第1頁/共1頁2024北京重點校高二（下）期末數(shù)學匯編導數(shù)在研究函數(shù)中的應用（非解答題）一、單選題1．（2024北京豐臺高二下期末）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．2．（2024北京石景山高二下期末）已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A． B．C． D．3．（2024北京通州高二下期末）已知函數(shù)；若方程恰有三個根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024北京懷柔高二下期末）若函數(shù)，則根據(jù)下列說法選出正確答案是（

）①當時，在上單調(diào)遞增；②當時，有兩個極值點；③當時，沒有最小值．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③5．（2024北京順義高二下期末）若奇函數(shù)的定義域為在上的圖象如圖所示，則不等式的解集是（

）A．B．C．D．6．（2024北京大興高二下期末）已知函數(shù)若過點存在條直線與曲線相切，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2024北京東城高二下期末）已知函數(shù)，則“”是“為的極小值點”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．（2024北京西城高二下期末）如果在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．9．（2024北京朝陽高二下期末）已知函數(shù).設，是函數(shù)圖象上不同的兩點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．10．（2024北京豐臺高二下期末）在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)y=fx及其導函數(shù)y=f′x的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標為A．函數(shù)的最大值為1B．函數(shù)的最小值為1C．函數(shù)的最大值為1D．函數(shù)的最小值為111．（2024北京人大附中朝陽學校高二下期末）已知函數(shù)，，若對任意，都有成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．12．（2024北京第十二中學高二下期末）已知函數(shù)存在零點a，函數(shù)存在零點b，且，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．13．（2024北京大興高二下期末）已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則的極大值點為（

）A．和 B． C． D．14．（2024北京延慶高二下期末）已知函數(shù)有兩個極值點，則（

）A．或 B．是的極小值點 C． D．二、填空題15．（2024北京豐臺高二下期末）已知函數(shù)（）．給出下列四個結(jié)論：①當時，若的圖象與直線恰有三個公共點，則的取值范圍是；②若在處取得極小值，則的取值范圍是；③，曲線總存在兩條互相垂直的切線；④若存在最小值，則的取值范圍是．其中所有正確結(jié)論的序號是．16．（2024北京房山高二下期末）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①當時，在定義域上單調(diào)遞增；②對任意，存在極值；③對任意，存在最值；④設有個零點，則的取值構(gòu)成的集合是.其中所有正確結(jié)論的序號是.17．（2024北京石景山高二下期末）已知，函數(shù)有兩個極值點，給出下列四個結(jié)論：①可能是負數(shù)；②；③為定值；④若存在，使得，則.其中所有正確結(jié)論的序號是．18．（2024北京西城高二下期末）已知函數(shù)，其中．給出下列四個結(jié)論：①當時，函數(shù)有極大值，無極小值；②若方程存在三個根，則；③當時，函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩個點；④當時，存在使得函數(shù)的圖象在點和點處的切線是同一條直線．其中所有正確結(jié)論的序號是．19．（2024北京大興高二下期末）已知某商品的日銷售量單位：套與銷售價格單位：元/套滿足的函數(shù)關(guān)系式為，其中，為常數(shù)．當銷售價格為元/套時，每日可售出套．（1）實數(shù)；（2）若商店銷售該商品的銷售成本為每套3元（只考慮銷售出的套數(shù)），當銷售價格元/套時（精確到），日銷售該商品所獲得的利潤最大．20．（2024北京延慶高二下期末）已知函數(shù)，則在區(qū)間上的最大值為．21．（2024北京石景山高二下期末）已知函數(shù)的定義域為，為其導函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖所示，且，，則不等式的解集為．22．（2024北京順義高二下期末）設函數(shù)，①若，則f(x)的最小值為；②若f(x)無最小值，則實數(shù)的取值范圍是.

