相似（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

考試范圍：全章的內(nèi)容；考試時(shí)間：120分鐘；總分：120分

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.地圖上淮北到合肥的距離為2.4厘米.比例尺是1:10000000,那么淮北到合肥的實(shí)際距離是（）

A.2400米B.24000米C.240000米D.2400000米

【答案】C

【分析】本題考查了比例尺.根據(jù)比例尺=圖上距離:實(shí)際距離進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】解：根據(jù)題意，淮北至I合肥的實(shí)際距離=2.4+忌標(biāo)0=24000000厘米，

24000000厘米=240000米,

淮北到合肥的實(shí)際距離是240000米，

故選：C.

2.若四條線段b,c,d成比例，其中。=2cm,b=1cm,c-6cm,則線段d的長(zhǎng)為（）

A.1cmB.3cmC.9cmD.12cm

【答案】B

【分析】本題考查比例線段，掌握如果四條線段b,c,d滿足a:Z）=c:d,則四條線段b,c,d

稱為比例線段是解題關(guān)鍵.根據(jù)比例線段的定義得出a：b=c：d,再代入數(shù)據(jù)求解即可.

【詳解】解：：線段b,c,d成比例，

a:b=c:d,即2:1=6:4,

解得：d=3cm.

故選B.

3.“黃金比例分割法”是啟功先生研究的一套楷書(shū)結(jié)構(gòu)法，是將正方形按照黃金分割的比例來(lái)分割，形成“黃

金格”（如圖，四條與邊平行的線的交點(diǎn)都是黃金分割點(diǎn)），漢字的筆畫(huà)至少要穿過(guò)兩個(gè)黃金分割點(diǎn)才美

觀.若正方形“黃金格”的邊長(zhǎng)為8cm,四個(gè)黃金分割點(diǎn)組成的正方形的邊長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】本題考查了黃金分割的比例線段.根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：如圖，C、D是線段N8的兩個(gè)黃金分割點(diǎn)，

左線右線

???線段的長(zhǎng)為8cm,

AC=BD=^^-AB=4^y[5

CD=BD-（AB-AC）=BD-（AB-BD）=2BD-AB,

CD=8（75-l）-8=（8V5-16）cm,

二四個(gè)黃金分割點(diǎn)組成的正方形的邊長(zhǎng)為（8斯-16km.

故選：B.

4.如圖，411川川，。分別交4，L4于點(diǎn)A,B,C,4分別交4，，2，4于點(diǎn)。，E,F,若AB=3,

BC=6,DE=2,則。尸的長(zhǎng)為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例，先由4,根據(jù)平行線分線段成比例可得會(huì)DE

nC~~EF

再把48、BC、DE的值代入可以求出■=4,根據(jù)。尸=。石+所計(jì)算求值即可.

【詳解】解：如下圖所示，

.ABDE

,?沃―標(biāo)'

*/AB=3,BC=6,DE=2,

?.?3_一2，

6EF

解得：EF=4,

.\DF=DE+EF=2+4=6f

故選C.

5.如圖，已知N1=N2,那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定?△/QE的是（）

ACBC

A./B=/ADEB.=

AEDE

ABAC

0~AD~^4ED./C=/E

【答案】B

【分析】本考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相似三角形的

判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)

邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三

角形相似，逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：=

Zl+ACAD=Z2+ACAD

ABAC=ZDAE

A、由兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等可得△NBC-△/AE,故不符合題意;

B、不符合兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，無(wú)法判定故符合題意;

C、由兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等可得△NBC故不符合題意；

D、由兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等可得△NBC-△/￡）￡■,故不符合題意；

故選：B.

6.如圖1是《九章算術(shù)》中記載的“測(cè)井深”示意圖，譯文指出：“如圖2,今有井直徑C。為5尺，不知其

深4D,立5尺長(zhǎng)的木CE于井上，從木的末端￡點(diǎn)觀察井水水岸/處，測(cè)得“入徑CF”為4寸，問(wèn)井深

是多少？（其中1尺=10寸）”根據(jù)譯文信息，則井深ND為（

圖1圖2

A.500寸B.525寸C.50寸D.575寸

【答案】D

【分析】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì),根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求解即

可.

【詳解】解：5尺=50寸,

設(shè)2c=x尺.

