第六章平面向量及其應(yīng)用全章綜合測(cè)試卷（提高篇）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分40分，每小題5分）1．（5分）（2023下·黑龍江哈爾濱·高一?？茧A段練習(xí)）下列命題：①若|a|=|b②a=b的充要條件是|③若a∥b,④若A?B?C?其中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)向量共線的概念依次判斷各選項(xiàng)即可得答案【解答過(guò)程】解：對(duì)于①，若|a對(duì)于②，當(dāng)a=?b時(shí)也滿足|a對(duì)于③，當(dāng)b=0時(shí)，滿足a∥對(duì)于④，若A?B?C?故真命題的個(gè)數(shù)是1個(gè).故選：B.2．（5分）（2023下·安徽亳州·高一亳州二中校考期中）已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，AB=4e1+2e2，BC=?e1+λeA．12 B．2 C．4 D．【解題思路】根據(jù)已知求出AC=3e1+λ+2e2【解答過(guò)程】由已知可得，AC=AB+因?yàn)锳，C，D三點(diǎn)共線，所以AC,則?μ∈R，使得AC即3e整理可得3?μe因?yàn)閑1，e所以有3?μ=0λ+2?μ+μλ=0，解得λ=故選：D.3．（5分）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）向量a=（1,3），b=3x?1,x+1，c=5,7，若A．2 B．52 C．3 D．【解題思路】先利用平面向量加減法的坐標(biāo)運(yùn)算和向量共線的坐標(biāo)表示求出x=1，再利用向量的坐標(biāo)表示得到關(guān)于m、n的方程組進(jìn)行求解.【解答過(guò)程】由題意，得a+b=因?yàn)閍+b∥a+則c=m即m+2n=53m+2n=7，解得m=1n=2，故故選：C.4．（5分）（2023上·天津東麗·高三?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，若AD=4，BD=2，點(diǎn)M為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，則AM?BC?

A．169 B．214 C．6【解題思路】利用平面向量的線性表示和數(shù)量積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題求解.【解答過(guò)程】根據(jù)題意可得，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60所以∠CFB=∠AEC=∠BDA=120又因?yàn)锳D=4,BD=2，所以BF=CE=AD=4,BD=DF=CF=EF=AE=DE=2，設(shè)EM=λEC0≤λ≤1所以MD=AM?BC=所以AM=?4λ=?16λ=?16λ令fλ當(dāng)λ∈0,12當(dāng)λ=12，AM?故選：D.5．（5分）（2023上·天津武清·高三校考階段練習(xí)）在△ABC中，BD=13BC，E是線段AD上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)CE=xA．10 B．4 C．7 D．13【解題思路】由已知條件結(jié)合平面向量基本定理可得x+32y=1，x>0,y>0【解答過(guò)程】因?yàn)锽D=13因?yàn)镃E=xCA+y因?yàn)锳,D,E三點(diǎn)共線，所以x+32y=12x+3y+xy=2x當(dāng)且僅當(dāng)2xy=9y故選：D.6．（5分）（2023下·上海青浦·高一?？茧A段練習(xí)）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）若a2tanB=（2）若sinA=cosB（3）若cosAcosB（4）若cos(A?B)cos(B?C)A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】利用三角形的性質(zhì)、正弦定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行計(jì)算求解.【解答過(guò)程】△ABC中，a2sin2A?sinBcos所以sinAcosB=sin所以2A=2B或2A+2B=π△ABC中，因?yàn)閟inA=cosB>0所以A+B=π2或△ABC中，cosAcosBA∈π2,π，當(dāng)cosA,cosB,則A∈π2,π，B∈0,△ABC中，A,B,C∈0,π，所以所以cos因?yàn)閏os(A?B)所以cos(A?B)=cos(B?C)=則△ABC是等邊三角形，故（4）正確；故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.7．（5分）（2023上·寧夏石嘴山·高三校考階段練習(xí)）在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，記△ABC的面積為S，若(b2?a2)A．(1,5) B．