2025高考一圓錐曲線的方程(一輪復習)課時十六

知識點一拋物線中的三角形或四邊形面積問題,直線與拋物線交點相關(guān)問題

典例1、已知曲線〃上的任意一點到點(1，。)的距離比它到直線X=-2的距離小1.

(1)求曲線"的方程；

(2)設點E(O,1).若過點42,1)的直線與曲線〃交于8,C兩點，求△仍C的面積的最小值.

隨堂練習：如圖，已知直線與拋物線丁=29(。＞0)交于8兩點，且如，如，ODLAB,交N8于點〃

點。的坐標為(4,2).

(1)求0的值；(2)求△力出的面積.

典例2、已知拋物線C:yJ2px(p>0)的焦點為凡點”(如4)在拋物線。上，且W用=4+§.

(1)求拋物線。的方程；(2)直線成與拋物線。交于/點，。為坐標原點，求△MA。面積.

隨堂練習：已知拋物線尸=2"(0>0)的焦點為尸(4,0),。為坐標原點.

(1)求拋物線方程；(2)斜率為1的直線過點色且與拋物線交于48兩點，求的面積.

典例3、已知拋物線C：/=2內(nèi)(m0)的焦點為F,過點方且垂直于x軸的直線與。交于A,6兩點，三

角形AOB(點。為坐標原點)的面積為2.

(1)求拋物線。的方程；

(2)設不經(jīng)過原點。的直線/與拋物線交于R0兩點，設直線冰，。。的傾斜角分別為。和￡,證明:

當a+廣=?時，直線/恒過定點.

隨堂練習：已知拋物線C：yJ2Pxs>0)的焦點為歹，A為拋物線上一點，。為坐標原點，弘的外

接圓與拋物線的準線相切，且外接圓的周長為6m

(1)求拋物線C的方程；

(2)已知點8(-1,0),設不垂直于x軸的直線/與拋物線C交于不同的兩點M,N,若NMBO=NNBO,

證明直線/過定點并寫出定點坐標.

知識點二根據(jù)a、b、c求雙曲線的標準方程，求雙曲線中的最值問題,雙曲線中的直線過定點問題

典例4、已知雙曲線C:3%2一尸=3.

(1)求雙曲線的兩條漸近線的夾角的大小；

(2)設定點/(a,0)(a>0),求雙曲線上的動點9到/的距離d的最小值.

隨堂練習：已知雙曲線C：5-/iSwx))過點(2到，漸近線方程為y=±；x,直線/是雙曲線

C右支的一條切線，且與C的漸近線交于48兩點.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)設點46的中點為弘求點〃到y(tǒng)軸的距離的最小值.

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典例5、已知雙曲線c*-方=1(。>08>0)的左、右頂點分別為A，4,右焦點為尸⑵。)，點戶為。上一

動點(異于A，4兩點)，直線24和直線尸4與直線》=1分別交于〃，及兩點，當尸尸垂直于x

軸時，△出4的面積為2.

（1）求。的方程；（2）求證：NMFN為定值，并求出該定值.

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隨堂練習：已知。為坐標原點，雙曲線C：與一與=15>0,6>0）的離心率為G，點尸在雙曲線C上,

cib

點與，也分別為雙曲線c的左右焦點，|附鵬=2.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）已知點A（-1,O）,3（1,0）,設直線PA,的斜率分別為*《.證明：繪2為定值.

2025高考一圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十六答案

典例1、答案：⑴y2=4x（2）2y/7

解：（1）由已知得，曲線〃上的任意一點到點（1，。）的距離與它到直線x=-l的距離相等，所以曲線〃

的軌跡是以（1，。）為焦點，x=-1為準線的拋物線，所以曲線〃的方程為V=4元

（2）設8（%,%）,C（x2,y2）顯然，過點42,1）的直線3c斜率不為0,設其方程為彳=沖+2-機

聯(lián)立,;:二2一機,整理得丁—4紗+4（帆—2）=0

其中A=16機2-16（機-2）=16（機_2機+2）=16［機+28>0,由韋達定理得：芳+%=4m，％%=4（機—2）,

所以AEBC的面積S=；x網(wǎng)x瓦-%|=|%-%|='（%+%）2-4%>2=J16--16（加-2）=4萩一比+2+1

當機=g時，Smin==4x^=2^/7所以AEBC的面積的最小值為2近

隨堂練習：答案：（1）P。（2）空停

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解：（1）'：ODVAB,??.%“?七B=-1,又k°D=g：.kAB=-2,則直線N8的方程為y=-2x+10,

聯(lián)立方程消P可得2X2-（20+p卜+50=0①設/（X1,入2），6（x2,%）,?\為+%2=1。+個％?％2=25,

由CM_L03n次?礪=0=>+X%=。，又與Z+%%=大馬+（一2%+10）（一2%+10）=5引九2-20（%+元2）+100,

將代入可得P=|,且當時方程①有解.

⑵由|陰="+&）［（引+%）2-4%%］=5，^，\OD\=2y/5,S^A0B='\OD\=.

典例2、答案：（1）y2=4x（2）j

解：⑴附同=4+g又點M（x°,4）在拋物線。上，

根據(jù)拋物線的定義，|心|=%+3所以網(wǎng)尸|=4+/=%+￡,所以%=4,所以加（4,4）,

代入y2=2px（p>0）得，42=2px4（/>>0）,所以p=2,所以拋物線C:y2=4x.