?.?四邊形N8CD是矩形，

CF//AB,

△EFC^h.EAB,

.CFEC

??商一商’

?4_50

**50%+50'

解得x=575,

經(jīng)檢驗(yàn)：x=575是分式方程的解.

AAD=575（寸）.

故選：D.

7.如圖，點(diǎn)光源。射出的光線沿直線傳播，將膠片上的建筑物圖片投射到與膠片平行的屏幕上，形成

影像CD.已知/8=3cm,膠片與屏幕的距離E尸為定值，設(shè)點(diǎn)光源到膠片的距離長(zhǎng)為x（單位：cm）,

CD長(zhǎng)為y（單位：cm）,夕隨x的變化而變化，且當(dāng)x=60時(shí)，y=43,則y與x的函數(shù)關(guān)系可表示為（）

y=—x+3

3

2580

y=----

X

【答案】C

【分析】因?yàn)楣庠磁c膠片組成的三角形與光源與投影后的圖象組成的三角形相似，所以可用相似三角形的

相似比解答；將E尸的值代入解析式，即可求得函數(shù)解析式；

本題考查的是相似三角形的運(yùn)用，求函數(shù)的解析式，解答此題的關(guān)鍵是找出相似三角形，利用三角形對(duì)應(yīng)

高線的比等于相似比解答.

【詳解】解：,??A8||CD,

/.ZOAB=ZOCD,AOBA=ZODC,

:./\OABs/^oCD,

.ABOE

"~CD~~OF'

,3_60

"43-60+EF）

解得EF=800cm,

ABOE

'~CD~~OF'

.3_x

…yx+800'

2400.

■-y=——+3；

故選：C.

2

8.如圖，在△45。中，AB=9,AC=12,D為4B上一點(diǎn),且=在/。上取一點(diǎn)￡,若以/、

D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，則NE的長(zhǎng)為（）

14914

A.8B.—C.8或一D.8或一

323

【答案】C

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論，①AADES/CB；②

△ADE?AABC；可根據(jù)各相似三角形得出比例關(guān)系式求出AE的長(zhǎng)即可.

【詳解】解：當(dāng)A/OESA/CB時(shí)，如圖1,

/.AD=6,

.AE_6

一12

當(dāng)?時(shí)，如圖2,

圖2

?/AB=9,AC=12,AD=6,

,的_6

,?—―，

129

AE=8.

9

綜上，的長(zhǎng)為8或

故選：C.

9.如圖，△ASC是面積為18cm2的等邊三角形，被一矩形所截，4B被截成三等分，EH//BC,則圖中陰

影部分的面積為（）

【答案】C

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

先證明即〃尸G〃BC,得到根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面積比等于

相似比的平方求解即可.

【詳解】解：△N3C矩形所截，

EH//FG,

,/EH//BC

：.EH//FG//BC

：.△AEHs^AFGsAABC,

又：AB被截成三等份，

AE=EF=BF

■'S^ABC[AB]9'S.ABC{AB}bJ9，

；S^ABC=18cnr

,,SGAEH=2cm,S/FG=8cm,

則S陰影=$-S"H=6ctn，

故選：C.

10.如圖，四邊形/BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)P為線段48上的動(dòng)點(diǎn)，E為4D的中點(diǎn)，射線尸E交。。

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)E作尸。的垂線交8于點(diǎn)石、交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則以下結(jié)論：①

乙4EP=NCHF；②XEHQsN2HF；③當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)3P4=PB；④當(dāng)尸/=時(shí)，EF=2日⑤當(dāng)

點(diǎn)產(chǎn)和點(diǎn)B重合時(shí)，F(xiàn)Q=3拒,成立的個(gè)數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到N4DC=N2C￡>=90。，則/8/+=90。，再由垂線的定義和平角的