參考答案1．D【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可比較大小.【詳解】函數(shù)的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，又，令，則，所以（）在定義域上單調(diào)遞增，又，所以當時，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，又，所以.故選：D2．D【分析】利用導數(shù)判斷出的單調(diào)性可得答案.【詳解】，當x∈R時，，所以是單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以.故選：D.3．C【分析】結(jié)合導數(shù)分析函數(shù)的性質(zhì)，在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求出范圍.【詳解】當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，求導得，由，得，由，得，即函數(shù)在上遞增，在上遞減，當時，取得極大值，且當時，恒成立，在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當時，直線與函數(shù)的圖象有3個公共點，即方程恰有三個根，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C【點睛】思路點睛：研究方程根的情況，可以通過轉(zhuǎn)化，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，借助數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn).4．D【分析】求出導函數(shù)，結(jié)合導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，極值與導數(shù)的關(guān)系驗證各命題.【詳解】，設，，當時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，當時，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則沒有最小值，①③正確；當時，，即，設，由上面的研究可知，當時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，所以，且當時，，且，時，，所以此時方程有兩個解，即有兩個零點，所以有兩個極值點，②正確，所以正確答案是①②③.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查由函數(shù)的極值點個數(shù)求參數(shù)范圍，用導數(shù)證明不等式．解題關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化，極值點的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的實根的個數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)（函數(shù)圖象）．5．A【分析】首先得出對任意的，，從而原不等式等價于，結(jié)合圖象以及奇函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】由圖可知在上單調(diào)遞減，且也是奇函數(shù)，所以在上也單調(diào)遞減，所以對任意的，，所以當時，，當時，，當時，，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，當時，，當時，，注意到時，沒有定義，，綜上所述，不等式的解集是.故選：A.6．C【分析】設切點坐標為，由導數(shù)的幾何意義求出切線方程，轉(zhuǎn)化為有三個不等實根，利用導數(shù)分析單調(diào)性最值，畫出圖象求參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】設切點坐標為.由題意得，所以函數(shù)的圖像在點處的切線的斜率為，所以切線方程為，因為切線過點，所以，則，由題意可知,這個方程有三個不等實根.設，則，由得，由得或.所以函數(shù)在和1,+∞上單調(diào)遞減，在?1,1上單調(diào)遞增，又當趨近于正無窮時，趨近于；當趨近于負無窮，趨近于正無窮，且，所以的大致圖象如圖，所以要使直線與函數(shù)的圖象有三個交點，則.故選：C7．A【分析】在的條件下利用導數(shù)證明為的極小值點，然后說明當，時，為的極小值點，但并不成立，從而得到答案.【詳解】由題設，，若，則，故上，上，所以fx在上遞增，上遞減，故為的極小值點，從而條件是充分的；當，時，有，則，顯然上，上，所以fx在上遞減，上遞增，此時為的極小值點，但此時并不成立，從而條件不是必要的.故選：A.8．A【分析】先求導函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性得出導函數(shù)恒為正或者恒為負求參即可.【詳解】由已知，因為是單調(diào)函數(shù),所以恒成立或恒成立，所以恒成立或恒成立，所以或,所以或.故選：A.9．B【分析】令函數(shù)，求得，得到Fx在上單調(diào)遞增，且，即結(jié)合，即，即可求解.【詳解】令函數(shù)，可得，所以函數(shù)Fx在上單調(diào)遞增，所以，即當時，，即又由，即，所以，可得，所以.故選：B.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3、適當放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).10．C【分析】AB選項，先判斷出虛線部分為，實線部分為，求導得到在R上單調(diào)遞增，AB錯誤；再求導得到時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故C正確，D錯誤.【詳解】AB選項，由題意可知，兩個函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個為導函數(shù)，則另外一個函數(shù)應該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實線部分為，故恒成立，故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯誤，對于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，當，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯誤.故選：C11．D【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用參數(shù)分離法進行分解，即可得出的取值范圍．