(2+1,5) 【解題思路】利用余弦定理、正弦定理，三角形面積的正弦表示以及三角恒等變換化簡(jiǎn)得出B=2A，利用△ABC為銳角三角形求出角A的取值范圍，由正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出b+ca=2【解答過(guò)程】由題意得：S=12ac又sinB>0，得：a由余弦定理得：a2+ac=b由正弦定理得:sin=sinAcos因?yàn)椋築,A∈0,π2又因?yàn)檎液瘮?shù)y=sinx在?π2,則：C=π因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，則：0<A<π20<2A<π2所以：b+ca==sin令：t=2cosA∈2,3故b+ca故選：D.8．（5分）（2023上·上海浦東新·高三?？奸_學(xué)考試）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓O的半徑2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且OP=2，弦AC,BD均過(guò)點(diǎn)P，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

A．PA?PC為定值 B．OAC．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，AB?CD為定值 D．【解題思路】過(guò)O,P作直徑EF，利用向量加減幾何意義得PA?PC==?(|OF|?|OP|)(|OF|+|OP|)判斷A；若M為AC中點(diǎn)，連接OM，應(yīng)用向量線性運(yùn)算的幾何意義及數(shù)量積的運(yùn)算律、圓的性質(zhì)得OA?OC【解答過(guò)程】如圖，過(guò)O,P作直徑EF，由題意PA?所以PA=?(|OF若M為AC中點(diǎn)，連接OM，則OA=OM由題意0≤OM2≤若AC⊥BD，故PB?則AB?又PA?PC=?2，則AP?CP因?yàn)锳C≤4,BD≤4，則當(dāng)弦AC,BD均與EF

故選：B.二．多選題（共4小題，滿分20分，每小題5分）9．（5分）（2023下·黑龍江哈爾濱·高一校考階段練習(xí)）下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若a=b，則a、B．若向量a，b滿足a>b，且同向，則aC．若a≠b，則a與D．若非零向量AB與CD平行，則A、B、C、D四點(diǎn)共線【解題思路】因?yàn)橄蛄渴鞘噶?，具有大小和方向，是不能比較大小的，即可判斷選項(xiàng)A、B；再利用共線向量的含義可判斷選項(xiàng)C、D.【解答過(guò)程】對(duì)于A項(xiàng)，a=b只能說(shuō)明a、對(duì)于B項(xiàng)，向量不能比較大小，因而選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，a≠b只能說(shuō)明a、對(duì)于D項(xiàng)，AB與CD平行，可能AB//CD，即A、B、C、D四點(diǎn)不一定共線，因而選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABD.10．（5分）（2023下·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在同一平面內(nèi)，兩個(gè)斜邊相等的直角三角形放置在一起，其中AB=1,∠A=∠DCE=π2,∠ACB=A．AE=13C．AD?AB=【解題思路】根據(jù)平面向量加減運(yùn)算法則可知A錯(cuò)誤，B正確；由轉(zhuǎn)化法利用平面向量數(shù)量積定義即可求得C錯(cuò)誤，D正確.【解答過(guò)程】由AB=1可得BC=DE=2，則CE=CD=2所以AE=易知AD=AE?易知AD?由AD=3?0+2故選：BD.11．（5分）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為1，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則（

）A．AH與CF能構(gòu)成一組基底 B．OAC．AG在AB向量上的投影向量的模為22 D．PA?【解題思路】A選項(xiàng)，作出輔助線，證明出∠BAF=90°，從而建立平面直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到AH與CF平行，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，求出OA,C選項(xiàng)，求出AG，AB，利用投影向量的計(jì)算公式求出答案；D選項(xiàng)，取AB的中點(diǎn)M，得到PA?PB=PM2【解答過(guò)程】連接AF，因?yàn)椤螦OB=45°，故∠OAB=180°?45°因?yàn)椤螦OF=3×45°=135°，故∠OAF=180°?135°故∠BAF=67.5°+22.5°=90°，以AB所在直線為x軸，AF所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A故AH=故?2所以AH與CF平行，不能構(gòu)成一組基底，A錯(cuò)誤；O12,2+1OB=故OA+G?22,2故AG在AB向量上的投影向量的模長(zhǎng)為AG?取AB的中點(diǎn)M，則PA+PB=2則PA+PB2兩式相減得：PA?