定義得到/的+/囪=90°,則/衍，再由/?！?ACFF,即可證明勿EP=NCHF,故①正

確；根據(jù)/團(tuán)=/A0r=90°,ZEHQ=ACHF,可判斷②；證明AP/E之AQDE（ASA）,得到

PE=EQ,PA=DQ,再證明尸。=0。，設(shè)尸Z=%,則。。二%,則尸C=CQ=2+x,PB=2-x,由勾股定

9911Q

理得（2-X『+22=（2+J,解得：x=-,則用=2—]=+故③正確；求出例=左=田=1,得

至U/4E尸=45。，證明△￡>￡〃是等腰直角三角形，得到=/DHE=45。,則。7==1,

ZCHF=45°,同理可得C/=CH=1,利用勾股定理EH="）爐+DH?=8,HF=y）CH2+CF2=72-則

EF=EH+HF=2?，故④正確；同理可證明A/BE之△DQE,得到。0=/2=2,則CQ=4；證明

13

△ABEs.DEH,求出CH=3,再證明△Z）//EsAic/7F,求出S=3DE=3,則

FQ=yjcQ2+CF2=5,故⑤錯(cuò)誤；

【詳解】解：：四邊形是正方形，

NADC=ZBCD=90°,

：.ZZH/+乙D~E=90。，

PQ1EF,

/郎+/田/=90°,

AD-E=/海，

AD-E=ACFF,

:.&EP=NCHF,故①正確；

：/Q57=NACF=90°,ZEHQ=ZCHF,

AEHQ^ACHF,故②正確;

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，如圖2,

???￡是40的中點(diǎn)，

：.AE=ED,

在4PAE和AQDE中，

Z=ZEDQ=90°

<AE=ED,

ZAEP=ZDEQ

；.APAEAQDE（ASA）,

：.PE=EQ,PA=DQ,

?.,PQLEF,

.?.PC=QC,

設(shè)尸Z=%,則。。=%,

:,PC=CQ=2+x,PB=2-x,

在RMPBC中，由勾股定理得夕。2=必2+5。2,

.*.（2-X）2+22=（2+x）2,

解得：x=g，

：.FB=2--=-,

22

：.3PA=PB,故③正確；

如圖3所示，

Q

圖3

?:AP=BP,即P是48中點(diǎn)，

81=AE—BD=1,

：.ZAEP=45°f

?：/PEF=90。,

：.NDEH=45。,

???ADEH是等腰直角三角形，

DH=DE=1,/DHE=45°,

:,CH=CH=3NCHF=45。,

同理可得C^=c/=1,

EH=ylDE2+DH2=叵HF=>JCH2+CF2=也,

EF=EH+HF=2yfl，故④正確；

當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)8重合時(shí)，

同理可證明△/8￡烏△。鹿，

/.DQ=AB=2,

；.C0=4；

,//ABE=ZDEH,ZA=ZEDH=90°,

:.AABESADEH,

.DH_DE口門(mén)DH

即——

AB1-2

：.DH一，

2

_3

：.CH-一，

2

,/ZEDH=ZFCH=90°,ZDHE=ZCHF,

：.叢DHEs叢CHF,

.CFCH

??一—3,

DEDH

：.CH=3DE=3,

/.FQ=y]CQ2+CF2=5,故⑤錯(cuò)誤;

Q

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理,

等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，根據(jù)題意畫(huà)出對(duì)應(yīng)的示意圖是解題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

,bdf2八.b-d+f

11.已知一=一=4=7，且na—c+ewO,則n-------=_______.

ace3a-c+e

【答案】I

222

【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握比例的性質(zhì)得到6===是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)比例的性質(zhì)，由2=。=工=3,得到到6=3a,d=3cJ=3e,再代入計(jì)算即可求解.

ace3333

【詳解】解：已知2=4=2=3，

ace3

2222Z、

,jjr-a—cH—e-ici-c+e)

..b-d+j=333=3、'，

a-c+ea-c+ea-c+e

:〃一c+eW0,

2

?，?原式=5,

故答案為：I.

12.如圖，在A/3C中，D、E分別是邊/C和A8上的點(diǎn)，且。ENBC,請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使得A/8C

與A4EZ）相似，你添加的條件是（任填一個(gè)）.

【答案】/AED=/C或N4DE=NB或—=—（答案不唯一）

ACAB

【分析】本題考查了相似三角形的判定，理解圖示，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)圖示，與ANED有一個(gè)公共角結(jié)合相似三角形的判定方法進(jìn)行推理即可求解.

【詳解】解：在“8C中，D、E分別是邊NC和48上的點(diǎn)，且DEwBC,

ZA=ZA,

添加條件：NAED=NC,

.??兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似，即A/3CSA4DE；

添加條件：ZADE=ZB,

兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似，即A/5CSA/DE；

?,有①AEAD

添加條件：—=—，

ACAB

...兩邊對(duì)應(yīng)成比例，其夾角相等的兩個(gè)三角形相似，即A/3CSA4OE；

ApAD

綜上所述，添加條件為：ZAED=ZC^ZADE=ZB^--=--

ACABf

AFAD

故答案為：/4ED=NC或N4DE=NB或下=不（答案不唯一）.

