,

在RtACZ>￡中，由勾股定理得EC2-ED2=CD2,

BD2-BC2=EC2-ED2,即(2a+?-(a+6)?=〃-/,

整理得b1-2ab-4a2=0，

:.b=^1±V5ja,

Q>0,b>0,

：.b=(1+?)a,

BE=a+b=(2+逐)4,

由(2)知AEFDS^CFB,

EF_DF_a_a_1_亞？

"CFBFa+b（2+V^）。A/5+2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股

定理等知識(shí)的綜合，掌握矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊對(duì)等角，數(shù)形結(jié)合分析是解題的關(guān)

鍵.

【變式3]（2025?江蘇宿遷?一模）在梯形中，點(diǎn)E在邊N8上，且=

⑴如圖1所示，點(diǎn)尸在邊上，且。尸=g〃C,連接EF,求證：EF//BC；

（2）己知AD=AE=\.

s

①如圖2所示，如果點(diǎn)〃在邊5c上，^.BM=CM=2,連接EM、DM、EC,DM與EC交手N.求產(chǎn)竺

的值；

②如圖3所示，連接DE,如果△/DE外接圓的圓心恰好落在的平分線上，求的外接圓的半徑

長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2嗚②當(dāng)

【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、利用平行四邊形性質(zhì)和判定證明、三角形外接圓的概念辨析、相似三角

形的判定與性質(zhì)綜合

PFAP1

【分析】（1）連接CE并延長(zhǎng)交D4的延長(zhǎng)線于尸，證明"即s/EC,得出生=笠=：,結(jié)合已知可得出,

CEBE2

CFCE2

—=—=j,證明APCDSAECF,得出ND=NCFE,則可證明EF〃/。，即可證明；

（2）①連接CE并延長(zhǎng)交D4的延長(zhǎng)線于尸，證明"EPSABEM,求出近=1,EM=2PE,證明四邊形PDCAf

是平行四邊形，得出加=8,PM//CD,證明AE九WSACDV,求出第=],即可求解；

②設(shè)△4DE的外接圓的圓心為。，連接08,OE,OA,OD,過(guò)。作于尸，證明

△AODQAOE,得出ND4O=NE4O=：NB4D,由角平分線定義得出N/8O=gN48C,結(jié)合平行線的性質(zhì)

可求出乙45。+/氏4。=90。，然后證明“尸。6/用，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出。尸=且，最后根據(jù)勾股

2

定理求解即可.

【詳解】（1）證明：連接CE并延長(zhǎng)交加的延長(zhǎng)線于尸,

圖1

???AD//BC,

AAEPS^BEC,

PEAE

vAE=-AB,

3

.PE_4E_\

''~CE~^E~2f

CEJI

=一,

CP3

?；DF=LDC,

3

CF2

...=—,

CD3

CF_CE

''~CD~~CP"

:.4PCD=NECF,

/.APCDS^ECF,

??.ZD=ZCFE,

??.EF//AD,

又AD〃BC,

：.EF//BC；

(2)解：①連接C￡并延長(zhǎng)交。/的延長(zhǎng)線于尸,

AB=3,BE=2,

???AD//BC,

；?"EPs^BEM,

APAEPE??AP1PE

---=---=---,即---=—=---

BMBEEM22EM

/.AP—1,EM=2PE,

EM2PM2

--.PD=AP+AD=2,市-pM+2PM一行

又MC=2,

PD=MC,

PD//MC,

四邊形PDCM是平行四邊形,

PM=CD,PM//CD,

AEMNS^CDN,

MNEMEM

^N~~CD~PM-3

S“MCN=MN_2

;