當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E或F重合時(shí)，PM2最大值為AM則PA?PB的最大值為故選：BCD.12．（5分）（2023下·高一單元測(cè)試）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且tanA+tanB=A．A=B．若a=2，則該三角形周長(zhǎng)的最大值為6C．若△ABC的面積為2，a，b，c邊上的高分別為?1,?2,?D．設(shè)BD=c2b+cBC，且AD=1【解題思路】A選項(xiàng)，利用正弦定理和三角恒等變換得到sinCcosAcosB=3sinCsinAcosB，從而得到tanA=3，求出A=【解答過(guò)程】A選項(xiàng)，tanA+tanB=而sinA故sinC因?yàn)?<C<π且cosB位于分母位置，故所以tanA=又0<A<π所以A=πB選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知：A=πa2所以(b+c)2≤16，b+c≤4，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)a+b+c≤6，所以周長(zhǎng)的最大值為6，故B正確；C選項(xiàng)，結(jié)合三角形面積公式得12a?1=2則?1又因?yàn)镾△ABC=1結(jié)合余弦定理得a2=b所以?1?2所以t2的最大值為24對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)锽D=c2b+cAD=兩邊平方并化簡(jiǎn)得|AD即(c+2b)2=7b2c所以b+2c=1當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)，所以b+2c的最小值為97故選：BCD．三．填空題（共4小題，滿分20分，每小題5分）13．（5分）（2023下·天津西青·高一校考期中）已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，AB=ma+2b，BC=3a+mb，若A，B【解題思路】利用兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義求出AC的坐標(biāo)，把A，B，C三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為AC＝【解答過(guò)程】由題意可得AC=∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴AC＝∴3+ma故有λm=3+m2λ=2+m，解得m=6λ=故答案為：±614．（5分）（2023下·重慶南岸·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，已知AB=2,AC=3,∠BAC=60°，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，且AB=2AD,AC=3AE，點(diǎn)F為線段DE上的動(dòng)點(diǎn)，則BF【解題思路】設(shè)DF=λDE0≤λ≤1，以AB,AC為基底，將BF,CF【解答過(guò)程】因?yàn)锳B=2,AC=3,∠BAC=60°，所以AB2=AB設(shè)DF=λ則BF=?1CF=?2則BF==λ對(duì)于y=λ2?所以y=λ2?32當(dāng)λ=0時(shí)，BF?CF=當(dāng)λ=34時(shí)，BF?所以BF?CF的取值范圍是故答案為：?115．（5分）（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)a,b為不共線的向量，滿足c=λa+μb,3λ+4μ=2(λ,μ∈R)，且c【解題思路】采用建系法，令a=OA,b=【解答過(guò)程】令a=OA,即|OC則點(diǎn)C為△OAB的外心，因?yàn)閨a設(shè)B(?32則點(diǎn)O(x0,由OC=λOA+μ解得x0聯(lián)立3λ+4u=2和C:x解得m=33=6當(dāng)且僅當(dāng)12?λ=故S△OAB[=[|故答案為：324.16．（5分）（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）剪紙，又叫刻紙，是一種鏤空藝術(shù)，是中華漢族最古老的民間藝術(shù)之一．如圖，一圓形紙片直徑AB=20cm，需要剪去四邊形CEC1已知點(diǎn)C在圓上且AC=10cm，∠ECD=30°．則鏤空四邊形CEC1D的面積的最小值為【解題思路】由對(duì)稱性可得SCEC1D=2SCED，所以求△CED面積的最小值即可，設(shè)CE=a,CD=b,ED=c，根據(jù)AB=20,AC=10,∠ECD=30°可得∠CAE=60°【解答過(guò)程】由對(duì)稱性可得SCEC1如圖所示，設(shè)O為圓心，連接AC，作CG⊥AB于G，由題意AC=AO=OC=10，所以∠OAC=60°，所以CG=CA?sin設(shè)CE=a,CD=b,ED=c，由面積公式S△CED=1由余弦定理32=a又根據(jù)基本不等式可得3ab=a2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=300(2?