ACAB

13.如圖，A4B。與△42'。是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，點(diǎn)?的坐標(biāo)為（5,-2）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為

（-10,4）,則相似比為.

【分析】先由勾股定理算出。/=2屈，04=回,再結(jié)合位似的性質(zhì)進(jìn)行列式代入數(shù)值，進(jìn)行計(jì)算即可

作答.本題考查位似變換，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：點(diǎn)/的坐標(biāo)為(5,-2),點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-10,4),

OA=V100+16=2a,OH=J25+4=729,

^ABO與△42'。是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，

.AO2后.

??押一石’

相彳以比為2：1,

故答案為：2：1.

14.寧霞做測(cè)量陽(yáng)光下旗桿長(zhǎng)度的試驗(yàn)時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)校的旗桿是在一個(gè)臺(tái)座上的(如圖所示).經(jīng)測(cè)量旗桿底部

■8點(diǎn)到臺(tái)座邊緣C的距離為1m,每級(jí)臺(tái)階高0.2m,階面長(zhǎng)0.3m,旗桿落在水平地面上的影長(zhǎng)

DE=l6Am,此時(shí)，豎直放在水平地面上1m長(zhǎng)的測(cè)桿的影長(zhǎng)為1.5m,則學(xué)校的旗桿高度是

m.

【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用.熟練掌握相似三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

如圖，記48、EQ延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為O,由題意知，08=3x0.2=0.6m,OD=l+2x0.3=1.6m,貝lj

AC)1AC)1

OE=OD+DE=lSm,依題意得，—,即上=——，可求40=12,AB=AO-OB,計(jì)算求解

即可.

【詳解】解：如圖，記45、延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為

由題意知，05=3x0.2=0.6m,OD=1+2x0.3=1.6m,

OE=OD+DE-18m,

??,豎直放在水平地面上1m長(zhǎng)的測(cè)桿的影長(zhǎng)為1.5m,

AO―,即史」

~OE1.5181.5

解得，/。=12,

AB=AO-OB=UAm,

故答案為：11.4.

15.如圖，已知ABHEFHCD,若/8=6cm,CD=9cm,貝.

【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，解答本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì);

EFCFEFBF

mABHEFUCD,可得^BEF^BDC,根據(jù)-^==，—=即可求解;

ABnCCDBC

【詳解】解：由ABIIEFIICD,

可得△CEFSAC4B,ABEFSABDC,

HEFCFEFBF

故-----=------，------=------

ABBCCDBC

皿EFEFCFBF

故------1---=----1---=1A，

ABCDBCBC

EFEF1

——+——=l

6

解得EF=不

1o

故答案為：y

16.如圖，在矩形N3C。中，AB=1,CB=2,連接4C,以對(duì)角線NC為邊，按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦?/p>

/CC固，使矩形NCC圈相似于矩形4BCD；再連接/G，以對(duì)角線/G為邊，按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦?/p>

AQC2B2,使矩形/。。2不相似于矩形/CG耳；…按照此規(guī)律作下去.若矩形N8CD的面積記作矩形

/CC■的面積記$2,矩形"GG外的面積記作53,…，則S2024的值為.

023

【答案】2x(t5V

【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律.

根據(jù)已知和矩形的性質(zhì)可分別求得/C,再利用相似多邊形的性質(zhì)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律S“=2X]￡|

【詳解】???四邊形/BCD是矩形，

.-.AB1BC,

AC=yjAB2+CB2=+2?=亞,

1??按逆時(shí)針?lè)较蜃骶匦蜛BCD的相似矩形4cQB、,

矩形的邊長(zhǎng)和矩形ABCD的邊長(zhǎng)的比為石：2,

矩形ACCB的面積和矩形ABCD的面積的比5:4,

^=2x1=2,

2

5

S3=2X

22023

$2024=2X

2023

5

故答案為2x

三、(本大題共4小題，每小題6分，共24分)

17.如圖，小明和爸爸二人配合測(cè)量小區(qū)內(nèi)一棵樹(shù)的高度小明在距離樹(shù)0.3m的8處(Z8=0.3m),看

樹(shù)的頂端。的視線為互＞,原地再看爸爸的頭部，視線為E尸，爸爸經(jīng)過(guò)移動(dòng)調(diào)整位置，當(dāng)時(shí)爸爸

停止移動(dòng)，這時(shí)測(cè)得=已知點(diǎn)A,B,C在地平面的一條直線上，樹(shù)和二人都垂直于這條直線,

小明的眼睛到地面的距離￡8=1.6m,爸爸的身高C尸=1.8m,求樹(shù)的高度4D.