FCNDN3

②如圖，設(shè)△/￡>￡的外接圓的圓心為。，連接。8，OE,OA,OD,過(guò)。作。尸，/8于尸,

AD=AE,OD=OE,OA=OA,

：./\AOD^/\AOE,

NDAO=ZEAO=-NBAD,

2

平分N4BC,

：.AABO=-AABC,

2

...NABO+NBAO=1NABC+1ZBAD=1(NABC+ZBAD),

???AD//BC,

：.AABC+ABAD,

ZABO+ZBAO=90°,

.??/4。8=90。，

VOFVAB,

；,/AFO=/BFO=9G。,

ZAOF+/BAO=90°,

ZAOF=ZOBF,

公AFOS^OFB,

AFOF

,?而一加’

OA=OE,

：.AF=-AE^-,

22

BF=AB-AF=-,

2

_2_=OF

"OF"5'

2

：.OF=—,

2

NO=^AF~+OF2=—.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外接圓，勾股定理，平行四邊形的判定與性質(zhì),

全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，添加合適的輔助線，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【題型三】相似模型之“4T字模型（“N8”字模型）

【例1】（2025?安徽合肥?一模）已知點(diǎn)E是矩形4BCD邊DA延長(zhǎng)上一點(diǎn)，且/￡=NC,。是對(duì)角線NC和BD

的交點(diǎn).連接CE,交AB于F,交BD于G,連接。尸，如圖1.

(圖2)

⑵若NB=3,AD=\,求tan//。尸的值.

BG2

(3)若N8=4D,如圖2,求的值.

CG^

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2）|

(3)U

2

【知識(shí)點(diǎn)】利用矩形的性質(zhì)證明、根據(jù)正方形的性質(zhì)與判定證明、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、解直角

三角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】(1)平行得到NE=NBCF,等邊對(duì)等角，得至I]NE=ZACF,進(jìn)而得到ZBCF=NACF,即可得證;

(2)過(guò)尸作收L/C于"，勾股定理求出NC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出NE,。。的長(zhǎng)，角平分線的性質(zhì)，得到

FB=FH,證明尸，求出尸3的長(zhǎng)，進(jìn)而得到尸〃的長(zhǎng)，證明尸知〃C尸(HL),推出的

長(zhǎng)，再根據(jù)正切的定義，進(jìn)行求解即可；

(3)易證矩形?是正方形，設(shè)AB=BC=CD=AD=a,進(jìn)而得到4E=/C=也〃，證明

ABCFSAAEF,推出的長(zhǎng)，勾股定理求出C產(chǎn)，證明AAFCSA^GC,列出比例式進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)證明：???矩形/BCD,

AD//BC,

NE=ZBCF

■■■AE=AC,

ZE=ZACF,

ZBCF=ZACF

CE平分/ACB.

(2)過(guò)尸作切_L/C于b.

在矩形/BO中，CD=AB=3,BC=AD=4,AABC=90°

FB1BC,AC=[AB"+BC。=5，

AE=AC=5,OC=—AC=—,

22

由（1）得CE平分2NC8,

FB=FH,

???BC//AD,

:ABCFSAAEF,

FBBC4

又FB+FA=AB=3,

4

:.FH=-

3

?；BF=FH,CF=CF,ZFHC=ZFBC=90°,

.-.△5CF^A//CF（HL）,

/.CH=BC=4,

153

OH=CH-OC=CH——AC=4——=—,

222

一八廠FH8

..tan/AOF------——

OH9

（3）???AB=AD,

矩形45CZ)是正方形,

設(shè)AB=BC=CD=AD=a,則AE=AC=41a，

FB_BC_1

西一布一亞

FB=^~^AB=（^—“a,FA=a—

FC2=BF2+BC2=（4-2V2）a2

?.?/E4C=NCBG=45。，CF平分/BCA,

/ACF=/BCG=22.5。，

.△AFCs小BGC,

.AF-CF

,^G~~CG9

.AFBG

,~CF~~CG9

.BG2_AF2_(6-4A/2)6Z2_2-72

,CG?-CFr-(4-2V2>2-2

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì),

解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵.

iN

①一，，工，，+，，8”模型②兩，，4，，+，，8”模型（反向雙“N”字模型）③四”，，+“8”模型

圖3

①一"4，+“8，，模型條件:

結(jié)論：AADES/\ABC,ADEFsMBF,=也=9=吧=吧=理

ABACBCFCBF

ADAEDE

證明/.ZADE=ZABC,ZAED=AACB,：./^4DE^AABC,：.—=一=—

ABACBC

'：DE//BC,/.ZFDE=ZFCB,ZDEF=ZCBF,.".ADEF^^CBF,，匹=竺=四

BCFCBF

.AD_AEDE_DF_FE

②兩“4”+“8”模型條件：如圖2,DE//AF//BC；

結(jié)論：ADAFsADBC,△CAEs△CEO,?J_=J_+J_

AFBCDE

證明：BC,ZDAF=ZB,ZDFA=ZDCB,:.ADAFs△DBC,:.吧=空

DCBC

\'DE//AF,：.ZCAF=ZE,ZCFA=ZCDE,：.ACAF^/\CED,:=空。

CDDE

兩式相加得到：竺+竺="+4，即1=辿+生：，故_L=_L+，。

DCDCBCDEBCDEAFBCDE

③四“4”+“8”模型3條件：如圖3,DE//GF//BC；結(jié)論：AF=AG,—+—=—=—=—

BCDEAFAGGF

證明:同②中的證法，易證：x+x=x,x+x=x,

BCDEAFBCDEAG

：.-L=-L,BPAF=AG,故1?1_1_2°

AFAGBCDEGF_GF

【例2】（2025?上海楊浦?一模）己知：如圖，在矩形48。?中，點(diǎn)、E、尸分別在邊8C、C刀上，且

NBAE=NDAF,延長(zhǎng)/￡、N尸分別交。。、8c延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃、G.

H

⑴求證：DF-CD=BEBC■,

⑵聯(lián)結(jié)E尸、HG,如果即〃〃G,求證：四邊形是正方形.

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和N&4(AAS)綜合(4X4或者44S)、利用矩形的性質(zhì)證明、證明四邊形是正方形、

相似三角形的判定與性質(zhì)綜合

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判

定等待，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵.

(1)由矩形的性質(zhì)可得NO=BC,AB=CD,NB=ND=90°,再證明^BAE^^DAF推出。尸.4B=BE.4D,

則。尸?CZ)=8E-8C；

(2)先導(dǎo)角證明/CEH=/CFG,則可證明△EC〃s△尸CG,證明△ECFS^GC”,進(jìn)而可證明

CH=CG,CE=CF,再證明A"GgAE4"(AAS),得至=/尸，即可證明4B=4D,據(jù)此可證明結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???四邊形/2CD是矩形，

AD=BC,AB=CD,ZB=ZD=90°,

又?；NBAE=ZDAF,

■■■ABAE^^DAF,

ABBE

:.DF-AB=BE-AD,即DF-CD=5C；

(2)證明：,；ABAESADAF,

AD

H

???NAEB=ZAFD，

,:/CEH=/AEB,ZCFG=ZAFD,

：.NCEH=NCFG,

又?:/ECH=/FCG,

AECHsMCG,

ECCH

???EF//GH,

???XECFsAGCH,

ECCF

,'CG~~CH，

EC_CG

''~CF~~CH9

CHCG

,~CG~~CH9

：.CH=CG,

CE=CF,

/.CG+CE=CH+CF,EG=FH,

又?:/EAG=/FAH,ZEGA=ZFHA,

.-.^EAG^FAH(AAS),

AE=AF,

八BAEs小DAF,

ABAE

???-=--=1A,

ADAF

AB-AD,

???四邊形45cD是正方形.

【變式1】（2025?安徽銅陵?一模）如圖，四邊形4BCZ）中，/ABC=/DCB=90。,CD=2AB,AC.BD

相交于點(diǎn)E,EFIBC,垂足為點(diǎn)尸，連接。尸交4C于點(diǎn)G,連接5G.

