查補(bǔ)易混易錯07直線與圓直線與圓是高中重要知識點(diǎn)之一，也是圓準(zhǔn)曲線的基礎(chǔ)之一，課標(biāo)全國卷中一般是一道考察圓的選填小題，圓錐曲線中考察直線和圓錐曲線的位置關(guān)系是重點(diǎn)和熱點(diǎn)，直線與圓在其他知識交匯處是以工具的形式出現(xiàn)。考察傾斜角與斜率的關(guān)系，考察直線方程形式，考察直線平行與垂直關(guān)系，考察圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程應(yīng)用，考察直線與圓的位置關(guān)系，考察圓的切線方程求解及應(yīng)用。易錯點(diǎn)1：忽視（漏）兩條直線平行與垂直的判定時斜率是否存在易錯點(diǎn)2：忽視（漏）設(shè)直線方程時是否討論斜率不存在易錯點(diǎn)3：忽視（漏）傾斜角與斜率的關(guān)系不是單調(diào)增，而是應(yīng)該斜率分正負(fù)，傾斜角分銳鈍易錯點(diǎn)4：忽視（漏）圓的一般方程的限制條件易錯點(diǎn)5：忽視（漏）直線截距式時討論直線是否過原點(diǎn)、是否平行坐標(biāo)軸的情況易錯點(diǎn)6：忽視（漏）兩圓相切要討論內(nèi)切和外切兩種情況易錯點(diǎn)7：忽視（漏）過點(diǎn)求圓的切線要討論點(diǎn)是在圓上還是在圓外易錯點(diǎn)8：忽視（漏）形如型兩邊平方再配方化為圓的方程時，y0的隱含范圍一、單選題1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知，，，則角是第四象限角，故選：D.2．（2023·寧夏石嘴山·平羅中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知圓和圓，其中，則使得兩圓相交的一個充分不必要條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)范圍，結(jié)合充分、必要性定義確定答案即可.【詳解】由且半徑，且半徑，結(jié)合a大于0，所以時，兩圓相交，則，由選項(xiàng)可得A選項(xiàng)為的充要條件；B、D選項(xiàng)為的必要不充分條件；C選項(xiàng)為的充分不必要條件；故選：C3．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考三模）設(shè)甲：實(shí)數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由方程表示圓可構(gòu)造不等式求得的范圍，根據(jù)推出關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】若方程表示圓，則，解得：；∵，，，甲是乙的必要不充分條件.故選：B.4．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)分別為直線上的動點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得，從而得到其最小值為點(diǎn)到直線的距離的平方，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由且點(diǎn)，為直線上的動點(diǎn)，則即為點(diǎn)到直線的距離，所以，則，故選:C5．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）已知平面內(nèi)的動點(diǎn)，直線：，當(dāng)變化時點(diǎn)始終不在直線上，點(diǎn)為：上的動點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可分析出點(diǎn)P在：，問題轉(zhuǎn)化為兩圓上兩動點(diǎn)距離的取值范圍即可得解.【詳解】由原點(diǎn)到直線：的距離為，可知直線是：的切線，又動直線始終沒有經(jīng)過點(diǎn)，所以點(diǎn)在該圓內(nèi)，因?yàn)辄c(diǎn)為：上的動點(diǎn)，且，，∴，又，即的取值范圍為，故選：D6．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．16【答案】A【分析】將已知表示成一個以為圓心，1為半徑的圓，將問題轉(zhuǎn)化為圓上一點(diǎn)到直線距離最小值問題，從而找到解題關(guān)鍵.【詳解】依題意可知曲線表示一個以為圓心，1為半徑的圓，求的最小值相當(dāng)于先求的最小值，即求圓上一點(diǎn)到直線的距離d的最小值，所以，即的最小值為1．故選：A．7．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測），，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)，經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)），則的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題意求得關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，再數(shù)形結(jié)合得到點(diǎn)的變動范圍，從而得到，由此得解.