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，過(guò)點(diǎn)E作EG1C產(chǎn)于點(diǎn)G,延長(zhǎng)GE交

AD于點(diǎn)、H,則先證明四邊形CBEG和四邊形/打仍是矩形，得到/〃=8E=CG=1.6m,

FGEG

EG=BC=0.Sm,HE=AB=03m,再證明△即Gs△。酸可得一二一,求得DH,進(jìn)而可求得力。

EHDH

即可得到答案.

【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EGLC尸于點(diǎn)G,延長(zhǎng)GE交AD于點(diǎn)則

D

?：CFVAC,ADVAC,BE1AC,

1?四邊形CBEG,四邊形/〃仍是矩形.

AH=BE=CG=1.6m,EG=BC=1.1—0.3=0.8m,HE=AB=0.3m,

???/FGE=/EHD=/FED=90°,

/.ZEFG+ZFEG=ZFEG+NDEH=90°，

ZGFE=ZDEH,

:.AEFGs八DEH，

FGEG1.8—1.60.8

即nn-------二----

0.3DH

解得QH=1.2m,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

AD=DH+AH=1.2+1.6=2.8m,

答:樹(shù)的高度/。為2.8m.

18.如圖，已知直線4，4，4分別截直線乙于點(diǎn)A,B,C,截直線4于點(diǎn)。，E,F,且4〃/2〃/3.

(1)如果/5=4,BC=8,EF=12,求。石的長(zhǎng);

(2)如果。尸=2:3,AC=25,求力5的長(zhǎng).

【答案】⑴加=6

(2)43=10

【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握定理并找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵.

（1）由平行線分線段成比例定理得到.="，代入已知線段長(zhǎng)度即可得到。E的長(zhǎng)；

BCEF

ARr）p4Rr）p74R0

（2）由平行線分線段成比例定理得到力;=隹，由。氏斯=2:3得到力；=隹=/，BP——即

BCEFBCEF325-AB3

可得到的長(zhǎng)，

【詳解】(1)解：Y/i〃4〃4，48=4,BC=8,EF=12,

ABDE

BC~EF

BP-=—,

812

解得:DE=6；

(2)解：\-l//l//l——=-,AC=25

l23fEF3f

ABDE

.就一而‘

4B2

即

25-AB3

解得：AB=10.

19.一個(gè)矩形4BCD的較短邊長(zhǎng)為2.

（1）如圖1,若沿長(zhǎng)邊對(duì)折后得到的矩形與原矩形相似，求5c的長(zhǎng)；

⑵如圖2,已知矩形Z3C。的另一邊長(zhǎng)為4,剪去一個(gè)矩形4BE尸后，余下的矩形EFDC與原矩形/BCD相

似，求矩形E￡DC的面積.

【答案】（1）20

（2）2

11DMMN

【分析】（1）根據(jù)題意可得“V=N3=2,MD=-AD=-BC,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得一百二六，據(jù)此

22ABZ>C

代值計(jì)算即可；

（2）根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得名=生，然后利用比例性質(zhì)求出。尸，再利用矩形面積公式計(jì)算矩形EEDC

的面積.

【詳解】(1)解：由題意得腦V=/B=2,MD=^AD=^BC,

?沿長(zhǎng)邊對(duì)折后得到的矩形與原矩形相似，

/.矩形DMNC與矩形ABCD相似，

.DM__MN

1

DMBC=ABMN,即一"7=4,

2

BC=2日

(2)解：:矩形瓦DC與原矩形相似,

.DFCD

??而一而‘

,:AB=CD=2,3C=4,

“絲0=1,

BC

.?.矩形或⑦C的面積=CD?DF=2x1=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的

比相等，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形；相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

20.如圖，在△4BC中，點(diǎn)。、E分別在邊NC、48上，AB=2AD,AC=2AE.