【詳解】的定義域為實數(shù)集，，所以是奇函數(shù)，，∴在R上單調(diào)遞增；由得，，則，即，當時，，此時不等式等價為成立，當，，所以，因為，，所以，則，則.故選：D.12．D【分析】先求出函數(shù)的零點，再把問題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)法研究單調(diào)性，求出值域即可求出實數(shù)m的取值范圍.【詳解】因為，所以，則函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以函數(shù)的零點，由，得，解得，函數(shù)存在零點b，即方程在上有解，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，當且無限趨向于時，無限趨向于負無窮，則函數(shù)在上的值域為，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：D13．C【分析】根據(jù)圖像，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，得到極大值點.【詳解】根據(jù)圖像，在和上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減，故的極大值點為.故選：C14．A【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個極值點，則導數(shù)為有兩個根,由單調(diào)性及根與系數(shù)的關(guān)系等逐個判斷即可.【詳解】因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個根,所以,,故選項錯誤;因為有兩個根,所以,即得,解得或,故選項正確;因為有兩個根,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以是的極大值點,故選項錯誤;故選:A.15．②④【分析】當時，求出的零點判斷①；分類討論函數(shù)的極值情況判斷②；取，求出任意兩點處的導數(shù)值乘積與比較判斷③；按分類討論函數(shù)在上的取值情況判斷④圣母婊得答案.【詳解】對于①，當時，，由，解得，則當時，的圖象與直線只有兩個公共點，而，①錯誤；對于②，函數(shù)的定義域為R，求導得，當時，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當時，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當時，，，，，在處取得極大值，不符合題意；當時，，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，無極值點；當時，，，，，在處取得極小值，符合題意，因此在處取得極小值時，的取值范圍是，②正確；對于③，當時，，假定曲線存在兩條互相垂直的切線，設兩條切線對應的切點分別為，切線斜率分別為，于是與矛盾，③錯誤；對于④，當時，，，即在上單調(diào)遞減，此時，而函數(shù)在的取值集合為，則在上無最小值，當時，由，得或，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，而當時，，則恒成立，因此在處取得最小值，于是存在最小值時，的取值范圍是，所以所有正確結(jié)論的序號是②④.故答案為：②④【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).16．②③④【分析】取值計算判斷①；函數(shù)的極值點情況判斷②，分別求出兩段的最大值判斷③；分段探討零點個數(shù)判斷④即得答案.【詳解】對于①，當時，，，①錯誤；對于②，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，因此對任意，存在極值，②正確；對于③，當時，，，，當時，，由，得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，因此，，③正確；對于④，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上無零點，在上單調(diào)遞增，，，在有一個零點，；當時，，在上單調(diào)遞增，同理得，當時，，在上單調(diào)遞增，，；當時，，在上有兩個零點，當時，，，當趨近于正無窮大時，趨近于負無窮大，即在上有兩個零點，；當時，，在上有兩個零點，，；當時，，在上有兩個零點，，，因此的取值構(gòu)成的集合是，④正確，所以所有正確結(jié)論的序號是②③④.故答案為：②③④【點睛】方法點睛：函數(shù)零點個數(shù)判斷方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)圖象法：作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).17．②③④【分析】對于①，分是否大于0進行討論；對于②，由韋達定理即可判斷；對于③，結(jié)合②中結(jié)論直接驗算；對于④，原命題等價于關(guān)于的不等式有解，進一步等價于關(guān)于的不等式有解，故只需求出不等式左邊的最小值即可驗算.【詳解】對于①，，因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個相異實根，這意味著，否則時，f′x≥0，即若，則當時，f′x>0，當時，，當時，f′x>0即在的條件下，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有兩個極值點，故①錯誤；對于②，是方程的兩根，從而，故②正確；對于③，，故③正確；對于④，若存在，使得，即關(guān)于的不等式有解，而沒有最大值，故原命題等價于關(guān)于的不等式有解，令,而函數(shù)的最小值為1，所以當且僅當，即滿足題意，即若存在，使得，則，故④正確.故答案為：②③④.【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷④的關(guān)鍵是將原問題等價轉(zhuǎn)換為關(guān)于的不等式有解，由此即可順利得解.18．②③④【分析】每個命題都畫出對應的函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合，即可得出答案．【詳解】對于①,第二段的對稱軸為，畫出函數(shù)草圖，則函數(shù)無極大值，故①錯誤．

對于②，如圖所示．

方程存在三個根，在第一段內(nèi)顯然有一個根，則在第二段內(nèi)一定有兩個根．即在上有兩根，即在有兩根．必須滿足，解得，故②正確.對于③，當時，函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩個點，等價于第二段函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱的圖像，與原函數(shù)的第一段圖像有交點，如圖所示，顯然成立.故③正確.

對于④，當時，，大概畫出草圖如下.

第一段求導，則在處的切線斜率為第二段求導，則在處的切線斜率為.則存在，使得切線斜率相等.再結(jié)合圖像，兩段存在公切線.故