（2）根據(jù)題意，尸坐標為（L0）,M（4,4）,所以直線

44

聯(lián)立:y=和y2=4x,所以y-3y-4=0,

所以（y—4）（y+l）=。所以弘=-1f=4,所以S4M4o=；x|。司x|y2-x|=；xlx5=g.

隨堂練習：答案：（1）丁=16尤（1）320

解：（1）?.?尸（4,0）,則由拋物線性質(zhì)得5=4,：,p=S,：,y2=16x,

即拋物線的標準方程是V=16x.

（2）由題意得，拋物線的焦點為尸（4,0）,.?.斜率為1的直線/的方程為y=x-4,A（%,%）,B（x2,y2）,

<一nf_24x+16=0,A=242-4X16>0所以%+%=24,xx=16,

y=x-4t2

|-4|廠

：.IAB\=A/1+12^-x1=V2-V242-4X16=32原點。到直線/的距離為d=/—2A/2,

2A/1+I

所以AAOB的面積S.AOB=3創(chuàng)322母=32夜

典例3、答案：(1)y2=4x；(2)證明見解析.

解：(1)根據(jù)題意可得焦點/g,0),因此可得A(gp),5(q-p),

所以Z.=：2p￡=2,解之可得。=2,故可得拋物線的方程為：F=4X.

(2)證明：根據(jù)題意，設P&,%),。(三，%),易知直線/的斜率存在，假設直線/的方程為丫=辰+",

"V=KX+TTL

聯(lián)立拋物線方程得，『2一/n@2-4y+4m=0,

[y=4x

由韋達定理可得，M+%=；/%=學，

kk

貝hl+x=++*=；[(乂+為產(chǎn)一2乂%]=，一個，

2444kK

,r,n乂%164左yy2@%+機(西+三)4

??加/=三丁短二，%+乜=飛x+12=---------=--

|大|k°p—tancc,k。?！猼an°,月^以tana+tan0——,tana,tan/3=—,

mm

￡

所以當戊+尸=￡時，tan(a+0=*上叱='=1,解得m=4左+%

41-tana-tanp\---

m

所以直線/的方程即為：y=kx+4k+4-^y-4=k(x+4),

即得直線/恒過定點(T，4).

隨堂練習：答案：(1)V=8x(2)證明見解析，恒過定點。,0)

解：(1)因為AO7弘的外接圓與拋物線的準線相切，

所以AOE4的外接圓的圓心到準線的距離等于半徑，

因為外接圓的周長為6萬，所以圓的半徑為3,

又圓心在W的垂直平分線上，\OF\=j,7+2=^=3,解得：P=4,

所以拋物線C的方程為y2=8x.

（2）設MV的方程為y=米+》，加（4》）,N（%，%），

丫2=8_X

由《一得左2^+（2幼—8）x+/=o,A=64—32泌>0,則助<2.

y=kx+b

所以玉+々=―228,玉％=1_,

因為ZMBO=/NBO,所以既「+凝2=上彳+*7=°，

X]十L%2十1

即向+：+心+：=0,化簡得2何9+（氏+。）&+%）+%=。，

■X]?1人？?1

所以24最+（左+6）3半^+26=0,所以〃=-左，

所以腦V的方程為〉=左"-1），恒過定點（1，。）.

\a-]\,0<a<4

典例4、答案：（1）日；（2）小L后^^

J------------,。>4

12

解：（1）雙曲線。的兩條漸近線方程是y=±氐，則它們的夾角是,

（2）設P（x,y）為雙曲線上任意一點，則3尤2一/=3

d=|AP|=Q（x-a）2+y，=44了2-2ax+cr-3,

；.d=/4（x_與+至一3,xeSo,T]31，+8）

V44

二次函數(shù)〉=4尤2-26+。2—3的對稱軸工=（>。，定義域為（-8,T]UU,+°°）

當亍41,即0<aV4時，當x=l時，％,=|。一]

I|tz—1|,0<a<4

當—>1,即a>4時，當尤=?時，=J—--3綜上所述“min=”J3a2一12

44V4,a>

隨堂練習：答案：（1）=-/=1（2）2

4

A_±

=12

t02b21a=2X

解：⑴由題設可知〃1,解得/I則C：

b_1也=14

、a2

（2）設點〃的橫坐標為物>0

當直線，斜率不存在時，則直線/：x=2易知點M到，軸的距離為X”=2；

當直線/斜率存在時，設/:y=kx+m[k^+^,A(x，x),3(%,%),

v_

聯(lián)立I412=-1,整理得(4左2—1)彳2+8勿?a+47"2+4=0,

y=kx+m

A=64^2m2-16(4^2-1)(zw2+1)=0,整理得4左2="+1

V_2=0

聯(lián)立I4),整理得(4左2_l)d+8協(xié)武+4m2=0,

y=kx+m

則不+々=—77^=——r=—一，則一—>0,BPfon<0

4k-1mm2m

則扁=￥=4+：>4,即%>2.?.此時點M到y(tǒng)軸的距離大于2；

mm

綜上所述，點M到，軸的最小距離為2.

22

典例5、答案：（1）L-匕=1（2）證明見解析，90°

22

h2

解：（1）由題意知。=2,則/+比=4.當軸時，|PF|=L,

a

故△尸的面積S=g-2a巨=/=2,解得。=6=亞，故。的方程為0-5=1.

2a22

（2）由⑴得A（-0,0）