(1)求證：A4DEs44BC；

s

(2)若4D=3,AE=2,求^也的長(zhǎng).

、4BDE

【答案】(1)見(jiàn)詳解

1

⑵不

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，比的利用等知識(shí).熟練掌握相似三角形的判定是解此題的

關(guān)鍵.

(1)首先得到二=二，然后結(jié)合4=//即可證明；

(2)由已知條件可得出。C=/C-CD=1,BE=AB-AE=4,根據(jù)等高三角形面積比等于三角形的底比

SAE21qAD3

可得出底『5,「即==I=3,進(jìn)步即可得出答案.

、ACDE1

【詳解】（1）證明：：48=240,AC=1AE

.AB_AC

ADAE

.AB_AC

''AD~AE

XVN/=N4,

???LADEs"BC.

(2)解：AE=2,AD=3,AB=2AD,AC=2AE,

AC=4,AB=6,

；?DC=4C—CD=1,BE=AB—AE=4,

SAE21SAD3

根據(jù)等高三角形面積比等于三角形的底比可得出：產(chǎn)APn=”=7=不，—AFD=赤=彳=n3,

b^BDEBE42b^CDE1

,*S&CDE-T^AAED'SABDE=2s"ED

?Vr°"ED1

??屋CDE_3_1

SABDE2s“ED6

四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）

21.如圖，點(diǎn)。在△45。的3C邊上，/BAD=/BCA.

⑵若AB=36,BC=7,求CD的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)詳解

嗚

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)，正確推出比例線

段是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等證明△ABZAACBN；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論推盤(pán)=挈，把有關(guān)線段的值代入計(jì)算即可.

nCBA

【詳解】(1)證明：?.?/A4D=/C,/8=/JB

.AABDsACBA；

(2)解：?；"BDSACB4,

BA_BD

.就一位，

:AB=36，BC=7,

77

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，B,。兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,-1),(2,1).

(1)以原點(diǎn)O為位似中心，在1軸左側(cè)將△O2C放大到原來(lái)的2倍，并畫(huà)出放大后的△OQC；

⑵分別寫(xiě)出B,C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)夕，C'的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)〃(x,y)在的內(nèi)部，請(qǐng)直接寫(xiě)出經(jīng)過(guò)(1)的變化后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)AT的坐標(biāo)是.

【答案】(1)見(jiàn)解析；

(2)B'的坐標(biāo)為(-6,2),點(diǎn)的坐標(biāo)為(-4,-2)；

(3)(-2m,-2w).

【分析】(1)根據(jù)位似圖形的性質(zhì)和位似比作圖即可,；

(2)由(1)中圖形即可寫(xiě)出〃，C'的坐標(biāo)；

(3)利用位似比及點(diǎn)M的坐標(biāo)即可求解；

本題考查了作位似圖形，坐標(biāo)與圖形，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：如圖，△OB'C即為所求，

(2)解：由圖可得點(diǎn)？的坐標(biāo)為(-6,2),點(diǎn)C，的坐標(biāo)為(-4,-2)；

(3)解：?..△08C內(nèi)部有一點(diǎn)位似比為2,

:.其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2〃Z,-2〃)，

故答案為：(-2機(jī),-2〃).

23.如圖，在△4BC中，NB4c=90°,4D是2c邊上的中線，過(guò)點(diǎn)C作ZM的平行線CE,S.CE=CD,

連接/E.

⑴求證：四邊形/DCE是菱形；

(2)當(dāng)△N8C滿足時(shí)，四邊形/QCE是正方形.請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)連接BE交4D于尸，若8c=8,則/尸=.(請(qǐng)直接寫(xiě)出答案)

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)當(dāng)△N8C滿足是等腰直角三角形時(shí)，四邊形ADCE是正方形，理由見(jiàn)解析

⑶2

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)可得C0=40,推出4O=C￡,結(jié)合/D〃CE得出四邊形ZDCE是平行四

邊形，再結(jié)合CE=C。即可得證；

(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得4。工3C,即N4DC=90。，即可得證；

(3)由直角三角形的性質(zhì)可得由(1)可得：四邊形/DCE是菱形，得出

AE//CD,AE=CD=BD,進(jìn)而得出AAD尸尸，由相似三角形的性質(zhì)可得空=絲，推出

AFAE

DF=AF,即可得解.