所以S△CED所以四邊形CEC1D故答案為：150(2?3四．解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）（2023下·廣東東莞·高一校考階段練習(xí)）已知a=2，b=3，(1)求a+(2)當(dāng)k為何值時(shí)，ka?b(3)求向量a與a+【解題思路】（1）先求得a?b，然后通過(guò)平方的方法求得（2）根據(jù)向量垂直列方程，化簡(jiǎn)求得k的值.（3）根據(jù)向量的夾角公式求得正確答案.【解答過(guò)程】（1）依題意，a+所以a+（2）若ka?b則ka解得k=17（3）a?設(shè)向量a與a+b的夾角為則cosθ=18．（12分）（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，如果AB=3e1(1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定λ的值，使2λe1+(3)若e1+λe2與【解題思路】（1）要證明A，B，D三點(diǎn)共線，只需證明向量AB與BD共線；（2）兩向量2λe1+e2與e1+λ（3）知兩向量不共線，求參數(shù).可先求兩向量共線時(shí)的參數(shù)值，實(shí)數(shù)集中去除這些值，即為不共線的參數(shù)值或范圍.【解答過(guò)程】（1）證明：因?yàn)锽D=所以AB與BD共線.因?yàn)锳B與BD有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線.（2）因?yàn)?λe1+所以存在實(shí)數(shù)μ，使2λe因?yàn)閑1，e2所以λ=±2（3）假設(shè)e1+λe2與λe因?yàn)閑1，e2所以λ=±1.因?yàn)閑1+λe所以λ≠±1.19．（12分）（2023下·湖北黃岡·高一校聯(lián)考期末）已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，AB=2e1+e2，BE=?(1)求實(shí)數(shù)λ的值；(2)若e1=(3,1)，e2(3)已知D(?12,3)，在(2)的條件下，若A，B，C，D【解題思路】（1）AE//（2）BC=（3）根據(jù)題意得AD=【解答過(guò)程】（1）AE=因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得AE=k即e1+(1+λ)因?yàn)閑1，e2解得k=?12，（2）BC=BE+（3）設(shè)A(x,y)，由題意可得AD=∴?12?x=?∴x=8，y=5.∴A(8,5).20．（12分）（2023下·浙江·高一湖州中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)P,Q分別是正方形ABCD的邊DC、CB上兩點(diǎn)，AB=1，∠PAQ=θ，記點(diǎn)O為△APQ的外心.(1)若DP=λDC，CQ=λCB，(2)若θ=45°，求AP?(3)若θ=60°，若AO=xAP+y【解題思路】（1）建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得AP?（2）設(shè)∠QAB=α∈0,π4，求得AP?AQ（3）設(shè)AP=a，AQ=b，將3x+6y表示為關(guān)于a,b的表達(dá)式，求得ba【解答過(guò)程】（1）以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，建立直角坐標(biāo)系.Pλ,1，Q所以PA?（2）設(shè)∠QAB=α∈0,π4則Q1,tanαPA=2由于tanα+1∈1,2，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知（3）AO?AO?設(shè)AP=a，AQ=b，則這兩個(gè)式子為化簡(jiǎn)得a=2xa+yb,解得x=所以3x+6y=32a?b設(shè)∠QAB=α∈0,π6令t=b所以由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得3x+6y=6?b所以當(dāng)α=π6時(shí)，即點(diǎn)P與D點(diǎn)重合時(shí)，3x+6y取到最大值21．（12分）（2023下·江蘇南京·高一?？茧A段練習(xí)）在銳角△ABC中，cosA=22，點(diǎn)O(1)若AO=xAB+y(2)若BC=①求證：OA+②求3OA【解題思路】（1）推導(dǎo)出AO?AC=12AC2，AO?AB=12AB（2）①證明出sin2B?OB?cos2B?OC=AO，設(shè)OA與sin2B?②計(jì)算出△ABC的外接圓半徑為1，可得3OA+2OB+OC【解答過(guò)程】（1）解：如下圖所示：取AB的中點(diǎn)D，連接OD，則OD⊥AB，所以，AO?同理可得AO?由平面向量數(shù)量積的定義可得AB?因?yàn)锳O=xAB+y即12AB2AO?AC=x所以，2x聯(lián)立①②可得x=1?22?所以，x+y=2?2當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)，等號(hào)成立，故x+y的最大值為（2）解：①因?yàn)閏osA=22，0<A<由圓的幾