D

⑴求證：AD=AC；

⑵求空■的值；

⑶求證：BG//AD.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)-

3

⑶證明見(jiàn)解析

【知識(shí)點(diǎn)】等邊對(duì)等角、斜邊的中線等于斜邊的一半、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)、相似三角形的判

定與性質(zhì)綜合

【分析】(1)如圖，過(guò)點(diǎn)A作/“LCD于點(diǎn)H,證明四邊形/3C〃是矩形，得CH=AB,進(jìn)一步證明/〃

垂直平分C?,即可得證；

(2)證明△E4BSECD得當(dāng)=翌=盥=:，推出凳=：,證明ABE尸SABDC,由相似三角形的性質(zhì)

CEDECD2BD3

可得結(jié)論；

EGEF1

(3)證明AG昉SAGC。得一=—=-,設(shè)EG=a,則GC=3a,得EC=EG+GC=4a,進(jìn)一步推出

CGCD3

BFAF11

AB//EF,得一=—=-,推出/G=GC=—/C=G2,得NG4B=NGB4,再推出

CFCE22

ADAC=180°-2ZACD=180?！?/G45=/AGB,即可得證.

【詳解】(1)證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)”，

D

ZAHC=90°=ZABC=/DCB,

???四邊形45cH是矩形，

CH=AB,

-CD=2AB,

??,CH=DH,即點(diǎn)”是CD的中點(diǎn),

???垂直平分CD,

AD=AC-

(2)-ZABC=ZDCB=90°,CD=2AB,

AR1

/.AB//CD,-=

CD2

ZABE=ZCDE,ZBAE=ZDCE,

???LEABsECD,

AEBEAB

"~CE~^E~~CD~29

BE1

??訪一針

-EFIBC,

；,/EFB=90°=/DCB,

???EF〃CD,

??.ZBEF=ZBDC,

???ABEFS^BDC,

EFBE

,,五一茄—

EF1

(3)證明：由(2)知，~Q^=屋EF//CD,

ZEFG=ZCDG,ZFEG=ZDCG,

/.AGEFS小GCD,

EGEF

，~CG~~CD~3,

設(shè)EG=〃，貝I」GC=3Q,

EC=EG+GC=a+3〃=4〃，

VAB//CD,EF//CD,

??.AB//EF,

BF_AE_\

，,~CF~~CE~2,

AE=—CE=—x=2tz,

22

AG=AE+EG=2a+a=3a,

：.AG=GC=-AC=GB,

2

；,/GAB=/GBA,

???AB//CD,

NGAB=NACD,

???AC=AD,

ZACD=/ADC,

/.ADAC=180°-2/ACD=180°-2ZGAB=4AGB,

??.AD//GB.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比

例定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，等邊對(duì)等角，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).掌握相

似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2](2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))(1)【問(wèn)題背景】如圖1,ABIIEFIICD,4D與5C相交于點(diǎn)￡點(diǎn)/在

I11

BD上.求證:---1----=---

ABCDEF

E

G

DC

Si圖2圖3

小雅同學(xué)的想法是將結(jié)論轉(zhuǎn)化為與+M=i來(lái)證明,

請(qǐng)你按照小雅的思路完成原題的證明過(guò)程.

ABCD

（2）【類比探究】如圖2,AE1AB,BD1AB,GH工AB,與8c相交于點(diǎn)G,點(diǎn)〃在上,

112

AE=AC.求證:

GHACBD

（3）【拓展運(yùn)用】如圖3,在NC四邊形/BCD中，AB//CD,連接，BD交于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作EF〃/3,

交/。于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,連接EC,FD交于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)N作G〃〃48,交/。于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)、H,

若48=3,CD=5,直接寫出GH的長(zhǎng).

30

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）—

EFDFEFBF

【分析】（1）由45〃￡廠，可證,則-----=------,同理可得:—=—,貝nIU

ABBDCDBD

EFEFDFBFDF+BF器T'兩邊同時(shí)除以收'可得.+專=