【詳解】(1)證明：???在△45。中，ZBAC=90°f40是3c邊上的中線，

：.CD=AD,

?：CE=CD,

：.AD=CE,

???AD//CE,

???四邊形ADCE是平行四邊形，

?:CE=CD,

???四邊形/oc石是菱形；

(2)解：當(dāng)△NBC滿足是等腰直角三角形時(shí)，四邊形/OCE是正方形，理由如下：

VAB=AC,是邊上的中線，

???AD1BC,

：.ZADC=90°,

?,?菱形ZOCE是正方形；

(3)解：???在△Z5C中，ABAC=9^,4。是邊上的中線，

AD=CD=BD=-BC=4,

2

由(1)可得：四邊形"OCE是菱形，

AE//CD,AE=CD=BD,

：.八BDFs小EAF,

.DF_BD

…下一商’

???DF=AF,

,:DF+AF=AD,

：.AF=2.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、

相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

五、(本大題共2小題，每小題12分，共24分)

24.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=+c與％軸交于41,0),8(—4,0)兩點(diǎn)，與歹軸交于點(diǎn)

C.

(1)求拋物線的表達(dá)式.

(2)若點(diǎn)P在拋物線上，且位于第三象限.

①如圖1,作軸于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)、E.若石為心的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

②如圖2,連接NP,BP,NP交3c于點(diǎn)。，記AAP。的面積為W，A/8。的面積為$2,求得的最大值.

d2

13

【答案】(1)>=5/+5》一2

4

⑵①點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1;②w

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)①先求出。(0,-2),利用待定系數(shù)法求出直線3C的解析式為>設(shè)

尸］機(jī)■加？+|■加一2，-4c加<0),則D(m,0),《機(jī)，(加？+j機(jī)-1),代入直線3c解析式得出

113

--m-2=-m2+-m-l,求解即可；②作尸尸〃x軸，與3C的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)下，則△力50s△力邊，由相似

244

PQPFSPQPFS1「廣

三角形的性質(zhì)可得翳=弁，推出芳}二甫=二百，由題意可得/5=5,則消}=￡W，設(shè)

AQABS2AQABS25

+-|m-2^(-4<m<0),則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為:冽？十_1初一2,代入直線3c得出

Fy-m1-3m,—m2+—m-2j,從而得出尸尸=一加之一3加一加=一加2一4加，表示

—=—PF=-(-m2-4m)=(m+2)2+—

V7V7即可得解.

S25555

【詳解】⑴解：??,拋物線V=；/+bx+c與1軸交于5(-4,0)兩點(diǎn),

—+b+c=0

8—4b+。=0

解得：\2,

c=-2

1a

.??拋物線的解析式為7=+|^-2；

i3

(2)解：①在了=]/+3》一2中，令x=0,則y=-2,即C(0,-2),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+t,

-4k+，=0

將5(-4,0),C(0,-2)代入解析式得

t=-2

k=—

解得：,2,

t=—2

：.直線BC的解析式為y=-^x-2,

設(shè)加,;加2+1"機(jī)-2)(-4<m<0),則￡>(/?,0),

為的中點(diǎn)，

E\m,—m2+,

I44J

^E\m,—m2加―1]代入直線BC得加一2=!加2+—^-1,

V44)244

整理得：m2+5m+4=0;

解得：加=-1或加=-4(不符合題意，舍去)，

???點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為-1；

②如圖，作尸尸〃x軸，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)廠，

則小ABQs小PFQ,

.PQPF

??拓一而

△W的面積為H,4BQ的面積為§2，

.S{_PQ_PF

?笈一而一罰，

???4(1,0),5(-4,0),

4B=5,

.縣」PF,

,,S25

設(shè)尸]加,;加i3

2+^-m-2j(-4<m<°)則點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為萬(wàn)/+-m-2,

丁點(diǎn)尸在直線BC上,

13113

???令V=_m2+一加_2,貝——x-2=—m2+—m-2

222229

.*?x=-m2-3m，

.2Q]23

..r-m-3m,—m+—m-2

(22

PF=-m2-3m—m=-m2-4機(jī),

；尸尸=[(一加2_甸=一：(機(jī)+2)2+1

二當(dāng)機(jī)=-2時(shí)，卷取得最大值，最大值為之.

【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函

數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

25.如圖①，在RtZ\48C中，N5=90。，AB=15cm,BC=20cm.BD1AC,垂足為。.