【詳解】設(shè)直線方程為，則，解得，即，即，設(shè)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則，解得，即，，同理可得：點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，如圖所示：利用光線反射的性質(zhì)可知，當(dāng)這束光線反射后最終經(jīng)過點(diǎn)時，則其先經(jīng)過點(diǎn)；當(dāng)這束光線反射后最終經(jīng)過點(diǎn)時，則其先經(jīng)過點(diǎn)；所以點(diǎn)之間為點(diǎn)的變動范圍，因?yàn)?，，所以直線，即直線斜率不存在，而，所以，即.故選：D8．（2022·陜西寶雞·寶雞中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓，直線，過上的點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則弦中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)弦中點(diǎn)為直線和的交點(diǎn)，可設(shè)，求得直線的方程，再利用以為直徑的圓與圓的方程作差，求得直線的方程，再消去即可求得的軌跡方程【詳解】易得弦中點(diǎn)為直線和的交點(diǎn)，設(shè)，則直線的方程為，又均與圓相切，故，故四點(diǎn)共圓，且為以為直徑的圓與圓的公共弦.又以為直徑的圓的方程為，即，故的方程為相減，即.又，所以，代入有，化簡得.當(dāng)時，；當(dāng)時，均滿足方程.又當(dāng)時，不滿足題意.綜上有點(diǎn)的軌跡方程為故選：B二、多選題9．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知圓與圓，下列說法正確的是（

）A．與的公切線恰有4條B．與相交弦的方程為C．與相交弦的弦長為D．若分別是圓上的動點(diǎn)，則【答案】BD【分析】由根據(jù)兩圓之間的位置關(guān)系確定公切線個數(shù)；如果兩圓相交，進(jìn)行兩圓方程的做差可以得到相交弦的直線方程；通過垂徑定理可以求弦長；兩圓上的點(diǎn)的最長距離為圓心距和兩半徑之和，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】由已知得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，故兩圓相交，所以與的公切線恰有2條，故A錯誤；做差可得與相交弦的方程為到相交弦的距離為，故相交弦的弦長為，故C錯誤；若分別是圓上的動點(diǎn)，則，故D正確.故選：BD10．（2022·江蘇南通·海安高級中學(xué)?？级＃┮阎本€l過點(diǎn)，點(diǎn)，到l的距離相等，則l的方程可能是(

)A． B．C． D．【答案】BC【分析】分直線l斜率存在和不存在進(jìn)行討論﹒當(dāng)l斜率存在時，設(shè)其方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，解方程即可求直線l的方程．【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線l的方程為，此時點(diǎn)到直線的距離為5，點(diǎn)到直線的距離為1，此時不成立；當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，∵點(diǎn)到直線的距離相等，，解得，或，當(dāng)時，直線的方程為，整理得，當(dāng)時，直線的方程為，整理得綜上，直線的方程可能為或故選：BC．11．（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)直線l：，圓C：，若直線l與圓C恒有兩個公共點(diǎn)A，B，則下列說法正確的是（

）A．r的取值范圍是B．若r的值固定不變，則當(dāng)時∠ACB最小C．若r的值固定不變，則的面積的最大值為D．若，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時直線l的斜率為1或【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，先整理直線方程，得到直線過的定點(diǎn)，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到半徑r的范圍；B選項(xiàng)，利用平面幾何知識分析出當(dāng)時，∠ACB最小，再利用斜率之間的關(guān)系即可判斷；C選項(xiàng)，先將的面積用半徑r和圓心C到直線l的距離d表示，再利用二次函數(shù)的知識求最值即可；D選項(xiàng)，利用C選項(xiàng)得到半徑r和圓心C到直線l的距離d之間的關(guān)系，再利用點(diǎn)到直線的距離公式建立方程，求得a，b之間的關(guān)系，即可得到結(jié)果．【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)橹本€l：，即，令，解得，所以直線l過定點(diǎn)，因?yàn)橹本€l與圓C恒有兩個公共點(diǎn)，所以，故A錯誤；B選項(xiàng)：因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)，所以當(dāng)時，∠ACB最小，因?yàn)?，所以此時直線l的斜率為，即，即，故B正確；C選項(xiàng)：設(shè)圓心C到直線l的距離為d，則的面積，因?yàn)?，所以，①，即，則當(dāng)時，的面積最大，且；②若，即，則函數(shù)S隨著d的增大而增大，所以，綜上的面積的最大值為或，故C錯誤；D選項(xiàng)：由C選項(xiàng)知，當(dāng)時的面積最大，因?yàn)椋?，整理得，所以或，因?yàn)?，所以直線l的斜率，所以或，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵：（1）整理直線方程，得到直線過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系，并能利用平面幾何知識分析出圓心角何時最?。?2．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則（

）A．點(diǎn)到直線的距離最大值為B．滿足的點(diǎn)有3個C．過點(diǎn)作圓的兩切線，切點(diǎn)分別為?，則直線的方程為D．的最小值是【答案】ACD【分析】對A，求出直線AB的方程，算出圓心到該直線的距離，進(jìn)而通過圓的性質(zhì)判斷答案；對B，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)得到點(diǎn)P的軌跡方程，進(jìn)而判斷該軌跡與圓的交點(diǎn)個數(shù)即可；對C，設(shè)，進(jìn)而得到切線方程MB，NB，再根據(jù)點(diǎn)B在兩條切線上求得答案；對D，設(shè)，設(shè)存在定點(diǎn)，使得點(diǎn)在圓上任意移動時均有，進(jìn)而求出點(diǎn)P的軌跡方程，然后結(jié)合點(diǎn)P在圓O上求得答案．【詳解】對A，，則圓心到直線的距離，所以點(diǎn)P到該直線距離的最大值為．A正確；對B，設(shè)點(diǎn)，則，且，由題意，兩圓的圓心距為，半徑和與半徑差分別為，于是，即兩圓相交，滿足這樣條件的點(diǎn)P有2個．B錯誤；對C，設(shè)，則直線MB，NB分別為，因?yàn)辄c(diǎn)B在兩條直線上，所以，于是都滿足直線方程，即直線MN的方程為．C正確；對D，即求的最小值，設(shè)存在定點(diǎn)，使得點(diǎn)在圓上任意移動時均有，設(shè)，則有，化簡得，∵，則有，即，∴，則，所以，所以D正確．故選：ACD．三、填空題13．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）若直線與圓相交所得的弦長為，則_____．【答案】【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，利用勾股定理可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離為，由勾股定理可得，因?yàn)椋獾?故答案為：.14．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個圓的方程為____________．【答案】或或或．【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】[方法一]：圓的一般方程依題意設(shè)圓的方程為，（1）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（2）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（3）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或．[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心）設(shè)（1）若圓過三點(diǎn)，圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（2）若圓過三點(diǎn)，設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；（3）若圓過三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段的中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為；（4）若圓過三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段中垂線方程為，聯(lián)立得，所以圓的方程為．故答案為：或或或．【整體點(diǎn)評】方法一；利用圓過三個點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡單，運(yùn)算稍繁；方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡潔，是該題的最優(yōu)解．15．（2023·河北衡水·河北衡水中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知圓C：，點(diǎn)，點(diǎn).點(diǎn)P為圓C上一點(diǎn)，作線段AP的垂直平分線l.則點(diǎn)B到直線l距離最小值為______.【答案】/【分析】根據(jù)題意假設(shè)的中點(diǎn)，先利用代入法求得的取值范圍，再利用點(diǎn)斜式求得直線的方程，從而利用點(diǎn)線距離公式求得，進(jìn)而利用換元法與基本不等式求得點(diǎn)B到直線l距離的最小值.【詳解】依題意，設(shè)的中點(diǎn)，則，，所以，，則，因?yàn)椋?，故，所以線段AP的垂直平分線l為，即，則，所以點(diǎn)到直線的距離為，令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，即點(diǎn)B到直線l距離最小值為.故答案為：.16．（2023·湖南·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)